1、2019-2020学年河南省南阳市邓州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上1（3分）二次根式中，x的取值范围是（）Ax1Bx1Cx1Dx12（3分）方程（x5）（x+2）0的解是（）Ax5Bx2Cx15，x22Dx15，x223（3分）如图，在大小为44的正方形网格中，是相似三角形的是（）ABCD4（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则cos的值是（）ABCD25（3分）如图，某风景区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得C处的俯角为30，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线
2、路AC的长为（）ABCD1800米6（3分）某商店今年10月份的销售额是2万元，12月份的销售额是2.88万元，从10月份到12月份，该商店销售额平均每月的增长率为（）A44%B22%C20%D10%7（3分）从九（1）班2名优秀班干部和九（2）班2名优秀班干部中，随机选取两名学生担任升旗手，则选取的两名升旗手不是同一个班的概率为（）ABCD8（3分）如图，在RtABC中，C90，ADBD，CE2BE过B作BFCD交AE的延长线为F当BF1时，AB的长为（）A4B5C6D79（3分）如图，ABE和CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A（2，2）、B（3，1）、D（5，2），则点A的对应点
3、C的坐标是（）A（2，3）B（2，4）C（3，3）D（3，4）10（3分）如图，抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x1，给出下列结论：b24ac；abc0；ac；4a2b+c0，其中正确的个数有（）A1个B2个C3个D4个二、填空题（每小题3分，共15分）11（3分）化简： 12（3分）若一元二次方程x2+bx+50配方后为（x4）2k，则k的值为 13（3分）已知点A（4，y1），B（，y2），C（2，y3）都在二次函数y（x2）21的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是 14（3分）已知三个边长分别为1，2，3的正三角形从左到右如图排列，则图中阴影部分面积为 15（3分）如图
4、，在矩形ABCD中，AB6，AD8，点E是边AD上的一个动点，把BAE沿BE折叠，点A落在A处，如果A恰在矩形的对角线上，则AE的长为 三、解答题（本大题共计75分）16（8分）计算或解方程（1）+4tan45；（2）x2x3017（9分）为弘扬中华传统文化，某省近期举办了中小学生“国学经典大赛”比赛项目为：A唐诗；B宋词；C论语；D三字经，比赛形式分“单人组”和“双人组”（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是 ；（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，即第一名队员抽取后不
5、放回，第二名队员再抽取，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明18（9分）已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m220（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若m为负整数，求该一元二次方程的解19（9分）已知抛物线yx22x+3问：（1）该抛物线的顶点坐标是 ；（2）该函数与x轴的交点坐标是 ， ，并在网格中画出该函数的图象；（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？ （4）已知y1，t取什么值时与抛物线yx22x+3有两个交点？20（9分）如图，在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图中的线段BC就是悬挂在墙壁AM上的某块匾额
6、的截面示意图已知BC1米，MBC37从水平地面点D处看点C，仰角ADC45，从点E处看点B，仰角AEB53，且DE2.4米，求匾额悬挂的高度AB的长（参考数据：sin37，cos37，tan37）21（10分）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款体恤衫，其成本为每件80元，当售价为每件140元时，每月可销售100条，为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5件，设每件体恤衫的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y件（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大
7、，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出400元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于7475元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定体恤衫的销售单价？22（10分）如图所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图所示线段DG与BE之间的数量关系是 ；直线DG与直线BE之间的位置关系是 ；（2）探究：如图所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD2AB，AG2AE时，上述结论是否成立，并说明理由（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE1，AB2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）2
