1、2019-2020学年甘肃省兰州市联片办学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共计12小题，每题4分，共计48分）1（4分）下列关于x的方程是一元二次方程的是（）Ax22x+1x2+5Bax2+bx+c0Cx2+18D2x2y102（4分）若关于x的一元二次方程（m1）x2+5x+（m1）（m3）0的常数项为0，则m的值等于（）A1B3C1或3D03（4分）一元二次方程5x24x10的二次项系数和一次项系数分别为（）A5，1B5，4C5，4D5x2，4x4（4分）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x212x+m+20的两根，则m的值是（）A34B30C3
2、0或34D30或365（4分）在一个不透明的布袋中装有红色，白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色球可能有（）A4个B6个C34个D36个6（4分）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A四个角都是直角B对角线互相垂直C对角线互相平分D对边平行且相等7（4分）下列说法正确的有几个（）对角线互相平分的四边形是平行四边形； 对角线互相垂直的四边形是菱形；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；对角线相等的平行四边形是矩形A1个B2个C3个D4个8（4分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O、B的坐标分别是（
3、0，0），（2，0），则顶点C的坐标是（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）9（4分）用公式法解一元二次方程2x2+3x1时，化方程为一般式当中的a、b、c依次为（）A2，3，1B2，3，1C2，3，1D2，3，110（4分）方程（x1）（x+2）0的根是（）A1，2B3，2C0，2D1，211（4分）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2016年销量为50.7万辆，销量逐年增加，到2018年销量为125.6万辆设年平均增长率为x，可列方程为（）A50.7（1+x）2125.6B125.6（1x）250.7C50.7（
4、1+2x）125.6D50.7（1+x2）125.612（4分）如图，正方形ABCD的面积为4，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A2B3CD二、填空题（本题共计4小题，每题4分，共计16分）13（4分）把一元二次方程（x3）24化为一般形式为： 14（4分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AOB60，AB4，则AC的长为 15（4分）关于x的一元二次方程2x2xk0的一个根为1，则k的值是 16（4分）如图，在ABC中，ABAC，D，E，F分别为AB、BC、AC的中点，则下列结论：ADFFEC，四边形ADEF为菱
5、形，SADF：SABC1：4其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）三、解答题（本题共计12小题，共计86分）17（6分）解方程：（1）y26y9；（2）2x23x1018（6分）化简并求值：（m+1）2+（m+1）（m1），其中m是方程x2+x10的一个根19（6分）已知实数x，y满足x26x+90，则（x+y）2016的值是多少？20（6分）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC16cm，BD12cm求菱形ABCD的边长和面积21（6分）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，AECF求证：四边形BEDF是菱形22（8分）把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度
6、h（米）适用公式h20t5t2（1）经多少秒时足球的高度为20米？（2）小明同学说：“足球高度不可能达到21米！”你认为他说得对吗？请说明理由23（8分）矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交BD于G、H两点求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；（2）EGFH24（6分）如图，四边形ABCD是菱形，DEAB交BA的延长线于E，DFBC，交BC的延长线于F请你猜想DE与DF的大小有什么关系，并证明你的猜想25（8分）诸暨某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大
7、销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件（1）设每件童装降价x元时，每天可销售 件，每件盈利 元；（用x的代数式表示）（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由26（8分）某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了 名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有1500名学生，估计爱好运动的学生有 人；（4）在全校同学中随机选
