1、2019-2020学年山西省晋城市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1（3分）下列函数中，一定是二次函数的是（）Ayx2+1Byax2+bx+cCy2x+3Dy2（3分）一元二次方程x2+6x100的根的情况是（）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C只有一个实数根D没有实数根3（3分）正十二面体是五个柏拉图立体之一，属准晶体，结晶学全称为正五角十二面体，共有二十个顶点、三十条边和十二个面，且每一个面皆是正五边形如图1所示的是一个正十二面体的日历，如图2所示的是小贤根据图1设计的一枚质地均匀的正十二面体的骰子，其中1个面标有“1”，2个面标有“
2、2”，3个面标有“4”，其余的面标有“3”或“5”，将这枚骰子随机掷出后，“4”朝上的概率是（）ABCD4（3分）抛物线y2（x+1）23的最大值为（）A1B2C3D45（3分）对于二次函数y2x2，下列结论正确的是（）Ay随x的增大而增大B图象关于直线x0对称C图象开口向上D无论x取何值，y的值总是负数6（3分）将二次函数y2x24x+5的右边进行配方，正确的结果是（）Ay2（x1）23By2（x2）23Cy2（x1）2+3Dy2（x2）2+37（3分）已知二次函数yax2+bx+c的x、y的部分对应值如表：x0123y55917则该函数的对称轴为（）Ay轴B直线xC直线x1D直线x8（3分
3、）如图，AB是O的直径，点C，D，E均在O上，若ACD40，则BED的度数为（）A50B40C30D209（3分）二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数yaxbc的图象大致是（）ABCD10（3分）已知A（4，y1），B（1，y2），C（3，y3）在函数y3（x2）2+m（m为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）Ay3y1y2 By1y3y2 Cy3y2 y1Dy1y2 y3二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11（3分）已知抛物线yax2+x2经过点（1，3），则a 12（3分）已知在半径为5的O中，弦AB的长为6，那么圆心O到AB的距离为 13
4、（3分）计算：（3）+ 14（3分）某直角三角形的两条边长分别是10和24，则连接两条直角边中点的线段的长是 15（3分）将二次函数yx22x+5的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，则得到的二次函数的解析式是 三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（10分）（1）解方程：5x（x3）62x（2）计算： sin45+（）1|9|+2017（8分）已知抛物线yax2+bx+c过点A（1，8），B（1，0），C（0，3），求此抛物线的对称轴和顶点坐标18（9分）如图，二次函数yx2+x+3的图象与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C（1
5、）求点A、B、C的坐标；（2）求ABC的面积19（8分）两千多年前，古希数学家欧多克索斯（Eudoxus，约公元前400年一公元前347年）发现；将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比，即，则点P叫做线段AB的黄金分割点如图，在ABC中，点D是线段AC的黄金分割点，且ADCD，ABCD（1）求证：ABCADB；（2）若BC4cm，求BD的长20（7分）民间剪纸在山西是一种很普遍的群众艺术，并有极高的审美价值，被黄河水，黄土山养育的山西人民具有粗犷豪放、朴实教厚的气质和性格，他们飞剪走纸，将自己的情思才华和美好的心愿都倾注在朝夕相伴的剪
6、纸中，构成了特有的地域习俗与人文心态现有四张不透明的、背面完全一样的剪纸画卡片：王沛玲将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一张卡片（不放回），再随机抽取一张卡片（1）王沛玲第1次抽取的卡片上的剪纸画是“一帆风顺”的概率是 （2）请你用列表法或画树状图法，帮助王沛玲求出2次抽取的卡片上的剪纸画一张是“一帆风顺”，一张是“喜结良缘”的概率21（8分）某超市销售一种商品，其成本是每千克40元，并且规定每千克的售价不得低于成本价，且不高于100元经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克的售价x（元）满足一次函数关系，其中部分数据如表：售价x（元/千克）405060销售量y（千克）180
7、150120（1）求y与x之间的函数表达式（2）设该商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润收入成本），并指出每千克的售价为多少元时可获得最大利润？最大利润是多少？22（12分）综合与实践问题情境：我们在探索“圆”时，学习了圆周角与圆心角的关系定理及推论请利用相关知识，思考下列问题：如图1，AB是O的直径，C是O上一定点，点D在O上运动，连接AC、BD并延长，交点为P，求证：AB2ACAP+BDBP实践操作：如图2，连接AD、BC，相交于点E，连接PE并延长，交AB于点MAB为O的直径，ACBADB90，（依据）PMAB，PMAPMB90PAMBAC，APMABC，问题解决（
8、1）依据： （2）请按照上面的思路，写出该证明的剩余部分（3）当点D运动到如图3所示的位置时，AC、BD相交于点P，则AB2ACAP+BDBP是否成立？请说明理由23（13分）如图，抛物线yx2x+c与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q（1）求A，C两点的坐标（2）请用含a的代数式表示线段PQ的长，并求出a为何值时PQ取得最大值（3）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q的坐标；若不存在，请
