2018-2019学年浙江省温州市环大罗山联盟高二(下)期中数学试卷(含详细解答)

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1、2018-2019学年浙江省温州市环大罗山联盟高二(下)期中数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1(4分)已知全集U0,1,2,3,4,5,6,集合A1,3,5,B2,3,4,则(UA)B()A0,6B2,3,4,6C2,4D0,2,3,4,62(4分)满足“对定义域内任意实数x,y,f(xy)f(x)+f(y)”的函数可以是()Af(x)x2Bf(x)elnxCf(x)log2xDf(x)2x3(4分)一个物体的运动方程为s1t+t2其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是()A7米/秒B6米/秒C5

2、米/秒D8米/秒4(4分)下面结论正确是()A综合法是直接证明,分析法是间接证明B在解决问题时,常常用分析法寻找解题的思路与方法,再用综合法展现解决问题的过程C反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾D用反证法证明结论“ab”时,应假设“ab”5(4分)若x(e1,1),alnx,b()lnx,celnx,则()AcbaBbcaCabcDbac6(4分)以图中的8个点为顶点的三角形的个数是()A42B48C45D567(4分)函数的图象大致是()ABCD8(4分)若(x+a)2(1)5的展开式中常数项为1,则的值a为()A1B9C1或9D1或99(4分)已知函数f(x)x3+px2+qx与x轴

3、相切于x0(x00)点,且极小值为4,则p+q()A12B15C13D1610(4分)已知函数f(x),若函数yf2(x)2bf(x)+b有6个零点,则b的取值范围是()A(,)(,)B(,)(,+)C(0,)(,1)D(,)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分11(6分)设aR,若复数z(i为虚数单位)的实部和虚部相等,则a ,| 12(6分)已知函数,则 ,方程f(x)3的解为 13(6分)函数yx+2cosx在区间上的最大值是 ,最小值是 14(6分)设函数f(x)mx2mx1(1)若对于一切实数x,f(x)0恒成立,则m的取值范围是 ,(2)若对于x1,

4、3,f(x)m+5恒成立,则m的取值范围是 15(4分)设函数的最大值和最小值分别为M和m,则M+m 16(4分)凸函数的性质定理为:如果函数f(x)在区间D上是凸函数,则对于区间D内的任意x1,x2,xn,有f(),已知函数ysinx在区间(0,)上是凸函数,则在ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值为 17(4分)若对于任意x1,1,存在bR,使得|ax3+bx|1成立,则实数a的取值范围是 三、解答题:本大题共5小题,共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18(14分)已知a0且满足不等式22a+125a2(1)求实数a的取值范围(2)求不等式loga(2x1)loga(

5、75x)(3)若函数yloga(2x1)在区间1,3有最小值为2,求实数a值19(15分)已知函数f(x)x3+ax2+bx+c在x与x1时都取得极值(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间;(2)若对x1,2,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范围20(15分)已知数列an的前n项和Sn满足:Sn+1,且an0,nN*(1)求a1,a2,a3,并猜想an的通项公式;(2)用数学归纳法证明通项公式的正确性21(15分)定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意xD,存在常数M0,都有|f(x)|M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界已知函数f(x)1+a+,(1

6、)当a时,求函数f(x)在(,0)上的值域,并判断函数f(x)在(,0)上是否为有界函数,请说明理由;(2)若函数f(x)在0,+)上是以4为上界的有界函数,求实数a的取值范围22(15分)设aR,函数f(x),F(x)()当a0时,比较f(2e+1)与f(3e)的大小;()若存在实数a,使函数f(x)的图象总在函数F(x)的图象的上方,求a的取值集合2018-2019学年浙江省温州市环大罗山联盟高二(下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1(4分)已知全集U0,1,2,3,4,5,6,集合A1,3

