1、2018-2019学年浙江省绍兴市诸暨市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小題4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求1（4分）抛物线y24x的准线方程是（）Ax1Bx1Cx2Dx22（4分）已知ab，abc0，a，b，cR，则下列不等式成立的是（）Aa2b2BacbcCacbcD3（4分）不等式|12x|1的解集是（）A（0，1）B（1，0）C（0，）D（，0）4（4分）直线m，n在平面内射影也是两条直线，分别是m，n'，下列说法正确的是（）A若mn，则mnB若mn，则mnC若mn，则m'nD若m'n，则mn5（4分）已知函数
2、yx+（x1），函数的最小值等于（）AB4+1C5D96（4分）某几何体的正视图如图所示，这个几何体不可能是（）A圆锥与圆柱的组合B校锥与棱柱的组合C棱柱与棱柱的组合D棱锥与棱锥的组合7（4分）如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，AA12AB，D是BB1的中点，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值等于（）ABCD8（4分）如图，双曲线x21的左、右焦点分别是F1，F2，P是双曲线右支上一点，PF1与圆x2+y21相切于点T，M是PF1的中点，则|MO|MT|（）A1B2CD9（4分）过双曲线1的右焦点F作斜率为的直线，交两条渐近线于A，B两点，若7，则此双曲线的离心率等于（）ABCD10（4
3、分）正四面体ABCD的棱AD与平面所成角为，其中0，点D在平面内，则当四面体ABCD转动时（）A存在某个位置使得BC，也存在某个位置使得BCB存在某个位置使得BC，但不存在某个位置使得BCC不存在某个位置使得BC，但存在某个位置使得BCD既不存在某个位置使得BC，也不存在某个位置使得BC二、填空题：本题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）已知（1，1，2），（0，2，3），则 ，| 12（6分）南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数表示近似值的方法，理论依据是：若（a，b，c，dN*），则，例如3.14，使用一次“调日法”得
4、到分数，范围就缩小到若我们要求近似值与的误差小于0.1，则至少还要使用“调日法” 次，相应得到的的近似分数是 13（4分）若抛物线的焦点在直线x2y+20上，则抛物线的标准方程是 14（6分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为 ，表面积 15（4分）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，点P是棱BB1上一点，若异面直线AC1与PD所成角的余弦值为，则BP 16（6分）已知ab0若7a2+8ab+4b224，则当3a+2b取最大值时，b ；若+1，则a+3b的最小值 17（
5、4分）已知椭园+y21（a1）的离心率大于，A是椭圆的上顶点，B是椭圆上的点，则|AB|2的最大值 三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）电视台应某企业之约播放两套连续剧，其中，连续剧甲每次播放时间80分钟，其中广告时间1分钟，收视观众60万；连续剧乙每次播放时间40分钟，其中广告时间1分钟，收视观众20万现在企业要求每周至少播放广告6分钟，而电视台每周至多提供320分钟节目时间（1）设每周安排连续剧甲x次，连续剧乙y次，列出x，y所应该满足的条件；（2）应该每周安排两套电视剧各多少次，收视观众最多？19（15分）如图，三棱锥P
6、ABC中，D，E分别是BA，BC的中点（1）求证DE平面PAC；（2）若PAPB，平面PDC平面ABC，PDC，求证：CACB20（15分）已知椭圆C上的点P（x，y）（不包括横轴上点）满足：与A（，0），B（，0）两点连线的斜率之积等于，A，B两点也在曲线C上（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点作斜率为1的直线交椭圆于M，N两点，求|MN|；（3）求椭圆上的点到直线x+y+20距离的最小值21（15分）如图，四棱锥PABCD中，PAB是边长等于2的等边三角形，四边形ABCD是菱形，ABC，E，F是棱PC上的点，PEEFFC1G，H分别是AD，AB的中点（1）求证：FG平面EBH；（2
