1、2018-2019学年浙江省杭州二中高二(上)期末数学试卷一、单选题(共8题,每题4分,在每小题给出的四项中,只有一项是符合题目要求的)1(4分)复数等于()A1+2iB12iC2+iD2i2(4分)已知双曲线x2ky21的一个焦点是,则其渐近线的方程为()ABy4xCDy2x3(4分)用反证法证明“a,b,c中至少有一个大于0”,下列假设正确的是()A假设a,b,c都小于0B假设a,b,c都大于0C假设a,b,c中都不大于0D假设a,b,c中至多有一个大于04(4分)已知直线l平面,直线m平面,则“”是“lm”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件5(4分)已
2、知椭圆+1(ab0)与抛物线x22py(p0)的交点为A,BA,B连线经过抛物线焦点F,且线段AB的长度等于椭圆的短轴长,则椭圆的离心率为()ABCD6(4分)设直线l:mx+(m1)y10(mR),圆C:(x1)2+y24,则下列说法中正确的是()A直线l与圆C有可能无公共点B若直线l的一个方向向量为(1,2),则m1C若直线l平分圆C的周长,则m1或m0D若直线l与圆C有两个不同交点M、N,则线段MN的长的最小值为27(4分)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,F是侧面BCC1B1内的动点,且A1F平面D1AE,记A1F与平面BCC1B1所成的角为,下列说法正确的个数是
3、()点F的轨迹是一条线段A1F与D1E不可能平行A1F与BE是异面直线A1B2C3D48(4分)已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且F1PF2,则椭圆和双曲线的离心率之积的最小值为()ABCD1二、填空题(共7题,每题4分)9(4分)抛物线y2x2的焦点坐标是 10(4分)设平面的法向量为,平面的法向量为,若,则 11(4分)用数学归纳法说明:1+,在第二步证明从nk到nk+1成立时,左边增加的项数是 项12(4分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 13(4分)圆x2+y24x2y80关于直线ax
4、+2by20(a,b0)对称,则的最小值为 14(4分)已知F是双曲线(a0,b0)的、右焦点,A是双曲线上位于第一象限内的一点,O为坐标原点,|2,直线OA的方程y,则双曲线的离心率为 15(4分)如图,在直角梯形ABCD中,ABCD,ABC90,AB1,ACCDDA2,动点M在边DC上(不同于D点),P为边AB上任意一点,沿AM将ADM翻折成AD'M,当平面AD'M垂直于平面ABC时,线段PD'长度的最小值为 三、解答题(共40分)16(9分)已知命题p:方程x2+y24x+2my+2m2m+20表示圆;命题q:方程+1表示
5、焦点在y轴上的椭圆(I)若命题p为真命题时求实数m的取值范围;()若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围17(10分)若a10,a11,an+1(n1,2,)(1)求证:an+1an;(2)令a1,写出a2,a3,a4,a5的值,观察并归纳出这个数列的通项公式an,并用数学归纳法证明18(10分)在四棱锥PABCD中,E是PC的中点,平面PAC平面ABCD(1)证明:ED平面PAB;(2)若,求二面角APCD的余弦值19(11分)已知椭圆E:1(a0)的中心为原点O,左、右焦点分别为F1、F2,离心率为,点P是直线x上任意一点,点Q在椭圆E上,且满足0(1)试求出实数a;(2)设直线PQ
6、与直线OQ的斜率分别为k1与k2,求积k1k2的值;(3)若点P的纵坐标为1,过点P作动直线l与椭圆交于不同的两点M、N,在线段MN上取异于点M、N的点H,满足,证明点H恒在一条定直线上2018-2019学年浙江省杭州二中高二(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题(共8题,每题4分,在每小题给出的四项中,只有一项是符合题目要求的)1(4分)复数等于()A1+2iB12iC2+iD2i【分析】将分子和分母同时乘以分母的共轭复数,再利用两个向量的乘法法则化简【解答】解:复数2+i,故选:C【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用,两个复数相除,分子和分母同时乘以分母的共轭复数2(