8、3（11分）如图：抛物线yx2+bx+c与直线yx1交于点A，B其中点B的横坐标为2点P（m，n）是线段AB上的动点（1）求抛物线的表达式；（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标2019-2020学年河南省南阳市邓州市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上1
9、（3分）二次根式中，x的取值范围是（）Ax1Bx1Cx1Dx1【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案【解答】解：由题意可知：x10，x1，故选：A【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型2（3分）方程（x5）（x+2）0的解是（）Ax5Bx2Cx15，x22Dx15，x22【分析】因式分解法求解可得【解答】解：（x5）（x+2）0，x50或x+20，解得：x5或x2，故选：D【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解
10、题的关键3（3分）如图，在大小为44的正方形网格中，是相似三角形的是（）ABCD【分析】分别求得四个三角形三边的长，再根据三角形三边分别成比例的两三角形相似来判定【解答】解：中的三角形的三边分别是：2：10，中的三角形的三边分别是：3：5，中的三角形的三边分别是：2：2：2，中的三角形的三边分别是：3，4，与中的三角形的三边的比为：1：，与相似故选：C【点评】此题主要考查相似三角形的判定方法，熟记定理的内容是解题的关键4（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则cos的值是（）ABCD2【分析】如图，作AHx轴于H利用勾股定理求出OA，根据三角函数的定义解决问题即可【解答】解
11、：如图，作AHx轴于HA（2，1），OH2，AH1，OA，cos，故选：C【点评】本题考查解直角三角形，坐标由图形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题5（3分）如图，某风景区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得C处的俯角为30，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为（）ABCD1800米【分析】此题可利用俯角的余弦函数求得缆车线路AC的长，AC【解答】解：由于A处测得C处的俯角为30，两山峰的底部BD相距900米，则AC600（米）故选：B【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角
12、形6（3分）某商店今年10月份的销售额是2万元，12月份的销售额是2.88万元，从10月份到12月份，该商店销售额平均每月的增长率为（）A44%B22%C20%D10%【分析】设该商店销售额平均每月的增长率为x，根据该商店今年10月份及12月份的销售额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【解答】解：设该商店销售额平均每月的增长率为x，依题意，得：2（1+x）22.88，解得：x10.220%，x22.2（不合题意，舍去）故选：C【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键7（3分）从九（1）班2名优秀班干部和九（2）班2名优秀班干部中
13、，随机选取两名学生担任升旗手，则选取的两名升旗手不是同一个班的概率为（）ABCD【分析】画树状图为（用A、A表示九（1）班2名优秀班干部，用B、B表示九（2）班2名优秀班干部）展示所有12种等可能的结果数，再找出选取的两名升旗手不是同一个班的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：画树状图为：（用A、A表示九（1）班2名优秀班干部，用B、B表示九（2）班2名优秀班干部）共有12种等可能的结果数，其中选取的两名升旗手不是同一个班的结果数为8，所以选取的两名升旗手不是同一个班的概率故选：A【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结
14、果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率8（3分）如图，在RtABC中，C90，ADBD，CE2BE过B作BFCD交AE的延长线为F当BF1时，AB的长为（）A4B5C6D7【分析】通过证明CEOBEF，可得，可求CO2，由平行线分线段成比例可求OD的长，即可求CD的长，由直角三角形的性质可求解【解答】证明：如图，BFCD，CEOBEF，且BF1，CE2BE，CO2，BFCD，且ADBD，ODBF，CDCO+OD，C90，ADBD，AB2CD5，故选：B【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键9（3分）如图，ABE和CDE是以点
