1、2018-2019学年浙江省浙南名校联盟高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）设集合A1，0，1，Ba，a2，则使BA成立的a的值是（）A1B0C1D1或12（4分）已知复数z2+i，则（）A12iB1+2iC12iD1+2i3（4分）若a为实数，则“a1”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4（4分）若变量x，y满足约束条件，则zx+2y的最大值是（）ABC0D5（4分）在ABC中，M是BC的中点，AM1，点P在AM上且满足2，则（+）等于（）ABCD
2、6（4分）设函数f（x）2sin（x+），将yf（x）的图象向右平移个单位后，所得的函数为偶函数，则的值可以是（）A1BC2D7（4分）函数f（x）的图象可能是（）ABCD8（4分）设等差数列an的前n项和为Sn，数列a2n1的前n项和为Tn，下列说法错误的是（）A若Sn有最大值，则Tn也有最大值B若Tn有最大值，则Sn也有最大值C若数列Sn不单调，则数列Tn也不单调D若数列Tn不单调，则数列Sn也不单调9（4分）已知椭圆C1：1（ab0）和双曲线C2：x21有共同的焦点F1，F2，点P是C1、C2的交点，若F1PF2是锐角三角形，则椭圆C1离心率e的取值范围是（）A（）B（0，）C（）D（）
3、10（4分）如图，在棱长为1正方体ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点，将ABF沿BF所在的直线进行翻折，将CDE沿DE所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误的是（）A无论旋转到什么位置，A、C两点都不可能重合B存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60C存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为90D存在某个位置，使得直线AB与直线CD所成的角为90二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）双曲线1的渐近线方程是 ；焦点坐标 12（6分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ab，c
4、osC，则c ；ABC的面积是 13（6分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ；表面积为 14（4分）若实数a1，b2满足2a+b60，则的最小值为 15（6分）已知直线l：kxy+0，曲线Cy，若直线l与曲线C相交于A、B两点，则k的取值范围是 ；|AB|的最小值是 16（4分）点P是边长为2的正方形ABCD的内部一点，若（，R），则+的取值范围为 17（4分）函数f（x）a2xmax（a0且a1），若此函数图象上存在关于原点对称的点，则实数m的取值范围是 &nbs
5、p; 三、解答题：本大题共5小题，共74分解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）已知函数（）若为锐角，且，求f（）的值；（）若函数g（x）f（x）+cos2xsin2x，当x0，时，求g（x）的单调递减区间19（15分）如图，在四棱锥PABCD中，BC平面ABP，BCAD，BCBP1，AB2，AD5，ABP120（）求证AC平面PCD；（）求直线CD与平面PAC所成线面角的正弦值20（15分）已知数列an满足：a11，an+14an+3（nN*）（）求证：an+1是等比数列，并求数列an的通项公式；（）令bnlog2（an+1），设数列的前n项和为Sn，若n（n2+6）Sn对一
6、切正整数n恒成立，求实数的取值范围21（15分）已知椭圆C1：过点D（0，1），且离心率为过抛物线上一点P（x0，y0）作C2的切线l交椭圆C1于A，B两点（）求椭圆C1的方程；（）是否存在直线l，使得DADB，若存在，求出l的方程；若不存在，求说明理由22（15分）已知函数（）求函数f（x）的单调区间；（）若，求证：af（x）lnx2018-2019学年浙江省浙南名校联盟高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）设集合A1，0，1，Ba，a2，则使BA成立的a的值是（）A1B0C1D1
7、或1【分析】根据集合A，B，以及BA即可得出，从而求出a1【解答】解：A1，0，1，Ba，a2，且BA；a1故选：A【点评】考查列举法的定义，集合元素的互异性，以及子集的定义2（4分）已知复数z2+i，则（）A12iB1+2iC12iD1+2i【分析】把z2+i代入，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由z2+i，得故选：A【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题3（4分）若a为实数，则“a1”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由得0a1，