7、）求直线FG与平面PBC所成角的正弦值22（15分）过P（2，5）斜率为k的直线交抛物线x24y于A（x1，y1），B（x1，y2）两点（1）若点P是AB的中点，求直线AB的方程；（2）设Q（2，1）是抛物线x24y上的定点，AB不与点Q重合证明AQBQ恒成立；设AQ，BQ交直线x+y+50于M，N两点，求|MN|的取值范围2018-2019学年浙江省绍兴市诸暨市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小題4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求1（4分）抛物线y24x的准线方程是（）Ax1Bx1Cx2Dx2【分析】根据题意，由抛物线的标准
8、方程分析可得抛物线的开口方向与p的值，进而由抛物线的准线方程计算即可得答案【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y24x，其开口向右，且p2，则其准线方程为：x1；故选：A【点评】本题考查抛物线的标准方程，关键是掌握抛物线标准方程的形式2（4分）已知ab，abc0，a，b，cR，则下列不等式成立的是（）Aa2b2BacbcCacbcD【分析】直接利用不等式的基本性质的应用求出结果【解答】解：利用排除法：对于选项A，当a1，b2时，不等式不成立，故：A错误对于选项C：当c0时，acbc，故C错误对于选项D：当a0，b0时，故D错误故选：B【点评】本题考查的知识要点：排除法和不等式的基本性质的应用，
9、主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型3（4分）不等式|12x|1的解集是（）A（0，1）B（1，0）C（0，）D（，0）【分析】去掉绝对值，求出不等式的解集即可【解答】解：|12x|1，112x1，22x0，解得：0x1，故不等式的解集是（0，1），故选：A【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查转化思想，是一道基础题4（4分）直线m，n在平面内射影也是两条直线，分别是m，n'，下列说法正确的是（）A若mn，则mnB若mn，则mnC若mn，则m'nD若m'n，则mn【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系直接求解【解答】解：对于A，在正四棱锥中，相邻的
10、两条侧棱为m，n，其射影m与n'为该正四棱锥的底面的两条对角线，但相邻的两条侧棱为m，n并不垂直，故A错误；对于B，mn时，m，n'，也可能重合，故B错误；对于C，mn时，m与n一定平行，故C正确；对于D，m'n平行，则m与n可能异面，也可能平行，故D错误故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题5（4分）已知函数yx+（x1），函数的最小值等于（）AB4+1C5D9【分析】由均值不等式得：因为x1，所以x10，x+（x1）+1+15，（当且仅当x1即x3时取等号），得解【解答】
11、解：因为x1，所以x10，yx+（x1）+1+15，（当且仅当x1即x3时取等号），故函数的最小值等于5，故选：C【点评】本题考查了均值不等式，属简单题6（4分）某几何体的正视图如图所示，这个几何体不可能是（）A圆锥与圆柱的组合B校锥与棱柱的组合C棱柱与棱柱的组合D棱锥与棱锥的组合【分析】由三视图的知识和空间想象推断D不可能【解答】解：由三视图的知识和空间想象推断D不可能因为如果是棱锥与棱锥的组合，下边的四边形一定是四棱锥的正视图，四边形里必须有线故选：D【点评】本题考查三视图的知识和空间想象能力，属于简单题7（4分）如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，AA12AB，D是BB1的中点，则AD与
12、平面AA1C1C所成角的正弦值等于（）ABCD【分析】以C为原点，在平面ABC中，过C作CB的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AD与平面AA1C1C所成角的正弦值【解答】解：以C为原点，在平面ABC中，过C作CB的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，设AA12AB2，则A（，0），C（0，0，0），C1（0，0，2），D（0，1，1），（，0），（0，0，2），（，1），设平面AA1C1C的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，0），设AD与平面AA1C1C所成角为，则sin，AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为故选：C【点