7、4分)已知双曲线x2ky21的一个焦点是,则其渐近线的方程为()ABy4xCDy2x【分析】根据双曲线方程,得a21,b2,结合题意得c,解出k,从而得到双曲线方程为x21,由此不难得出该双曲线的渐近线方程【解答】解:双曲线x2ky21化成标准方程得x21,得a21,b2,c双曲线的一个焦点是,解之得k,双曲线方程为x21,得a1,b2该双曲线的渐近线方程为yx,即y2x故选:D【点评】本题给出含有参数的双曲线方程,在已知其一个焦点的情况下求双曲线的渐近线方程,着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识,属于基础题3(4分)用反证法证明“a,b,c中至少有一个大于0”,下列假设正确的是()
8、A假设a,b,c都小于0B假设a,b,c都大于0C假设a,b,c中都不大于0D假设a,b,c中至多有一个大于0【分析】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤,应先假设要证命题的否定成立根据要证命题的否定为:“假设a,b,c中都不大于0”,从而得出结论【解答】解:用反证法证明“a,b,c中至少有一个大于0”,应先假设要证命题的否定成立而要证命题的否定为:“假设a,b,c中都不大于0”,故选:C【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤,求一个命题的否定,属于中档题4(4分)已知直线l平面,直线m平面,则“”是“lm”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件【
9、分析】结合面面平行性质定理,利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解:若,直线l平面,直线l,m,lm成立若lm,当m时,则l与的位置关系不确定,无法得到“”是“lm”的充分不必要条件故选:A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用空间直线和平面的位置关系是解决本题的关键5(4分)已知椭圆+1(ab0)与抛物线x22py(p0)的交点为A,BA,B连线经过抛物线焦点F,且线段AB的长度等于椭圆的短轴长,则椭圆的离心率为()ABCD【分析】由已知条件推导出|AB|2p2b,从而得到A(b,b),由此能求出椭圆的离心率【解答】解:椭圆+1(ab0)与抛物线y22px(p0)的交点为
10、:A、B,A、B连线经过抛物线的焦点F,且线段AB的长等于椭圆的短轴长,|AB|2p2b,即pb,A(b,b),把A的坐标代入椭圆方程,得+1,整理得:4b23a2,c2a2b2a2,ca,e故选:B【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,是中档题,解题时要认真审题,要熟练掌握椭圆、抛物线的简单性质6(4分)设直线l:mx+(m1)y10(mR),圆C:(x1)2+y24,则下列说法中正确的是()A直线l与圆C有可能无公共点B若直线l的一个方向向量为(1,2),则m1C若直线l平分圆C的周长,则m1或m0D若直线l与圆C有两个不同交点M、N,则线段MN的长的最小值为2【分析】直线l过定点P(1,1
11、),圆C:(x1)2+y24的圆心C(1,0),半径r2,在A中,求出点P在圆C内部,从而直线l与圆C一定有公共点;在B中,直线l的一个方向向量为(1,2),则m2;在C中,若直线l平分圆C的周长,则直线l过圆心C(1,0),则m1;在D中,线段MN的长的最小值为:2【解答】解:设直线l:mx+(m1)y10(mR),(x+y)m(y+1)0,由,解得直线l过定点P(1,1),圆C:(x1)2+y24的圆心C(1,0),半径r2,在A中,P(1,1)与圆心C(1,0)的距离|PC|1r2,点P在圆C内部,直线l与圆C一定有公共点,故A错误;在B中,若直线l的一个方向向量为(1,2),则2,解得
