1、2018-2019学年浙江省七彩阳光新高考联盟高二（下）期中数学试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，每小题4分，共40分）1（4分）抛物线x22y的焦点坐标是（）ABC（1，0）D（0，1）2（4分）直线mx（2m1）y+10恒过定点（）A（2，1）B（2，1）C（2，1）D（2，1）3（4分）已知函数f（x）x+lnx，则（）A2BCD34（4分）下列命题中，错误的是（）A一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B平行于同一平面的两个不同平面平行C如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D若直线l不平行平面，则在平面内不存在与l平行的
2、直线5（4分）如图，正四棱锥PABCD所有棱长均为2，则其侧视图的面积为（）ABC1D6（4分）若x1是函数f（x）ax+lnx的极值点，则（）Af（x）有极大值1Bf（x）有极小值1Cf（x）有极大值0Df（x）有极小值07（4分）已知“a，b，c是不全相等的实数”，有下列结论：（ab）2+（bc）2+（ca）20；ab与ab及ac中至少有一个成立；ac，bc，ab不能同时成立其中正确的个数为（）A0B1C2D38（4分）在边长为1的正方形中裁去如图的扇形，再将剩余的阴影部分绕AB旋转一周，所得几何体的表面积为（）A3B4C5D69（4分）已知椭圆C：1（ab0），焦点F1（2，0），F2（
3、2，0）过F1（2，0）作倾斜角为60的直线L交上半椭圆于点A，以F1A，F1O（O为坐标原点）为部边作平行四边形OF1AB，点B恰好也在椭圆上，则椭圆的长轴长为（）A2B2C2+2D2+210（4分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ACBCAA12，点Q为A1B的中点，若动点P在直线B1C1上运动时，异面直线AB与PQ所成角的最小值为（）A30B45C60D无法确定二、填空题：（本大题共7小题，双空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分）11（6分）设复数z12i，则复数z的虚部为 ，复数z的模为 12（6分）双曲线x2y22的实轴长为
4、; ，离心率为 ，渐近线方程为 13（6分）函数，x2，4的减区间为 ，最大值为 14（6分）已知两圆相交于两点A（1，3），B（m，1），若两圆圆心都在直线2x+y+c0上，则m ，c 15（4分）函数y（ex1）2（x1）在上的最大值为 16（4分）如图，等腰直角ABC底边BC4，E为BC上异于B，C的一个动点，点F在AB上，且EFBC，现将BEF沿EF折起到B'EF的位置，则四棱锥BAFEC体积的最大值为 17（4分）已知函数f（x）x+lnx，若f（x）在xx1与xx
5、2（x1x2）处导数相等，且f（x1）+f（x2）m恒成立，则实数m的最大值为 三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算）18（14分）已知斜率k0的直线L过定点M（2，0），与圆E：（x4）2+y212相交于A，B两点，与抛物线y24x相交于C，D两点，且满足|AB|6（1）求直线L的方程；（2）求直线L与抛物线相交所截得的弦长|CD|19（15分）函数f（x）ax3+bx2+cx+1，f（x）为f（x）的导函数，f（1），3a2c2b（1）用a，b表示c，并证明：当a0时，3；（2）若a，b2，c，求证：当x1时，lnxf（x）20（15分）如
6、图1，有一边长为2的正为形ABCD，E是边AD的中点，将ABE沿着直线BE折起至ABE位置（如图2），此时恰好AEAC，点A在底面上的射影为O（1）求证：AEBC；（2）求直线AB与平面BCDE所成角的正弦值21（15分）已知函数（1）当a1时，求函数yf（x）在点P（1，f（1）处的切线方程；（2）讨论函数yf（x）在区间（0，e2上的零点个数22（15分）已知椭圆C：1（ab0），离心率e，焦点F1（1，0），F2（1，0）（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线L与椭圆C相切于点A，过点A作关于原点O的对称点B，过点B作BML，垂足为M，求ABM面积的最大值2018-2019学年浙江省七彩