8、则“a1”是“”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键4（4分）若变量x，y满足约束条件，则zx+2y的最大值是（）ABC0D【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC及其内部，再将目标函数zx+2y对应的直线进行平移，可得当x，y时，z取得最大值【解答】解：作出变量x，y满足约束条件表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中A（，），B（，1），C（2，1）设zF（x，y）x+2y，将直线l：zx+2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值z最大值F（，）故选：B【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标
9、函数zx+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题5（4分）在ABC中，M是BC的中点，AM1，点P在AM上且满足2，则（+）等于（）ABCD【分析】由M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足可得：P是三角形ABC的重心，根据重心的性质，即可求解【解答】解：M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足P是三角形ABC的重心又AM1故选：A【点评】判断P点是否是三角形的重心有如下几种办法：定义：三条中线的交点性质：或取得最小值坐标法：P点坐标是三个顶点坐标的平均数6（4分）设函数f（x）2sin（x+），将y
10、f（x）的图象向右平移个单位后，所得的函数为偶函数，则的值可以是（）A1BC2D【分析】利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，可得平移后函数的解析式，再根据三角函数的奇偶性，求得的值【解答】解：将函数f（x）2sin（x+）的图象向右平移个单位后，可得y2sin（x+）的图象所得的函数为偶函数，+k+，kZ令k1，可得，故选：D【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于基础题7（4分）函数f（x）的图象可能是（）ABCD【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用特征值的符号是否一致进行排除即可【解答】解：f（x）f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原
11、点对称，排除B，D，函数的定义域为x|x0且x1，由f（x）0得 sinx0，得距离原点最近的零点为，则f（）0，排除C，故选：A【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用对称性以及特殊值进行排除是解决本题的关键8（4分）设等差数列an的前n项和为Sn，数列a2n1的前n项和为Tn，下列说法错误的是（）A若Sn有最大值，则Tn也有最大值B若Tn有最大值，则Sn也有最大值C若数列Sn不单调，则数列Tn也不单调D若数列Tn不单调，则数列Sn也不单调【分析】根据等差数列的性质知数列a2n1的首项是a1，公差为2d，结合等差数列的前n项和公式以及数列的单调性和最值性与首项公差的关系进行判断即可【解
12、答】解：数列a2n1的首项是a1，公差为2d，A若Sn有最大值，则满足a10，d0，则2d0，即Tn也有最大值，故A正确，B若Tn有最大值，则满足a10，2d0，则d0，即Sn也有最大值，故B正确，CSnna1+dn2+（a1）n，对称轴为n，Tnna1+2ddn2+（a1d）n，对称轴为n，不妨假设d0，若数列Sn不单调，此时对称轴n，即1，此时Tn的对称轴n+1，则对称轴有可能成立，此时数列Tn有可能单调递增，故C错误，D不妨假设d0，若数列Tn不单调，此时对称轴n，即2，此时Sn的对称轴n+2，即此时Sn不单调，故D正确则错误是C，故选：C【点评】本题主要考查与等差数列有关的命题的真假关
13、系，涉及等差数列前n项和公式的应用以及数列单调性的判断，综合性较强，难度较大9（4分）已知椭圆C1：1（ab0）和双曲线C2：x21有共同的焦点F1，F2，点P是C1、C2的交点，若F1PF2是锐角三角形，则椭圆C1离心率e的取值范围是（）A（）B（0，）C（）D（）【分析】设设F1PF2，则，得出，利用椭圆和双曲线的焦点三角形的面积公式可得出，结合c2，可得出，然后将椭圆和双曲线的方程联立，求出交点P的横坐标，利用该点的横坐标位于区间（c，c），得出，可得出，从而得出椭圆C1的离心率e的取值范围【解答】解：设F1PF2，则，所以，则，由焦点三角形的面积公式可得，所以，双曲线的焦距为4，椭圆的
14、半焦距为c2，则b2a2c2a243，得，所以，椭圆C1的离心率联立椭圆C1和双曲线C2的方程，得，得，由于PF1F2为锐角三角形，则点P的横坐标，则，所以，因此，椭圆C1离心率e的取值范围是故选：C【点评】本题考查椭圆和双曲线的性质，解决本题的关键在于焦点三角形面积公式的应用，起到了化简的作用，同时也考查了计算能力，属于中等题10（4分）如图，在棱长为1正方体ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点，将ABF沿BF所在的直线进行翻折，将CDE沿DE所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误的是（）A无论旋转到什么位置，A、C两点都不可能重合B存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的