13、评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题8（4分）如图，双曲线x21的左、右焦点分别是F1，F2，P是双曲线右支上一点，PF1与圆x2+y21相切于点T，M是PF1的中点，则|MO|MT|（）A1B2CD【分析】利用中位线定理可知|OM|PF2|，根据勾股定理求得|MT|MF1|TF1|MF1|2，则利用双曲线的定义，即可求出|MO|MT|【解答】解：由题意可知：双曲线x21焦点在x轴上，a1，b2，c，设双曲线的左焦点F1（，0），右焦点F（，0），由M是PF1的中点，则OM为PF1F2中位线，则|OM|
14、PF2|，由PF1与圆x2+y21相切于点T，则OTF1为直角三角形，|TF1|2|OF1|2|OT|2514，则|TF1|2，|MT|MF1|TF1|MF1|2，由|MF|PF1|，|MO|MT|PF2|PF1|+2（|PF2|PF1|）+21+21故选：A【点评】本题考查双曲线的定义，考查勾股定理，中位线定理的应用，考查计算能力，属于中档题9（4分）过双曲线1的右焦点F作斜率为的直线，交两条渐近线于A，B两点，若7，则此双曲线的离心率等于（）ABCD【分析】设出F（c，0），直线AB为xy+c，联立渐近线方程可得A，B的纵坐标，再由向量共线的坐标表示可得a，b的关系，再由离心率公式计算可得
15、所求值【解答】解：可设双曲线的F（c，0），直线AB为xy+c，双曲线的渐近线方程为yx，联立直线AB的方程，可得yA，yB，若7，则7（0+），化为14a21b2a+3b，即a2b，则双曲线的离心率e，故选：A【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查向量共线的坐标表示，以及直线方程的运用，考查运算能力，属于中档题10（4分）正四面体ABCD的棱AD与平面所成角为，其中0，点D在平面内，则当四面体ABCD转动时（）A存在某个位置使得BC，也存在某个位置使得BCB存在某个位置使得BC，但不存在某个位置使得BCC不存在某个位置使得BC，但存在某个位置使得BCD既不存
16、在某个位置使得BC，也不存在某个位置使得BC【分析】BC垂直AD，若BC垂直平面，则AD与平面成零度角【解答】解：正四面体ABCD的棱AD与平面所成角为，其中0，点D在平面内，BC垂直AD，若BC垂直平面，则AD与平面成零度角，存在某个位置使得BC，但不存在某个位置使得BC故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题二、填空题：本题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）已知（1，1，2），（0，2，3），则（1，1，5），|3【分析】，利用数量积运算性质可得【解答】解：（0，2，3）（1，1
17、，2）（1，1，5），3故答案为：（1，1，5），3【点评】本题考查了向量坐标运算性质、数量积的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12（6分）南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数表示近似值的方法，理论依据是：若（a，b，c，dN*），则，例如3.14，使用一次“调日法”得到分数，范围就缩小到若我们要求近似值与的误差小于0.1，则至少还要使用“调日法”二次，相应得到的的近似分数是【分析】先阅读理解题意，再利用类比推理可得解【解答】解：由“调日法”的运算可得：使用使用一次“调日法”得到，误差为大于0.1，第二次使用使用一次“调日法”得到，误差为大于0.1，第三次使用使
18、用一次“调日法”得到，误差小于0.1，即则至少还要使用“调日法”二次，相应得到的的近似分数是，故答案为：二 【点评】本题考查了阅读能力及运算能力及类比推理，属中档题13（4分）若抛物线的焦点在直线x2y+20上，则抛物线的标准方程是x24y或y28x【分析】先根据焦点在直线x2y+20上求得焦点的坐标，再分抛物线以x轴对称式和y轴对称式，分别设出抛物线的标准方程，求得p，即可得到抛物线的方程【解答】解：焦点在直线x2y+20上，焦点的坐标为F（0，1），或F（2，0），若抛物线以y轴为对称轴，设方程为x22py，1，求得p2，此抛物线方程为x24y；若抛物线以x轴为对称轴，设方程
19、为y22px，2，求得p4，此抛物线方程为y28x抛物线的标准方程是x24y或y28x故答案为：x24y或y28x【点评】本题主要考查了抛物线的性质与方程属基础题14（6分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为+，表面积+2+【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积以及表面积即可【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：上班是个球，半径为1，下部是底面为等腰三角形的直棱柱，棱柱的高为1，腰长为1，所以几何体的体积为：+；表面积为：+2+故答案为：；+2+【点评】本题考查三视图求解几何体的体积以及表面积，考查空间想象能力以及计算能力15（4分）正方体ABCDA1B1C1