7、阳光新高考联盟高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，每小题4分，共40分）1（4分）抛物线x22y的焦点坐标是（）ABC（1，0）D（0，1）【分析】根据抛物线的性质可得，x22py（p0）的焦点坐标（0，）可直接求解【解答】解：根据抛物线的性质可得，x22y的焦点坐标（0，）故选：B【点评】本题主要考查了抛物线的简单的性质，属于基础试题2（4分）直线mx（2m1）y+10恒过定点（）A（2，1）B（2，1）C（2，1）D（2，1）【分析】把已知方程变形，得到m（x2y）+（y+1）0，联立，求解得答案【解答】解：由mx（2m1）y
8、+10，得mx2my+y+10，即m（x2y）+（y+1）0联立，解得直线mx（2m1）y+10恒过定点（2，1）故选：A【点评】本题考查直线系方程的应用，是基础题3（4分）已知函数f（x）x+lnx，则（）A2BCD3【分析】根据题意，由导数的定义可得f（2），结合函数的解析式求出函数的导数，进而可得f（2）的值，即可得答案【解答】解：根据题意，对于函数f（x），有f（2），又由f（x）x+lnx，则f（x）1+，则有f（2）1+；故选：B【点评】本题考查导数的定义以及导数的计算，属于基础题4（4分）下列命题中，错误的是（）A一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B平行于同
9、一平面的两个不同平面平行C如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D若直线l不平行平面，则在平面内不存在与l平行的直线【分析】由直线与平面相交的性质，知A正确；由平面平行的判定定理，知B正确；由直线与平面垂直的判定定理，知C正确；当l时，在平面内存在与l平行的直线，故D不正确【解答】解：由直线与平面相交的性质，知一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交，故A正确；由平面平行的判定定理知，平行于同一平面的两个不同平面平行，故B正确；由直线与平面垂直的判定定理，知如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面，故C正确；若直线l不平行平面，则当l时，在平面内存
10、在与l平行的直线，故D不正确故选：D【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面间的位置关系，是基础题解题时要认真审题，仔细解答5（4分）如图，正四棱锥PABCD所有棱长均为2，则其侧视图的面积为（）ABC1D【分析】画出图形，直接由已知求得棱锥的高，即可计算其侧视图的面积【解答】解：棱锥的棱长都为2，四棱锥PABCD为正四棱锥，则AO，在RtPOA中，可得PO，其侧视图的面积S故选：B【点评】本题考查四棱锥的侧视图面积求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题6（4分）若x1是函数f（x）ax+lnx的极值点，则（）Af（x）有极大值1Bf（x）有极小值1Cf（x）有极大值0Df（x）有极小
11、值0【分析】先求出a的值，从而求出函数的单调区间，进而求出函数的极大值即可【解答】解：f（x）ax+lnx，x0，f（x）a+，x1是函数f（x）ax+lnx的极值点，f（1）a+10，解得a1，f（x）1+，f（x）在（，1）递增，在（1，+）递减，f（x）极大值f（1）1，无极小值故选：A【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题7（4分）已知“a，b，c是不全相等的实数”，有下列结论：（ab）2+（bc）2+（ca）20；ab与ab及ac中至少有一个成立；ac，bc，ab不能同时成立其中正确的个数为（）A0B1C2D3【分析】结合平方的性质进行判断；利用反证法
12、证明即可；，采用例举反例的方法解决【解答】解：，若（ab）2+（bc）2+（ca）20，则ab，bc，ca同时成立，即abc成立，与已知a、b、c是不全相等的正数矛盾，错误；，假设都不成立，则ab，且ab，且ac，得ab，ac，即abc，与“a，b，c是不全相等的实数”矛盾，则原结论正确，即正确；，举例a1，b2，c3，ac，bc，ab能同时成立，不正确故正确的是，故选：B【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查了反证法结合方程和不等式的性质是解决本题的关键8（4分）在边长为1的正方形中裁去如图的扇形，再将剩余的阴影部分绕AB旋转一周，所得几何体的表面积为（）A3B4C5D6【分析】由旋转一周