15、角为60C存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为90D存在某个位置，使得直线AB与直线CD所成的角为90【分析】在A中，A与C恒不重合；在B中，存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60；在C中，当平面ABF平面BEDF，平面DCE平面BEDF时，直线AF与直线CE垂直；在D中，直线AB与直线CD不可能垂直【解答】解：在A中，A与C恒不重合，故A正确；在B中，存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60，故B正确；在C中，当平面ABF平面BEDF，平面DCE平面BEDF时，直线AF与直线CE垂直，故C正确；在D中，直线AB与直线CD不可能垂直，故D不成立；故选：D【点评】
16、本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11（6分）双曲线1的渐近线方程是y；焦点坐标（）【分析】直接根据双曲线的简单性质即可求出【解答】解：在双曲线1中，a22，b21，则c2a2+b23，则a，b1，c，故双曲线1的渐近线方程是yx，焦点坐标（，0），故答案为：yx，（，0）【点评】本题考查了双曲线的简单性质，属于基础题12（6分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ab，cosC，则c2；ABC的面积是【分析】由余弦定理可求c
17、，利用同角三角函数的基本关系式求出sinC，然后由ABC的面积公式求解即可【解答】解：在ABC中，ab，cosC，由余弦定理得：c2a2+b22abcosC4，则c2；在ABC中，cosC，sinC，SABCabsinC故答案为：2；【点评】本题考查余弦定理，考查同角三角函数的基本关系式的应用，考查三角形的面积公式，是基础题13（6分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为3；表面积为9+2【分析】根据三视图知该几何体是直三棱柱，结合图中数据求出它的体积和表面积【解答】解：根据三视图知该几何体是直三棱柱，如图所示；则该几何体的体积为VSABCAA13123；表面积为S2SABC+23
18、1+32+2+29+2+2故答案为：3，9+2+2【点评】本题考查了根据三视图求几何体体积和表面积的应用问题，是基础题14（4分）若实数a1，b2满足2a+b60，则的最小值为4【分析】由已知可知，2（a1）+b22，从而有（）2（a1）+b2），利用基本不等式可求【解答】解：a1，b2满足2a+b60，2（a1）+b22，a10，b20，则（）2（a1）+b2），（4+），当且仅当 且2a+b60即a，b3时取得最小值为4故答案为：4【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值的应用，解题的关键是配凑基本不等式的应用条件15（6分）已知直线l：kxy+0，曲线Cy，若直线l与曲线C相交于A、B两
19、点，则k的取值范围是；|AB|的最小值是【分析】因为过定点的直线与半圆C的图象有两个交点，结合图象知：kPEkkPO，求出直线PO和PE的斜率即可；当PCAB时，|AB|最小【解答】解：直线l：kxy+k0过定点（1，），曲线C为半圆：（x2）2+y24（y0）如图：由图可知：kOP，kPE，；要使弦长AB最小，只需CPAB，此时|AB|22，故答案为：，；【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题16（4分）点P是边长为2的正方形ABCD的内部一点，若（，R），则+的取值范围为（【分析】运用向量的数乘运算可解决此问题【解答】解：根据题意得，2（+）222+2+2242+421又0，02+
20、2（+）22（2+2）+故答案为（【点评】本题考查向量的数乘运算和线性运算17（4分）函数f（x）a2xmax（a0且a1），若此函数图象上存在关于原点对称的点，则实数m的取值范围是1，+）【分析】根据函数图象上存在关于原点对称的点，转化为f（x）f（x）有解，利用参数分离法进行转化求解即可【解答】解：若函数图象上存在关于原点对称的点，即f（x）f（x）有解，即a2xmax（a2xmax）a2x+max，即a2x+a2xm（ax+ax），即m（ax+ax），设tax+ax，则t22，则（ax+ax）t在2，+）为增函数，h（t）th（2）211，则要使mh（t）t有解，则m1，即实数m的取值范
21、围是1，+），故答案为：1，+）【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为f（x）f（x）有解，利用参数分离法进行转化是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度三、解答题：本大题共5小题，共74分解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）已知函数（）若为锐角，且，求f（）的值；（）若函数g（x）f（x）+cos2xsin2x，当x0，时，求g（x）的单调递减区间【分析】（）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin的值，进而根据二倍角的正弦函数公式即可计算得解（）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求g（x）2sin（2x+），根据正弦函数的单调性即可求解【解答】（本题满分