9、说明理由参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1（3分）下列函数中，一定是二次函数的是（）Ayx2+1Byax2+bx+cCy2x+3Dy【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可【解答】解：A、是二次函数，故本选项符合题意；B、当a0时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意；C、不是二次函数，故本选项不符合题意；D、不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：A【点评】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义的内容是解此题的关键2（3分）一元二次方程x2+6x100的根的情况是（）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C只有一个实数根D没有实数根【分析】先
10、计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况【解答】解：624（1）（10）364040，方程没有实数根故选：D【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根3（3分）正十二面体是五个柏拉图立体之一，属准晶体，结晶学全称为正五角十二面体，共有二十个顶点、三十条边和十二个面，且每一个面皆是正五边形如图1所示的是一个正十二面体的日历，如图2所示的是小贤根据图1设计的一枚质地均匀的正十二面体的骰子，其中1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“4”，其余的面标有“3”或“
11、5”，将这枚骰子随机掷出后，“4”朝上的概率是（）ABCD【分析】根据概率公式解答即可【解答】解：标有“4”的面数为3，共有12个面，故标有“4”的面朝上的可能性为故选：B【点评】此题主要考查了概率公式的应用，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）4（3分）抛物线y2（x+1）23的最大值为（）A1B2C3D4【分析】根据二次函数的性质解答即可【解答】解：a20，函数有最大值3，故选：C【点评】本题考查的是二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键5（3分）对于二次函数y2x2，下列结论正确的是（）Ay随x的增大而增大B图象关于直
12、线x0对称C图象开口向上D无论x取何值，y的值总是负数【分析】利用二次函数的性质对各选项进行判断【解答】解：二次函数y2x2的开口向下，对称轴为直线x0，函数有最大值0，当x0时，y随x的增大而增大故选：B【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程也考查了二次函数的性质6（3分）将二次函数y2x24x+5的右边进行配方，正确的结果是（）Ay2（x1）23By2（x2）23Cy2（x1）2+3Dy2（x2）2+3【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数一半的平方，即得出顶点式的形式【解答】解：提
13、出二次项系数得，y2（x22x）+5，配方得，y2（x22x+1）+52，即y2（x1）2+3故选：C【点评】本题考查了二次函数的三种形式，一般式：yax2+bx+c，顶点式：ya（xh）2+k；两根式：ya（xx1）（xx2）7（3分）已知二次函数yax2+bx+c的x、y的部分对应值如表：x0123y55917则该函数的对称轴为（）Ay轴B直线xC直线x1D直线x【分析】根据表格中的数据可以写出该函数的对称轴，本题得以解决【解答】解：由表格可得，该函数的对称轴是：直线x，故选：B【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答8（
14、3分）如图，AB是O的直径，点C，D，E均在O上，若ACD40，则BED的度数为（）A50B40C30D20【分析】根据AB是O的直径求出的度数是180，求出的度数是80，再求出的度数是100，即可得出答案【解答】解：AB为O的直径，的度数是180，ACD40，的度数是80，的度数是100，BED50，故选：A【点评】本题考查了圆周角定理，能求出的度数是解此题的关键，注意：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半9（3分）二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数yaxbc的图象大致是（）ABCD【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、c的正负，从而可以得到一次函数yaxbc的图象
15、经过哪几个象限，本题得以解决【解答】解：由二次函数yax2+bx+c的图象可得，a0，b0，c0，bc0，一次函数yaxbc的图象经过第二、三、四象限，故选：D【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答10（3分）已知A（4，y1），B（1，y2），C（3，y3）在函数y3（x2）2+m（m为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）Ay3y1y2 By1y3y2 Cy3y2 y1Dy1y2 y3【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x2，根据x2时，y随x的增大而增大，即可得出答案【解答】解：
16、y3（x2）2+m，图象的开口向下，对称轴是直线x2，A（4，y1）关于直线x2的对称点是（0，y1），301，y3y1y2 故选：A【点评】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11（3分）已知抛物线yax2+x2经过点（1，3），则a6【分析】将点（1，3）代入可得a的值【解答】解：将（1，3）代入yax2+x2，得：a123，解得a6，故答案为6【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设