8、取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是 27（8分）阅读下面材料：解答问题为解方程（x21）25（x21）+40，我们可以将（x21）看作一个整体，然后设x21y，那么原方程可化为y25y+40，解得y11，y24当y1时，x211，x22，x；当y4时，x214，x25，x，故原方程的解为x1，x2，x3，x4上述解题方法叫做换元法；请利用换元法解方程（x2x）24（x2x）12028（10分）ABC中，B90，AB5cm，BC6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动如果
9、P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动设运动时间为t秒（1）填空：BQ ，PB （用含t的代数式表示）；（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？（3）是否存在t的值，使得PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由2019-2020学年甘肃省兰州市联片办学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共计12小题，每题4分，共计48分）1（4分）下列关于x的方程是一元二次方程的是（）Ax22x+1x2+5Bax2+bx+c0Cx2+18D2x2y10【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程一元二次
10、方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程【解答】解：A、是一元一次方程，故A不符合题意；B、a0时是一元一次方程，故B不符合题意；C、是一元二次方程，故C符合题意；D、是二元二次方程，故D不符合题意；故选：C【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为ax2+bx+c0（a0）的形式，则这个方程就为一元二次方程2（4分）若关于x的一元二次方程（m1）x2+5x+（m1）（m3）0的常数项为0，则m的值等于（）A1B3C1或3D0【分析】根据一元二次方程成立的条件及常
11、数项为0列出方程组，求出m的值即可【解答】解：根据题意，知，解方程得：m3故选：B【点评】考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c0（a，b，c是常数且a0），特别要注意a0的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项3（4分）一元二次方程5x24x10的二次项系数和一次项系数分别为（）A5，1B5，4C5，4D5x2，4x【分析】根据方程的一般形式，找出二次项系数与一次项系数即可【解答】解：一元二次方程5x24x10的二次项系数和一次项系数分别为
12、5，4，故选：C【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c0（a0）4（4分）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x212x+m+20的两根，则m的值是（）A34B30C30或34D30或36【分析】分三种情况讨论，当a4时，当b4时，当ab时；结合韦达定理即可求解；【解答】解：当a4时，b8，a、b是关于x的一元二次方程x212x+m+20的两根，4+b12，b8不符合；当b4时，a8，a、b是关于x的一元二次方程x212x+m+20的两根，4+a12，a8不符合；当ab时，a、b是关于x的一元二次方程x212x+m+
13、20的两根，122a2b，ab6，m+236，m34；故选：A【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键5（4分）在一个不透明的布袋中装有红色，白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色球可能有（）A4个B6个C34个D36个【分析】由频数数据总数频率计算即可【解答】解：摸到红色球的频率稳定在15%左右，口袋中红色球的频率为15%，故红球的个数为4015%6个故选：B【点评】大量反复试验下频率稳定值即概率6（4分）矩形具有而菱形不一定具有的性
14、质是（）A四个角都是直角B对角线互相垂直C对角线互相平分D对边平行且相等【分析】由矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分；菱形具有的性质：邻边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；即可求得答案【解答】解：矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分，四个角都是直角，对边平行且相等；菱形具有的性质：邻边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直，对边平行且相等；矩形具有而菱形不一定具有的性质是：四个角都是直角故选：A【点评】此题考查了矩形与菱形的性质此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键7（4分）下列说法正确的有几个（）对角线互相平分的四边形是平行四边形； 对角线互相垂直的四边形是菱形；对角线互相
15、垂直且相等的平行四边形是正方形；对角线相等的平行四边形是矩形A1个B2个C3个D4个【分析】由平行四边形、矩形、菱形以及正方形的判定定理进行判断即可【解答】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故正确；对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故正确；对角线相等的平行四边形是矩形，故正确；故选：C【点评】本题考查了正方形、平行四边形、菱形以及矩形的判定定理注意菱形与正方形的区别与联系、矩形与正方形的区别与联系8（4分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O、B的坐标分别是（0，0），（2，0），则顶点C的坐标是（）A（1，1）B（1，1）C
