1、2018-2019学年浙江省杭州二中高二（上）期末数学试卷一、单选题（共8题，每题4分，在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的）1（4分）复数等于（）A1+2iB12iC2+iD2i2（4分）已知双曲线x2ky21的一个焦点是，则其渐近线的方程为（）ABy4xCDy2x3（4分）用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是（）A假设a，b，c都小于0B假设a，b，c都大于0C假设a，b，c中都不大于0D假设a，b，c中至多有一个大于04（4分）已知直线l平面，直线m平面，则“”是“lm”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件5（4分）已
2、知椭圆+1（ab0）与抛物线x22py（p0）的交点为A，BA，B连线经过抛物线焦点F，且线段AB的长度等于椭圆的短轴长，则椭圆的离心率为（）ABCD6（4分）设直线l：mx+（m1）y10（mR），圆C：（x1）2+y24，则下列说法中正确的是（）A直线l与圆C有可能无公共点B若直线l的一个方向向量为（1，2），则m1C若直线l平分圆C的周长，则m1或m0D若直线l与圆C有两个不同交点M、N，则线段MN的长的最小值为27（4分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F平面D1AE，记A1F与平面BCC1B1所成的角为，下列说法正确的个数是
3、（）点F的轨迹是一条线段A1F与D1E不可能平行A1F与BE是异面直线A1B2C3D48（4分）已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率之积的最小值为（）ABCD1二、填空题（共7题，每题4分）9（4分）抛物线y2x2的焦点坐标是 10（4分）设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则 11（4分）用数学归纳法说明：1+，在第二步证明从nk到nk+1成立时，左边增加的项数是 项12（4分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 13（4分）圆x2+y24x2y80关于直线ax
4、+2by20（a，b0）对称，则的最小值为 14（4分）已知F是双曲线（a0，b0）的、右焦点，A是双曲线上位于第一象限内的一点，O为坐标原点，|2，直线OA的方程y，则双曲线的离心率为 15（4分）如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABC90，AB1，ACCDDA2，动点M在边DC上（不同于D点），P为边AB上任意一点，沿AM将ADM翻折成AD'M，当平面AD'M垂直于平面ABC时，线段PD'长度的最小值为 三、解答题（共40分）16（9分）已知命题p：方程x2+y24x+2my+2m2m+20表示圆；命题q：方程+1表示
5、焦点在y轴上的椭圆（I）若命题p为真命题时求实数m的取值范围；（）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围17（10分）若a10，a11，an+1（n1，2，）（1）求证：an+1an；（2）令a1，写出a2，a3，a4，a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an，并用数学归纳法证明18（10分）在四棱锥PABCD中，E是PC的中点，平面PAC平面ABCD（1）证明：ED平面PAB；（2）若，求二面角APCD的余弦值19（11分）已知椭圆E：1（a0）的中心为原点O，左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，点P是直线x上任意一点，点Q在椭圆E上，且满足0（1）试求出实数a；（2）设直线PQ
6、与直线OQ的斜率分别为k1与k2，求积k1k2的值；（3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与椭圆交于不同的两点M、N，在线段MN上取异于点M、N的点H，满足，证明点H恒在一条定直线上2018-2019学年浙江省杭州二中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（共8题，每题4分，在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的）1（4分）复数等于（）A1+2iB12iC2+iD2i【分析】将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用两个向量的乘法法则化简【解答】解：复数2+i，故选：C【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数2（
7、4分）已知双曲线x2ky21的一个焦点是，则其渐近线的方程为（）ABy4xCDy2x【分析】根据双曲线方程，得a21，b2，结合题意得c，解出k，从而得到双曲线方程为x21，由此不难得出该双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线x2ky21化成标准方程得x21，得a21，b2，c双曲线的一个焦点是，解之得k，双曲线方程为x21，得a1，b2该双曲线的渐近线方程为yx，即y2x故选：D【点评】本题给出含有参数的双曲线方程，在已知其一个焦点的情况下求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题3（4分）用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是（）
