1、2018-2019学年浙江省湖州市南浔区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1（3分）下列事件属于必然事件的是（）A在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球B抛掷一枚硬币2次都是正面朝上C在标准大气压下，气温为5时，冰能熔化为水D从车间刚生产的产品中任意抽一个，是次品2（3分）已知抛物线y（x1）2+2，下列说法错误的是（）A顶点坐标为（1，2）B对称轴是直线x1C开口方向向上D当x1时，y随x的增大而减小3（3分）如图，已知在ABC中，DEBC，DE2，则BC的长是（）A3B4C5D64（3分）O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与O的位置关
2、系是（）A相交B相切C相离D无法确定5（3分）如图，已知BD是O的直径，点A、C在O上，AOB60，则BDC的度数是（）A20B25C30D406（3分）在ABC中，C90，a，b，c分别为A，B，C的对边，下列关系中错误的是（）AbccosBBbatanBCbcsinBDabtanA7（3分）二次函数yax2+bx+c的部分对应值如下表x321012y1250343利用二次函数的图象可知，当函数值y0时，x的取值范围是（）A0x2Bx0或x2C1x3Dx1或x38（3分）九章算术是我国古代第一部自成体系的数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几
3、何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（ED2寸），锯道长8寸”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径AC是（）A5寸B8寸C10寸D12寸9（3分）如图，已知在ABC纸板中，AC4，BC8，AB11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是（）A0CP1B0CP2C1CP8D2CP810（3分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线yx2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为A（6，0），点C是抛物线的顶点，且C与y轴相切，
4、点P为C上一动点若点D为PA的中点，连结OD，则OD的最大值是（）ABC2D二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11（4分）对一批防PM2.5口罩进行抽检，经统计合格口罩的概率是0.9，若这批口罩共有2000只，则其中合格的大约有 只12（4分）b和2的比例中项是4，则b 13（4分）如果一个正多边形的每个外角都等于72，那么它是正 边形14（4分）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC3m，则坡面AB的长度是 m15（4分）如图，是由10个小正三角形构造成的网格图（每个小正三角形的边长均为1），则sin（+） 16（4分）如
5、图，已知点D，E是半圆O上的三等分点，C是弧DE上的一个动点，连结AC和BC，点I是ABC的内心，若O的半径为3，当点C从点D运动到点E时，点I随之运动形成的路径长是 三、解答题（本题有8小题，共66分）17（6分）计算：（1）已知，求的值；（2）6cos2452tan30tan6018（6分）甲、乙两人进行摸牌游戏现有三张除数字外都相同的牌，正面分别标有数字2，5，6将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上（1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；（2）若两人抽取的数字和为4的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为奇数，则乙获胜
6、这游戏公平吗？请用概率的知识加以解释19（6分）如图，在由12个小正方形构造成的网格图（每个小正方形的边长均为1）中，点A，B，C（1）画出ABC绕点B顺时针旋转90后得到的A1B1C1；（2）若点D，E也是网格中的格点，画出BDE，使得BDE与ABC相似（不包括全等），并求相似比20（8分）超速行驶被称为“马路第一杀手”为了让驾驶员自觉遵守交通规则，湖浔大道公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，如图所示，已知检测点设在距离公路10米的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为1.35秒已知B45，C30（1）求B，C之间的距离（结果保留根号）；（2）如果此地限速为70km/h，那
