1、2018-2019学年浙江省绍兴市柯桥区高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）直线3xy+10的斜率是（）A3B3CD2（3分）若球的表面积为100，则球的半径等于（）A5B5C5D103（3分）已知R，则“cos”是“2k+，kZ”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4（3分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A2B1CD5（3分）已知平面，直线m，n，l，则以下说法正确的是（）A若m，n，则mnB若lm，ln，n，
2、则lC若l，n，则lnD若l，n，则ln6（3分）直线ax+3y90与直线x3y+b0关于原点对称，则a，b的值是（）Aa1，b9Ba1，b9Ca1，b9Da1，b97（3分）设圆C1：x2+y24与圆C2：（x3）2+（y+4）29，则圆C1与圆C2的位置关系是（）A外离B外切C相交D内含8（3分）一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的平面角（）A相等B相等或互补C互补D不能确定9（3分）在ABC中，AB2AC，内角A的平分线与BC交于D，且ACtAD，则t的取值范围是（）A（0，）B（，1）C（1，）D（，+）10（3分）如图，在长方体ABCDA1B1C
3、1D1中，ABBC，AA12，点E，O分别是线段D1D，DB的中点，（0），分别记二面角FOB1E，FOEB1，FEB1O的平面角为，则下列结论正确的是（）ABCD二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11（3分）直线yx+3的倾斜角的大小为 12（3分）已知向量（0，1，0），（1，0，1），|，且0，则 13（3分）若实数x，y满足x2+y21，则xy的最小值为 14（3分）用斜二测画法得到的水平放置的ABC的直观图是边长为1的正三角形，则ABC的面积为 15（3分）已知过点P（4，0）的直线x+y40交圆x2+y24x5
4、0于A、B两点，则|的值为 16（3分）已知a，b，c成等差数列，过点A（1，2）作直线l：ax+by+c0的垂线与直线l交于点P，点Q在直线3x4y+120上，则线段PQ长度的最小值是 三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17（10分）已知ABC中，A（2，2），B（4，0），C（3，1），ADBC，垂足为D（）求直线AD的方程；（）求过点D且平行于边AC的直线方程18（10分）如图，三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，且AA1平面ABC，D为AC的中点（）求证：AB1平面C1DB；（）求证：平面C1DB平面ACC1
5、A119（10分）从原点O向圆M：作两条切线，切点分别为P，Q，记切线OP，OQ的斜率分别为k1，k2（）若圆心，求两切线OP，OQ的方程；（）若，求圆心M的轨迹方程20（10分）如图，在四棱锥PABCD中，PAB是正三角形，四边形ABCD是正方形（）求证：PCPD；（）若，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值21（12分）已知在ABC中，A（4，2），B（3，1），C的内角平分线所在直线方程为y2x（）求ABC的外接圆O的方程；（）在平面上是否存在点Q，使过点Q存在无穷多对互相垂直的直线l1，l2，且直线l1，l2被圆O所截得弦长相等，若存在，请求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明
6、理由2018-2019学年浙江省绍兴市柯桥区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）直线3xy+10的斜率是（）A3B3CD【分析】化直线方程的一般式为斜截式，则直线的斜率可求【解答】解：由3xy+10，得y3x+1直线3xy+10的斜率是3故选：A【点评】本题考查了直线的斜率，考查了直线方程的一般式和斜截式的互化，是基础的会考题型2（3分）若球的表面积为100，则球的半径等于（）A5B5C5D10【分析】直接利用球体的表面积公式可计算出球的半径【解答】解：设球的半径为R，则球的表面
7、积为4R2100，解得R5，因此，该球的半径为5故选：A【点评】本题考查球体表面积的计算，考查公式的运算，属于基础题3（3分）已知R，则“cos”是“2k+，kZ”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】cos，解得2k，kZ，即可判断出结论【解答】解：cos，解得2k，kZ，“cos”是“2k+，kZ”的必要但非充分条件故选：B【点评】本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4（3分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A2B1CD【分析】根据三视图知该几何体是底面为俯