20、D1的棱长为4，点P是棱BB1上一点，若异面直线AC1与PD所成角的余弦值为，则BP1【分析】设BPt，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果【解答】解：设BPt，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（4，0，0），C1（0，4，4），P（4，4，t），D（0，0，0），（4，4，4），（4，4，t），异面直线AC1与PD所成角的余弦值为，|cos，|，由t0，解得t1，BP1故答案为：1【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中
21、档题16（6分）已知ab0若7a2+8ab+4b224，则当3a+2b取最大值时，b；若+1，则a+3b的最小值9【分析】由7a2+8ab+4b224可得（a）2+（2a+2b）224，利用柯西不等式即可得出，利用乘“1”法即可求出a+3b的最小值【解答】解：7a2+8ab+4b224，3a2+4（a+b）224，即（a）2+（2a+2b）224，（a）2+（2a+2b）2（）2+12（a+2a+2b）2（3a+2b）2，（3a+2b）22432，当且仅当，即a2b取等号，此时28b2+16b2+4b224，即b2，即b，ab0，a+3b（ab+4b）（+）1+4+5+25+49，当且仅当，即
22、b，a时取等号，故a+3b的最小值为9，故答案为：，9【点评】本题考查了柯西不等式和基本不等式的应用：求最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17（4分）已知椭园+y21（a1）的离心率大于，A是椭圆的上顶点，B是椭圆上的点，则|AB|2的最大值a2+1+【分析】由椭圆方程求得A的坐标写出以A为圆心，以r为半径的圆的方程，联立圆与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用判别式等于0求得r2的值，即为|AB|2的最大值【解答】解：由椭圆+y21（a1），得b21，则A（0，1），以A为圆心，以r为半径的圆的方程为x2+（y1）2r2联立，消去x得：（a21）y2+2y+r2a210由44（a
23、21）（r2a21）0，得r2a2+1+即|AB|2的最大值为a2+1+故答案为：a2+1+【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是中档题三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）电视台应某企业之约播放两套连续剧，其中，连续剧甲每次播放时间80分钟，其中广告时间1分钟，收视观众60万；连续剧乙每次播放时间40分钟，其中广告时间1分钟，收视观众20万现在企业要求每周至少播放广告6分钟，而电视台每周至多提供320分钟节目时间（1）设每周安排连续剧甲x次，连续剧乙y次，列出x，y所应该满足的条件；（2）应该每
24、周安排两套电视剧各多少次，收视观众最多？【分析】（1）先设每周播放连续剧甲x次，播放连续剧乙y次，收视率为z写出约束条件与目标函数；（2）欲求两套连续剧各播多少次，才能获得最高的收视率，即求可行域中的最优解，在线性规划的解答题中建议使用直线平移法求出最优解，即将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解【解答】解：（1）设每周播放连续剧甲x次，播放连续剧乙y次，收视率为z则目标函数为z60x+20y，约束条件为，（2）作出可行域如图（5分）作平行直线系y3x+，由图可知，当直线过点A时纵截距最大（6分）解方程组，得点A的坐标为（2，4），zmax60x+20y200
25、（万）（11分）所以，电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得收视观众的最大人数为 200万故答案为：电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得收视观众的最大人数为200万【点评】在解决线性规划的应用题时，其步骤为：分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件由约束条件画出可行域分析目标函数Z与直线截距之间的关系使用平移直线法求出最优解还原到现实问题中属于基础题19（15分）如图，三棱锥PABC中，D，E分别是BA，BC的中点（1）求证DE平面PAC；（2）若PAPB，平面PDC平面ABC，PDC，求证：CACB【分析】（1）由D，E分别是BA，BC的中点，得