7、么这辆汽车是否超速？请说明理由（参考数据；1.7，1.4）21（8分）如图，已知在RtABC中，C90，BAC的平分线AD交BC边于点D以AB上点O为圆心作O，使O经过点A和点D（1）判断直线BC与O的位置关系，并说明理由；（2）若AE6，劣弧DE的长为，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积（结果保留根号和）22（10分）“辑里湖丝”是世界闻名最好的蚕丝，是浙江省的传统丝织品，属于南浔特产，南浔某公司用辑丝为原料生产的新产品丝巾，其生产成本为20元/条此产品在网上的月销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系为y0.2x+10（由于受产能限制，月销售量无法超过4万件）（1）若
8、该产品某月售价为30元/件时，则该月的利润为多少万元？（2）若该产品第一个月的利润为25万元，那么该产品第一个月的售价是多少？（3）第二个月，该公司将第一个月的利润25万元（25万元只计入第二个月成本）投入研发，使产品的生产成本降为18元/件为保持市场占有率，公司规定第二个月产品售价不超过第一个月的售价请计算该公司第二个月通过销售产品所获的利润w为多少万元？23（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线ya（x+3）（x1）（a0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）（1）求点A与点B的坐标；（2）若a，点M是抛物线上一动点，若满足MAO不大于45，求点M的横坐标m的取
9、值范围（3）经过点B的直线l：ykx+b与y轴正半轴交于点C与抛物线的另一个交点为点D，且CD4BC若点P在抛物线对称轴上，点Q在抛物线上，以点B，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由24（12分）感知定义在一次数学活动课中，老师给出这样一个新定义：如果三角形的两个内角与满足+290，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”尝试运用（1）如图1，在RtABC中，C90，BC3，AB5，BD是ABC的平分线证明ABD是“类直角三角形”；试问在边AC上是否存在点E（异于点D），使得ABE也是“类直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由类比
10、拓展（2）如图2，ABD内接于O，直径AB10，弦AD6，点E是弧AD上一动点（包括端点A，D），延长BE至点C，连结AC，且CADAOD，当ABC是“类直角三角形”时，求AC的长2018-2019学年浙江省湖州市南浔区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1（3分）下列事件属于必然事件的是（）A在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球B抛掷一枚硬币2次都是正面朝上C在标准大气压下，气温为5时，冰能熔化为水D从车间刚生产的产品中任意抽一个，是次品【分析】根据事件的分类判断，必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可解决【解答】解：A、在一个装
11、着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球，是不可能事件；B、抛掷一枚硬币2次都是正面朝上是随机事件；C、在标准大气压下，气温为5时，冰能熔化为水是必然事件；D、从车间刚生产品中任意抽一个，是次品，是随机事件；故选：C【点评】此题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下，一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件2（3分）已知抛物线y（x1）2+2，下列说法错误的是（）A顶点坐标为（1，2）B对称轴是直线x1C开口方向向上D当x1时，y随x的增大而减小【分析】已知抛物线
12、解析式为顶点式，根据顶点式的特点判断顶点坐标，开口方向，最值及增减性【解答】解：由抛物线y（x1）2+2可知，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x1，抛物线开口向上，函数有最小值为2，x1时y随x增大而增大，A、B、C判断正确，D错误故选：D【点评】本题考查了二次函数的性质关键是熟练掌握顶点式与抛物线开口方向，增减性，顶点坐标及最大（小）值之间的联系3（3分）如图，已知在ABC中，DEBC，DE2，则BC的长是（）A3B4C5D6【分析】由DEBC可证ADEABC，得到，即可求BC的长【解答】解：DEBC，ADEABC，BC6故选：D【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握定理是
