1、2019-2020学年北京十三中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1（2分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）ABCD2（2分）在平面直角坐标系中，将抛物线yx24先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是（）Ay（x+2）2+2By（x2）22Cy（x2）2+2Dy（x+2）223（2分）在平面直角坐标系xOy中，如果O是以原点O（0，0）为圆心，以5为半径的圆，那么点A（3，4）与O的位置关系是（）A在O内B在O上C在O外D不能确定4（2分）如图，将ABC绕着点C按顺时针方向旋转
2、20，B点落在B位置，A点落在A位置，若ACAB，则BAC的度数是（）A50B60C70D805（2分）如图，线段AB是O的直径，弦CDAB，CAB20，则AOD等于（）A120B140C150D1606（2分）二次函数yx22x3的最小值为（）A5B0C3D47（2分）如图，AB是O的切线，B为切点，AO的延长线交O于C点，连接BC，若A30，AB2，则AC等于（）A4B6CD8（2分）如图，A，B，C，D为O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿OCDO路线作匀速运动，设运动时间为t（s）APBy（），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）ABCD二、填空题（本题共16分，每小题2分
3、）9（2分）写出一个抛物线开口向下，与y轴交于（0，2）点的函数表达式 10（2分）如果a2+2a10，那么代数式（a）的值是 11（2分）直线yx+m和抛物线yx2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）观察图象直接写出不等式x2+bx+cx+m的解集 12（2分）已知弦AB的长等于O的半径，弦AB所对的圆周角是 度13（2分）颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的面积是 米214（2分）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的问题：“今有圆材，
4、埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为O的直径，弦ABCD于E，CE1寸，AB10寸，求直径CD的长”（1尺10寸）则CD 15（2分）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端安有一个喷水池，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处3m，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取A点为坐标原点时的抛物线的表达式为y，则选取点D为坐标原点时的抛物线表达式为 ，水管AB的长为 m16（2分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图，过圆外一点作圆的切线
5、已知：O和点P求过点P的O的切线小涵的主要作法如下：如图，（1）连结OP，作线段OP的中点A；（2）以A为圆心，OA长为半径作圆，交O于点B，C；（3）作直线PB和PC所以PB和PC就是所求的切线老师说：“小涵的做法正确的”请回答：小涵的作图依据是 三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）17（5分）（1）0+（）1+|5|218（5分）解不等式组并写出它的所有整数解19（5分）如图，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于G，判断弧和弧是否相等，并说明理由20（5分）已知抛物
6、线y（m2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴有两个交点的坐标21（5分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上将ABC绕点A顺时针旋转90得到AB1C1（1）在网格中画出AB1C1；（2）计算点B旋转到B1的过程中所经过的路径长（结果保留）22（5分）下表是二次函数yax2+bx+c（ a0）图象上部分点的横坐标（x）和纵坐标（y）x101234 5y83010 m8（1）观察表格，直接写出m ；（2）其中A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，且1x10，2x23，则y1 y2（用
