1、2018-2019学年浙江省浙南名校联盟高二（下）期中数学试卷一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）已知全集U2，1，0，1，2，Ay|y|x|，xU，则UA（）A0，1，2B2，1，0C1，2D1，22（4分）若向量与向量是共线向量，且，则（）A（6，3）B（6，3）C（6，3）或 （6，3）D（3，6）或（3，6）3（4分）若，则等于（）ABCD4（4分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+4）f（x），当x（0，2）时，f（x）x2+1，则f（7）（）A2B2C1D15（4分）函数f（x）exln|x|的
2、大致图象为（）ABCD6（4分）可导函数f（x）在区间（a，b）上的图象连续不断，则“存在x0（a，b）满足f'（x0）0”是“函数f（x）在区间（a，b）上有最小值”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7（4分）从数字1到9中任取3个数字，要求既有奇数也有偶数，组成一个没有重复数字的三位数，则满足条件的三位数的个数共有（）A420B840C140D708（4分）设向量满足，则的最大值等于（）A1B2CD9（4分）设F为抛物线C：y28x的焦点，过点P（2，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若，则|AB|（）ABCD10（4分）
3、已知函数，当x+y2019时，恒有f（x）+f（2019）f（y）成立，则x的取值范围是（）ABC（，0）D（1，+）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）已知复数z满足（i是虚数单位），则z2 ；|z| 12（6分）计算： ；满足的实数x的取值范围是 13（6分）已知双曲线，A1，A2分别是双曲线的左、右顶点，M（x0，y0）是双曲线上除两顶点外的一点，直线MA1与直线MA2的斜率之积是，则双曲线的离心率为 ；若该双曲线的焦点到其渐近线的距离是4，则双曲线的方程为 1
4、4（6分）二项式（12x）5的展开式中系数最大的项为 ；已知，则a12a2+3a34a4+5a5 15（4分）已知向量，向量在向量上的投影为3，且，则 16（4分）3名男生和3名女生共6人站成一排，若男生甲不站两端，且不与男生乙相邻，3名女生有且只有2名女生相邻，则不同排法的种数是 （用数字作答）17（4分）已知不等式（ea）ex+x+b+10恒成立，其中e为自然常数，则的最大值为 三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）设函数的图象关于直线x对称，其中常数（1）求函数f（x）
5、的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间上的取值范围19（15分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，ABC60，侧面PAB底面ABCD，BAP90，ABACPA2（1）求证：平面PBD平面PAC；（2）若点M为PD中点，求直线MC与平面PBC所成角的正弦值20（15分）已知函数，其中a为实数（1）若函数f（x）为定义域上的单调函数，求a的取值范围（2）若a7，满足不等式f（x）a0成立的正整数解有且仅有一个，求a的取值范围21（15分）已知椭圆C：（ab0）过点A（0，1），且离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）过A作斜率分别为k1，k2的两条直线，分别交椭圆于点M，N，且
6、k1+k22，证明：直线MN过定点22（15分）设函数f（x）（ax2x）lnx+a1，aR（1）当a0时，求证：f（x）x；（2）当时，f（x）0恒成立，求a的取值范围2018-2019学年浙江省浙南名校联盟高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）已知全集U2，1，0，1，2，Ay|y|x|，xU，则UA（）A0，1，2B2，1，0C1，2D1，2【分析】可求出集合A，然后进行补集的运算即可【解答】解：A0，1，2；UA2，1故选：C【点评】考查列举法、描述法的定义，以及补集的运算2
7、（4分）若向量与向量是共线向量，且，则（）A（6，3）B（6，3）C（6，3）或 （6，3）D（3，6）或（3，6）【分析】根据与共线可设，再根据即可求出，从而得出向量的坐标【解答】解：与共线；存在实数，使；又；3；或（6，3）故选：C【点评】考查共线向量基本定理，向量坐标的数乘运算，根据向量坐标求向量长度的方法3（4分）若，则等于（）ABCD【分析】直接利用诱导公式化简求解即可【解答】解：，则sin（），故选：A【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值4（4分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+4）f（x），当x（0，2）时，f（x）x2+1，则f（7）（）A2B2C1
