1、2018-2019学年浙江省温州市十五校联合体高二（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）已知集合AxR|1x3，BxR|2x2，则AB（）Ax|2x3Bx|1x2C0，1，2D1，22（4分）已知直线mxy20与直线x+ny+30垂直，则m，n的关系为（）Am+n0Bm+n+10Cmn0Dmn+103（4分）若实数x，y满足不等式组，则zx+2y的最大值为（）A8B10C7D94（4分）下列命题中不正确的是（）A空间中和两条相交直线都平行的两个平面平行B空间中和两条异面直线都平行的两个平面平行C空间中和两
2、条平行直线都垂直的两个平面平行D空间中和两条平行直线都平行的两个平面平行5（4分）已知数列an的前n项和为Sn，Sn+a，则“a3”是“数列an是等比数列”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6（4分）函数f（x）xln的部分图象可能是（）ABCD7（4分）在等差数列an中an0，且a1+a2+a20194038，则a1a2019的最大值等于（）A3B4C6D98（4分）已知双曲线1（a0，b0），两条渐近线与圆（xm）2+y21（m0）相切，若双曲线的离心率为，则m的值为（）ABCD9（4分）已知A，B是半径为的O上的两个点，1，O所在平面上有一点C满足|1
3、，则|的最大值为（）ABC2D+110（4分）已知矩形ABCD中，AB2，BC1，F为线段CD上一动点（不含端点），现将ADF沿直线AF进行翻折，在翻折过程中不可能成立的是（）A存在某个位置，使直线AF与BD垂直B存在某个位置，使直线AD与BF垂直C存在某个位置，使直线CF与DA垂直D存在某个位置，使直线AB与DF垂直二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）某几何体的三视图（单位：cm）如图，则这个几何体的体积为 cm3，则表面积为 cm212（6分）已知抛物线yax2过点（4，2），则a 准线方程为 13（6分）设函数f（x），则在点（1，0）处的切线
4、方程为 函数的最大值为 14（6分）已知a0，b0，点P（a，b）在直线l：3x+2y60上，则当a ，的最小值为 15（4分）在ABC中，AD是BC边上的中线，ABD，若ABBD，则CAD 16（4分）三棱锥PABC中，PAPBABACBC，M是PA的中点，N是AB的中点，当二面角PABC为时，则直线BM与CN所成角的余弦值为 17（4分）已知函数f（x）|x2ax|，若对任意xl，2，f（x）2x2+2恒成立，则实数a的取值范围是 三、解答题：本大題有5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）已知函数f（x）sinsin（）+cos2（+）（1）求f（x）的最小正
5、周期和单调增区间；（2）求f（x）在区间，0上的最大值和最小值19（15分）如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且DE，平面ABCD平面ADE，ADE30（）求证：AE平面CDE；（）求AB与平面BCE所成角的正弦值20（15分）已知数列an的前n项的和Sn，满足an1（nN+），且a23（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足：bn，求数列bn的前n项和Tn21（15分）已知椭圆C：1，点P（0，1）（）过P点作斜率为k（k0）的直线交椭圆C于A点，求弦长|PA|（用k表示）；（）过点P作两条互相垂直的直线PA，PB，分别与椭圆交于A、B两点，试问：直线AB是
6、否经过一定点？若存在，则求出定点，若不存在，则说明理由？22（15分）已知函数f（x）（aR）（1）当a1时，求f（x）的单调区间；（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数f（x）图象的不同两点，其中0x11，x21，是否存在实数a，使得OPOQ，且函数f（x）在点Q切线的斜率为f（x1），若存在，请求出a的范围；若不存在，请说明理由2018-2019学年浙江省温州市十五校联合体高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）已知集合AxR|1x3，BxR|2x2，则AB（）Ax|2
7、x3Bx|1x2C0，1，2D1，2【分析】利用交集定义直接求解【解答】解：集合AxR|1x3，BxR|2x2，ABx|1x2故选：B【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（4分）已知直线mxy20与直线x+ny+30垂直，则m，n的关系为（）Am+n0Bm+n+10Cmn0Dmn+10【分析】根据题意，由直线的一般式方程判定直线垂直的方法可得m1+（1）n0，变形即可得答案【解答】解：根据题意，直线mxy20与直线x+ny+30垂直，则有m1+（1）n0，即mn0；故选：C【点评】本题考查直线的一般式方程以及直线与直线垂直的判定，属于基础