12、m2,故B错误;在C中,若直线l平分圆C的周长,则直线l过圆心C(1,0),m10,解得m1,故C错误在D中,若直线l与圆C有两个不同交点M、N,则线段MN的长的最小值为:222,故D正确故选:D【点评】本题考查命题真假的判断,考查直线方程、圆、弦长等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题7(4分)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,F是侧面BCC1B1内的动点,且A1F平面D1AE,记A1F与平面BCC1B1所成的角为,下列说法正确的个数是()点F的轨迹是一条线段A1F与D1E不可能平行A1F与BE是异面直线A1B2C3D4
13、【分析】设平面AD1EBCG,连接AG、EG,分别取B1B、B1C1的中点M、N,连接A1M、MN、A1N,得F是线段MN上的动点,可判断;由平面A1MN平面D1AE,得点F与M重合时A1F与D1E平行,可判断;由平面A1MN平面D1AE,BE和平面D1AE相交,得A1F与BE是异面直线,可判断;推导出A1F与平面BCC1B1成角的正切取值范围为2,2,可判断【解答】解:对于,设平面AD1E与直线BC交于点G,连接AG、EG,则G为BC的中点,分别取B1B、B1C1的中点M、N,连接A1M、MN、A1N,A1MD1E,A1M平面D1AE,D1E平面D1AE,A1M平面D1AE同理可得MN平面D
14、1AE,A1M、MN是平面A1MN内的相交直线平面A1MN平面D1AE,由此结合A1F平面D1AE,可得直线A1F平面A1MN,即点F是线段MN上上的动点,故正确;对于,由知,平面A1MN平面D1AE,当F与点M重合时,A1FD1E,故错误;对于,平面A1MN平面D1AE,BE和平面D1AE相交,A1F与BE是异面直线,故正确;对于,直线A1F与平面BCC1B1所成角为,对运动点F加以观察,可知当F与M(或N)重合时,A1F与平面BCC1B1所成角等于A1MB1,此时所成角达到最小值,满足tan2,当F与MN中点重合时,A1F与平面BCC1B1所成角达到最大值,满足tan2,A1F与平面BCC
15、1B1成角的正切取值范围为2,2,即tan2,2,故错误其中正确的个数为2,故选:B【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系,考查线面角的定义和范围,考查空间想象能力和推理能力,属于中档题8(4分)已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且F1PF2,则椭圆和双曲线的离心率之积的最小值为()ABCD1【分析】先设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的半实轴长a2,焦距2c因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题,所以需要找a1,a2,c之间的关系,而根据椭圆及双曲线的定义可以用a1,a2表示出|PF1|,|PF2|,在F1PF2中根据余弦定理可得到,利用基本不等式可得结论【解答】解
16、:如图,设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的半实轴长为a2,则根据椭圆及双曲线的定义:|PF1|+|PF2|2a1,|PF1|PF2|2a2,|PF1|a1+a2,|PF2|a1a2,设|F1F2|2c,F1PF2,则:在PF1F2中由余弦定理得,4c2(a1+a2)2+(a1a2)22(a1+a2)(a1a2)cos化简得:a12+3a224c2,又因为,e1e2,故选:C【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征,考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长,解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形,求出焦点三角形的边长来,属于难题二、填空题(共7题,每题4分)9(4分)抛物线y2x2的焦点坐标是(0