8、视图三角形，高为1的直三棱锥，结合图中数据求得三棱锥的体积【解答】解：根据三视图知该几何体是底面为俯视图三角形，高为1的直三棱锥，如图所示；则该三棱锥的体积为V221（cm3）故选：C【点评】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题5（3分）已知平面，直线m，n，l，则以下说法正确的是（）A若m，n，则mnB若lm，ln，n，则lC若l，n，则lnD若l，n，则ln【分析】在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，l与相交、平行或l；在C中，由线面垂直的性质定理得ln；在D中，l与n平行或异面【解答】解：由平面，直线m，n，l，知：在A中，若m，n，则m与n相交、平行或异面，故A错误
9、；在B中，若lm，ln，n，则l与相交、平行或l，故B错误；在C中，若l，n，则由线面垂直的性质定理得ln，故C正确；在D中，若l，n，则l与n平行或异面，故D错误故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题6（3分）直线ax+3y90与直线x3y+b0关于原点对称，则a，b的值是（）Aa1，b9Ba1，b9Ca1，b9Da1，b9【分析】直线ax+3y90上任意取点（m，n），关于原点对称点的坐标为（m，n），分别代入已知的直线方程，即可求得结论【解答】解：直线ax+3y90上任意取点（m，n），关于
10、原点对称点的坐标为（m，n），则点（m，n）是直线ax+3y90上任意一点a1，b9故选：D【点评】本题考查直线的对称性，考查学生的计算能力，属于基础题7（3分）设圆C1：x2+y24与圆C2：（x3）2+（y+4）29，则圆C1与圆C2的位置关系是（）A外离B外切C相交D内含【分析】求出两圆的圆心距，由两圆的圆心距等于两圆的半径和可得圆C1与圆C2外切【解答】解：圆C1：x2+y24的圆心坐标为C1（0，0），半径r12，圆C2：（x3）2+（y+4）29的圆心坐标为圆C2（3，4），半径r23|C1C2|5r1+r2，圆C1与圆C2的位置关系是为切故选：B【点评】本题考查圆与圆的位置关系，
11、是基础题8（3分）一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的平面角（）A相等B相等或互补C互补D不能确定【分析】在正方体中举反例得到答案即可【解答】解：如果两个二面角的半平面分别对应垂直，那么这两个二面角角相等或互补”（面与二面角的性质）但是这个命题不一定正确，如下图就是一个反例：正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角DAA1F与二面角D1DCA的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补故选：D【点评】本题主要考察二面角的平面角一般在说明命题不成立时，常举反例来说明9（3分）在ABC中，AB2AC，内角A的平分线与BC交于D，且ACtA
12、D，则t的取值范围是（）A（0，）B（，1）C（1，）D（，+）【分析】如图所示，在ABC中，AD是A的平分线，AB2AC，利用角平分线的性质定理可得：2，12令ACa，DCb，ADc，则AB2a，BD2b在ABD与ACD中，分别利用余弦定理可得：BD2AB2+AD22ABADcos1，DC2AC2+AD22ACADcos2，化简整理即可得出【解答】解：如图所示，在ABC中，AD是A的平分线，AB2AC，2，12令ACa，DCb，ADc，则AB2a，BD2b在ABD与ACD中，分别利用余弦定理可得：BD2AB2+AD22ABADcos1，DC2AC2+AD22ACADcos2，4b24a2+c
13、24accos1，b2a2+c22accos2，化为3c24accos10，又atc，t，1（0，），cos1（0，1）t（，+）故选：D【点评】本题考查了三角形内角平分线的性质定理、余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10（3分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC，AA12，点E，O分别是线段D1D，DB的中点，（0），分别记二面角FOB1E，FOEB1，FEB1O的平面角为，则下列结论正确的是（）ABCD【分析】设，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果【解答】解：设，以D为原点，DA为x轴
14、，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则F（，0，），O（，0），E（0，0，1），B1（，2），（，2），（，1），（，），（），（），设平面OB1E的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，0），设平面OB1F的法向量（x，y，z），则，取z3，得（5，3），cos，设平面OEF的法向量（x，y，z），则，取z3，得（，3），cos，设平面EFB1的法向量（x，y，z），则，取z3，得（，3），cos，故选：C【点评】本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11
15、（3分）直线yx+3的倾斜角的大小为【分析】先求出直线yx+3的斜率，再由直线的斜率求出直线的倾斜角【解答】解：直线yx+3的斜率为1，设直线yx+3的倾斜角为，tan1，0，故答案为：【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正切函数的灵活运用12（3分）已知向量（0，1，0），（1，0，1），|，且0，则2【分析】利用空间向量坐标运算法则求出（1，1），再由|，0，列方程能求出的值【解答】解：向量（0，1，0），（1，0，1），（1，1），|，0，解得2故答案为：2【点评】本题考查实数值的求法，考查平空间向量坐标运算法则、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，考查