8、题3（4分）若实数x，y满足不等式组，则zx+2y的最大值为（）A8B10C7D9【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由zx+2y，得yx+，平移直线yx+，由图象可知当直线yx+经过点B时，直线yx+的截距最大，此时z最大由，得A（1，4），此时z的最大值为z1+241+89，故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法4（4分）下列命题中不正确的是（）A空间中和两条相交直线都平行的两个平面平行B空间中和两条异面直线都平行的两个平面平行C空间中和两条平行直线都垂直的两个平面
9、平行D空间中和两条平行直线都平行的两个平面平行【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一核对四个选项得答案【解答】解：对于A，设两个平面分别为，两条相交直线确定平面，则，则，故A正确；对于B，设两个平面分别为，平移两异面直线中的一条，构成两相交直线，设确定的平为，则，则，故B正确；对于C，由线面垂直的性质与面面平行的判定可知C正确；对于D，空间中和两条平行直线都平行的两个平面平行或相交，故D错误故选：D【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定与应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题5（4分）已知数列an的前n项和为Sn，Sn+a，则“a3”是“数列a
10、n是等比数列”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】当a3时，根据anSnSn1证明可得an的通项公式，进而判断an是否为等比数列；当数列an是等比数列时，由，可得a的值【解答】解：若数列an的前n项和为Sn，Sn+a，则“a3”时，Sn3，当n2时，anSnSn1，当n1时，a1S13，符合上式，数列an是等比数列；当数列an是等比数列时，则，由Sn+a，可得，a3；“a3”是“数列an是等比数列”充要条件故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，考查等比数列性质等基础知识，考查运算求解能力，属基础题6（4分）函数f（x）xln的部分图象可能是（）ABC
11、D【分析】根据题意，由函数的解析式分析f（x）的奇偶性以及（0，）上的符号，利用排除法分析可得答案【解答】解：根据题意，f（x）xln，则f（x）（x）lnxlnf（x），则函数f（x）为偶函数，据此排除C、D；在（0，）上，sinx0，则有01，必有ln0，则f（x）xln0，据此排除B；故选：A【点评】本题考查函数的图象分析，注意分析函数的奇偶性，属于基础题7（4分）在等差数列an中an0，且a1+a2+a20194038，则a1a2019的最大值等于（）A3B4C6D9【分析】根据题意，由等差数列前n项和公式可得a1+a2+a20194038，变形可得a1+a20194，进而结合基本不等
12、式的性质分析可得答案【解答】解：根据题意，在等差数列an中，若a1+a2+a20194038，则有a1+a2+a20194038，变形可得a1+a20194，则有a1a2019（a1+a2019）24，当且仅当a1a20192时等号成立，故a1a2019的最大值为4；故选：B【点评】本题考查等差数列的性质以及基本不等式的应用，注意分析a1+a2019的值，属于基础题8（4分）已知双曲线1（a0，b0），两条渐近线与圆（xm）2+y21（m0）相切，若双曲线的离心率为，则m的值为（）ABCD【分析】根据双曲线的两条渐近线均和圆（xm）2+y21（m0）相切，利用圆心到直线的距离等于半径，可建立几
13、何量之间的关系，利用双曲线离心率求解即可【解答】解：双曲线1（a0，b0）的渐近线方程为yx，即bxay0（xm）2+y21（m0），圆心C（m，0），半径为1，双曲线1（a0，b0），两条渐近线与圆（xm）2+y21（m0）相切，mbc；双曲线的离心率为，c，c，m故选：A【点评】本题以双曲线方程与圆的方程为载体，考查直线与圆相切，考查双曲线的几何性质，解题的关键是利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径9（4分）已知A，B是半径为的O上的两个点，1，O所在平面上有一点C满足|1，则|的最大值为（）ABC2D+1【分析】本题首先由平面向量数量积的定义得到ABO是等边三角形，然后建立直角坐
14、标系，利用|1，得到C点的轨迹为圆，从而将|的最大值转化为点A到圆上一点的最大距离【解答】根据题意，|，1，COSAOB，AOB60，即ABO是等边三角形，建立图示直角坐标系，则O（0，0），A（），B（），C（x，y），（），（），（），点C满足|1，即点C在以（0，）为圆心，以1 为半径的圆上，点A（）到圆心（0，）的距离为，点A到圆上一点的最大距离为，即|的最大值为，故选：A【点评】本题考查了平面向量数量积的定义，向量模长的几何意义，需要对条件不断进行转化，对思维要求较高，难度较大10（4分）已知矩形ABCD中，AB2，BC1，F为线段CD上一动点（不含端点），现将ADF沿直线AF进行翻
15、折，在翻折过程中不可能成立的是（）A存在某个位置，使直线AF与BD垂直B存在某个位置，使直线AD与BF垂直C存在某个位置，使直线CF与DA垂直D存在某个位置，使直线AB与DF垂直【分析】A，连接DB，作AFBD于O，交DC与F（如图），此时可得AFDBB，要使直线AD与BF垂直，只需ADDB即可，只需DB即可，C，要使直线AD与CF垂直，只需ADDC即可，只需DC2即可，D，DFA900，在翻折过程中，一定存在某个位置使得DFDC，即DFAB【解答】解：对于A，连接DB，作AFBD于O，交DC与F（如图），此时DOAF，BOAF，将ADF沿直线AF进行翻折过程中，AF面DOB，可得AFDB，对