13、得到的几何体为圆柱去掉一个半径为1的半球，利用圆柱和球的表面积公式进行计算即可【解答】解：图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体为圆柱去掉一个半径为1的半球，半球的表面积为412圆柱的底面半径为1，高为1，圆柱的底面积为12，圆柱的侧面积为2112，该几何体的表面积为2+25故选：C【点评】本题主要考查旋转体的表面积，要求熟练掌握常见几何体的表面积公式是基础题9（4分）已知椭圆C：1（ab0），焦点F1（2，0），F2（2，0）过F1（2，0）作倾斜角为60的直线L交上半椭圆于点A，以F1A，F1O（O为坐标原点）为部边作平行四边形OF1AB，点B恰好也在椭圆上，则椭圆的长轴长为（）A2B2
14、C2+2D2+2【分析】根据焦点坐标得到c2，则a2b24，设B（x，），则A（x2，），代入方程可得x1，进而求出a【解答】解：因为四边形OF1AB是平行四边形，且AF1倾斜角为60，则OB的倾斜角也是60，故设B（x，），则A（x2，），所以，解得x1，所以B（1，），将B（1，）代入方程得3a2+b2a2b2，又因为c2，即有a2b24 联列可得，所以a，故2a，故选：C【点评】本题结合平行四边形性质，考查椭圆方程的求解，属于中档题10（4分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ACBCAA12，点Q为A1B的中点，若动点P在直线B1C1上运动时，异面直线AB与PQ所成角的最小
15、值为（）A30B45C60D无法确定【分析】以C为原点，分别以CA、CB、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角转化求解即可【解答】解：以C为原点，分别以CA、CB、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），A1（2，0，2），B（0，2，0），Q（1，1，1）设P（0，y，2），则，cos设异面直线AB与PQ所成角，则cos26（）2+cos故选：A【点评】本题考查了空间线线角的最值计算，属于中档题二、填空题：（本大题共7小题，双空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分）11（6分）设复数z12i，则复数z的虚部为2，复数z的模为【分析】由复数
16、的基本概念得z的虚部，再由复数模的计算公式求模【解答】解：复数z12i，复数z的虚部为2；|z|故答案为：2；【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题12（6分）双曲线x2y22的实轴长为2，离心率为，渐近线方程为yx【分析】求出双曲线中的几何量，即可求出实轴长、离心率、渐近线方程【解答】解：双曲线x2y22中ab，c2，实轴长为2a2；离心率为，渐近线方程为yx故答案为：2；yx【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础13（6分）函数，x2，4的减区间为1，3，最大值为【分析】根据题意，求出函数的导数，利用函数的导数与函数单调性的关系分析可得函数的单
17、调区间，进而分析可得答案【解答】解：根据题意，函数，x2，4，则yx22x3（x3）（x+1），x2，4，分析可得：当x2，1时，f（x）0，则函数f（x）在2，1上为增函数，当x1，3时，f（x）0，则函数f（x）在1，3上为减函数，当x3，4时，f（x）0，则函数f（x）在3，4上为增函数，则函数的减区间为1，3；又由f（1）1+3+1，f（4）1612+1，则函数在2，4上的最大值为；故答案为：1，3，【点评】本题考查利用导数分析函数的单调性以及最值，关键是掌握函数的导数与单调性的关系，属于基础题14（6分）已知两圆相交于两点A（1，3），B（m，1），若两圆圆心都在直线2x+y+c0上
18、，则m7，c5【分析】首先利用直线垂直的充要条件的应用求出m的值，进一步利用中点坐标公式的应用和直线的关系的应用求出结果【解答】解：两圆相交于两点A（1，3），B（m，1），则，由于两圆圆心都在直线2x+y+c0上，所以，解得m7由于m7，所以两点A（1，3），B（7，1）的中点的坐标为D（3，1），所以点D（3，1）的坐标满足2x+y+c0，解得c5故答案为：7，5【点评】本题考查的知识要点，直线和直线的位置关系的应用，中点坐标公式的应用，直线垂直的充要条件的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型15（4分）函数y（ex1）2（x1）在上的最大值为0【分析】对函数y（