15、E为位似中心的位似图形，已知点A（2，2）、B（3，1）、D（5，2），则点A的对应点C的坐标是（）A（2，3）B（2，4）C（3，3）D（3，4）【分析】设点C的坐标为（x，y），根据位似变换的概念、相似三角形的性质列式计算即可【解答】解：设点C的坐标为（x，y），ABE和CDE是以点E为位似中心的位似图形，解得，x3，y4，则点C的坐标为（3，4），故选：D【点评】本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，掌握位似变换的两个图形相似是解题的关键10（3分）如图，抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x1，给出下列结论：b24ac；abc0；ac；4a2b+c0，其中正确的个数有
16、（）A1个B2个C3个D4个【分析】利用抛物线与x轴有2个交点和判别式的意义对进行判断；由抛物线开口方向得到a0，由抛物线对称轴位置确定b0，由抛物线与y轴交点位置得到c0，则可作判断；利用x1时ab+c0，然后把b2a代入可判断；利用抛物线的对称性得到x2和x0时的函数值相等，即x2时，y0，则可进行判断【解答】解：抛物线与x轴有2个交点，b24ac0，所以错误；抛物线开口向上，a0，抛物线的对称轴在y轴的左侧，a、b同号，b0，抛物线与y轴交点在x轴上方，c0，abc0，所以正确；x1时，y0，即ab+c0，对称轴为直线x1，1，b2a，a2a+c0，即ac，所以正确；抛物线的对称轴为直线
17、x1，x2和x0时的函数值相等，即x2时，y0，4a2b+c0，所以正确所以本题正确的有：，三个，故选：C【点评】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数yax2+bx+c（a0），要熟练掌握以下几点：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由决定：b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点；b24ac0时，抛物线与x轴有1个交点；
18、b24ac0时，抛物线与x轴没有交点二、填空题（每小题3分，共15分）11（3分）化简：【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式，即可【解答】解：原式422故答案为：2【点评】本题考查了二次根式的加减，是基础知识比较简单12（3分）若一元二次方程x2+bx+50配方后为（x4）2k，则k的值为11【分析】根据配方法即可求出答案【解答】解：（x4）2k，x24x+16k0，由题意可知：16k5，k11，故答案为：11【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型13（3分）已知点A（4，y1），B（，y2），C（2，y3）都在二次函数y（x2）21的图象
19、上，则y1、y2、y3的大小关系是y3y1y2【分析】分别计算出自变量为4，和2时的函数值，然后比较函数值得大小即可【解答】解：把A（4，y1），B（，y2），C（2，y3）分别代入y（x2）21得：y1（x2）213，y2（x2）2154，y3（x2）2115，54315，所以y3y1y2故答案为y3y1y2【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：明确二次函数图象上点的坐标满足其解析式14（3分）已知三个边长分别为1，2，3的正三角形从左到右如图排列，则图中阴影部分面积为【分析】先证明ACE为等腰三角形，然后再证明BHG和FCE为含30的直角三角形，从而可得到两个三角形的
20、底边长和高长，最后，依据三角形的面积公式求解即可【解答】解：如图所示：由题意得：ACCE3，EACAEC30HGB30又HBGFCE60，BHGCFE90HBAB，GHBH，FECE，FCCESHGB，SCFE阴影部分的面积【点评】本题主要考查的是等边三角形的性质，发现BHG和FCE为含30的直角三角形是解题的关键15（3分）如图，在矩形ABCD中，AB6，AD8，点E是边AD上的一个动点，把BAE沿BE折叠，点A落在A处，如果A恰在矩形的对角线上，则AE的长为3或【分析】（1）由勾股定理求得BD，当点A在BD上时，设AEx，由翻折的性质得：EAAEx，BAAB3，则由勾股定理求得AE；（2）
21、当点A在AC上时，由射影定理求得AG，由三角形相似的判定定理证得AEGACD，根据相似三角形的性质求得AE【解答】解：矩形ABCD，A90，BD10，当A在BD上时，如图1所示：设AEx，由翻折的性质得：EAAEx，BAAB6，ED8x，EFDA90，AD1064，在RtEAD中，x2+42（8x）2，解得：x3，AE3；当点A在AC上时，如图2所示：由翻折的性质得：BE垂直平分AA，AC10，由射影定理得：AB2AGAC，AG，AGED90，EAGCAD，AEGACD，即，AGAE，AEAE的长为3或故答案为3或【点评】本题考查了翻折变换，解决本题的关键是综合运用矩形的性质、相似三角形的判定
22、和性质、勾股定理等知识三、解答题（本大题共计75分）16（8分）计算或解方程（1）+4tan45；（2）x2x30【分析】（1）根据二次根式的性质以及特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案；（2）根据配方法即可求出答案【解答】解：（1）原式4+244+4；（2）x2x30，x2x+，（x）2，x；【点评】本题考查二次根式与一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及二次根式的运算法则，本题属于基础题型17（9分）为弘扬中华传统文化，某省近期举办了中小学生“国学经典大赛”比赛项目为：A唐诗；B宋词；C论语；D三字经，比赛形式分“单人组”和“双人组”（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽
23、取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是；（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，即第一名队员抽取后不放回，第二名队员再抽取，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率，故答案为（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好小红抽中“唐诗”且
24、小明抽中“宋词”的结果数为1，所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率18（9分）已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m220（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若m为负整数，求该一元二次方程的解【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围；（2）由（1）的结论结合m为负整数可找出m的值，将其代入原方程中再解方程即可得出结论【解答】解：（1）方程x
25、2+2（m+1）x+m220有实数根，2（m+1）24（m22）8m+120，解得：m（2）m且m为负整数，m1，原方程为x210，解得：x11，x21【点评】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当0时，方程有实数根”；（2）由m的取值范围及m为负整数确定m的值19（9分）已知抛物线yx22x+3问：（1）该抛物线的顶点坐标是（1，4）；（2）该函数与x轴的交点坐标是（3，0），（1，0），并在网格中画出该函数的图象；（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？3x1（4）已知y1，t取什么值时与抛物线yx22x+3有两个交点？【分析】（1）把一般式配成顶点式得到抛物线
26、顶点坐标；（2）解方程x22x+30得抛物线与x轴的交点坐标；然后利用描点法画出二次函数图象；（3）结合图象写出抛物线在x轴上方对应的自变量的范围即可；（4）结合图象，当t4满足条件【解答】解：（1）yx22x+3（x+1）2+4，顶点坐标为（1，4）；（2）当y0时，x22x+30，解得x13，x21，抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（1，0）；如图，（3）当3x1时，y0，即抛物线在x轴上方；故答案为（1，4）；（3，0），（1，0）；3x1；（4）当t4时，直线yt与抛物线yx22x+3有两个交点【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数yax2+bx+c（a，b，c是常数，
27、a0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程也考查了二次函数的性质20（9分）如图，在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图中的线段BC就是悬挂在墙壁AM上的某块匾额的截面示意图已知BC1米，MBC37从水平地面点D处看点C，仰角ADC45，从点E处看点B，仰角AEB53，且DE2.4米，求匾额悬挂的高度AB的长（参考数据：sin37，cos37，tan37）【分析】过C作CFAM于F，过C作CHAD于H，根据直角三角形的解法解答即可【解答】解：过C作CFAM于F，过C作CHAD于H，则四边形AHCF是矩形，所以AFCH，CFAH在RtBCF中，BC1，CBF37BFBCcos3
28、70.8，CFBCsin370.6，在RtBAE中，BEA53，所以AEAB，在RtCDH中，CDH45，CHDHFA0.8+AB，ADAH+DH0.6+0.8+AB1.4+AB，ADAE+DEAB+2.4，1.4+ABAB+2.4，AB4，答：匾额悬挂的高度是4米【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形21（10分）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款体恤衫，其成本为每件80元，当售价为每件140元时，每月可销售100条，为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5件，设每件体恤衫的售价为x元（x为正整数
29、），每月的销售量为y件（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出400元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于7475元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定体恤衫的销售单价？【分析】（1）根据题意销售单价每降1元，则每月可多销售5件，即可写出y与x的函数关系式；（2）根据销售问题公式：销售利润单件利润销售量即可列出二次函数解析式，再根据二次函数的顶点式即可求解；（3）根据（2）所列函数解析式，把w7475+400代入即可求解【解答】解：（1）由题意可得