16、于B，因为ADDF始终成立，要使直线AD与BF垂直，只需ADDB即可，只需DB即可，显然存在存在某个位置，使DB，对于C，因为ADDF始终成立，要使直线AD与CF垂直，只需ADDC即可，只需DC2即可，显然不存在存在某个位置，使DC2，对于D，如图DFA900，在翻折过程中，一定存在某个位置使得DFDC，即DFAB综上，在翻折过程中不可能成立的是C故选：C【点评】本题考查了翻折问题中的线面、选线线位置关系，属于中档题二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）某几何体的三视图（单位：cm）如图，则这个几何体的体积为2cm3，则表面积为12+2cm2【分析】几
17、何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是一个边长为2，这边对应的高是，侧棱长是2，做出三棱柱的底面面积乘以高得到要求的体积以及表面积【解答】解：由三视图知几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是一个边长为2，这边对应的高是，底面的面积是 2侧棱长是2，三棱柱的体积是22所以三棱柱的表面积为：S（4）2+（2+2+2）212+2（cm2）故答案为：2；12+2【点评】本题考查有三视图还原几何体，本题解题的关键是看清题目中所给的几何体的各个部分的数据，本题是一个基础题12（6分）已知抛物线yax2过点（4，2），则a准线方程为y2【分析】利用抛物线经过的点求出a，然后求解准线方程【解答】解：抛物线yax2过点（
18、4，2），可得：216a，则a；抛物线x28y，所以准线方程为：y2故答案为：；y2【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查13（6分）设函数f（x），则在点（1，0）处的切线方程为xy10函数的最大值为【分析】先求函数f（x）的定义域为（0，+），然后对函数求导可得f（x），根据导数的几何意义可求切线的斜率kf（1），从而可求切线方程； 先令f（x）0，解得xe，可求函数的单调区间，从而求解函数的最值【解答】解：f（x）的定义域为（0，+），f（x）的导数f（x）切线的斜率kf（1）1，切线方程为：yx1，即xy10；令f（x）0，解得xe当x（0，e）时，f（x）0，函数单
19、调递增，当x（e，+）时，f（x）0，函数单调递减当xe时函数有最大值为故答案为：xy10；【点评】本题主要考查了导数的几何意义及导数的应用，考查了求解过一点的切线方程及函数的单调区间和函数的最值，是中档题14（6分）已知a0，b0，点P（a，b）在直线l：3x+2y60上，则当a1，的最小值为【分析】根据题意，由直线的方程可得3a+2b6，进而可得（3a+2b）（）（2+），结合基本不等式的性质分析可得答案【解答】解：根据题意，点P（a，b）在直线l：3x+2y60上，则有3a+2b6，则（3a+2b）（）（2+）+2，当且仅当3a2b，即a1，b时，等号成立，故答案为：1，【点评】本题考查
20、基本不等式的性质以及应用，注意分析a、b的关系，属于基础题15（4分）在ABC中，AD是BC边上的中线，ABD，若ABBD，则CAD【分析】设BDx，则CDx，ABx，在ABD中，由余弦定理可得ADx，在ABC中，由余弦定理可得ACx，可得ADCDACx，从而可求CAD【解答】解：由题意，设BDx，则CDx，ABx，ABD，在ABD中，由余弦定理可得：AD2（x）2+x22x2，解得：ADx，在ABC中，由余弦定理可得：AC2（x）2+（2x）22x2，解得：ACx，在ABC中，可得：ADCDACx，CAD故答案为：【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想
21、，属于基础题16（4分）三棱锥PABC中，PAPBABACBC，M是PA的中点，N是AB的中点，当二面角PABC为时，则直线BM与CN所成角的余弦值为【分析】由二面角的平面角的作法及空间异面直线所成角的求法得：cos|，得解【解答】解：由PAPBABACBC，M是PA的中点，N是AB的中点，又二面角PABC为，所以PNC，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB2，则N（0，0，0），C（0，0），B（1，0，0），P（0，），A（1，0，0），所以M（，），所以（，），（0，0），设直线BM与CN所成角为，则cos|，故答案为：【点评】本题考查二面角的平面角的作法及空间异面直线所成角的求法，属中
22、档题17（4分）已知函数f（x）|x2ax|，若对任意xl，2，f（x）2x2+2恒成立，则实数a的取值范围是2，5【分析】f（x）2x2+2等价于|x2ax|2x2+2，即2x22x2ax2x2+2，分x2ax2x2+2及2x22x2ax对任意xl，2恒成立，运用分离参数法解答即可【解答】解：f（x）2x2+2等价于|x2ax|2x2+2，即2x22x2ax2x2+2，先研究x2ax2x2+2对任意xl，2恒成立，即对任意xl，2恒成立，当且仅当“”时取等号，；再研究2x22x2ax对任意xl，2恒成立，即对任意xl，2恒成立，函数在1，2上单调递增，a5；综上，实数a的取值范围是故答案为：