7、“”或“”填空）；（3）求这个二次函数的表达式23（6分）如图是一名考古学家发现的一块古代车轮碎片，你能帮他找到这个车轮的半径吗？（画出示意图，保留作图痕迹）24（6分）如图，已知ABC是等边三角形，以AB为直径作O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DEAC于点E（1）求证：DE是O的切线；（2）若ABC的边长为4，求EF的长度25（6分）如图，在半圆弧中，直径AB6cm，点M是AB上一点，MB2cm，P为AB上一动点，PCAB交于点C，连接AC和CM，设A、P两点间的距离为xcm，A、C两点间的距离为y1cm，C、M两点间的距离为y2cm小东根据学习函数的经验，分别对函数y1、y2随自变量
8、x的变化而变化的规律进行了探究：下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；x/cm0123456y1/cm02.453.464.905.486y2/cm43.743.463.162.832.452（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当ACCM时，线段AP的取值范围是 ；当AMC是等腰三角形时，线段AP的长约为 26（6分）已知：二次函数C1：y1ax2+2ax+a1（a0）（1）把二次函数C1的表
9、达式化成ya（xh）2+b（a0）的形式，并写出顶点坐标；（2）已知二次函数C1的图象经过点A（3，1）求a的值；点B在二次函数C1的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB二次函数C2：y2kx2+kx（k0）的图象，与线段AB只有一个交点，求k的取值范围27（7分）如图，ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60得到线段AE，连接DE，CE（1）求证：BDCE；（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；（3）在（2）的条件下，若ABC的边长为1，直接写出EF的最大值28（7分）如图
10、，在平面直角坐标系xOy 中，点P是C外一点，连接CP交C于点Q，点P关于点Q的对称点为P，当点P在线段CQ上时，称点P为C“友好点”已知A（1，0），B（0，2），C（3，3）（1）当O的半径为1时，点A，B，C中是O“友好点”的是 ；已知点M在直线yx+2 上，且点M是O“友好点”，求点M的横坐标m的取值范围；（2）已知点D，连接BC，BD，CD，T的圆心为T（t，1），半径为1，若在BCD上存在一点N，使点N是T“友好点”，求圆心T的横坐标t的取值范围2019-2020学年北京十三中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符
11、合题意的选项只有一个1【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形故错误；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形故正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误故选：B2【解答】解：函数yx24向右平移2个单位，得：y（x2）24；再向上平移2个单位，得：y（x2）24+2，即y（x2）22；故选：B3【解答】解：点A（3，4），AO5，O是以原点O（0，0）为圆心，以5为半径的圆，点A在O上，故选：B4【解答】解：ABC绕着点C按顺时针方向旋转20，B点落在B位置，A点落在A位置BCBACA20ACAB，BACA902070故选：C5【解答】解：线段
12、AB是O的直径，弦CDAB，CAB20，BOD40，AOD140故选：B6【解答】解：二次函数yx22x3可化为y（x1）24，最小值是4故选：D7【解答】解：连接OBAB是O的切线，B为切点，OBAB，在直角OAB中，OBABtanA22，则OA2OB4，AC4+26故选：B8【解答】解：当动点P在OC上运动时，APB逐渐减小；当P在上运动时，APB不变；当P在DO上运动时，APB逐渐增大故选：C二、填空题（本题共16分，每小题2分）9【解答】解：开口向下，yax2+bx+c中a0，与y轴交于（0，2）点，c2，抛物线的解析式可以为：yx2+x+2（答案不唯一）故答案为：yx2+x+2（答案
13、不唯一）10【解答】解：（a）a（a+2）a2+2a，a2+2a10，a2+2a1，原式1，故答案为：111【解答】解：直线yx+m和抛物线yx2+bx+c的图象如图所示，则不等式x2+bx+cx+m的解集是1x3故答案为：1x312【解答】解：如图示，ABOAOB，OAB是等边三角形，AOB60，ACB30，ADB15013【解答】解：如图所示：连接OB，OC，过点O作OHBC于H，六边形ABCDEF是正六边形，BOC36060，OBOC，OBC是等边三角形，BCOBOC，BHBC1，OH，S正六边形6SOBC626故答案为：614【解答】解：连接OA，如图所示，设直径CD的长为2x，则半径