26、DEAC，由此能证明DE平面PAC（2）由PAPB，D是AB中点，得PDAB，由平面PDC平面ABC，得P点在平面ABC内的射影H在DC上，从而ABCD，由此能证明CACB【解答】证明：（1）由D，E分别是BA，BC的中点，得DEAC，又DE在平面PAC外，DE平面PAC（2）由PAPB，D是AB中点，得PDAB，由平面PDC平面ABC，得P点在平面ABC内的射影H在DC上，ABPD，ABPH，PDPHP，ABCD，CACB【点评】本题考查线面平行、线段相等的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题20（15分）已知椭圆C上的点P（
27、x，y）（不包括横轴上点）满足：与A（，0），B（，0）两点连线的斜率之积等于，A，B两点也在曲线C上（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点作斜率为1的直线交椭圆于M，N两点，求|MN|；（3）求椭圆上的点到直线x+y+20距离的最小值【分析】（1）利用斜率公式结合已知条件得出有关x、y的等式，化简即可得出椭圆C的方程；（2）设点M（x1，y1）、N（x2，y2），将直线MN的方程与椭圆C的方程联立，求出两交点的横坐标，利用弦长公式可计算出|MN|；（3）设平行于直线且与椭圆C相切的直线方程为，将该直线方程与椭圆C的方程联立，由0得出t的值，再结合实际情况可得出切线与直线的最近距离【解答
28、】解：（1）由题意可得，即，化简得因此，椭圆C的方程为；（2）设点M（x1，y1）、N（x2，y2），直线MN的方程为yx1，将直线MN的方程与椭圆C的方程联立，消去y得，3x24x0，解得，x20由弦长公式可得；（3）设直线是椭圆的切线，将该直线方程与椭圆C的方程联立，消去y得由0，得当时，直线与直线的距离最小，最小值为【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查轨迹方程的求法，考查计算能力，属于中等题21（15分）如图，四棱锥PABCD中，PAB是边长等于2的等边三角形，四边形ABCD是菱形，ABC，E，F是棱PC上的点，PEEFFC1G，H分别是AD，AB的中点（1）求证：FG平面EBH；
29、（2）求直线FG与平面PBC所成角的正弦值【分析】（1）取BC中点I，则GIAB，FIBE，从而平面GFI平面ABE，由此能证明FG平面ABE（2）推导出PCH30，EHHC，AB平面PHC，由AG平面PBC，得G，A到平面PBC的距离相等，设为h，求出h，FG，由此能求出直线FG与平面PBC所成角的正弦值【解答】证明：（1）取BC中点I，则GIAB，FIBEGIFII，ABBEB，平面GFI平面ABE，FG平面BEH解：（2）PHHC，PC3，PCH30，又EC2，EH，PCH30，EHHC，PAPB，CACB，AB平面PHC，平面EHC平面ABC，EHHC，EH平面ABC，AG平面PBC，
30、G，A到平面PBC的距离相等，设为h，BE，解得h，FG，sin，直线FG与平面PBC所成角的正弦值为【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题22（15分）过P（2，5）斜率为k的直线交抛物线x24y于A（x1，y1），B（x1，y2）两点（1）若点P是AB的中点，求直线AB的方程；（2）设Q（2，1）是抛物线x24y上的定点，AB不与点Q重合证明AQBQ恒成立；设AQ，BQ交直线x+y+50于M，N两点，求|MN|的取值范围【分析】（1）根据点差法即可求直线的斜率，可得直线的方程，
31、（2）根据韦达定理和直线的斜率公式可得kAQkBQ1，即可证明；设AQ，BQ的斜率为t，求出M，N的横坐标，根据弦长公式即可求出【解答】解：（1）点P是AB的中点，x1+x24，由，两式相减整理可得1，直线AB的方程为y5（x+2），即x+y30（2）证明：设直线AB的方程为y5k（x+2），代入到x24y，整理可得x24ky8k200，x1+x24k，x1x28k20，kAQkBQ1，AQBQ设AQ，BQ的斜率为t，则，解得xM，将t换为，可得xN，xMxN8+（，8）（8，+），|MN|xMxN|8，|MN|的取值范围为（8，+）【点评】本题考查直线的方程的求法，点差法，考查直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的能力，属于中档题