13、解题的关键4（3分）O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与O的位置关系是（）A相交B相切C相离D无法确定【分析】圆心O到直线l的距离d3，而O的半径R4又因为dR，则直线和圆相交【解答】解：圆心O到直线l的距离d3，O的半径R4，则dR，直线和圆相交故选A【点评】考查直线与圆位置关系的判定要掌握半径和圆心到直线的距离之间的数量关系5（3分）如图，已知BD是O的直径，点A、C在O上，AOB60，则BDC的度数是（）A20B25C30D40【分析】由BD是O的直径，点A、C在O上，AOB60，利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得BDC的度数【
14、解答】解：，AOB60，BDCAOB30故选：C【点评】此题考查了圆周角定理此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用6（3分）在ABC中，C90，a，b，c分别为A，B，C的对边，下列关系中错误的是（）AbccosBBbatanBCbcsinBDabtanA【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可【解答】解：在RtABC中，C90，则tanA，tanB，cosB，tanB；因而bcsinBatanB，abtanA，错误的是bccosB故选：A【点评】利用锐角三角函数的定义，正确理解直角三角形边角之间的关系在直角
15、三角形中，如果已知一边及其中的一个锐角，就可以表示出另外的边7（3分）二次函数yax2+bx+c的部分对应值如下表x321012y1250343利用二次函数的图象可知，当函数值y0时，x的取值范围是（）A0x2Bx0或x2C1x3Dx1或x3【分析】函数值y0对应的自变量值是：1、3，在它们之间的函数值都是正数由此可得y0时，x的取值范围【解答】解：从表格可以看出，二次函数毒刺横轴为直线x1，故当x1或3时，y0；因此当1x3时，y0故选：C【点评】此题考查了二次函数与x轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是要认真观察，利用表格中的信息解决问题8（3分）九章算术是我国古代第一部自成体系的
16、数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（ED2寸），锯道长8寸”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径AC是（）A5寸B8寸C10寸D12寸【分析】设O的半径为r在RtAEO中，AE4，OEr2，OAr，则有r242+（r2）2，解方程即可【解答】解：设O的半径为r在RtAEO中，AE4，OEr2，OAr，则有r242+（r2）2，解得r5，O的直径为10寸，故选：C【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用
17、参数构建方程解决问题，属于中考常考题型9（3分）如图，已知在ABC纸板中，AC4，BC8，AB11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是（）A0CP1B0CP2C1CP8D2CP8【分析】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AP的长的取值范围【解答】解：如图所示，过P作PDAB交AC于D或PEAC交AB于E，则PCDBCA或BPEBCA，此时0PC8；如图所示，过P作BPFA交AB于F，则BPFBAC，此时0PC8；如图所示，过P作CPGB交AC于G，则CPGCAB，此时，CPGCBA，当点G与点A重合
18、时，CA2CPCB，即42CP8，CP2，此时，0CP2；综上所述，CP长的取值范围是0CP2故选：B【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等10（3分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线yx2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为A（6，0），点C是抛物线的顶点，且C与y轴相切，点P为C上一动点若点D为PA的中点，连结OD，则OD的最大值是（）ABC2D【分析】如图，取点H（6，0），连接PH，由待定系数法可求抛物线解析式，可得点C坐标，可得C半径为4，由三角形中位线的定理可求ODPH，当点C在PH上时，PH有最大值，即可求解【解
19、答】解：如图，取点H（6，0），连接PH，抛物线yx2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为A（6，0），解得：抛物线解析式为：yx2x顶点C（3，4），C半径为3，AOOH6，ADBD，ODPH，PH最大时，OD有最大值，当点C在PH上时，PH有最大值，PH最大值为3+3+，OD的最大值为：，故选：B【点评】本题考查了切线的性质，二次函数的性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11（4分）对一批防PM2.5口罩进行抽检，经统计合格口罩的概率是0.9，若这批口罩共有2000只，则其中合格的大约有1800只【分析】用这批口罩的只