17、,)【分析】先将方程化成标准形式,即,求出 p,即可得到焦点坐标【解答】解:抛物线y2x2的方程即 x2y,p,故焦点坐标为 (0,),故答案为:(0,)【点评】本题考查抛物线的标准方程,以及简单性质的应用,把抛物线y2x2的方程化为标准形式,是解题的突破口10(4分)设平面的法向量为,平面的法向量为,若,则3【分析】根据平面,得出,利用0求出,再计算的值【解答】解:平面的法向量为,平面的法向量为,若,则,22+80,5,(2,5,4),3故答案为:3【点评】本题考查了平面的法向量与空间向量的数量积应用问题,是基础题11(4分)用数学归纳法说明:1+,在第二步证明从nk到nk+1成
18、立时,左边增加的项数是2k项【分析】当nk成立,+k,当nk+1时,写出对应的关系式,观察计算即可【解答】解:在用数学归纳法证明:1+,在第二步证明时,假设nk时成立,即+k,则nk+1成立时,有+k+1,左边增加的项数是(2k+2k1)(2k1)2k故答案为:2k【点评】本题考查数学归纳法,考查nk到nk+1成立时左边项数的变化情况,考查理解与应用的能力,属于中档题12(4分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为【分析】由三视图可知,几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥,再根据公式求解即可【解答】解:由三视图可知,几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥,三棱柱的体积V1为:剪去的三棱锥体积V
19、2为:所以几何体的体积为:故答案为:【点评】本题考查学生的空间想象能力,是基础题13(4分)圆x2+y24x2y80关于直线ax+2by20(a,b0)对称,则的最小值为9【分析】由题意知,圆心在直线上,代入得a+b1,()(a+b),利用基本不等式解答【解答】解:由题意知,圆心在直线上,代入得a+b1,()(a+b)5+5+49,当且仅当,因为a,b0,a,b时取最小值9故答案为:9【点评】本题考查基本不等式,注意解题方法的积累,属于中档题14(4分)已知F是双曲线(a0,b0)的、右焦点,A是双曲线上位于第一象限内的一点,O为坐标原点,|2,直线OA的方程y,则双曲线的离心率为【分析】由题
20、意可知AFOF,求出A点坐标,代入直线OA的方程即可得出a,b,c的关系,从而求出双曲线的离心率【解答】解:|OA|OF|cosAOF|OF|2,|OA|cosAOF|OF|,即AFOF,把xc代入双曲线方程可得:1,y,即A(c,),代入直线OA方程可得,即2acb2c2a2,e22e0,解得e或e(舍)故答案为:【点评】本题考查了双曲线的性质,平面向量的数量积运算,属于中档题15(4分)如图,在直角梯形ABCD中,ABCD,ABC90,AB1,ACCDDA2,动点M在边DC上(不同于D点),P为边AB上任意一点,沿AM将ADM翻折成AD'M,当平面AD'M垂直于平面ABC时
21、,线段PD'长度的最小值为【分析】设D在平面ABCD上的射影为H,根据H到直线AB的最小值及距离公式计算【解答】解:设D在平面ABCD上的射影为H,显然当AMD最小值时,H到直线AB的距离最小,故折痕为AC时,H为AC的中点,此时DHDH,此时,H到直线AB的最小距离为hBC,PD的最小距离为故答案为:【点评】本题考查了空间线面位置关系即空间距离的计算,属于中档题三、解答题(共40分)16(9分)已知命题p:方程x2+y24x+2my+2m2m+20表示圆;命题q:方程+1表示焦点在y轴上的椭圆(I)若命题p为真命题时求实数m的取值范围;()若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围
22、【分析】()根据方程x2+y24x+2my+2m2m+20表示圆列出不等式进行求解即可;()根据椭圆的方程求出命题q的等价条件,结合必要不充分条件的定义进行转化求解即可【解答】解:命题P:方程x2+y24x+2my+2m2m+20即(x2)2+(y+m)2m2+m+2表示圆,m2+m+20,解得1m2,命题q:方程+1表示焦点在y轴上的椭圆5am10,解得1m6a,(a5)()若命题p为真命题时则实数m的取值范围是1m2;()若p是q的必要不充分条件,则qp,16a2,解得4a5实数a的取值范围是4a5【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,根据圆和椭圆的特点求出命题的等价条件是解决本题