8、D1【分析】根据题意，由f（x+4）f（x）分析可得f（x+8）f（x+4）f（x），则函数f（x）是周期为8的周期函数，据此可得f（7）f（1），结合函数的周期性与奇偶性分析可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+4）f（x），则有f（x+8）f（x+4）f（x），则函数f（x）是周期为8的周期函数，则f（7）f（1），又由函数为奇函数，则f（1）f（1）（1）2+12，则f（1）2，即f（7）2；故选：B【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，关键分析函数的周期，属于基础题5（4分）函数f（x）exln|x|的大致图象为（）ABCD【分析】结合指数函数和对数函数的变化
9、速度，结合结合极限思想进行排除即可【解答】解：函数的定义域为x|x0，由f（x）0得ln|x|0，得x1或x1，f（x）exln|x|，当x0时，ex的变化速度大于ln|x|的变化速度，此时f（x）为增函数，但增长速度越来越慢，排除A，C，当x，f（x）+，排除D，故选：B【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合指数函数和对数函数变化率的关系以及极限思想以及利用排除法是解决本题的关键6（4分）可导函数f（x）在区间（a，b）上的图象连续不断，则“存在x0（a，b）满足f'（x0）0”是“函数f（x）在区间（a，b）上有最小值”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不
10、充分也不必要条件【分析】“存在x0（a，b）满足f'（x0）0”是函数f（x）在区间（a，b）上有极值点的必要非充分条件即可判断出结论【解答】解：“存在x0（a，b）满足f'（x0）0”是函数f（x）在区间（a，b）上有极值点的必要非充分条件“存在x0（a，b）满足f'（x0）0”是“函数f（x）在区间（a，b）上有最小值”的必要非充分条件故选：B【点评】本题考查了函数有极值点的充要条件、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7（4分）从数字1到9中任取3个数字，要求既有奇数也有偶数，组成一个没有重复数字的三位数，则满足条件的三位数的个数共有（）A42
11、0B840C140D70【分析】根据奇数和偶数的个数分1个奇数，2个偶数和2奇数，1偶数，然后进行全排列即可【解答】解：9个数字中奇数为1，3，5，7，9，偶数为2，4，6，8，三位数要求既有奇数也有偶数，则若1个奇数，2个偶数，有CCA180，若2奇数，1偶数，有CAA240，共有180+240420，故选：A【点评】本题主要考查排列组合的应用，结合条件分1个奇数，2个偶数和2奇数，1偶数是解决本题的关键8（4分）设向量满足，则的最大值等于（）A1B2CD【分析】由题意可设（1，0），（0，2），（x，y），运用向量的加减运算和数量积的坐标表示，以及圆的性质，可得所求最大值【解答】解：向量满
12、足，可设（1，0），（0，2），（x，y），可得（x，y）（1x，2y）x（1x）+y（2y）0，即为x2+y2x2y0，可得圆（x）2+（y1）2，即圆心（，1），半径为，则的最大值为2r，故选：D【点评】本题考查向量的加减运算和数量积的坐标表示，考查圆的方程的运用，考查运算能力和推理能力，属于基础题9（4分）设F为抛物线C：y28x的焦点，过点P（2，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若，则|AB|（）ABCD【分析】设直线l的方程为yk（x+2），A（x1，y1）、B（x2，y2）、Q（x0，y0）解方程组，得：k2x2+（2k24）x+k20，由此利用韦达定理、
13、点到直线距离公式能求出直线的斜率然后利用弦长公式求解即可【解答】解：设直线l的方程为yk（x+1），A（x1，y1）、B（x2，y2）、Q（x0，y0）解方程组，化简得：k2x2+（4k28）x+4k20，x1+x2，x1x24，y1+y2k（x1+x2+4），x0，y0，由 4，k|AB|x2x1|16故选：D【点评】本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、点到直线距离公式的合理运用10（4分）已知函数，当x+y2019时，恒有f（x）+f（2019）f（y）成立，则x的取值范围是（）ABC（，0）D（1，+）【分析】判断f（x）在R上是奇函数且为减函数，据此对x
14、进行分情况讨论，分析f（x）+f（2019）f（y）是否成立，从而求得答案【解答】解：函数f（x）log2（+x）3x，定义域为R，且满足f（x）log2（x）+3xlog2（+x）+3xf（x），函数yf（x）为定义在R上的奇函数，则有f（0）0，又由f（x）在0，+）单调递减，则f（x）在（，0上也为减函数，则f（x）在R上为减函数，则f（2019）0，当x0时，y2019x2019，即f（x）f（2019）f（y），则恒有f（x）+f（2019）f（y）成立，当x0时，y2019，此时f（x）+f（2019）f（2019）f（y），f（x）+f（2019）f（y）不成立，当x0时，y20