7、,5,B2,3,4,则(UA)B()A0,6B2,3,4,6C2,4D0,2,3,4,6【分析】由全集U求出A补集,再求出UA与B的并集即可【解答】解:UA0,2,4,6,(UA)B0,2,3,4,6故选:D【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础2(4分)满足“对定义域内任意实数x,y,f(xy)f(x)+f(y)”的函数可以是()Af(x)x2Bf(x)elnxCf(x)log2xDf(x)2x【分析】观察几个选项,分别为二次函数,指数函数,对数函数,和指对数的复合函数,所以只需看那种函数中自变量相乘,能变成两个自变量分别求函数值再相加即可【解答】解;对数运算律中有logaM+loga

8、NlogaMNf(x)log2x,满足“对定义域内任意实数x,y,f(xy)f(x)+f(y)”故选:C【点评】本题考查了对数函数的运算律,计算时,不要与其它函数的运算律混淆了3(4分)一个物体的运动方程为s1t+t2其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是()A7米/秒B6米/秒C5米/秒D8米/秒【分析】求导数,把t3代入求得导数值即可【解答】解:s1t+t2,s1+2t,把t3代入上式可得s1+235由导数的意义可知物体在3秒末的瞬时速度是5米/秒,故选:C【点评】本题考查导数的意义,瞬时速度即为此处的导数值,属基础题4(4分)下面结论正确是()A综合法是直接证明,分

9、析法是间接证明B在解决问题时,常常用分析法寻找解题的思路与方法,再用综合法展现解决问题的过程C反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾D用反证法证明结论“ab”时,应假设“ab”【分析】直接对教材中的理论问题进行研究,进一步确定结果【解答】解:对于选项A:综合法是直接证明,分析法也是直接证明故错误对于选项B:在解决问题时,常常用分析法寻找解题的思路与方法,再用综合法展现解决问题的过程,故正确对于选项C:反证法是指将结论进行否定,推出矛盾,故错误对于选项D:反证法证明结论“ab”时,应假设“ab”,故错误故选:B【点评】本题考查的知识要点:理论知识的研究和归纳,主要考察学生对理论的理解能力的应用

10、,属于基础题型5(4分)若x(e1,1),alnx,b()lnx,celnx,则()AcbaBbcaCabcDbac【分析】依题意,由对数函数与指数函数的性质可求得a0,b1,c1,从而可得答案【解答】解:x(e1,1),alnxa(1,0),即a0;又y为减函数,b1,即b1;又celnxx(e1,1),bca故选:B【点评】本题考查有理数指数幂的化简求值,考查对数值大小的比较,掌握对数函数与指数函数的性质是关键,属于中档题6(4分)以图中的8个点为顶点的三角形的个数是()A42B48C45D56【分析】若三角形的一个顶点是公共点,则共有三角形的个数为34个若三角形的三个顶点都不用公共点,则

11、有4C32+3C42个,再把这些三角形的个数相加即得所求【解答】解:若三角形的一个顶点是公共点,则共有三角形的个数为3412个若三角形的三个顶点都不用公共点,则有4C32+3C4212+1830 个,故总个数是12+3042故选:A【点评】本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用,体现了分类讨论的数学思想,注意把特殊元素与位置综合分析,属于中档题7(4分)函数的图象大致是()ABCD【分析】先判断函数的奇偶性,结合极限思想进行判断即可【解答】解:f(x)f(x)则函数为奇函数,图象关于原点对称,排除A,B当x0在0的右侧,当x0,f(x)0,排除D,故选:C【点评】本题主要考查函数图象的识

12、别和判断,利用奇偶性和极限思想是解决本题的关键8(4分)若(x+a)2(1)5的展开式中常数项为1,则的值a为()A1B9C1或9D1或9【分析】先将(x+a)2展开,再求出的通项,利用多项式的乘法求出展开式的常数项,列出方程求出a的值【解答】解:(x+a)2x2+2ax+a2展开式的通项为展开式的常数项为C53+2aC54a2C53+2aC54a21解得a1或9故选:D【点评】解决二项展开式的特定项问题常利用二项展开式的通项公式9(4分)已知函数f(x)x3+px2+qx与x轴相切于x0(x00)点,且极小值为4,则p+q()A12B15C13D16【分析】f(x)x(x2+px+q)由题意