17、出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解12（3分）已知在半径为5的O中，弦AB的长为6，那么圆心O到AB的距离为4【分析】作OCAB于C，连结OA，根据垂径定理得到ACBCAB3，然后在RtAOC中利用勾股定理计算OC即可【解答】解：作OCAB于C，连结OA，如图，OCAB，ACBCAB63，在RtAOC中，OA5，OC4，即圆心O到AB的距离为4故答案为：4【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦
18、，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理13（3分）计算：（3）+2【分析】利用二次根式的乘除法则运算【解答】解：原式3+23+22故答案为2【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍14（3分）某直角三角形的两条边长分别是10和24，则连接两条直角边中点的线段的长是13或12【分析】根据勾股定理求出AB，根据三角形中位线定理计算，得到答案【解答】解：当24是直角边时，由勾股定理得，斜边AB26，M、N分别为CA、CB的中点，MNAB13，当24
19、是斜边时，MNAB12，故答案为：13或12【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半15（3分）将二次函数yx22x+5的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，则得到的二次函数的解析式是y（x+1）21【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可【解答】解：yx22x+5（x1）2+4，将二次函数yx22x+5的图象在平面直角坐标系中先向左平移2个单位长度所得函数解析式为：y（x1+2）2+4，即y（x+1）2+4，再把二次函数y（x+1）2+4的图象向下平移5个单位长度所得函数解析式为：y（x+1）2+45，即y（
20、x+1）21，故答案为：y（x+1）21【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（10分）（1）解方程：5x（x3）62x（2）计算： sin45+（）1|9|+20【分析】（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案；（2）根据实数的运算法则即可求出答案【解答】解：（1）5x（x3）62x，5x（x3）2（x3），5x（x3）+2（x3）0，（x3）（5x+2）0，x3或x；（2）原式2+39+12+39+13；【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法
21、则，本题属于基础题型17（8分）已知抛物线yax2+bx+c过点A（1，8），B（1，0），C（0，3），求此抛物线的对称轴和顶点坐标【分析】根据抛物线yax2+bx+c过点A（1，8），B（1，0），C（0，3），可以求得该抛物线的解析式，从而可以得到该抛物线的对称轴和顶点坐标【解答】解：抛物线yax2+bx+c过点A（1，8），B（1，0），C（0，3），解得，yx2+4x3（x2）2+1，此抛物线的对称轴是直线x2，顶点坐标是（2，1）【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答18（9分）如图，二次函数yx2+x+3的图象
22、与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C（1）求点A、B、C的坐标；（2）求ABC的面积【分析】（1）yx2+x+3，令x0，则y3，令y0，则x4或1，即可求解；（2）ABC的面积ABOC，即可求解【解答】解：（1）yx2+x+3，令x0，则y3，令y0，即yx2+x+30，解得：x4或1，故点A、B、C的坐标分别为：（1，0）、（4，0）、（0，3）；（2）ABC的面积ABOC（4+1）3【点评】本题考查的是二次函数与x轴的交点，分别令x、y为0，即可求出函数与坐标轴的交点，进而求解三角形的面积19（8分）两千多年前，古希数学家欧多克索斯（Eudoxus，约公元前400年一公元前347年）发
23、现；将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比，即，则点P叫做线段AB的黄金分割点如图，在ABC中，点D是线段AC的黄金分割点，且ADCD，ABCD（1）求证：ABCADB；（2）若BC4cm，求BD的长【分析】（1）利用点D是线段AC的黄金分割点得到AD：CDCD：AC，而ABCD，所以AD：ABAB：AC，然后判断ABDACB得到结论；（2）利用ABDACB得到，则，再根据点D是线段AC的黄金分割点得到CDAC，从而可计算出BD的长【解答】（1）证明：点D是线段AC的黄金分割点，且ADCD，AD：CDCD：AC，ABCD，AD：ABA
24、B：AC，而DABBAC，ABDACB，ADBABC；（2）解：ABDACB，而ABCD，点D是线段AC的黄金分割点，且ADCD，CDAC，BD（22）cm【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：ACAC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点其中ACAB0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个也考查了相似三角形的判定与性质20（7分）民间剪纸在山西是一种很普遍的群众艺术，并有极高的审美价值，被黄河水，黄土山养育的山西人民具有粗犷豪放、朴实教厚的气质和性格，他们飞剪走纸，将自己的情思才华和美好
25、的心愿都倾注在朝夕相伴的剪纸中，构成了特有的地域习俗与人文心态现有四张不透明的、背面完全一样的剪纸画卡片：王沛玲将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一张卡片（不放回），再随机抽取一张卡片（1）王沛玲第1次抽取的卡片上的剪纸画是“一帆风顺”的概率是（2）请你用列表法或画树状图法，帮助王沛玲求出2次抽取的卡片上的剪纸画一张是“一帆风顺”，一张是“喜结良缘”的概率【分析】（1）找出四张卡片中是“一帆风顺”的情况数，即可求出所求的概率；（2）列表得出所有等可能的情况数，找出一张是“一帆风顺”，一张是“喜结良缘”的情况数，即可求出所求的概率【解答】解：（1）从四张卡片中任意摸出一张，卡片上