14、OCx，CD为O的直径，弦ABCD于E，AB10寸，AEBEAB105寸，连接OA，则OAx寸，根据勾股定理得x252+（x1）2，解得x13，CD2x21326（寸）故答案为：26寸15【解答】解：以池中心A为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系抛物线的解析式为：y（x1）2+3，当选取点D为坐标原点时，相当于将原图象向左平移3个单位，故平移后的抛物线表达式为：y（x+2）2+3（3x0）；令x3，则y+32.25故水管AB的长为2.25m故答案为：y（x+2）2+3（3x0）；2.2516【解答】解：OP是A的直径，PBOPCO90，OBPB，OCPC，OB、OC是
15、O的半径，PB、PC是O的切线；则小涵的作图依据是：直径所对的圆周角是直角故答案为：直径所对的圆周角是直角三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）17【解答】解：（1）0+（）1+|5|212+3526+18【解答】解：原不等式组为解不等式得，解不等式得，x2原不等式组的解集为，原不等式组的所有整数解为1，0，119【解答】解：，理由：连接AEABAE，BAEB，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，BGAF，FAEAEB，GAFFAE，20【解答】（1）抛物线y（m2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点，y0时，（m2）
16、x2+2mx+m+30，则（2m）24（m2）（m+3）0，m20，解得m6且m2即m的取值范围是：m6且m2（2）m6且m2，m满足条件的最大整数是m5y3x2+10x+8当y0时，3x2+10x+80解得即抛物线与x轴有两个交点的坐标是：（2，0），（，0）21【解答】解：（1）如图，AB1C1为所作；（2）AB5，所以B旋转到B1的过程中所经过的路径长22【解答】解：（1）观察表格，可知m3故答案为：3；（2）A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，且1x10，2x23，y1y2故答案为：；（3）顶点是（2，1），设二次函数顶点式解析式为ya（x2）21，由图可知，函数图象经过
17、点（1，0），a（12）210，解得a1二次函数的解析式为y（x2）21，即yx24x+323【解答】解：如图所示：24【解答】（1）证明：如图1，连接OD，ABC是等边三角形，BC60OBOD，ODBB60DEAC，DEC90EDC30ODE90DEOD于点D点D在O上，DE是O的切线；（2）解：如图2，连接AD，BF，AB为O直径，AFBADB90AFBF，ADBDABC是等边三角形，EDC30，FEFCEC125【解答】解：（1）当x3时，点P与点O重合，则y134.24，故答案为4.24；（2）描点（x，y1），画出函数y1的图象：（3）观察图象可知：线段AP值范围是2AP6，线段AP
18、的长约为2或2.626【解答】解：（1）y1ax2+2ax+a1a（x+1）21，顶点为（1，1）；（2）二次函数C1的图象经过点A（3，1）a（3+1）211，a；A（3，1），对称轴为直线x1，B（1，1），当k0时，二次函数C2：y2kx2+kx（k0）的图象经过A（3，1）时，19k3k，解得k，二次函数C2：y2kx2+kx（k0）的图象经过B（1，1）时，1k+k，解得k，k，当k0时，二次函数C2：y2kx2+kxk（x+）2k，k1，k4，综上，二次函数C2：y2kx2+kx（k0）的图象，与线段AB只有一个交点，k的取值范围是k或k427【解答】证明：（1）将线段AD绕点A逆
19、时针旋转60得到线段AE，ADAE，DAE60ADE是等边三角形ABC为等边三角形ABAC，BACDAE60DABCAE，且ABAC，ADAEADBAEC（SAS）BDCE（2）如图，过点C作CGBP，交EF的延长线于点G，ADB90，ADE60BDG30CGBPGBDG30，ADBAECBDCE，ADBAEC90GECAECAED30GGEC30GCCE，CGBD，且BDGG，BFDGFCBFDCFG（AAS）BFFC点F是BC中点（3）如图，连接AF，ABC是等边三角形，BFFCAFBCAFC90AFCAEC90点A，点F，点C，点E四点在以AC为直径的圆上，EF最大为直径，即最大值为12
20、8【解答】解：（1）r1，根据“友好点”的定义，OB2r2，点B是O“友好点”，OC32r2，不是O“友好点”，A（1，0）在O上，不是O“友好点”，故答案为B；如图，设M（m，m+2 ），根据“友好点”的定义，OM2，整理，得2m22m0，解得0m；点M的横坐标m的取值范围：0m；（2）B（0，2），C（3，3），D，T的圆心为T（t，1），点N是T“友好点”，NT2r2，点N只能在线段BD上运动，过点T作TNBD于N，作THy轴，与BD交于点H易知BDO30，OBD60，NTHT，B（0，2），D，直线BD：yx+2，H（t，t+2 上），HTt+2（1）t+3，NTHT（t+3）t+，t+2，t4+3，当H与点D重合时，点T的横坐标等于点D的横坐标，即t3，此时点N不是“友好点”，t3，故圆心T的横坐标t的取值范围：4+3t