19、ex1）2（x1）求导，判断其单调性，根据单调性确定在区间上的最大值【解答】解：由y（ex1）2（x1）（x），得y'（ex1）（2xexex1），令，则f'（x）2xex+ex，令f'（x）0，则，当时，f'（x）0，此时f（x）单调递减；当时，f'（x）0，此时f（x）单调递增，又当x时，f（x）1，当时，f（x）1，当时，令y'0，则x0，当x0时，y'0，此时函数y（ex1）2（x1）单调递增；当时，y'0，此时函数y（ex1）2（x1）单调递减，当x0时，ymax0故答案为：0【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和
20、最值和复合函数求导法则，考查了函数思想和转化思想，属中档题16（4分）如图，等腰直角ABC底边BC4，E为BC上异于B，C的一个动点，点F在AB上，且EFBC，现将BEF沿EF折起到B'EF的位置，则四棱锥BAFEC体积的最大值为【分析】由已知求得等腰直角三角形的直角边长，设BEx（0x2），当B'E平面AFEC时，四棱BAFEC体积最大列出体积与x的函数关系式，再由导数求最值【解答】解：等腰直角ABC底边BC4，则ACAB，设BEx（0x2），当B'E平面AFEC时，四棱BAFEC体积最大此时S四边形AFECSABCSBEF四棱BAFEC的体积V（x）（0x2）V（x
21、），令V（x）0，解得xx（0，）时，V（x）是增函数；x（，2）时，V（x）是减函数，当x时，故答案为：【点评】本题考查多面体体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用导数求最值，是中档题17（4分）已知函数f（x）x+lnx，若f（x）在xx1与xx2（x1x2）处导数相等，且f（x1）+f（x2）m恒成立，则实数m的最大值为5+2ln2【分析】根据f（x）在xx1，x2（x1x2）处导数相等，+1，再根据基本不等式可得x1x24，再把f（x1）+f（x2）化成x1x2+ln（x1x2）+1，再构造函数求导，求解函数的最小值，推出m的最大值【解答】解：f（x）1+令f（x1）f
22、（x2）m，得m0，得m0，得0，由韦达定理得+1，即x1+x2x1x22，得x1x24，f（x1）+f（x2）（x1+x2）+（+）+（lnx1+lnx2）x1x2+ln（x1x2）+1，令tx1x24，则x1x2+ln（x1x2）+1t+lnt+1，令g（t）t+lnt+1（t4），则g（t）1+0（t4），得g（t）g（4）5+ln45+2ln2f（x1）+f（x2）m恒成立，则实数m的最大值为：5+2ln2故答案为：5+2ln2【点评】本题考查了利用导数研究函数的最值，函数与方程的应用，考查发现问题解决问题的能力，属难题三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程
23、或演算）18（14分）已知斜率k0的直线L过定点M（2，0），与圆E：（x4）2+y212相交于A，B两点，与抛物线y24x相交于C，D两点，且满足|AB|6（1）求直线L的方程；（2）求直线L与抛物线相交所截得的弦长|CD|【分析】（1）由题意得到圆的半径，进而设出直线的点斜式方程，由点到直线的距离公式求得k；（2）设出AB两点的坐标，联立直线和抛物线的方程，由韦达定理求得x1+x2，x1x2，进而利用弦长与根的关系求解【解答】解：（1）|AB|6，半径r2，点E到直线L的距离为，设直线L：yk（x2）即kxy2k0，由，解得k，故直线L的方程：y（x2），（2）设点A（x1，y1），B（x
24、2，y2）联立方程组3x216x+120x1+x2，x1x24，|CD|x1x2|【点评】（1）考查点到直线的距离公式的理解与应用，直线的点斜式方程；（2）考查弦长与根的关系的理解与应用19（15分）函数f（x）ax3+bx2+cx+1，f（x）为f（x）的导函数，f（1），3a2c2b（1）用a，b表示c，并证明：当a0时，3；（2）若a，b2，c，求证：当x1时，lnxf（x）【分析】（1）由f（1），得a+b+c；可用a，b表示c，当a0时，由不等式的性质可得3；（2）将a，b2，c，代入函数，求函数g（x）lnx+x22x+，（x1）的单调区间和最小值可求证：当x1时，lnxf（x），