26、的剪纸画是“一帆风顺”的概率是故答案为：；（2）将四张剪纸分别记为A、B、C、D，列表如下： ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）所有等可能的情况数有12种，其中2次抽取的卡片上的剪纸画一张是“一帆风顺”，一张是“喜结良缘”的有2种情况，分别为（A，B），（B，A），所以2次抽取的卡片上的剪纸画一张是“一帆风顺”，一张是“喜结良缘”的概率为【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比21（8分）某超市销售一种商品，其成本是每千克40元，并且规定每千克的售价不得
27、低于成本价，且不高于100元经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克的售价x（元）满足一次函数关系，其中部分数据如表：售价x（元/千克）405060销售量y（千克）180150120（1）求y与x之间的函数表达式（2）设该商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润收入成本），并指出每千克的售价为多少元时可获得最大利润？最大利润是多少？【分析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）根据“总利润每千克的利润销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式，再依据二次函数的性质求解可得【解答】解：（1）设ykx+b，将（40，180）、（50，150）代入，得：，解得：，则y3x+300；（2
28、）W（x40）（3x+300）3x2+420x120003（x70）2+2700，a30，当x70时，W取得最大值，最大值为2700，故每千克的售价为70元时可获得最大利润，最大利润是2700元【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，据此列出函数解析式，并熟练掌握二次函数的性质22（12分）综合与实践问题情境：我们在探索“圆”时，学习了圆周角与圆心角的关系定理及推论请利用相关知识，思考下列问题：如图1，AB是O的直径，C是O上一定点，点D在O上运动，连接AC、BD并延长，交点为P，求证：AB2ACAP+BDBP实践操作：如图2，连接AD、BC，相交于点
29、E，连接PE并延长，交AB于点MAB为O的直径，ACBADB90，（依据）PMAB，PMAPMB90PAMBAC，APMABC，问题解决（1）依据：直径所对的圆周角是直角（2）请按照上面的思路，写出该证明的剩余部分（3）当点D运动到如图3所示的位置时，AC、BD相交于点P，则AB2ACAP+BDBP是否成立？请说明理由【分析】（1）由题意可得；（2）通过证明APMABC，可得ABAMACAP，通过证明ADBPMB，可得ABBMBDPB，即可得结论；（3）通过证明APMABC，可得ABAMACAP，通过证明ADBPMB，可得ABBMBDPB，即可得结论【解答】解：（1）AB为O的直径，由直径所对
30、的圆周角是直角，ACBADB90，故答案为：直径所对的圆周角是直角；（2）连接AD、BC，相交于点E，连接PE并延长，交AB于点MAB为O的直径，ACBADB90，PMAB，PMAPMB90PAMBAC，APMABC，ABAMACAP，ADBAMB90，ABDPBM，ADBPMB，ABBMBDPB，ABAM+ABBMBDPB+ACAP，AB2ACAP+BDBP；（3）仍然成立，理由如下：如图3，连接AD，BC，过点P作PMAB于M，AB为O的直径，ACBADB90，PMAB，PMAPMB90ADBPMB90，ABDPBM，ABDPBM，ABBMBDPB，ACBAMP90，CABPAM，APMA
31、BC，ABAMACAP，ABAM+ABBMBDPB+ACAP，AB2ACAP+BDBP【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是本题的关键23（13分）如图，抛物线yx2x+c与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q（1）求A，C两点的坐标（2）请用含a的代数式表示线段PQ的长，并求出a为何值时PQ取得最大值（3）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q
32、的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将点B的坐标（3，0）代入抛物线解析式可得出c4，解方程，得x13，x24，则A（4，0）；（2）求出直线AC的解析式yx+4，设P（a，），则点Q（a，a+4），则PQ可用a表示，由二次函数的性质可求出PQ的最大值；（3）分BCBQ、BCCQ、CQBQ三种情况，分别列得出方程求解即可【解答】解：（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线解析式得，解得：c4，令y0，则，解得x13，x24，A（4，0），C（0，4）；（2）A（4，0），C（0，4），设直线AC的解析式为ykx+b，直线AC的解析式yx+4，点P的横坐标为a，P（a，），则点Q（a，a+4
33、），PQ，a2时，PQ有最大值；（3）存在，理由：点A、B、C的坐标分别为（4，0）、（3，0）、（0，4），则BC5，AB7，AC4，OACOCA45，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：ymx+n并解得：，直线BC的解析式为yx+4，设BC的中点为H，由中点坐标公式可得H（），过BC的中点H且与直线BC垂直直线的表达式为：y，当BCBQ时，如图1，BCBQ5，设：QMAMn，则BM7n，由勾股定理得：（7n）2+n225，解得：n3或4（舍去4），故点Q1（1，3）；当BCCQ时，如图1，CQ5，则AQACCQ4，当CQBQ时，联立直线AC解析式yx+4和y，解得x（不合题意，舍去），综合以上可得点Q的坐标为：Q（1，3）或（）【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法，等腰三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识点，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系