8、A假设a，b，c都小于0B假设a，b，c都大于0C假设a，b，c中都不大于0D假设a，b，c中至多有一个大于0【分析】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设要证命题的否定成立根据要证命题的否定为：“假设a，b，c中都不大于0”，从而得出结论【解答】解：用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，应先假设要证命题的否定成立而要证命题的否定为：“假设a，b，c中都不大于0”，故选：C【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于中档题4（4分）已知直线l平面，直线m平面，则“”是“lm”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件【
9、分析】结合面面平行性质定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：若，直线l平面，直线l，m，lm成立若lm，当m时，则l与的位置关系不确定，无法得到“”是“lm”的充分不必要条件故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用空间直线和平面的位置关系是解决本题的关键5（4分）已知椭圆+1（ab0）与抛物线x22py（p0）的交点为A，BA，B连线经过抛物线焦点F，且线段AB的长度等于椭圆的短轴长，则椭圆的离心率为（）ABCD【分析】由已知条件推导出|AB|2p2b，从而得到A（b，b），由此能求出椭圆的离心率【解答】解：椭圆+1（ab0）与抛物线y22px（p0）的交点为
10、：A、B，A、B连线经过抛物线的焦点F，且线段AB的长等于椭圆的短轴长，|AB|2p2b，即pb，A（b，b），把A的坐标代入椭圆方程，得+1，整理得：4b23a2，c2a2b2a2，ca，e故选：B【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握椭圆、抛物线的简单性质6（4分）设直线l：mx+（m1）y10（mR），圆C：（x1）2+y24，则下列说法中正确的是（）A直线l与圆C有可能无公共点B若直线l的一个方向向量为（1，2），则m1C若直线l平分圆C的周长，则m1或m0D若直线l与圆C有两个不同交点M、N，则线段MN的长的最小值为2【分析】直线l过定点P（1，1
11、），圆C：（x1）2+y24的圆心C（1，0），半径r2，在A中，求出点P在圆C内部，从而直线l与圆C一定有公共点；在B中，直线l的一个方向向量为（1，2），则m2；在C中，若直线l平分圆C的周长，则直线l过圆心C（1，0），则m1；在D中，线段MN的长的最小值为：2【解答】解：设直线l：mx+（m1）y10（mR），（x+y）m（y+1）0，由，解得直线l过定点P（1，1），圆C：（x1）2+y24的圆心C（1，0），半径r2，在A中，P（1，1）与圆心C（1，0）的距离|PC|1r2，点P在圆C内部，直线l与圆C一定有公共点，故A错误；在B中，若直线l的一个方向向量为（1，2），则2，解得
12、m2，故B错误；在C中，若直线l平分圆C的周长，则直线l过圆心C（1，0），m10，解得m1，故C错误在D中，若直线l与圆C有两个不同交点M、N，则线段MN的长的最小值为：222，故D正确故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查直线方程、圆、弦长等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题7（4分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F平面D1AE，记A1F与平面BCC1B1所成的角为，下列说法正确的个数是（）点F的轨迹是一条线段A1F与D1E不可能平行A1F与BE是异面直线A1B2C3D4
13、【分析】设平面AD1EBCG，连接AG、EG，分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接A1M、MN、A1N，得F是线段MN上的动点，可判断；由平面A1MN平面D1AE，得点F与M重合时A1F与D1E平行，可判断；由平面A1MN平面D1AE，BE和平面D1AE相交，得A1F与BE是异面直线，可判断；推导出A1F与平面BCC1B1成角的正切取值范围为2，2，可判断【解答】解：对于，设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点，分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接A1M、MN、A1N，A1MD1E，A1M平面D1AE，D1E平面D1AE，A1M平面D1AE同理可得MN平面D
14、1AE，A1M、MN是平面A1MN内的相交直线平面A1MN平面D1AE，由此结合A1F平面D1AE，可得直线A1F平面A1MN，即点F是线段MN上上的动点，故正确；对于，由知，平面A1MN平面D1AE，当F与点M重合时，A1FD1E，故错误；对于，平面A1MN平面D1AE，BE和平面D1AE相交，A1F与BE是异面直线，故正确；对于，直线A1F与平面BCC1B1所成角为，对运动点F加以观察，可知当F与M（或N）重合时，A1F与平面BCC1B1所成角等于A1MB1，此时所成角达到最小值，满足tan2，当F与MN中点重合时，A1F与平面BCC1B1所成角达到最大值，满足tan2，A1F与平面BCC