15、19x2019，此时不能满足f（x）+f（2019）f（y）恒成立，所以x的取值范围是（，0）故选：C【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）已知复数z满足（i是虚数单位），则z22i；|z|【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，进一步求得z2，再由复数模的计算公式求|z|【解答】解：，z2（1i）22i，|z|故答案为：2i；【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题12（6分）计算：；满足的实数x的取值范围是【分析】利用对数的换底公式及对数的运算
16、性质求；把化为同底数，然后分类利用对数的运算性质求解【解答】解：；由logxx，当0x1时，得x，不合题意；当x1时，得1x实数x的取值范围是故答案为：；【点评】本题考查对数的运算性质，考查对数不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题13（6分）已知双曲线，A1，A2分别是双曲线的左、右顶点，M（x0，y0）是双曲线上除两顶点外的一点，直线MA1与直线MA2的斜率之积是，则双曲线的离心率为；若该双曲线的焦点到其渐近线的距离是4，则双曲线的方程为【分析】根据M（x0，y0）（x0a）是双曲线上一点，代入双曲线的方程，A1、A2是双曲线的左右顶点，直线MA1与直线MA2的斜率之积是，求
17、出直线MA1与直线MA2的斜率，然后整体代换，消去x0，y0，再由c2a2+b2，即可求得双曲线的离心率，再根据双曲线的焦点到其渐近线的距离是4，即可求出双曲线的方程【解答】解；设M（x0，y0）（x0a）是双曲线+1（a0，b0）上一点，则1，得到，故，又A1（a，0），A2（a，0），则e，其渐近线的方程为yx，即yx，设双曲线的一个焦点坐标为（c，0），则双曲线的焦点到其渐近线的距离4，c5，c2a2+b2，a29，b216，故双曲线的方程为1，故答案为：，1【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，主要是离心率的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题14（6分）二项式（1
18、2x）5的展开式中系数最大的项为80x4；已知，则a12a2+3a34a4+5a5810【分析】二项式（12x）5的展开式中通项公式：Tr+1（2x）r（2）rxr由，解得：r即可得出最大的项，两边求导可得：25（12x）4a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4令x1，即可得出【解答】解：二项式（12x）5的展开式中通项公式：Tr+1（2x）r（2）rxr由，解得：r4最大的项为T5（2）4x480x4，两边求导可得：25（12x）4a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4令x1，可得：a12a2+3a34a4+5a52512（1）4810故答案为：80x4，810【点评
19、】本题考查了二项式定理的通项公式、导数运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15（4分）已知向量，向量在向量上的投影为3，且，则7【分析】根据条件即可得出，然后对两边平方即可得出，解出即可【解答】解：根据条件：，且；解得或1（舍去）故答案为：7【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，向量投影的计算公式，向量坐标的数量积运算16（4分）3名男生和3名女生共6人站成一排，若男生甲不站两端，且不与男生乙相邻，3名女生有且只有2名女生相邻，则不同排法的种数是168（用数字作答）【分析】根据题意，假设有1、2、3、4、5、6，共6个位置；若男生甲不站两端，则甲必须在2、3、4、5的位置；据此分4
20、种情况讨论，由加法原理计算可得答案【解答】解：根据题意，假设有1、2、3、4、5、6，共6个位置；若男生甲不站两端，则甲必须在2、3、4、5的位置；分4种情况讨论：，甲在2号位置，甲乙不能相邻，则乙可以在4、5、6号位置，若乙在4号或5号位置，只有2个位置是相邻的，有2A32A2224种排法，若乙在6号位置，有2A3212种排法，此时有24+1236种排法；，甲在5号位置，同理，有36种排法；，甲在3号位置，甲乙不能相邻，则乙可以在1、5、6号位置，若乙在1号位置，有2A3212种排法，若乙在5号位置，有A32A2212种排法，若乙在6号位置，有2A32A2224种排法，则此时有12+12+2