13、得:方程x2+px+q0有两个相等实根a,故可得f(x)x(xx0)2x32x0x2+x02x,再利用y极小值4,可求x03,从而可求p,q的值【解答】解:f(x)x(x2+px+q),由题意得:方程x2+px+q0有两个相等实根a,故可得f(x)x(xx0)2x32x0x2+x02xf(x)3x24x0x+x02(xx0)(3xx0)令f(x)0,则xx0或f(x0)04,f()4于是4,x03f(x)x3+6x2+9xp6,q9,p+q15故选:B【点评】本题以函数为载体,考查函数的极值,考查导数的几何意义,属于中档题10(4分)已知函数f(x),若函数yf2(x)2bf(x)+b有6个零

14、点,则b的取值范围是()A(,)(,)B(,)(,+)C(0,)(,1)D(,)【分析】作函数f(x)的图象,从而化为函数yx22bx+b在(0,1)上有2个零点,从而解得【解答】解:作函数f(x)的图象如下,函数yf2(x)2bf(x)+b有6个零点,函数yx22bx+b在(0,1)上有2个零点,解得,b(,)(,),故选:A【点评】本题考查了函数的图象的作法及数形结合的思想应用二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分11(6分)设aR,若复数z(i为虚数单位)的实部和虚部相等,则a0,|【分析】根据复数的运算法则化简z,再根据实部和虚部相等求出a的值,求出其模即

15、可【解答】解:复数,由于复数(i为虚数单位)的实部和虚部相等,则a+11a,解得a0,则zi,则|,故答案为:0,【点评】本题考查了复数的运算和复数的概念,属于基础题12(6分)已知函数,则1,方程f(x)3的解为3或8【分析】先求f()1,然后再进行求解f(1)即可;由f(x)3,结合已知x的范围对原方程进行转化即可求解【解答】解:,f()1,则f(1)121;f(x)3,当x0时,原方程可转化为log2x3,x8,当x0时,原方程可转化为x2+2x3,解可得,x3或x1(舍),综上可得,x3或x8,故答案为:1;3或8【点评】本题主要考查了利用分段函数求解函数值,及利用分段函数解方程,解题

16、关键是分清楚函数的定义域13(6分)函数yx+2cosx在区间上的最大值是,最小值是【分析】本题可对函数求导,通过求导法来判断函数在区间上的增减性,然后结合图形可得出函数在区间上的最大最小值【解答】解:由题意,可知:当x时,y12sinx当y0时,即12sinx0,sinx,x时,函数取极值f()+当y0时,即12sinx0,sinx,0x时,函数f(x)单调递增当y0时,即12sinx0,sinx,x时,函数f(x)单调递减f(0)2,f()+,f()f(x)在区间上的图象大致如下:则由图象可知:在区间上,当x时,f(x)取最大值+;当x时,f(x)取最小值故答案为:+;【点评】本题主要考查

17、利用求导法来判断函数单调性即在具体区间上的最值问题,本题属中档题14(6分)设函数f(x)mx2mx1(1)若对于一切实数x,f(x)0恒成立,则m的取值范围是4m0,(2)若对于x1,3,f(x)m+5恒成立,则m的取值范围是【分析】(1)f(x)mx2mx10恒成立,结合二次函数的图象性质,对m进行分类讨论即可求解(2)由x1,3,f(x)m+5恒成立,可得m在x1,3时恒成立,即mmin,结合二次函数的性质可求【解答】解:(1)f(x)mx2mx10恒成立,m0时,10恒成立,m0时,解可得,4m0综上可得,4m0(2)x1,3,f(x)m+5恒成立,mx2mx6+m0,x1,3时恒成立

18、,m在x1,3时恒成立,即mmin当x1,3时,m故答案为:4m0;m【点评】本题主要考查了二次不等式在闭区间上的恒成立,此类问题常转化为求解相应函数的最值,体现了转化思想的应用15(4分)设函数的最大值和最小值分别为M和m,则M+m4【分析】根据题意,f(x)2,设g(x)f(x)2,分析可得g(x)为奇函数,由f(x)的最大值和最小值分析可得g(x)的最大值和最小值分别为M2和m2,结合奇函数的性质可得(M2)+(m2)0,变形可得答案【解答】解:根据题意,f(x)2,设g(x)f(x)2,有g(x)g(x),则函数g(x)为奇函数,又由yf(x)的最大值和最小值分别为M和m,则g(x)的