15、1B1成角的正切取值范围为2，2，即tan2，2，故错误其中正确的个数为2，故选：B【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，考查线面角的定义和范围，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题8（4分）已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率之积的最小值为（）ABCD1【分析】先设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找a1，a2，c之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在F1PF2中根据余弦定理可得到，利用基本不等式可得结论【解答】解
16、：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|2a1，|PF1|PF2|2a2，|PF1|a1+a2，|PF2|a1a2，设|F1F2|2c，F1PF2，则：在PF1F2中由余弦定理得，4c2（a1+a2）2+（a1a2）22（a1+a2）（a1a2）cos化简得：a12+3a224c2，又因为，e1e2，故选：C【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长来，属于难题二、填空题（共7题，每题4分）9（4分）抛物线y2x2的焦点坐标是（0
17、，）【分析】先将方程化成标准形式，即，求出 p，即可得到焦点坐标【解答】解：抛物线y2x2的方程即 x2y，p，故焦点坐标为 （0，），故答案为：（0，）【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，把抛物线y2x2的方程化为标准形式，是解题的突破口10（4分）设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则3【分析】根据平面，得出，利用0求出，再计算的值【解答】解：平面的法向量为，平面的法向量为，若，则，22+80，5，（2，5，4），3故答案为：3【点评】本题考查了平面的法向量与空间向量的数量积应用问题，是基础题11（4分）用数学归纳法说明：1+，在第二步证明从nk到nk+1成
18、立时，左边增加的项数是2k项【分析】当nk成立，+k，当nk+1时，写出对应的关系式，观察计算即可【解答】解：在用数学归纳法证明：1+，在第二步证明时，假设nk时成立，即+k，则nk+1成立时，有+k+1，左边增加的项数是（2k+2k1）（2k1）2k故答案为：2k【点评】本题考查数学归纳法，考查nk到nk+1成立时左边项数的变化情况，考查理解与应用的能力，属于中档题12（4分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为【分析】由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥，再根据公式求解即可【解答】解：由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥，三棱柱的体积V1为：剪去的三棱锥体积V
19、2为：所以几何体的体积为：故答案为：【点评】本题考查学生的空间想象能力，是基础题13（4分）圆x2+y24x2y80关于直线ax+2by20（a，b0）对称，则的最小值为9【分析】由题意知，圆心在直线上，代入得a+b1，（）（a+b），利用基本不等式解答【解答】解：由题意知，圆心在直线上，代入得a+b1，（）（a+b）5+5+49，当且仅当，因为a，b0，a，b时取最小值9故答案为：9【点评】本题考查基本不等式，注意解题方法的积累，属于中档题14（4分）已知F是双曲线（a0，b0）的、右焦点，A是双曲线上位于第一象限内的一点，O为坐标原点，|2，直线OA的方程y，则双曲线的离心率为【分析】由题
20、意可知AFOF，求出A点坐标，代入直线OA的方程即可得出a，b，c的关系，从而求出双曲线的离心率【解答】解：|OA|OF|cosAOF|OF|2，|OA|cosAOF|OF|，即AFOF，把xc代入双曲线方程可得：1，y，即A（c，），代入直线OA方程可得，即2acb2c2a2，e22e0，解得e或e（舍）故答案为：【点评】本题考查了双曲线的性质，平面向量的数量积运算，属于中档题15（4分）如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABC90，AB1，ACCDDA2，动点M在边DC上（不同于D点），P为边AB上任意一点，沿AM将ADM翻折成AD'M，当平面AD'M垂直于平面ABC时
21、，线段PD'长度的最小值为【分析】设D在平面ABCD上的射影为H，根据H到直线AB的最小值及距离公式计算【解答】解：设D在平面ABCD上的射影为H，显然当AMD最小值时，H到直线AB的距离最小，故折痕为AC时，H为AC的中点，此时DHDH，此时，H到直线AB的最小距离为hBC，PD的最小距离为故答案为：【点评】本题考查了空间线面位置关系即空间距离的计算，属于中档题三、解答题（共40分）16（9分）已知命题p：方程x2+y24x+2my+2m2m+20表示圆；命题q：方程+1表示焦点在y轴上的椭圆（I）若命题p为真命题时求实数m的取值范围；（）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围