22、为14分）解：（）为锐角，且，sin，（2分）f（）sin22sincos（4分）（7分）（）g（x）sin2x+cos2xsin2xsin2x+cos2x2sin（2x+），（10分）令2k+2x+2k+，kZ，解得：k+xk+，kZ，（12分）x0，可得单调递减区间是：（，）（14分）【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题19（15分）如图，在四棱锥PABCD中，BC平面ABP，BCAD，BCBP1，AB2，AD5，ABP120（）求证AC平面PCD；（）求直线CD与平
23、面PAC所成线面角的正弦值【分析】（）推导出ACPC，ACCD，由此能证明AC平面PCD（）过D作直线DHPC，ACDH，DH平面PAC，从而DCH为直线CD与平面PAC所成线面角，由此能求出直线CD与平面PAC所成线面角的正弦值【解答】证明：（）在四棱锥PABCD中，BC平面ABP，BCAD，BCBP1，AB2，AD5，ABP120，PC21+12，AC21+45，AP2AC2+PC2，ACPC（3分）CD2（51）2+2220，AD2AC2+CD2，ACCD（5分）CD，PC平面PCD，CD，PC有公共点C，AC平面PCD（7分）解（）过D作直线DHPC，H为垂足，AC平面PCD，ACDH
24、，DH平面PAC，DCH为直线CD与平面PAC所成线面角，（11分）cosDCH，（14分）直线CD与平面PAC所成线面角的正弦值sinDCH（15分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题20（15分）已知数列an满足：a11，an+14an+3（nN*）（）求证：an+1是等比数列，并求数列an的通项公式；（）令bnlog2（an+1），设数列的前n项和为Sn，若n（n2+6）Sn对一切正整数n恒成立，求实数的取值范围【分析】（）运用等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；（）
25、求得bnlog2（an+1）2n1，（），由裂项相消求和，可得Sn，再由参数分离和基本不等式可得所求范围【解答】解：（）证明：由a11，an+14an+3，得an+1+14（an+1），且a1+12，an+1是以2为首项，4为公比的等比数列，即有an+124n122n1，；（）bnlog2（an+1）2n1，（），前n项和为Sn（1+）（1），n（n2+6）Sn，化为，且，当且仅当n2时取等号，2【点评】本题考查等比数列的定义、通项公式的运用，考查数列的裂项相消求和，考查不等式恒成立问题解法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题21（15分）已知椭圆C1：过点D（0，1），且离心率为过
26、抛物线上一点P（x0，y0）作C2的切线l交椭圆C1于A，B两点（）求椭圆C1的方程；（）是否存在直线l，使得DADB，若存在，求出l的方程；若不存在，求说明理由【分析】（）根据已知条件列有关a、b、c的方程组，求出a和b的值，即可得出椭圆C1的方程；（）设直线l的方程为ykx+t，先利用导数写出直线l的方程，于是得到k2x0，将直线l的方程与椭圆C1的方程联立，列出韦达定理，由并代入韦达定理，通过计算得出t的值，可得出x0的值，从而可得出直线l的方程【解答】解：（）由题知，得，所以，椭圆C1的方程为；（）设l的方程：ykx+t由（）知，l的方程：，故 由，得（4k2+1）x2+8ktx+4t
27、240所以即（4t24）（k2+1）8k2t（t1）+（t1）2（4k2+1）0化简有5t22t30，所以t1或t所以，所以x0因此，直线l的方程为yx【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理设而不求法的应用，同时也考查了计算能力，属于中等题22（15分）已知函数（）求函数f（x）的单调区间；（）若，求证：af（x）lnx【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系求解；（2）af（x）lnx令F（x），F（x）（x0）当（0，1时，F（x）0，F（x）单调递减，F（x）F（1）ae0；当1时，令G（x），利用导数求得最小值大于0即可【解答】解（1）f（x）的定义域为（，0）（0，+），x（，0），（0，1）时，f（x）0，x（1，+）时，f（x）0函数f（x）的单调增区间为：（1，+），减区间为（，0），（0，1）（2）af（x）lnx令F（x），F（x）（x0）当（0，1时，F（x）0，F（x）单调递减，F（x）F（1）ae0；当1时，令G（x），GG（x）在（1，+）单调递增，x1时，G（x），G（2）e20，G（x）存在唯一零点0（1，2），F（x）minF（x0）G（x0）0，综上所述，当时，af（x）lnx成立【点评】本题考查了函数的单调性与导数的关系，考查了分类讨论思想，属于中档题