16、（1，1）D（1，1）【分析】根据正方形的性质可知点A、C关于x轴对称，AC在BO的垂直平分线上，即AC的横坐标和OB中点横坐标相等，根据正方形对角线计算求C的纵坐标【解答】解：连接AC，四边形OABC是正方形，点A、C关于x轴对称，AC所在直线为OB的垂直平分线，即A、C的横坐标均为1，根据正方形对角线相等的性质，ACBO2，又A、C关于x轴对称，A点纵坐标为1，C点纵坐标为1，故C点坐标（1，1），故选：C【点评】本题考查了正方形对角线互相垂直平分且相等的性质，根据对角线相等的性质求对角线AC的长度，即求点C的纵坐标是解题的关键9（4分）用公式法解一元二次方程2x2+3x1时，化方程为一般
17、式当中的a、b、c依次为（）A2，3，1B2，3，1C2，3，1D2，3，1【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，再确定a、b、c【解答】解：方程2x2+3x1化为一般形式为：2x2+3x10，a2，b3，c1故选：B【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c0其中a、b分别是二次项和一次项系数，c为常数项10（4分）方程（x1）（x+2）0的根是（）A1，2B3，2C0，2D1，2【分析】根据因式分解，可得答案【解答】解：（x1）（x+2）0，于是，得x10或x+20，解得x11，x22故选：D【点评】本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键1
18、1（4分）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2016年销量为50.7万辆，销量逐年增加，到2018年销量为125.6万辆设年平均增长率为x，可列方程为（）A50.7（1+x）2125.6B125.6（1x）250.7C50.7（1+2x）125.6D50.7（1+x2）125.6【分析】设投入的年平均增长率为x，由题意得等量关系：2016年销量（1+增长率）22018年销量，根据等量关系列出方程【解答】解：设年平均增长率为x，可列方程为：50.7（1+x）2125.6，故选：A【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关
19、键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程12（4分）如图，正方形ABCD的面积为4，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A2B3CD【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点此时PD+PEBE最小，而BE是等边ABE的边，BEAB，由正方形ABCD的面积为4，可求出AB的长，从而得出结果【解答】解：连接BD，与AC交于点F点B与D关于AC对称，PDPB，PD+PEPB+PEBE最小正方形ABCD的面积为4，AB2又ABE是等边三角形，BEAB2所求最小值为2故选：A【点评】此题
20、主要考查轴对称最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题二、填空题（本题共计4小题，每题4分，共计16分）13（4分）把一元二次方程（x3）24化为一般形式为：x26x+50【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c0（a，b，c是常数且a0）特别要注意a0的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项【解答】解：一元二次方程（x3）24的一般形式是x26x+50故答案为x26x+50【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化14
21、（4分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AOB60，AB4，则AC的长为8【分析】根据等边三角形的性质首先证明AOB是等边三角形即可解决问题【解答】解：四边形ABCD是矩形，ACBD，OAOC，ODOB，OAOB，AOB60，ABO是等边三角形，OAAB4，AC2OA8，故答案为8【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是发现AOB是等边三角形，属于基础题，中考常考题型15（4分）关于x的一元二次方程2x2xk0的一个根为1，则k的值是1【分析】把x1代入2x2xk0得21k0，然后解关于k的方程即可【解答】解：把x1代入2x2xk0得21k0，解得k1故答案为1【
22、点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解16（4分）如图，在ABC中，ABAC，D，E，F分别为AB、BC、AC的中点，则下列结论：ADFFEC，四边形ADEF为菱形，SADF：SABC1：4其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）【分析】根据三角形的中位线定理可得出ADFE、AFFC、DFEC，进而可证出ADFFEC（SSS），结论正确；根据三角形中位线定理可得出EFAB、EFAD，进而可证出四边形ADEF为平行四边形，由ABAC结合D、F分别为AB、AC的中点可得出ADAF，进而可得出四边形ADEF为菱形，结论正确；根据三角形中位线定理