20、数合格口罩的概率，列式计算即可得到合格的只数【解答】解：20000.920000.91800（只）故答案为1800【点评】考查了用样本估计总体，生产中遇到的估算产量问题，通常采用样本估计总体的方法12（4分）b和2的比例中项是4，则b8【分析】根据题意，b与2的比例中项为4，也就是b：44：2，然后再进一步解答即可【解答】解：根据题意可得：b：44：2，解得b8，故答案为8【点评】本题考查了比例线段，解题的关键是理解两个数的比例中项，然后列出比例式进一步解答13（4分）如果一个正多边形的每个外角都等于72，那么它是正5边形【分析】正多边形的外角和是360，这个正多边形的每个外角相等，因而用36
21、0除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数【解答】解：这个正多边形的边数：360725故答案为：5【点评】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键14（4分）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC3m，则坡面AB的长度是6m【分析】在RtABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长【解答】解：在RtABC中，BC5米，tanA1：；ACBCtanA3米，AB6米故答案为：6【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力
22、，熟练运用勾股定理是解答本题的关键15（4分）如图，是由10个小正三角形构造成的网格图（每个小正三角形的边长均为1），则sin（+）【分析】如图，连接BC，构造直角三角形ABC，由正三角形及菱形的对角线平分对角的性质，得出BCD30，ABC90，从而+ACB，分别求出ABC的边长，利用正弦函数的定义可得答案【解答】解：如图，连接BC上图是由10个小正三角形构造成的网格图任意相邻两个小正三角形都组成一个菱形BCD30，ABC90，+ACB每个小正三角形的边长均为1AB2，在RtDBC中，tan60BC在RtABC中，ACsin（+）sinACB故答案为：【点评】本题考查了构造直角三角形求三角函数
23、值，正确作出辅助线，明确正弦函数的定义，是解题的关键16（4分）如图，已知点D，E是半圆O上的三等分点，C是弧DE上的一个动点，连结AC和BC，点I是ABC的内心，若O的半径为3，当点C从点D运动到点E时，点I随之运动形成的路径长是【分析】如图，连接AI，BI，作OTAB交O 于T，连接AT，TB，以T为圆心，TA为半径作T，在优弧AB上取一点G，连接AG，BG证明AIB+G180，推出A，I，B，G四点共圆，退出点I的运动轨迹是即可解决问题【解答】解：如图，连接AI，BI，作OTAB交O 于T，连接AT，TB，以T为圆心，TA为半径作T，在优弧AB上取一点G，连接AG，BGAB是直径，ACB
24、90，I是ABC的内心，AIB135，OTAB，OAOB，TATB，ATB90，AGBATB45，AIB+G180，A，I，B，G四点共圆，点I的运动轨迹是，由题意，MTM30，易知TATM3，点I随之运动形成的路径长是，故答案为【点评】本题考查了轨迹，垂径定理、圆周角定理、三角形的内心和等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考常考题型三、解答题（本题有8小题，共66分）17（6分）计算：（1）已知，求的值；（2）6cos2452tan30tan60【分析】（1）先把化成+1，再代入计算即可；（2）根据特殊角的三角函数进行计算即可得出答案【解答】解（1），+1+1；（
25、2）6cos2452tan30tan606（）22621【点评】此题考查了比例的性质和特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握比例的性质和几个特殊角的三角函数值18（6分）甲、乙两人进行摸牌游戏现有三张除数字外都相同的牌，正面分别标有数字2，5，6将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上（1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；（2）若两人抽取的数字和为4的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为奇数，则乙获胜这游戏公平吗？请用概率的知识加以解释【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等情况数和两人抽取相同数字的情况数，然后根据概率
26、公式即可得出答案；（2）根据概率公式求出两人抽取的数字和为4的倍数以及和为奇数的概率，然后进行比较即可得出答案【解答】解：（1）根据题意画树状图如下：共有9种等情况数，其中两人抽取相同数字的有3种，则两人抽取相同数字的概率是；（2）共有9种等情况数，其中两人抽取的数字和为4的倍数有4种，抽取的数字和为奇数的有4种，P（和为4的倍数），P（和为奇数），这个游戏公平【点评】本题考查的是游戏公平性的判断判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比19（6分）如图，在由12个小正方形构造成的网格图（每个小正方形的边长均为1）中，点A，B