22、【分析】（）根据方程x2+y24x+2my+2m2m+20表示圆列出不等式进行求解即可；（）根据椭圆的方程求出命题q的等价条件，结合必要不充分条件的定义进行转化求解即可【解答】解：命题P：方程x2+y24x+2my+2m2m+20即（x2）2+（y+m）2m2+m+2表示圆，m2+m+20，解得1m2，命题q：方程+1表示焦点在y轴上的椭圆5am10，解得1m6a，（a5）（）若命题p为真命题时则实数m的取值范围是1m2；（）若p是q的必要不充分条件，则qp，16a2，解得4a5实数a的取值范围是4a5【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据圆和椭圆的特点求出命题的等价条件是解决本题
23、的关键，是中档题17（10分）若a10，a11，an+1（n1，2，）（1）求证：an+1an；（2）令a1，写出a2，a3，a4，a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an，并用数学归纳法证明【分析】（1）采用反证法证明，先假设两种相等，代入已知的等式中即可求出an的值为常数0或1，进而得到此数列为是0或1的常数列，与已知a10，a11矛盾，所以假设错误，两种不相等；（2）由已知条件分别令n1，2，3，能求出a2，a3，a4，a5的值，并猜想an然后用数学归纳法进行证明【解答】解：（1）证明：假设an+1an，即an+1，解得an0或an1，从而anan1a2a10或anan1a2a11，
24、这与题设a10或a11相矛盾，所以an+1an不成立故an+1an成立（2）由题意得，由此猜想：an当n1时，a1，猜想成立，假设nk时，ak成立，当nk+1时，ak+1，当nk+1时，猜想也成立，由可知，对一切正整数，都有an成立【点评】本题考查了反证法，考查数列的通项公式的猜想，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用18（10分）在四棱锥PABCD中，E是PC的中点，平面PAC平面ABCD（1）证明：ED平面PAB；（2）若，求二面角APCD的余弦值【分析】（1）取PB的中点F，连接AF，EF推导出四边形ADEF是平行四边形从而DEAF，由此能证明ED面PAB（2）取BC的中点M，连接
25、AM，则ADMC且ADMC，推导出四边形ADCM是平行四边形，从而ABAC，可得AC过D作DGAC于G，过G作GHPC于H，则PC面GHD，连接DH，则PCDH，GHD是二面角APCD的平面角由此能求出二面角APCD的余弦值【解答】解：（1）证明：取PB的中点F，连接AF，EFEF是PBC的中位线，EFBC，且EF又ADBC，且ADBC，ADEF且ADEF，四边形ADEF是平行四边形DEAF，又DE面ABP，AF面ABP，ED面PAB（2）解：取BC的中点M，连接AM，则ADMC且ADMC，四边形ADCM是平行四边形，AMMCMB，则A在以BC为直径的圆上ABAC，可得AC过D作DGAC于G，
26、平面PAC平面ABCD，且平面PAC平面ABCDAC，DG平面PAC，则DGPC过G作GHPC于H，则PC面GHD，连接DH，则PCDH，GHD是二面角APCD的平面角在ADC中，GD，连接AE，cosACE，AE，点P到AC的距离d1，点A到PC的距离dGH在RtGDH中，HD，cosGHD即二面角APCD的余弦值为【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19（11分）已知椭圆E：1（a0）的中心为原点O，左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，点P是直线x上任意一点，点Q在椭圆E上，且满足0（1）试
27、求出实数a；（2）设直线PQ与直线OQ的斜率分别为k1与k2，求积k1k2的值；（3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与椭圆交于不同的两点M、N，在线段MN上取异于点M、N的点H，满足，证明点H恒在一条定直线上【分析】（1）设椭圆E的半焦距为c，由离心率为，结合隐含条件即可求实数a的值；（2）设点P（，t），Q（x0，y0），根据0，点Q（x0，y0）在椭圆E上，可得，写出直线PQ与直线OQ的斜率之积，化简可得结论；（3）设过P（，1）的直线l与椭圆交于两个不同点M（x1，y1），N（x2，y2），点H（x，y），确定坐标之间的关系，再利用点在椭圆上即可证明点H恒在一条定直线上【解答】（1）解：设椭圆E的半焦距为c，由题意可得，解得a3；（2）解：由（1）可知，直线x，点F1（，0）设点P（，t），Q（x0，y0），0，（+，t）（x0，y0）0，得点Q（x0，y0）在椭圆E上，即k1k2，k1k2的值是；（3）证明：设过P（，1）的直线l与椭圆交于两个不同点M（x1，y1），N（x2，y2），点H（x，y），则，设，则，（x1+，y11）（x2+，y21），（xx1，yy1）（x2x，y2y），整理得，x，1，y，从而，y，由于，9y36点H恒在直线【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查斜率公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题