25、【解答】解：（1）函数f（x）ax3+bx2+cx+1，f（x）为f（x）的导函数，由题得f（x）ax2+bx+c，因为f（1），a+b+c；cab；因为3a2c2b，所以3a3a2b2b，所以3，（2）因为a，b2，c，f（x）x2+2x，令g（x）lnx+x22x+，（x1）求导可得g（x）+x2，所以g（x）0，g（x）在区间（1，+）上单调递增，g（x）g（1）0，所以lnxf（x）成立；【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的证明，属于中档题20（15分）如图1，有一边长为2的正为形ABCD，E是边AD的中点，将ABE沿着直线BE折起至ABE位置（如图2），此时恰好AEAC，点
26、A在底面上的射影为O（1）求证：AEBC；（2）求直线AB与平面BCDE所成角的正弦值【分析】（1）由已知得AEAB，AEAC，由线面垂直的判定可得AE平面ABC，则AEBC；（2）由点A在底面上的射影为O，得AO平面BCDE，可得ABO为直线AB与平面BCDE所成角，延长EO交BC于H，连接AH，证明则BCEO，再由E为AD的中点，得H为BC的中点，求解直角三角形可得，则直线AB与平面BCDE所成角的正弦值可求【解答】（1）证明：AEAB，AEAC，ABACA，AE平面ABC，则AEBC；（2）解：点A在底面上的射影为O，AO平面BCDE，ABO为直线AB与平面BCDE所成角，延长EO交BC
27、于H，连接AH，AEBC，AOBC，且AOAEA，BC平面AEO，则BCEO，E为AD的中点，H为BC的中点，AE1，EH2，由（1）得，AEAH，AEH60，可得sin直线AB与平面BCDE所成角的正弦值为【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了直线与平面所成角的求法，是中档题21（15分）已知函数（1）当a1时，求函数yf（x）在点P（1，f（1）处的切线方程；（2）讨论函数yf（x）在区间（0，e2上的零点个数【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；（2）求得f（x）的导数，讨论a0，a0，a，a0，f（x）的单调
28、性，可得极值和最值，结合零点存在定理可得所求零点个数【解答】解：（1）当a1时，f（x）+lnx的导数为f（x）+，可得函数yf（x）在点P（1，f（1）处的切线斜率为，切点为（1，1），则切线方程为y1（x1），可得3x2y10；（2）f（x）+alnx的导数为f（x）+，当a0时，f（x）0，f（x）在（0，e2递增，无零点；当a0时，f（x）0，f（x）+alnx在（0，e2递增，由x0，f（x），f（e2）0，此时f（x）仅有一个零点；当a，+2a0，可得f（x）在（0，e2递减，由x0，f（x）+，f（e2）0，此时f（x）仅有一个零点；当a0时，f（x）在（0，4a2）递减，（4a
29、2，e2递增，可得f（x）的最小值为f（4a2）2a+2aln（2a），可设t2a（0，e），由yttlnt的导数ylnt，可得0t1时，函数yttlnt递增，1te时，函数yttlnt递减，可得t1时，yttlnt取得极大值1，xe，y0，可得f（x）0恒成立，可得f（x）无零点综上可得，a0时，f（x）无零点；a0或a时，f（x）仅有一个零点【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查分类讨论思想和构造函数法，考查化简运算能力和推理能力，属于难题22（15分）已知椭圆C：1（ab0），离心率e，焦点F1（1，0），F2（1，0）（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线L与
30、椭圆C相切于点A，过点A作关于原点O的对称点B，过点B作BML，垂足为M，求ABM面积的最大值【分析】（1）由及焦点坐标可求得a，c，进而得方程；（2）作ON直线L，可得SABM4SOAN，设出A点坐标，联立方程求得坐标，表示出AN，OA，再结合不等式即可【解答】解：（1）因为离心率，焦点F（1，0），所以c1，a2，则b，故椭圆C的方程为（2）设A（x0，y0），B（x0，y0），过O作ON直线L，由对称性可知SABM4SOAN，显然直线L斜率存在且不为0，设直线L：ykx+t，联立，得（3+4k2）x2+8ktx+4t2120，且64k2t24（3+4k2）（4t212）0，得t24k2+3，所以，联立，得，所以ON，则AN，所以SABM4SOAN2ANON222，故ABM面积最大值为1，当且仅当k1时成立【点评】本题考查椭圆方程求法，考查直线与椭圆相交形成三角形面积最值问题，计算量较大，属于难题