27、，C（1）画出ABC绕点B顺时针旋转90后得到的A1B1C1；（2）若点D，E也是网格中的格点，画出BDE，使得BDE与ABC相似（不包括全等），并求相似比【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用相似图形的性质得出符合题意的答案【解答】解：（1）如图1所示：A1B1C1，即为所求；（2）如图2所示：BDE，即为所求，相似比为：2【点评】此题主要考查了相似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键20（8分）超速行驶被称为“马路第一杀手”为了让驾驶员自觉遵守交通规则，湖浔大道公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，如图所示，已知检测点设在距离公路10
28、米的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为1.35秒已知B45，C30（1）求B，C之间的距离（结果保留根号）；（2）如果此地限速为70km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由（参考数据；1.7，1.4）【分析】（1）如图作ADBC于D则AD10m，求出CD、BD即可解决问题（2）求出汽车的速度，即可解决问题，注意统一单位【解答】解：（1）如图作ADBC于D则AD10m，在RtABD中，B45，BDAD10m，在RtACD中，C30，tan30，CDAD10m，BCBD+DC（10+10）m（2）结论：这辆汽车超速理由：BC10+1027m，汽车速度20m/s72km/h，72km/h
29、70km/h，这辆汽车超速【点评】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数、速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型21（8分）如图，已知在RtABC中，C90，BAC的平分线AD交BC边于点D以AB上点O为圆心作O，使O经过点A和点D（1）判断直线BC与O的位置关系，并说明理由；（2）若AE6，劣弧DE的长为，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积（结果保留根号和）【分析】（1）根据切线的判定定理即可证明；（2）根据三角形的面积与扇形面积的差即可求解【解答】解：（1）直线BC与O相切理由如下：连接ODAD是BAC的平
30、分线，DACDAB，OAOD，OADODA，DACODA，ODAC，ODBC90，ODBC，直线BC与O相切（2）l，AE6，劣弧DE的长为，DOE60ODB90，BDOD3，SBODBDODS扇形DOE答：BE与劣弧DE所围成的部分的面积为【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、弧长计算、扇形面积的计算，解决本题的关键是综合运用相关知识22（10分）“辑里湖丝”是世界闻名最好的蚕丝，是浙江省的传统丝织品，属于南浔特产，南浔某公司用辑丝为原料生产的新产品丝巾，其生产成本为20元/条此产品在网上的月销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系为y0.2x+10（由于受产能限制，月销售量无法超过
31、4万件）（1）若该产品某月售价为30元/件时，则该月的利润为多少万元？（2）若该产品第一个月的利润为25万元，那么该产品第一个月的售价是多少？（3）第二个月，该公司将第一个月的利润25万元（25万元只计入第二个月成本）投入研发，使产品的生产成本降为18元/件为保持市场占有率，公司规定第二个月产品售价不超过第一个月的售价请计算该公司第二个月通过销售产品所获的利润w为多少万元？【分析】（1）根据题意销售量与售价的关系式代入值即可求解；（2）根据月利润等于销售量乘以单件利润即可求解；（3）根据根据（2）中的关系利用二次函数的性质即可求解【解答】解：（1）根据题意，得当x30时，y0.230+104，
32、41040答：该月的利润为40万元（2）25（x20）（0.2x+10），解得x145，x225（月销售量无法超过4万件，舍去）答：该产品第一个月的售价是45元（3）由于受产能限制，月销售量无法超过4万件，且公司规定第二个月产品售价不超过第一个月的售价30x45，wy（x18）25（0.2x+10）（x18）250.2x2+13.6x2050.2（x34）2+26.2当30x45时，2w26.2当x取45时，w有最小值是2答：该公司第二个月通过销售产品所获的利润w至少为2万元，最多获利润26.2万元.【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握销售问题各个量之间的关系并熟练运用二次函
