1、提分专练(三)二次函数简单综合问题|类型1|运动产生的线段、面积问题1.如图T3-1,在平面直角坐标系中,直线y=-x+3与x轴,y轴分别交于点A,点B,抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过A,B与点C(-1,0).(1)求抛物线的解析式.(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点(不与点A,B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为D,交线段AB于点E.设点P的横坐标为m.求PAB的面积y关于m的函数关系式,当m为何值时,y有最大值,最大值是多少?若点E是垂线段PD的三等分点,求点P的坐标.图T3-1|类型2|运动产生的特殊图形问题2.2019山西省适应训练如图T3-2,在平面直角坐标系中,二次函
2、数y=x2-2x-3的图象交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC.(1)求点A、点B和点C的坐标;(2)若点D为第四象限内抛物线上一动点,点D的横坐标为m,BCD的面积为S,求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值;(3)抛物线的对称轴上是否存在点P,使BCP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.图T3-23.2018自贡如图T3-3,抛物线y=ax2+bx-3过A(1,0),B(-3,0),直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为-2,点P(m,n)是线段AD上的动点(点P不与点A,D重合).(1)求直线AD及抛物线的解析式.(2)过点
3、P的直线垂直于x轴,交抛物线于点Q,求线段PQ的长度l与m的关系式,当m为何值时,PQ最长?(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R,使得以P,Q,D,R为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点R的坐标;若不存在,请说明理由.图T3-3|类型3|运动产生的相似三角形问题4.2018鄂州如图T3-4,已知直线y=12x+12与抛物线y=ax2+bx+c相交于A(-1,0),B(4,m)两点,抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C0,-32,交x轴的正半轴于点D,抛物线的顶点为M.(1)求抛物线的解析式及点M的坐标;(2)设点P为直线AB下方的抛物线上一动点,当PAB的面积最大时,
4、求PAB的面积及点P的坐标;(3)点Q为x轴上一动点,点N是抛物线上一点,当QMNMAD(点Q与点M对应)时,求点Q的坐标.图T3-4【参考答案】1.解:(1)直线y=-x+3与x轴,y轴分别交于点A,点B,A(3,0),B(0,3).把A(3,0),B(0,3),C(-1,0)分别代入y=ax2+bx+c,得9a+3b+c=0,a-b+c=0,c=3,解得a=-1,b=2,c=3,抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.(2)点P的横坐标为m,P(m,-m2+2m+3).PDx轴,E(m,-m+3),PE=-m2+2m+3+m-3=-m2+3m,y=12(-m2+3m)m+12(-m2+3m)
5、(3-m),y关于m的函数关系式为y=-32m2+92m.y=-32m2+92m=-32m-322+278,当m=32时,y有最大值,最大值是278.当PE=2ED时,-m2+3m=2(-m+3),解得m=2或m=3(不合题意,舍去);当2PE=ED时,-2m2+6m=-m+3,整理得,2m2-7m+3=0,解得m=12,m=3(不合题意,舍去).综上,点P的坐标为(2,3),12,154.2.解:(1)当y=0时,x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1.又A在B的左侧,A(-1,0),B(3,0),当x=0时,y=x2-2x-3=-3,C(0,-3).(2)D的横坐标为m,D(m,m2