23、可得出DFBC、DFBC，进而可得出ADFABC，再利用相似三角形的性质可得出，结论正确此题得解【解答】解：D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，DE、DF、EF为ABC的中位线，ADABFE，AFACFC，DFBCEC在ADF和FEC中，ADFFEC（SSS），结论正确；E、F分别为BC、AC的中点，EF为ABC的中位线，EFAB，EFABAD，四边形ADEF为平行四边形ABAC，D、F分别为AB、AC的中点，ADAF，四边形ADEF为菱形，结论正确；D、F分别为AB、AC的中点，DF为ABC的中位线，DFBC，DFBC，ADFABC，（）2，结论正确故答案为：【点评】本题考查了菱形的判定
24、与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，逐一分析三条结论的正误是解题的关键三、解答题（本题共计12小题，共计86分）17（6分）解方程：（1）y26y9；（2）2x23x10【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；（2）方程利用公式法求出解即可【解答】解：（1）方程整理得：y26y+90，分解因式得：（y3）20，解得：y1y23；（2）这里a2，b3，c1，b24ac9+817，x1，x2【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，直接开平方法，以及公式法，熟练掌握各种解法是解本题的关键18（6分）化简并求值：（m+1）2+（m+1）（m1），
25、其中m是方程x2+x10的一个根【分析】求出m2+m1，算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可【解答】解：m是方程x2+x10的一个根，m2+m1 （2分）原式m2+2m+1+m212m2+2m2【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键19（6分）已知实数x，y满足x26x+90，则（x+y）2016的值是多少？【分析】利用完全平方公式可得出（x3）2+0，根据偶次方和算术平方根的非负性即可求出x、y的值，将其代入（x+y）2016中即可得出结论【解答】解：x26x+9（x3）2+0，x30，y+40，解得：x3，y4，x+y1（x+y）2016（
26、1）20161【点评】本题考查了配方法的应用、偶次方以及算术平方根的非负性，由偶次方和算术平方根的非负性求出x、y的值是解题的关键20（6分）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC16cm，BD12cm求菱形ABCD的边长和面积【分析】直接利用菱形的性质结合勾股定理得出其边长即可；利用菱形的面积公式求出答案【解答】解：菱形ABCD的对角线交于点O，AC16cm，BD12cm，AOCOAC8cm，BODOBD6cm，ACBD，菱形的边长AB，菱形的面积为：【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，掌握菱形对角线垂直且互相平分是解题关键21（6分）如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC
27、上的两点，AECF求证：四边形BEDF是菱形【分析】连接BD交AC于O，根据正方形的性质得到OBOD，OAOC，由AECF，能推出OEOF，得到平行四边形BEDF，根据正方形ABCD推出ACBD，即可得到答案【解答】证明：连接BD交AC于O，四边形ABCD是正方形，OBOD，OAOC，AECF，OEOF，四边形BEDF是平行四边形，四边形ABCD是正方形，ACBD，平行四边形BEDF是菱形【点评】本题主要考查对正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定等知识点的理解和掌握，解此题的关键是作辅助线后证出四边形BEDF是平行四边形，题型较好22（8分）把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高
28、度h（米）适用公式h20t5t2（1）经多少秒时足球的高度为20米？（2）小明同学说：“足球高度不可能达到21米！”你认为他说得对吗？请说明理由【分析】（1）求出h20时t的值即可得；（2）将函数解析式配方成顶点式，由顶点式得出足球高度的最大值即可作出判断【解答】解：（1）足球高度为20米，即h20，将h20代入公式得：20t5t220，解得：t2t2；（2）小明说得对，理由如下：假设足球高度能够达到21米，即h21，将h21代入公式得：2120t5t2由判别式计算可知：（20）24521200，方程无解，假设不成立，所以足球确实无法到达21米的高度【点评】本题主要考查二次函数及一元二次方程的
29、应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质及将实际问题转化为二次函数问题的能力23（8分）矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，CE、AF分别交BD于G、H两点求证：（1）四边形AFCE是平行四边形；（2）EGFH【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）可证明EG和FH所在的DEG、BFH全等即可【解答】解：（1）证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，ADBC，E、F分别是AD、BC的中点，AEAD，CFBC，AECF，四边形AFCE是平行四边形；（2）四边形AFCE是平行四边形，CEAF，DGEAHDBHF，ADBC，EDGFBH，在DEG和BFH中，D