30、：y100+5（140x）5x+800；（2）由题意，得w（x80）（5x+800）5（x120）2+800050，w有最大值，即当x120时，w最大值为8000，应降价14012020（元）答：当销售单价降低20元时，每月获得的利润最大，最大利润是8000元（3）由题意，得5（x120）2+80007475+400解得：x1115，x2125，抛物线开口向下，对称轴为直线x120，当115x125时，符合该网店要求，而为了让顾客得到最大实惠，故x115答：销售单价定为115元时，既符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠【点评】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握销
31、售问题公式：销售利润单件利润销售量22（10分）如图所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图所示线段DG与BE之间的数量关系是DGBE；直线DG与直线BE之间的位置关系是DGBE；（2）探究：如图所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD2AB，AG2AE时，上述结论是否成立，并说明理由（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE1，AB2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）【分析】（1）先判断出ABEDAG，进而得出BEDG，ABEADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；（2）先利用两边对应成比例夹角相等判断
32、出ABEDAG，得出ABEADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；（3）如图中，作ETAD于T，GHBA交BA的延长线于H设ETx，ATy利用勾股定理，以及相似三角形的性质即可解决问题【解答】解：（1）如图中，四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，AEAG，ABAD，BADEAG90，BAEDAG，在ABE和DAG中，ABEDAG（SAS），BEDG；如图2，延长BE交AD于T，交DG于H由知，ABEDAG，ABEADG，ATB+ABE90，ATB+ADG90，ATBDTH，DTH+ADG90，DHB90，BEDG，故答案为：BEDG，BEDG；（2）数量关系不成立，DG2BE，位置关系成
33、立如图中，延长BE交AD于T，交DG于H四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，BADDAG，BAEDAG，AD2AB，AG2AE，ABEADG，ABEADG，DG2BE，ATB+ABE90，ATB+ADG90，ATBDTH，DTH+ADG90，DHB90，BEDG；（3）如图中，作ETAD于T，GHBA交BA的延长线于H设ETx，ATyAHGATE，2，GH2x，AH2y，4x2+4y24，x2+y21，BG2+DE2（2x）2+（2y+2）2+x2+（4y）25x2+5y2+2025【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性
34、质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，判断出ABEADG或ABEADG是解本题的关键23（11分）如图：抛物线yx2+bx+c与直线yx1交于点A，B其中点B的横坐标为2点P（m，n）是线段AB上的动点（1）求抛物线的表达式；（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标【分析】（1）先求出A，B两点的坐标，再根据待定系数法，可得抛物
35、线的解析式；（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）使P，Q，B，R为顶点的四边形是平行四边形，可以分两种情况：一是PQ为一边时，根据PQ的长是正整数，可得PQ，根据平行四边形的性质，对边平行且相等，根据点的坐标表示方法，可得答案，二是PQ为一条对角线时，根据平行四边形的性质，PQ与BR互相平分，此时R与C 重合【解答】解：（1）抛物线yx2+bx+c与直线yx1交于点A，B，当y0时，x10，解得x1，A（1，0），点B的横坐标为2，x1213，B（2，3），将A（1，0），B（2，3）代入yx2+bx+c得：，解
36、得，抛物线的解析式为：yx22x3；（2）点P在直线AB上，Q抛物线上，P（m，n），nm1，Q（m，m2+2m3）PQ的长l（m1）（m22m3）m2+m+2，当m时，PQ的长l最大+2答：线段PQ的长度l与m的关系式为：lm2+m+2，当m时，PQ最长，最大值为（3）由（2）可知，0PQ当PQ为边时，BRPQ且BRPQR是整点，B（2，3），PQ是正整数，PQ1，或PQ2当PQ1时，此时P，Q不是整点，不合题意舍去，当PQ2时，BR2，此时点R的横坐标为2，纵坐标为3+21或325，即R（2，1）或R（2，5）当PQ为平行四边形的一条对角线，则PQ与BR互相平分，当PQ1时，即：x1（x22x3）1，此时x不是整数，当PQ2时，即x1（x22x3）2，此时x11，x20；x11，R与点C重合，即R（0，3），x20；此时R（2，1）综上所述，符合条件的点R有，它的坐标为（2，1）或（2，5）或（0，3）或（2，1）【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质等知识，理解运用分类讨论思想、数学建模思想是解题的关键