6、-2m-3).点D在第四象限,m0,m2-2m-30,0m3,连接OD.SOCD=123m=32m,SOBD=123-(m2-2m-3)=-32(m2-2m-3)=-32m2+3m+92,SOBC=1233=92.SBCD=SOCD+SOBD-SOCB=32m+-32m2+3m+92-92=32m-32m2+3m+92-92=-32m2+92m.-320,当m=-922(-32)=32时,S最大=4(-32)0-(92)24(-32)=278.(3)y=x2-2x-3=(x-1)2-4,故抛物线的对称轴为直线x=1.点P在抛物线的对称轴上,设其坐标为P(1,t).CP2=1+(t+3)2,CB
7、2=18,PB2=t2+4.若PC=PB,则1+(t+3)2=t2+4,解得:t=-1,即P(1,-1).若PC=CB,则1+(t+3)2=18,解得:t=-317,即P(1,-3+17)或P(1,-3-17).若BC=PB,则t2+4=18,解得:t=14,即P(1,14)或P(1,-14).综上所述,满足条件的点P共有5个,分别为P1(1,-1),P2(1,14),P3(1,-14),P4(1,-3+17),P5(1,-3-17).3.解:(1)抛物线y=ax2+bx-3过A(1,0),B(-3,0),a+b-3=0,9a-3b-3=0.解得a=1,b=2.该抛物线的解析式为y=x2+2x
8、-3.当x=-2时,y=(-2)2+2(-2)-3=-3,D(-2,-3).设直线AD的解析式为y=kx+t.易得k+t=0,-2k+t=-3.解得k=1,t=-1.直线AD的解析式为y=x-1.(2)由题意,得P(m,m-1),Q(m,m2+2m-3),-2m1.l=yP-yQ=(m-1)-(m2+2m-3)=-m2-m+2=-m+122+94.-2-121,当m=-12时,PQ最长.(3)在平面内存在整点R,使得以P,Q,D,R为顶点的四边形是平行四边形,点R的坐标为(-2,-1)或(-2,-2)或(-2,-4)或(-2,-5)或(0,-3)或(2,-1).解法提示以P,Q,D,R为顶点的
9、四边形是平行四边形,可分如下情况讨论:分类一:PD是平行四边形的对角线,此时PQRD,且PQ=RD,点R在点D的上方.D(-2,-3),要使R为整点,线段RD长必须是整数.又PQ=RD,线段PQ长必须是整数.由(2)知,PQ=-m2-m+2=-m+122+94,-2m1,0PQ94.PQ=1或2.此时R(-2,-2)或R(-2,-1).分类二:QD是平行四边形的对角线,此时PQRD,且PQ=RD,点R在点D下方,此时R(-2,-4)或R(-2,-5).分类三:PQ是平行四边形的对角线.D(-2,-3),P(m,m-1),Q(m,m2+2m-3).设R(xR,yR).根据中点坐标公式,得-2+x
10、R2=m,-3+yR2=yP+yQ2=12(m2+3m-4).解得xR=2m+2,yR=m2+3m-1.R(2m+2,m2+3m-1).-2m1,要使R为整点,m=-1或0.此时R(0,-3)或R(2,-1).综上所述,在平面内存在整点R,点R的坐标为(-2,-1)或(-2,-2)或(-2,-4)或(-2,-5)或(0,-3)或(2,-1).4.解:(1)将B(4,m)的坐标代入y=12x+12,得m=124+12=52B4,52.将A(-1,0),B4,52,C0,-32的坐标分别代入y=ax2+bx+c,得a-b+c=0,16a+4b+c=52,c=-32.解得a=12,b=-1,c=-3
11、2.抛物线的解析式为y=12x2-x-32,y=12(x2-2x)-32=12(x-1)2-12-32=12(x-1)2-2,故顶点M的坐标为(1,-2).(2)如图,过点P作PEx轴,交AB于点E,交x轴于点G,过点B作BFx轴于点F.A(-1,0),B4,52,AF=4(1)=5.设点P的坐标为n,12n2-n-32,则点E的坐标为n,12n+12.点P在直线AB下方,PE=12n+12-12n2-n-32=-12n2+32n+2.SPAB=SAPE+SBPE=12PEAG+12PEFG=12PE(AG+FG)=12PEAF=125-12n2+32n+2=-54n-322+12516.当n
12、=32时,PAB的面积最大,且最大面积为12516.当n=32时,12n2-n-32=12322-32-32=-158,故此时点P的坐标为32,-158.(3)抛物线的解析式为y=12x2-x-32=12x-12-2,抛物线的对称轴为直线x=1.又A(-1,0),点D的坐标为(3,0).又M的坐标为(1,-2),AD=3(1)=4,AD2=42=16,AM2=1-(-1)2+(-2)2=8,DM2=(13)2+(20)2=8,AD2=AM2+DM2,且AM=DM.MAD是等腰直角三角形,AMD=90.又QMNMAD,QMN也是等腰直角三角形且QM=QN,MQN=90,QMN=45.又AMD=90,AMQ=QMD=45,此时点D(或点A)与点N重合(如图),此时MQx轴,故点Q的坐标为(1,0).