21、448种排法；，甲在4号位置，同理，有48种排法；则有36+36+48+48168种不同的排法；故答案为：168【点评】本题考查排列组合及简单的计数原理，本题解题的关键是在计算时要做到不重不漏，属于基础题17（4分）已知不等式（ea）ex+x+b+10恒成立，其中e为自然常数，则的最大值为【分析】令f（x）（ea）ex+x+b+1，求其导函数，可得当ae时，f（x）0，不合题意，舍去；当ae时，求得f（x）的最大值为f（ln（ae），得（ea）eln（ae）ln（ae）+b+10，整理得：ln（ae）b0，可得b+1ln（ae）+1，问题转化成求g（x）（xe）的最大值，利用导数求其最大值为g
22、（2e），则的最大值为【解答】解：令f（x）（ea）ex+x+b+1，f（x）（ea）ex+1，当ae时，f（x）0，不合题意，舍去；当ae时，由f（x）0，得xln（ae），当x（，ln（ae）时，f（x）0，当x（ln（ae），+）时，f（x）0，f（x）的最大值为f（ln（ae），即f（ln（ae）0，则（ea）eln（ae）ln（ae）+b+10，整理得：ln（ae）b0，即b+1ln（ae）+1，问题转化成求g（x）（xe）的最大值g（x），令h（x）e（xe）ln（xe）（xe），则h（x）ln（xe）1，由h（x）0，得xe+当x（e，e+）时，h（x）0，h（x）单调递增，当x
23、（e+，+）时，h（x）0，h（x）单调递减当xe+时，h（e+）e+且当xe时，h（x）0，h（2e）0，据此可知，g（x）在区间（e，2e）上单调递增，在（2e，+）上单调递减即g（x）的最大值为g（2e）的最大值为故答案为：【点评】本题考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属难题三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）设函数的图象关于直线x对称，其中常数（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间上的取值范围【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式为一个角的一个
24、三角函数的形式，然后求解，即可求解函数的周期（2）通过角的范围，求解相位的范围，利用正弦函数的最值求解即可【解答】解：（1）函数sin2xcos2x，（3分）函数的图象关于直线x对称，f（）2，（6分）最小正周期为（7分）（2），（10分）1，2，1f（x）2（14分）【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力19（15分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，ABC60，侧面PAB底面ABCD，BAP90，ABACPA2（1）求证：平面PBD平面PAC；（2）若点M为PD中点，求直线MC与平面PBC所成角的正弦值【分析】（1）证明PA
25、AB，推出PA面ABCD，得到PABD，证明BDAC，说明BD面PAC，即可证明面PBD面PAC（2）取BC中点E，以点A为原点，分别以AE，AD，AP为x轴、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系，求出面PBC的法向量，直线MC与面PBC所成角为，利用空间向量的数量积求解直线MC与平面PBC所成角的正弦值【解答】（1）证明：因为BAP90，则PAAB，又侧面PAB底面ABCD，面PAB面ABCDAB，PA面PAB，则PA面ABCD（2分）BD面ABCD，则PABD又因为四边形ABCD为平行四边形，且ABC60，ABAC则ABC为等边三角形，则ABCD为菱形，则BDAC（5分）又PAACA，则BD面
26、PAC，BD面PBD，则面PBD面PAC（7分）（2）取BC中点E，以点A为原点，分别以AE，AD，AP为x轴、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系，则A（0，0，0），由点M为PD中点，M（0，1，1）则，（9分）设面PBC的法向量为，则，则（12分）设直线MC与面PBC所成角为，则所以直线MC与平面PBC所成角的正弦值为（15分）（其它方法酌情给分）【点评】本题考查直线与平面所成角的求法直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力20（15分）已知函数，其中a为实数（1）若函数f（x）为定义域上的单调函数，求a的取值范围（2）若a7，满足不等式f（x）a0成立的正整数解有且仅有
27、一个，求a的取值范围【分析】（1）分析当0x2时的单调性，可得x2的单调性，由二次函数的单调性，可得a的范围；（2）分别讨论当a0，当0a2时，当2a3时，当3a7，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围【解答】解：（1）当0x2时，为减函数，当x2时，f（x）x2+（a+2）x2a，若a2时，f（x）x2+（a+2）x2a也为减函数，且f（x）f（2）0，此时函数f（x）为定义域上的减函数，满足条件；若a2时，f（x）x2+（a+2）x2a在上单调递增，则不满足条件综上所述，a2（2）f（1）3，f（2）0，当a0时，f（2）0a，f（1）3a，不满足条件；当0a2时，f（x）为定义域上的