30、EGBFH（AAS），EGFH【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判断和性质以及全等三角形的判断和性质，熟记矩形的各种性质是解题的关键24（6分）如图，四边形ABCD是菱形，DEAB交BA的延长线于E，DFBC，交BC的延长线于F请你猜想DE与DF的大小有什么关系，并证明你的猜想【分析】作辅助线DB，根据菱形对角线平分一组对角，确定DB为角平分线，运用角平分线的性质解答【解答】解：DEDF证明：连接BD四边形ABCD是菱形，CBDABD（菱形的对角线平分一组对角）DFBC，DEAB，DFDE（角平分线上的点到角两边的距离相等）【点评】此题主要考查学生对菱形的性质及角平分线的性质的理解及运
31、用25（8分）诸暨某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件（1）设每件童装降价x元时，每天可销售（20+2x）件，每件盈利（40x）元；（用x的代数式表示）（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由【分析】（1）根据：销售量原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润实际售价进价，列式即可；（2）根据：总利润每件利润销售数量，列方程求解可得；（3）根据
32、（2）中相等关系列方程，判断方程有无实数根即可得【解答】解：（1）设每件童装降价x元时，每天可销售20+2x件，每件盈利40x元，故答案为：（20+2x），（40x）；（2）根据题意，得：（20+2x）（40x）1200解得：x120，x210答：每件童装降价20元或10元，平均每天赢利1200元；（3）不能，（20+2x）（40x）2000 此方程无解，故不可能做到平均每天盈利2000元【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键26（8分）某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣
33、爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了100名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有1500名学生，估计爱好运动的学生有600人；（4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是【分析】（1）根据爱好运动人数的百分比，以及运动人数即可求出共调查的人数；（2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形（3）利用样本估计总体即可估计爱好运动的学生人数（4）根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率【解答】解：（1）
34、爱好运动的人数为40，所占百分比为40%共调查人数为：4040%100（2）爱好上网的人数所占百分比为10%爱好上网人数为：10010%10，爱好阅读人数为：10040201030，补全条形统计图，如图所示，（3）爱好运动的学生人数所占的百分比为40%，估计爱好运用的学生人数为：150040%600（4）爱好阅读的学生人数所占的百分比30%，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为故答案为：（1）100；（3）600；（4）【点评】本题考查统计与概率，解题的关键是正确利用两幅统计图的信息，本题属于中等题型27（8分）阅读下面材料：解答问题为解方程（x21）25（x21）+40，我们
35、可以将（x21）看作一个整体，然后设x21y，那么原方程可化为y25y+40，解得y11，y24当y1时，x211，x22，x；当y4时，x214，x25，x，故原方程的解为x1，x2，x3，x4上述解题方法叫做换元法；请利用换元法解方程（x2x）24（x2x）120【分析】先把x2x看作一个整体，设x2xy，代入得到新方程y24y120，利用求根公式可以求解【解答】解：设x2xy，那么原方程可化为y24y120解得y16，y22当y6时，x2x6即x2x60x13，x22当y2时，x2x2即x2x+20（1）24120方程无实数解原方程的解为：x13，x22【点评】此题考查了学生学以致用的能
36、力，解题的关键是掌握换元思想28（10分）ABC中，B90，AB5cm，BC6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动设运动时间为t秒（1）填空：BQ2t，PB5t（用含t的代数式表示）；（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？（3）是否存在t的值，使得PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据路程速度时间就可以表示出BQ，AP再用ABAP就可以求出PB的值（2）在RtPBQ中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值（3）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出t的值【解答】解：（1）由题意，得BQ2t，PB5t故答案为：2t，5t（2）在RtPBQ中，由勾股定理，得4t2+（5t）225，解得：t10，t22（3）由题意，得4，解得：t11，t24（不符合题意，舍去），当t1时，PBQ的面积等于4cm2【点评】本题考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用在解答时要注意所求的解使实际问题有意义
