1、2018-2019学年浙江省衢州市五校联考高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4分）已知集合A1，5，B1，3，4，则AB（）A1B1，3，5C1，3，4，5D3，4，52（4分）设向量（2，2，0），（cos），（0180），若，则角（）A30B60C120D1503（4分）过抛物线y22x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x24，则|AB|（）A4B5C6D84（4分）直线11：2xmy10，l2：（m1）xy+30，则“m2”是“l1l2”的（）A充分不必要条
2、件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件5（4分）下列命题正确的是（）A若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行B若平面，则平面C若l，m是两条不同的直线，m平面，l，则lmD若一条直线上的两个点到平面的距离相等，则这条直线平行于平面6（4分）直线l：yx+1与圆O：x2+y21相交于A，B两点，则OAB的面积为（）ABCD7（4分）函数f（x）x3ln|x|的大致图象是（）ABCD8（4分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，N是棱AD的中点，M是棱CC1上的点，且CC13CM，则直线BM与B1N所成的角的余弦值是（）ABCD9（4分）过双曲线C：1（a0，b0）右焦点
3、，且垂直于x轴的直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点若AOBOAB，设双曲线C的离心率为e，则e2（）ABCD10（4分）如图，在矩形ABCD中，AB3，AD2，点E为CD的中点，F为线段CE（端点除外）上一动点，现将DAF沿AF折起，使得平面ABD平面ABC，则当直线FD与平面ABCF所成角取得最大时，点D到平面ABC的距离为（）AB1CD二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11（6分）直线xy+60的斜率为 ；倾斜角为 12（6分）双曲线C：1的焦距为 ；渐近线方程是 13（6分）九章算术中，
4、将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示（单位：cm），则该“堑堵”的体积为 cm3，表面积为 cm214（6分）如图，在ABC中，M为边BC上一点，4，AMC，AM2，AMC的面积为3，则|CM| ；cosBAC 15（4分）对于直线l上任意一点P（x，y），点Q（x+y，2x+y）在此直线l上，则直线l的方程为 16（4分）已知圆M：x2+y22ax2by+a210与圆N：x2+y2+2x+2y20交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，则圆M半径最小时圆M的方程为 17（
5、4分）已知共面的三个单位向量，满足，若空间向量满足，且对于任意x，yR，恒有|（x+y）|，则| 三、解答题（本大题共5小题，共74分解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤)18（14分）已知f（x）4cosxsin（x+）（）求f（）的值；（）求f（x）的最小正周期及单调增区间19（15分）已知f（x）2x2+2ax+a+4（）若任意xR，都有f（x）0，求a的取值范围；（）若对于任意的a1，2，存在x1，3使关于x的不等式f（x）b成立，求实数b的取值范围20（15分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知底面ABC为腰长为1的等腰直角三角形，且ACB90，CC12，D，
6、E分别是棱CC1，AA1的中点（）求证：直线DB1平面BDE；（）求直线A1B1与平面BDE所成的角的正弦值21（15分）已知数列an，a12，bn（nN*），且数列bn为公差为1的等差数列（）求数列an、bn的通项公式；（）设cn，数列cn的前n项和Sn，对于一切nN*，Sn（m，m+6），求实数m的取值范围22（15分）已知椭圆C：l（ab0）过点（1，0），且它的离心率为，直线l与椭圆C相交于A，B两点（）求椭圆C的方程；（）若弦AB的中点M到椭圆C中心的距离为1，求弦长|AB|的最大值；（）过原点O作直线mAB，垂足为P，若|OP|1，|AP|PB|，求直线l的方程2018-2019学
7、年浙江省衢州市五校联考高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4分）已知集合A1，5，B1，3，4，则AB（）A1B1，3，5C1，3，4，5D3，4，5【分析】进行并集的运算即可【解答】解：A1，5，B1，3，4；AB1，3，4，5故选：C【点评】考查列举法表示集合的定义，以及并集的运算2（4分）设向量（2，2，0），（cos），（0180），若，则角（）A30B60C120D150【分析】利用向量垂直的性质直接求解【解答】解：向量（2，2，0），（cos），（0180），2cos10，