16、数形结合思想，是基础题13（3分）若实数x，y满足x2+y21，则xy的最小值为【分析】由x2+y21，可令xcos，ysin，结合三角函数的性质即可求解【解答】解：由x2+y21，可令xcos，ysin，则xycossincos（），结合三角函数的性质可知，最小值为故答案为：【点评】本题主要考查了求解最值的应用，解题的关键是对三角函数性质的灵活应用14（3分）用斜二测画法得到的水平放置的ABC的直观图是边长为1的正三角形，则ABC的面积为【分析】根据平面图形的直观图与原图形的面积比为1：2，计算所求的面积即可【解答】解：ABC的直观图是边长为1的正三角形ABC，且ABC的面积为1，所以ABC
17、的面积为2故答案为：【点评】本题考查了平面图形与它的直观图的面积计算问题，是基础题15（3分）已知过点P（4，0）的直线x+y40交圆x2+y24x50于A、B两点，则|的值为5【分析】联立直线和圆的方程，得到x1+x26，x1x2，结论向量的模长公式进行化简进行求解即可【解答】解：将y4x代入x2+y24x50得2x212x+110，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x26，x1x2，同时x12+y124x150，x22+y224x250，则（x14，y1），（x24，y2），|5，故答案为：5【点评】本题主要考查直线和圆相交的应用以及向量模长的计算，利用根与系数之间的关系进行转
18、化是解决本题的关键16（3分）已知a，b，c成等差数列，过点A（1，2）作直线l：ax+by+c0的垂线与直线l交于点P，点Q在直线3x4y+120上，则线段PQ长度的最小值是1【分析】由已知得点P在以（1，0）为圆心，2为半径的圆上，线段PQ长度的最小值等于圆心（1，0）到直线3x4y+120的距离d减去圆半径2【解答】解：不全为零的实数a，b，c成等差数列，b，代入动直线l：ax+by+c0，得ax+c0，化为a（2x+y）+c（y+2）0，a，c不全为0，解得x1，y2，动直线l过定点Q（1，2），设点P（x，y），APQP（x1，y2）（x1，y+2）0，整理，得x2+y22x30，即
19、（x1）2+y24点P在以（1，0）为圆心，2为半径的圆上，点Q在直线3x4y+120上，线段PQ长度的最小值等于圆心（1，0）到直线3x4y+120的距离d减去圆半径2，则d3，则PQ的最小值为321，故答案为：1【点评】本题考查线段长的最小值的求法，利用数形结合是解决本题的关键注意点到直线的距离公式的合理运用三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17（10分）已知ABC中，A（2，2），B（4，0），C（3，1），ADBC，垂足为D（）求直线AD的方程；（）求过点D且平行于边AC的直线方程【分析】（）求出BC的斜率，根据垂直关系得出AD的斜率，利用点
20、斜式写出AD的直线方程；（）写出BC的直线方程，求出点D的坐标，再求直线AC的方程【解答】解：（）因为，ADBC，所以kAD7； （2分）所以AD的直线方程为y27（x2），即y7x12；（4分）（）因为BC的直线方程为，所以，解得，所以； （7分）又kAC3，所以AD的直线方程为y+3（x），即y3x+4 （10分）【点评】本题考查了直线方程的应用问题，是基础题18（10分）如图，三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，且AA1平面ABC，D为AC的中点（）求证：AB1平面C1DB；（）求证：平面C1DB平面ACC1A1
21、【分析】（）取A1C1中点E，连结AE，B1E，推导出B1EBD，AEDC1，从而平面AB1E平面BDC1，由此能证明AB1平面C1DB（）推导出BDAC，BDAA1，从而BD平面ACC1A1由此以能证明平面C1DB平面ACC1A1【解答】证明：（）取A1C1中点E，连结AE，B1E，三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，且AA1平面ABC，D为AC的中点B1EBD，AEDC1，AEB1EE，DC1BDD，平面AB1E平面BDC1，AB1平面AB1E，AB1平面C1DB（）三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，且AA1平面ABC，D为AC的中点，BDAC，BDAA1，ACAA1A，BD
22、平面ACC1A1BD平面C1BD，平面C1DB平面ACC1A1【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19（10分）从原点O向圆M：作两条切线，切点分别为P，Q，记切线OP，OQ的斜率分别为k1，k2（）若圆心，求两切线OP，OQ的方程；（）若，求圆心M的轨迹方程【分析】（）圆M：，设切线为ykx，由相切列出方程，然后求解即可（）因为直线OP：yk1x，OQ：yk2x，与圆M相切，由直线和圆相切得：，转化求解轨迹方程即可【解答】解：（）圆M：，设切线为ykx，由相切得，解得，所以两切线OP，OQ分