19、最大值和最小值分别为M2和m2,则(M2)+(m2)0,变形可得:M+m4;故答案为:4【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用,涉及函数值的计算,属于基础题16(4分)凸函数的性质定理为:如果函数f(x)在区间D上是凸函数,则对于区间D内的任意x1,x2,xn,有f(),已知函数ysinx在区间(0,)上是凸函数,则在ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值为【分析】已知f(x)sinx在区间(0,)上是凸函数,利用凸函数的性质可得:sin,变形得 sinA+sinB+sinC3sin问题得到解决【解答】解:f(x)sinx在区间(0,)上是凸函数,且A、B、C(0,),f()f()

20、,即sinA+sinB+sinC3sin,所以sinA+sinB+sinC的最大值为【点评】应用凸函数的性质解决具体问题17(4分)若对于任意x1,1,存在bR,使得|ax3+bx|1成立,则实数a的取值范围是4a4【分析】由|ax3+bx|1得,bx1ax3bx+1,设f(x)ax3,g(x)bx+1,h(x)bx1,则对任意的x1,1,函数f(x)的图象应介于函数g(x)与函数h(x)的图象之间,作出图象分析即可求得答案【解答】解:由|ax3+bx|1得,bx1ax3bx+1,设f(x)ax3,g(x)bx+1,h(x)bx1,作草图如下,则由题意有,对任意的x1,1,函数f(x)的图象应

21、介于函数g(x)与函数h(x)的图象之间,由图象可知,只需两条虚线介于函数g(x)与函数h(x)的图象之间即可又f(x)3ax2,A(1,a),设切点,则,解得,即,直线AC的方程为,即,同理可求得,直线BD的方程为,又函数g(x)恒过点(0,1),函数h(x)恒过点(0,1),由图象观察可知,4a4故答案为:4,4【点评】本题考查绝对值不等式的运用,同时也考查了导数的几何意义,培养了学生的数形结合思想及分析问题解决问题的能力,属较难题目三、解答题:本大题共5小题,共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18(14分)已知a0且满足不等式22a+125a2(1)求实数a的取值范围(2)求

22、不等式loga(2x1)loga(75x)(3)若函数yloga(2x1)在区间1,3有最小值为2,求实数a值【分析】(1)根据指数函数的单调性解不等式即可求实数a的取值范围 (2)根据对数函数的单调性求不等式loga(3x+1)loga(75x)(3)根据复合函数的单调性以及对数的性质即可求出a的值【解答】解:(1)22a+125a22a+15a2,即3a3,a1(2)a0,a1,0a1,loga(2x1)loga(75x)等价为,x,即不等式的解集为(,)(3)0a1,函数yloga(2x1)在区间1,3上为减函数,当x3时,y有最小值为2,即loga52logaa2,a25,解得a【点评

23、】本题主要考查不等式的解法,利用指数函数和对数函数的单调性是解决本题的关键19(15分)已知函数f(x)x3+ax2+bx+c在x与x1时都取得极值(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间;(2)若对x1,2,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范围【分析】(1)求出f(x),因为函数在x与x1时都取得极值,所以得到f()0且f(1)0联立解得a与b的值,然后把a、b的值代入求得f(x)及f(x),然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间;(2)根据(1)函数的单调性,由于x1,2恒成立求出函数的最大值值为f(2),代入求出最大值,然后令f(2)c2列出不等式,求出c的范围即可【解答】解;(1

24、)f(x)x3+ax2+bx+c,f(x)3x2+2ax+b由解得,f(x)3x2x2(3x+2)(x1),函数f(x)的单调区间如下表:x(,)(,1)1(1,+)f(x)+00+f(x)极大值极小值所以函数f(x)的递增区间是(,)和(1,+),递减区间是(,1)(2),当x时,f(x)+c为极大值,而f(2)2+c,所以f(2)2+c为最大值要使f(x)c2对x1,2恒成立,须且只需c2f(2)2+c解得c1或c2【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力,利用导数研究函数单调性的能力,以及理解函数恒成立时所取到的条件20(15分)已知数列an的前n项和Sn满足:Sn+1,且an0,nN