8、cos，0180，角60故选：B【点评】本题考查角的求法，考查向量的垂直等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3（4分）过抛物线y22x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x24，则|AB|（）A4B5C6D8【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，可得|AB|x1+x2+1，计算即可得到所求值【解答】解：抛物线y22x的焦点F（，0），准线方程为x，即有|AB|AF|+|BF|，由抛物线的定义可得，|AF|x1+，|BF|x2+，即有|AB|x1+x2+14+15故选：B【点评】本题考查抛物线过焦点的弦长的求法，注意运用抛物线的定义，考查运算
9、能力，属于基础题4（4分）直线11：2xmy10，l2：（m1）xy+30，则“m2”是“l1l2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【分析】根据直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：直线11：2xmy10，l2：（m1）xy+30，若“l1l2”，则2（1）+m（m1）0，解得m2或m1，当m1时或m2时都满足，“m2”是“l1l2”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线平行的等价条件是解决本题的关键5（4分）下列命题正确的是（）A若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行B
10、若平面，则平面C若l，m是两条不同的直线，m平面，l，则lmD若一条直线上的两个点到平面的距离相等，则这条直线平行于平面【分析】由面面的位置关系可判断A；由面面垂直的性质和面面的位置关系可判断B；由线面平行和垂直的性质定理可判断C；由直线上两点在平面的同侧和两侧，可判断D【解答】解：若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面可能相交或平行，故A错误；若平面，则平面，相交或平行，故B错误；若l，m是两条不同的直线，m平面，l，由线面平行的性质定理可得过l的平面与交于n，可得nm，则lm，故C正确；若一条直线上的两个点到平面的距离相等，则这条直线平行于平面或与相交，故D错误故选：C【点评】本题考
11、查空间线面和面面的位置关系的判断，考查平行和垂直的判断和性质，考查推理能力，属于基础题6（4分）直线l：yx+1与圆O：x2+y21相交于A，B两点，则OAB的面积为（）ABCD【分析】根据题意，由圆的方程分析圆心与半径，由点到直线的距离公式求出圆心O到直线l的距离，由直线与圆的位置关系可得弦AB的长度，由三角形面积公式计算可得答案【解答】解：根据题意，圆O：x2+y21的圆心为（0，0），半径r1，圆心O到直线l：yx+1的距离d，弦AB的长度|AB|2，则OAB的面积S|AB|d；故选：B【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式，直角三角形中的边角关系，属于基础题7（4分
12、）函数f（x）x3ln|x|的大致图象是（）ABCD【分析】判断函数f（x）是奇函数，则图象关于原点对称，然后利用极限思想进行判断即可【解答】解：f（x）（x）3ln|x|x3ln|x|f（x），函数f（x） 是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，当x+时，f（x）+，故排除B，故选：A【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和极限思想利用排除法是解决本题的关键8（4分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，N是棱AD的中点，M是棱CC1上的点，且CC13CM，则直线BM与B1N所成的角的余弦值是（）ABCD【分析】以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，
13、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，求出的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线BM与B1N所成的角的余弦值【解答】解：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则B（1，1，0），M（0，1，），N（，0，0），B1（1，1，1），cos直线BM与B1N所成的角的余弦值是故选：D【点评】本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，是基础的计算题9（4分）过双曲线C：1（a0，b0）右焦点，且垂直于x轴的直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点若AOBOAB，设双曲线C的离心率为e，则e2（）ABCD【分析】由双曲线的对称性
14、及AOBOAB，可知AOB为等边三角形，求得A点，B点坐标，运用等边三角形的高为c，可得a，b，c的关系式，由b2c2a2，同除以a2，可得e的方程，由e1，解方程即可得到所求值【解答】解：由题意可知：AB为双曲线的通径，根据双曲线的对称性可知OABOBA，AOBOAB，AOB为等边三角形，设A（c，），B（c，），可得OFc，即acb2，由b2c2a2，结合e，可得e2e0，解得e，即有e2故选：D【点评】本题考查双曲线的性质，双曲线的离心率公式，考查计算能力，属于中档题10（4分）如图，在矩形ABCD中，AB3，AD2，点E为CD的中点，F为线段CE（端点除外）上一动点，现将DAF沿AF折