33、数23（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线ya（x+3）（x1）（a0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）（1）求点A与点B的坐标；（2）若a，点M是抛物线上一动点，若满足MAO不大于45，求点M的横坐标m的取值范围（3）经过点B的直线l：ykx+b与y轴正半轴交于点C与抛物线的另一个交点为点D，且CD4BC若点P在抛物线对称轴上，点Q在抛物线上，以点B，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由【分析】（1）ya（x+3）（x1），令y0，则x1或3，即可求解；（2）分MAO45、MAO45两种情况，分别求解即可；（3）分当
34、BD是矩形的边、BD是矩形的边两种情况，分别求解即可【解答】解：（1）ya（x+3）（x1），令y0，则x1或3，故点A、B的坐标分别为：（3，0）、（1，0）；（2）抛物线的表达式为：y（x+3）（x1），当MAO45时，如图所示，则直线AM的表达式为：yx，联立并解得：mx4或3（舍去3），故点M（4，7）；MAO45时同理可得：点M（2，1）；故：2m4；（3）当BD是矩形的对角线时，如图2所示，过点Q作x轴的平行线EF，过点B作BEEF，过点D作DFEF，抛物线的表达式为：yax2+2ax3a，函数的对称轴为：x1，抛物线点A、B的坐标分别为：（3，0）、（1，0），则点P的横坐标为：
35、1，OB1，而CD4BC，则点D的横坐标为：4，故点D（4，5a），即HD5a，线段BD的中点K的横坐标为：，则点Q的横坐标为：2，则点Q（2，3a），则HFBE3a，DQF+BQE90，BQE+QBE90，QBEDQF，DFQQEB，则，解得：a（舍去负值），同理PGBDFQ（AAS），PGDF8a4，故点P（1，4）；如图3，当BD是矩形的边时，作DIx轴，QNx轴，过点P作PLDI于点L，同理PLDBNQ（AAS），BNPL3，点Q的横坐标为4，则点Q（4，21a），则QNDL21a，同理PLDDIB，即，解得：a（舍去负值），LI26a，故点P（1，），；综上，点P的坐标为：P（1，4
36、）或（1，）【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到矩形的性质、图形的全等和相似等，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏24（12分）感知定义在一次数学活动课中，老师给出这样一个新定义：如果三角形的两个内角与满足+290，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”尝试运用（1）如图1，在RtABC中，C90，BC3，AB5，BD是ABC的平分线证明ABD是“类直角三角形”；试问在边AC上是否存在点E（异于点D），使得ABE也是“类直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由类比拓展（2）如图2，ABD内接于O，直径AB10，弦AD6，点E是弧AD上一动点（包括端点A，D
37、），延长BE至点C，连结AC，且CADAOD，当ABC是“类直角三角形”时，求AC的长【分析】（1）证明A+2ABD90即可解决问题如图1中，假设在AC边设上存在点E（异于点D），使得ABE是“类直角三角形”证明ABCBEC，可得，由此构建方程即可解决问题（2）分两种情形：如图2中，当ABC+2C90时，作点D关于直线AB的对称点F，连接FA，FB则点F在O上，且DBFDOA如图3中，由可知，点C，A，F共线，当点E与D共线时，由对称性可知，BA平分FBC，可证C+2ABC90，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题【解答】（1）证明：如图1中，BD是ABC的角平分线，ABC2ABD，C90
38、，A+ABC90，A+2ABD90，ABD为“类直角三角形”如图1中，假设在AC边设上存在点E（异于点D），使得ABE是“类直角三角形”在RtABC中，AB5，BC3，AC4，AEBC+EBC90，ABE+2A90，ABE+A+CBE90ACBE，ABCBEC，CE，（2）AB是直径，ADB90，AD6，AB10，BD8，如图2中，当ABC+2C90时，作点D关于直线AB的对称点F，连接FA，FB则点F在O上，且DBFDOA，DBF+DAF180，且CADAOD，CAD+DAF180，C，A，F共线，C+ABC+ABF90CABF，FABFBC，即，AC如图3中，由可知，点C，A，F共线，当点E与D共线时，由对称性可知，BA平分FBC，C+2ABC90，CADCBF，CC，DACFBC，即，CD（AC+6），在RtADC中，（ac+6）2+62AC2，AC或6（舍弃），综上所述，当ABC是“类直角三角形”时，AC的长为或【点评】本题考查圆综合题，考查了相似三角形的判定和性质，“类直角三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题