23、【点评】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，也涉及了基本不等式及函数单调性的运用，考查了分离参数法的运用，难度中等三、解答题：本大題有5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）已知函数f（x）sinsin（）+cos2（+）（1）求f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）求f（x）在区间，0上的最大值和最小值【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求出f（x）在区间，0上的最大值和最小值【解答】解：（1）函数f（x）sinsin（）+cos2（+）sincos+sinx+cosx+
24、sin（x+）+，故它的最小正周期为2令2kx+2k+，求得 2kx+2k+，可得函数的增区间为2k，2k+，kZ（2）在区间，0上，x+，sin（x+）1，f（x）1+，故f（x）的最大值为，最小值为1+【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题19（15分）如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且DE，平面ABCD平面ADE，ADE30（）求证：AE平面CDE；（）求AB与平面BCE所成角的正弦值【分析】（）通过证明CDAE、AEDE证得AE平面CDE；（）既可以用定义法进行计算，根据等体积法求出点A到平面BCE的距离即可【
25、解答】解：（）证明：平面ABCD平面ADE，交线为AD，且CDAD，CD平面ADE，从而CDDE，CDAE，ADE30，又AD2，由余弦定理得AE1，AE2+DE2AD2，即AEDE，又CDDED，AE平面CDE（）由（）知，AB平面ADE，从而ABAE，又，BC2，故，由已知，点B到平面CDE的距离等于点A到平面CDE的距离AE1，设点A到平面BCE的距离为d，则点D到平面BCE的距离也为d，由VBCDEVDBCE得，得，故AB与平面BCE所成角的正弦值【点评】本题考查空间垂直关系与线面角的综合问题，属于中档题20（15分）已知数列an的前n项的和Sn，满足an1（nN+），且a23（1）求
26、数列an的通项公式；（2）若数列bn满足：bn，求数列bn的前n项和Tn【分析】本题考查数列的递推式和数列求和，第（1）问利用sn和an的关系得出an是等差数列，进而求出它的通项公式；第（2）问为错位相减法求和，解题时应注意运算的准确性【解答】解：（1）根据题意，an1（nN+），即2Snnann，2Sn+1（n+1）an+1n+1，两式相减得，nan（n1）an+11，则有（n+1）an+1nan+21，两式相减得，an+an+22an+1，an是等差数列，当n1时，2a1a1+1，a11，又a23，d2，an2n1（2）， ，两式相减得，【点评】本题考查数列的递推式和数列求和，第（1）问难
27、度较大，需要连续两次两式相减，得出需要的结论，第（2）问考查错位相减法求和，重在运算21（15分）已知椭圆C：1，点P（0，1）（）过P点作斜率为k（k0）的直线交椭圆C于A点，求弦长|PA|（用k表示）；（）过点P作两条互相垂直的直线PA，PB，分别与椭圆交于A、B两点，试问：直线AB是否经过一定点？若存在，则求出定点，若不存在，则说明理由？【分析】（）通过联立方程，借助弦长公式求出弦长|PA|（）先设出直线AB的方程ykx+m，利用垂直关系求出m的值即可【解答】解：（）把lPA：ykx+1（k0）代入x2+4y240得：（1+4k2）x2+8kx0，所以（）由题意可知，直线AB的斜率必存在
28、，设直线AB为ykx+m，有，PAPB，（x1，y11）（x2，y21）0，x1x2+（y11）（y21）0x1x2+（kx1+m1）（kx2+m1）0（1+k2）x1x2+k（m1）（x1+x2）+（m1）20，4（1+k2）（m+1）8k2m+（m1）（1+4k2）0，；所以，即直线AB过定点【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，以及定点问题；属于中档题目22（15分）已知函数f（x）（aR）（1）当a1时，求f（x）的单调区间；（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数f（x）图象的不同两点，其中0x11，x21，是否存在实数a，使得OPOQ，且函数f（x）在点Q切线的斜率为f（x1），若存在，请求出a的范围；若不存在，请说明理由【分析】（1）对函数进行求导，通过对导函数的正负性求解，算出函数的单调区间（2）根据OP与OQ垂直，列出算术式，将a分离变量并构造新函数，对新函数进行求导求值域，以此来算出a的取值范围【解答】解：（1）证明：当0x1，f（x）3x22xx（3x2），令f（x）0，得，令f（x）0，得，当x1时，f（x）lnx+10，所以f（x）在（1，+）上是增函数即当a1时，f（x）的增区间为，减区间为（2）P（），Q（x2，ax2lnx2）（0x11，x21），【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及到分离变量，有一定的难度