15、起，使得平面ABD平面ABC，则当直线FD与平面ABCF所成角取得最大时，点D到平面ABC的距离为（）AB1CD【分析】在矩形ABCD中，过点D作AF的垂线交AF于点O，交ABy于点M，设CFx，（0x1.5），AMy，由DAMADF，推导出y，由0x1.5，得，在翻折后的几何体中，推导出DM平面ABC，连结MF，则MFD是直线FD与平面ABCF所成角，即MFD，由此能求出最大值时D到平面ABC的距离【解答】解：如图，在矩形ABCD中，过点D作AF的垂线交AF于点O，交AB于点M，设CFx，（0x1.5），AMy，DFAM，ABCD是矩形，AFDM，DAMADF，yAM，0x1.5，y，在翻折
16、后的几何体中，AFOD，AFOM，AF平面ODM，平面ODM平面ABC，又平面ADB平面ABC，DM平面ABC，连结MF，则MFD是直线FD与平面ABCF所成角，MFD，DM，DF3x，siny，当y22时，sin取到最大值，最大值为 当直线FD与平面ABCF所成角取得最大时，点D到平面ABC的距离为故选：C【点评】本题考查线面角取最大值的点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11（6分）直线xy+60的斜率为；倾斜
17、角为【分析】设直线xy+60的斜率为k；倾斜角为0，）由直线xy+60化为：yx+6即可得出斜率与倾斜角【解答】解：设直线xy+60的斜率为k；倾斜角为0，）由直线xy+60化为：yx+6ktan；倾斜角故答案为：，【点评】本题考查了直线的方程、斜率与倾斜角，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12（6分）双曲线C：1的焦距为10；渐近线方程是y【分析】真假，一双曲线方程求解双曲线的焦距以及双曲线的渐近线方程即可【解答】解：双曲线C：1，可得a3，b4，则c5，所以双曲线的焦距为10；双曲线的渐近线方程为：y故答案为：10；y【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查13（6分）
18、九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示（单位：cm），则该“堑堵”的体积为2cm3，表面积为6cm2【分析】首先把几何体的三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积和表面积公式求出结果【解答】解：根据几何体的三视图，转换为几何体为：下底面为腰为的等腰直角三角形，高为2的三棱柱故：V，S6+4故答案为2，6+4【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型14（6分）如图，在ABC中，M为边BC上一点，4，AMC，AM2，AMC的面积为3，则|CM|6；cosBAC【分析】由
19、已知利用三角形的面积公式可求|CM|的值，进而可得BM2，BC8，AMB，利用余弦定理分别求得AB，AC的值，根据余弦定理可求cosBAC的值【解答】解：在AMC中，AMC，AM2，AMC的面积为3，解得：|CM|64，BM2，BC8，AMBAMC，由余弦定理可得：AB2，AC2，cosBAC故答案为：6，【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题15（4分）对于直线l上任意一点P（x，y），点Q（x+y，2x+y）在此直线l上，则直线l的方程为y【分析】设直线方程为：ykx+b，可得2x+yk（x+y）+b，相减可得：2xky，
20、2xk2x+kb，根据上式对于xR都成立，即可得出【解答】解：设直线方程为：ykx+b，（斜率存在）则2x+yk（x+y）+b，相减可得：2xky，2xk2x+kb，上式对于xR都成立，b0k22，即k直线方程为：yx【点评】本题考查了直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题16（4分）已知圆M：x2+y22ax2by+a210与圆N：x2+y2+2x+2y20交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，则圆M半径最小时圆M的方程为（x+1）2+（y+2）25【分析】由题意得圆M的圆心坐标为（a，b），由图中直角三角形AMN利用勾股定理得到关系式，求半径最小时圆M的方程，得出圆M的半径r最小
21、时b的值【解答】解：如图所示（坐标系省略了），圆心N（1，1）为弦AB的中点，在RtAMN中，|AM|2|AN|2+|MN|2，（a+1）22（b+2）；（a+1）22（b+2）0，于是有b2；而圆M半径r，当r时，b2，a1，所求圆的方程为（x+1）2+（y+2）25故答案为：（x+1）2+（y+2）25【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系以及综合运用数学知识解决问题的能力，是中档题17（4分）已知共面的三个单位向量，满足，若空间向量满足，且对于任意x，yR，恒有|（x+y）|，则|【分析】设，OBC与OAC是等边三角形，边长为1，从而，进而|，MD面OACB，|，由此能求出结果【解答】解