28、减函数，仅有f（1）3a成立，满足条件；当2a3时，在0x2上，仅有f（1）3a，对于x2上，f（x）的最大值为，不存在x满足f（x）a0，满足条件；当3a7时，在0x2上，不存在整数x满足f（x）a0，对于x2上，a，不存在x满足f（x）a0，不满足条件；综上所述，0a3【点评】本题考查分段函数的运用，考查函数的单调性的判断以及不等式有解的条件，考查分类讨论思想方法，化简整理的运算能力，属于中档题21（15分）已知椭圆C：（ab0）过点A（0，1），且离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）过A作斜率分别为k1，k2的两条直线，分别交椭圆于点M，N，且k1+k22，证明：直线MN过定点【分析】（
29、1）利用椭圆C：（ab0）过点A（0，1），以及离心率为求出a，b，即可得到椭圆方程（2）当直线MN斜率不存在时，设直线方程为xt，则M（t，s），N（t，s），然后求解t1当直线MN斜率存在时，设直线方程为：ykx+b，与椭圆方程联立：，得（4k2+1）x2+8kbx+4b240，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理以及k1+k22，得到k与b的关系，然后求解直线MN：y（b+1）x+bb（x+1）+x，恒过定点（1，1）【解答】解：（1）椭圆C：（ab0）过点A（0，1），可得b1，且离心率为a21c2，解得a2，所求椭圆方程为：（5分）（2）当直线MN斜率不存在时，设直线方
30、程为xt，则M（t，s），N（t，s），则，t1（7分）当直线MN斜率存在时，设直线方程为：ykx+b，与椭圆方程联立：，得（4k2+1）x2+8kbx+4b240，设M（x1，y1），N（x2，y2），有（*）（10分）则将*式代入化简可得：，即（kb1）（b1）0，kb+1（13分）直线MN：y（b+1）x+bb（x+1）+x，恒过定点（1，1）（15分）【点评】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线系方程的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力22（15分）设函数f（x）（ax2x）lnx+a1，aR（1）当a0时，求证：f（x）x；（2
31、）当时，f（x）0恒成立，求a的取值范围【分析】（1）a0时f（x）xlnx1，不等式f（x）x化为xlnx+x+10，构造函数s（x）xlnx+x+1，利用导数求函数s（x）的最小值，从而证明不等式成立；（2）方法1：不等式化为a（x2lnx+1）xlnx+1，令g（x）x2lnx+1，利用导数判断g（x）0，不等式化为a，记h（x），求出h（x）的最大值，即可得出a的取值范围方法2：讨论x1时f（1）0，由此求得a的取值范围；再证明a1时，f（x）在x，+）上f（x）0恒成立【解答】解：（1）当a0时，f（x）xlnx1（xlnx+1），要证明f（x）x，即证明xlnx+x+10；（2分）
32、记s（x）xlnx+x+1，则；当x（0，e2）时，s（x）0，函数f（x）在x（0，e2）上单调递减；当x（e2，+）时，s（x）0，函数f（x）在x（e2，+）上单调递增；（5分），也即f（x）x；（7分）（2）方法1：ax2lnxxlnx+a10即a（x2lnx+1）xlnx+1，令g（x）x2lnx+1，令g（x）2xlnx+xx（2lnx+1）0，得x；所以g（x）在x（0，）上单调减，在x（，+）单调增，g（x）g（）（）+110； （9分）即a（x2lnx+1）xlnx+1，可化为a，记h（x），下求h（x）的最大值；h（x），且h（1）0； （11分）再令F（x）x2ln2x+
33、lnx2xlnx+1x，当时，F（x）x2ln2x+lnx2xlnx+1xx2ln2x+（12x）lnx+1x，F（x）x2ln2x+1x，由（1）可知lnx1，x0时成立，由此，h（x）在x，1）上单调增； （13分）当x（1，+）时，F（x）x2ln2x+（12x）lnx+（1x）0，h（x）在x（1，+）上单调减； （14分）因此h（x）h（1）1，故a1； （15分）方法2：当x1时，f（1）a10，由此a1（9分）下证：当a1时，f（x）在上，f（x）0恒成立，f（x）a（x2lnx+1）（xlnx+1），同法1证明，g（x）x2lnx+10，（11分）f（x）a（x2lnx+1）（xlnx+1）（x2lnx+1）（xlnx+1）（x2x）lnx0；（14分）所以f（x）在上，f（x）0恒成立，故a1（15分）（若用其余方法求解的，也可酌情给分）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，也考查了不等式恒成立应用问题，是难题