23、的关键,是中档题17(10分)若a10,a11,an+1(n1,2,)(1)求证:an+1an;(2)令a1,写出a2,a3,a4,a5的值,观察并归纳出这个数列的通项公式an,并用数学归纳法证明【分析】(1)采用反证法证明,先假设两种相等,代入已知的等式中即可求出an的值为常数0或1,进而得到此数列为是0或1的常数列,与已知a10,a11矛盾,所以假设错误,两种不相等;(2)由已知条件分别令n1,2,3,能求出a2,a3,a4,a5的值,并猜想an然后用数学归纳法进行证明【解答】解:(1)证明:假设an+1an,即an+1,解得an0或an1,从而anan1a2a10或anan1a2a11,
24、这与题设a10或a11相矛盾,所以an+1an不成立故an+1an成立(2)由题意得,由此猜想:an当n1时,a1,猜想成立,假设nk时,ak成立,当nk+1时,ak+1,当nk+1时,猜想也成立,由可知,对一切正整数,都有an成立【点评】本题考查了反证法,考查数列的通项公式的猜想,解题时要认真审题,注意数学归纳法的合理运用18(10分)在四棱锥PABCD中,E是PC的中点,平面PAC平面ABCD(1)证明:ED平面PAB;(2)若,求二面角APCD的余弦值【分析】(1)取PB的中点F,连接AF,EF推导出四边形ADEF是平行四边形从而DEAF,由此能证明ED面PAB(2)取BC的中点M,连接
25、AM,则ADMC且ADMC,推导出四边形ADCM是平行四边形,从而ABAC,可得AC过D作DGAC于G,过G作GHPC于H,则PC面GHD,连接DH,则PCDH,GHD是二面角APCD的平面角由此能求出二面角APCD的余弦值【解答】解:(1)证明:取PB的中点F,连接AF,EFEF是PBC的中位线,EFBC,且EF又ADBC,且ADBC,ADEF且ADEF,四边形ADEF是平行四边形DEAF,又DE面ABP,AF面ABP,ED面PAB(2)解:取BC的中点M,连接AM,则ADMC且ADMC,四边形ADCM是平行四边形,AMMCMB,则A在以BC为直径的圆上ABAC,可得AC过D作DGAC于G,
26、平面PAC平面ABCD,且平面PAC平面ABCDAC,DG平面PAC,则DGPC过G作GHPC于H,则PC面GHD,连接DH,则PCDH,GHD是二面角APCD的平面角在ADC中,GD,连接AE,cosACE,AE,点P到AC的距离d1,点A到PC的距离dGH在RtGDH中,HD,cosGHD即二面角APCD的余弦值为【点评】本题考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题19(11分)已知椭圆E:1(a0)的中心为原点O,左、右焦点分别为F1、F2,离心率为,点P是直线x上任意一点,点Q在椭圆E上,且满足0(1)试
27、求出实数a;(2)设直线PQ与直线OQ的斜率分别为k1与k2,求积k1k2的值;(3)若点P的纵坐标为1,过点P作动直线l与椭圆交于不同的两点M、N,在线段MN上取异于点M、N的点H,满足,证明点H恒在一条定直线上【分析】(1)设椭圆E的半焦距为c,由离心率为,结合隐含条件即可求实数a的值;(2)设点P(,t),Q(x0,y0),根据0,点Q(x0,y0)在椭圆E上,可得,写出直线PQ与直线OQ的斜率之积,化简可得结论;(3)设过P(,1)的直线l与椭圆交于两个不同点M(x1,y1),N(x2,y2),点H(x,y),确定坐标之间的关系,再利用点在椭圆上即可证明点H恒在一条定直线上【解答】(1)解:设椭圆E的半焦距为c,由题意可得,解得a3;(2)解:由(1)可知,直线x,点F1(,0)设点P(,t),Q(x0,y0),0,(+,t)(x0,y0)0,得点Q(x0,y0)在椭圆E上,即k1k2,k1k2的值是;(3)证明:设过P(,1)的直线l与椭圆交于两个不同点M(x1,y1),N(x2,y2),点H(x,y),则,设,则,(x1+,y11)(x2+,y21),(xx1,yy1)(x2x,y2y),整理得,x,1,y,从而,y,由于,9y36点H恒在直线【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查向量知识的运用,考查斜率公式,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题