22、：如图，设，OBC与OAC是等边三角形，边长为1，|，MD面OACB，|故答案为：【点评】本题考查向理的模的求法，考查平面向量运算法则、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题三、解答题（本大题共5小题，共74分解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤)18（14分）已知f（x）4cosxsin（x+）（）求f（）的值；（）求f（x）的最小正周期及单调增区间【分析】（）首先利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值（）利用函数的关系式，直接求出函数的最小正周期和函数的单调区间【解答】解：（）f（x）4cosxsin（x+）4cosx（），
23、2sinxcosx+2，sin2x+，所以f（）2（）由于，所以函数的最小正周期为T，令：（kZ），解得：（kZ），所以函数的单调递增区间为（kZ）【点评】1本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型19（15分）已知f（x）2x2+2ax+a+4（）若任意xR，都有f（x）0，求a的取值范围；（）若对于任意的a1，2，存在x1，3使关于x的不等式f（x）b成立，求实数b的取值范围【分析】（）用判别式0解得；（）转化为f（x）minb可解得【解答】解：（）由04a28（a+4）0，解得2a4；（）f（x）的图象的对称轴
24、x1，f（x）minf（1）3a+6b，又a1.2，b12【点评】本题考查了二次函数的性质与图象，属基础题20（15分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知底面ABC为腰长为1的等腰直角三角形，且ACB90，CC12，D，E分别是棱CC1，AA1的中点（）求证：直线DB1平面BDE；（）求直线A1B1与平面BDE所成的角的正弦值【分析】（）连结EB1，推导出DEDB1，BDDB1，由此能证明直线DB1平面BDE（）取BB1中点M，BD中点G，连结EM，MG，EG，则EMA1B1，MGDB1，从而直线A1B1与平面BDE所成的角等于直线EM与平面BDE所成角，由此能求出直线A1B1与平面B
25、DE所成角的正弦值【解答】证明：（）连结EB1，直三棱柱ABCA1B1C1中，由题意得EB1，DB1，DE1，DEDB1，又BD，BB124，BDDB1，又BDDED，BD，DE平面BDE，直线DB1平面BDE解：（）取BB1中点M，BD中点G，连结EM，MG，EG，则EMA1B1，MGDB1，直线A1B1与平面BDE所成的角等于直线EM与平面BDE所成角，由（1）证得直线DB1平面BDE，MG平面BDE，MEG为直线与平面BDE所成角，在MEG中，sinMEG，直线A1B1与平面BDE所成角的正弦值为【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置
26、关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21（15分）已知数列an，a12，bn（nN*），且数列bn为公差为1的等差数列（）求数列an、bn的通项公式；（）设cn，数列cn的前n项和Sn，对于一切nN*，Sn（m，m+6），求实数m的取值范围【分析】（）首项利用已知条件求出数列的通项公式，（）利用（）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和，再利用数列的单调性和子集关系求出参数m的取值范围【解答】解：（）数列an，a12，bn（nN*），当n1时，b11，且数列bn为公差为1的等差数列则：bn1+（n1）n，则：（）由于：，所以：cn，则：+，得：由于：an0，所以：数列Sn为单调递
27、增数列，故：，且Sn6，对于一切nN*，Sn（m，m+6），故：，解得：，故m的取值范围是0，）【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型22（15分）已知椭圆C：l（ab0）过点（1，0），且它的离心率为，直线l与椭圆C相交于A，B两点（）求椭圆C的方程；（）若弦AB的中点M到椭圆C中心的距离为1，求弦长|AB|的最大值；（）过原点O作直线mAB，垂足为P，若|OP|1，|AP|PB|，求直线l的方程【分析】（）根据题意列出有关a、b、c的方程组，解出a、b的值，即可得出椭圆C的方程；（）设点A（
28、x1，y1）、B（x2，y2），设直线AB的方程为ykx+t，将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，并求出线段AB的中点M的坐标，由|OM|1，得出k与t所满足的关系式，然后利用弦长公式并代入韦达定理得出|AB|2的表达式，经过化简，利用基本不等式即可求出|AB|的最小值；（）先写出直线m的方程，将直线m与直线AB的方程联立，可得出点P的横坐标，再利用弦长公式并结合韦达定理以及条件|AP|PB|，得出k和t的值，并保证0，即可得出直线l的方程【解答】解；（）由题意知，b21，a2c21，所以，3c22a2，联立解得a23，因此，椭圆C的方程为；（2）由条件知直线l的斜率k是存在的，设直线l的方程为ykx+t，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去y并整理得（k2+3）x2+2ktx+t230，由韦达定理得，设点M（x0，y0），则，又，得又当且仅当时，即k2t23时，|AB|min2（）设直线，点P的横坐标为xP，则由，得原点到直线l的距离为，可得t2k2+1又得，由（），可得k23，t24，所以，b2，经检验，0，且符合题意！因此，直线l的方程为【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理设而不求法在椭圆综合中的应用，考查计算能力，属于中等题