25、*(1)求a1,a2,a3,并猜想an的通项公式;(2)用数学归纳法证明通项公式的正确性【分析】(1)由数列an的递推公式依次求出a1,a2,a3;(2)根据a1,a2,a3值的结构特点猜想an的通项公式,再用数学归纳法验证n1成立,假设nk时命题成立,证明当nk+1时命题也成立【解答】解:(1)a1S1+1,a11又an0,a11S2a1+a2+1,a2S3a1+a2+a3+1,a3(2)由(1)猜想an,nN+下面用数学归纳法加以证明:当n1时,由(1)知a11成立假设nk(kN+)时,ak成立当nk+1时,ak+1Sk+1Sk(+1)(+1)+,ak+12+2ak+120ak+1,即当n

26、k+1时猜想也成立综上可知,猜想对一切nN+都成立【点评】本题是中档题,考查数列递推关系式的应用,数学归纳法证明数列问题的方法,考查逻辑推理能力,计算能力注意在证明nk+1时用上假设,化为nk的形式21(15分)定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意xD,存在常数M0,都有|f(x)|M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界已知函数f(x)1+a+,(1)当a时,求函数f(x)在(,0)上的值域,并判断函数f(x)在(,0)上是否为有界函数,请说明理由;(2)若函数f(x)在0,+)上是以4为上界的有界函数,求实数a的取值范围【分析】(1)把a代入函数的表达式,得

27、出函数的单调区间,结合有界函数的定义进行判断;(2)由题意知,|f(x)|4对x0,+)恒成立令,对t(0,1恒成立,设,求出单调区间,得到函数的最值,从而求出a的值【解答】解:(1)当时,令,x0,t1,;在(1,+)上单调递增,即f(x)在(,1)的值域为,故不存在常数M0,使|f(x)|M成立,函数f(x)在(,0)上不是有界函数; (2)由题意知,|f(x)|4对x0,+)恒成立即:4f(x)4,令,x0,t(0,1对t(0,1恒成立,设,由t(0,1,由于h(t)在t(0,1上递增,P(t)在t(0,1上递减,H(t)在t(0,1上的最大值为h(1)6,P(t)在1,+)上的最小值为

28、p(1)2实数a的取值范围为6,2【点评】本题考查了函数的值域问题,考查了新定义问题,考查了函数的单调性,函数的最值问题,是一道综合题22(15分)设aR,函数f(x),F(x)()当a0时,比较f(2e+1)与f(3e)的大小;()若存在实数a,使函数f(x)的图象总在函数F(x)的图象的上方,求a的取值集合【分析】()求导函数,确定f(x)在(e,+)上是增函数,即可比较f(2e+1)与f(3e)的大小;()函数f(x)的图象总在函数F(x)的图象的上方等价于f(x)F(x)恒成立,即在(0,1)(1,+)上恒成立分类讨论,利用分离参数法,即可求a的取值集合【解答】解:()当a0时,f(x

29、),当xe时,f(x)0,所以f(x)在(e,+)上是增函数而3e2e+e2e+1e,f(3e)f(2e+1)()函数f(x)的图象总在函数F(x)的图象的上方等价于f(x)F(x)恒成立,即在(0,1)(1,+)上恒成立当0x1时,lnx0,则等价于ax令g(x)x,再令h(x)22lnx,h(x)当0x1时,h(x)0,h(x)在(0,1)上递减,当0x1时,h(x)h(1)0,所以g(x)在(0,1)上递增,g(x)g(1)1,a1当x1时,lnx0,则等价于ax,等价于ag(x)由知,当x1时,h(x)0,h(x)在(1,+)上递增当x1时,h(x)h(1)0,g(x)在(1,+)上递增,g(x)g(1)1a1由及得:a1,故所求a值的集合为1【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查恒成立问题,考查分类讨论的数学思想,属于中档题

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