23、别为，（4分）（）因为直线OP：yk1x，OQ：yk2x，与圆M相切，由直线和圆相切得：，（6分）整理得0，0，（8分）当时，k1，k2是方程的两个不相等的实数根，k1k2，因，则 （9分）当时，也满足因此圆心M的轨迹方程为 （10分）【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查点到直线的距离以及转化思想的应用，考查计算能力20
24、（10分）如图，在四棱锥PABCD中，PAB是正三角形，四边形ABCD是正方形（）求证：PCPD；（）若，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值【分析】（I）取AB的中点M及CD的中点N，连结PM，PN，MN证明AB平面PMNCD平面PMN，然后证明PCPD（II）法一：过B作BH平面PCD，垂足为H，连接PH，BH，BPH为直线PB与平面PCD所成角，过M作MFPN于F，设CD2，在等腰三角形PMN中可算得MF，然后求解直线PB与平面PCD所成角的正弦值法二：设PB与面PCD所成角为，设CD2，所以，以CD中点N为坐标原点，CD所在直线为x轴，MN所在直线为y轴，过N点且垂直于面ABCD的直线
25、为z轴，建立空间直角坐标系求出面PCD法向量，然后利用空间向量的数量积求解即可【解答】解：（I）证明：取AB的中点M及CD的中点N，连结PM，PN，MN由PAB是正三角形，四边形ABCD是正方形得ABPM，ABMN，又PM，MN平面PMN，PMMNM，所以AB平面PMN因为ABCD，所以CD平面PMN，又PN平面PMN，所以CDPN，又CD的中点是N，所以PCPD（II）法一：过B作BH平面PCD，垂足为H，连接PH，BH，BPH为直线PB与平面PCD所成角，过M作MFPN于F，由CD平面PMN及MF平面PMN，得CDMF，又MFPN，PN，CD平面PCD，PNCDN，所以MF平面PCD由AB
26、CD，AB平面PCD，CD平面PCD，得AB平面PCD于是点B到平面PCD的距离BH等于点M到平面PCD的距离等于MF设CD2，则，PAPBABADBCMN2，计算得，PN2，在等腰三角形PMN中可算得，所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值等于法二：设PB与面PCD所成角为，设CD2，所以，以CD中点N为坐标原点，CD所在直线为x轴，MN所在直线为y轴，过N点且垂直于面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系B（2，1，0），C（0，1，0），D（0，1，0），D（，0，），所以设面PCD法向量，所以，取z1，则所以【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，空间
27、距离的求法，考查计算能力21（12分）已知在ABC中，A（4，2），B（3，1），C的内角平分线所在直线方程为y2x（）求ABC的外接圆O的方程；（）在平面上是否存在点Q，使过点Q存在无穷多对互相垂直的直线l1，l2，且直线l1，l2被圆O所截得弦长相等，若存在，请求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（I）设B（3，1）关于直线方程为y2x的对称点E（a，b），可得21，解得a，b可得E，可得AE的直线方程C为直线AE与直线CD的交点，联方程解得C坐标设ABC的外接圆O的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F0把A，B，C坐标当然即可得出（）假设在平面上存在点Q（m，n），使
28、过点Q使过点Q存在无穷多对互相垂直的直线l1，l2，且直线l1，l2被圆O所截得弦长相等，当然点Q取圆心O时满足题意点Q不取圆心O时，则直线l1，l2的斜率都存在且不为0设直线l1的方程为：ynk（xm），化为kxy+nkm0则l2的直线方程为：yn（xm），化为：x+kymkn0由题意可得：，解出即可得出【解答】解：（I）设B（3，1）关于直线方程为y2x的对称点E（a，b），则21，解得a1，b3E（1，3），KAE，AE的直线方程为y2（x+4），即x3y+100，C为直线AE与直线CD的交点，联立，解得x2，y4则C（2，4）设ABC的外接圆O的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F0则，
29、解得D，E，F9ABC的外接圆O的方程为：x2+y2+xy90（）假设在平面上存在点Q（m，n），使过点Q使过点Q存在无穷多对互相垂直的直线l1，l2，且直线l1，l2被圆O所截得弦长相等，当然点Q取圆心O时满足题意点Q不取圆心O时，则直线l1，l2的斜率都存在且不为0设直线l1的方程为：ynk（xm），化为kxy+nkm0则l2的直线方程为：yn（xm），化为：x+kymkn0由题意可得：，+nkm+kmkn，或+nkm（+kmkn），由+nkm+kmkn，化为：k（10m10n+19）+1210m10n0，与k无关，10m10n+191210m10n0，解得m，n舍去由+nkm（+kmkn），化为：k（1210m10n）+10n10m190，与k无关，10n10m191210m10n0，解得m，n舍去综上可得：只有点Q取圆心O时满足题意【点评】本题考查了直线与圆的方程、角平分线的性质、对称性、点到直线的距离公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题
