1、1定积分的概念学习目标1.了解“以直代曲”，“以不变代变”的思想方法，会求曲边梯形的面积.2.了解定积分的概念，会用定义求定积分.3.理解定积分的几何意义，并掌握定积分的基本性质知识点一曲边梯形的面积思考如图，为求由抛物线yx2与直线x1，y0所围成的平面图形的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答案已知图形是由直线x1，y0和曲线yx2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段梳理由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的平面图形称为曲边梯形，如图中阴影部分所示求曲边梯形的面积的步骤(1)分割：将区间a，bn等分；(2)计算：
2、过剩估计值S1；不足估计值S2.(3)近似代替：无论用S1还是用S2表示曲边梯形的面积，误差都不会超过S1S2.知识点二定积分的概念一般地，给定一个在区间a，b上的函数yf(x)，其图像如图所示(1)将a，b区间分成n份，分点为：ax0x1x2xn1xnb.第i个小区间为xi1，xi，设其长度为xi，在这个小区间上取一点i，使f(i)在区间xi1，xi上的值最大，设S(i)xi.在这个小区间上取一点i，使f(i)在区间xi1，xi上的值最小，设s(i)xi.如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时S与s同时趋于某一个固定的常数A，容易验证，在每个小区间xi1，xi上任
3、取一点1，S(i)xi的值也趋于该常数A，我们称A是函数yf(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dxA.(2)f(x)dx中符号的意义符号abf(x)名称积分号积分下限积分上限被积函数知识点三定积分的几何意义、物理意义(1)定积分的几何意义当f(x)0时，f(x)dx表示的是yf(x)与xa，xb和x轴所围曲边梯形的面积(2)定积分的物理意义当f(x)表示速度关于时间x的函数时，f(x)dx表示的是运动物体从 xa到xb时所走过的路程知识点四定积分的性质(1)1dxba.(2)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)(3)f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx.(4
4、)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)1当n很大时，函数f(x)x2在区间上的值，只能用2近似代替()2定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图像以及直线xa，xb之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号()3曲边梯形的面积Sf(x)dx；变速直线运动的位移s；变力做功WF(r)dr.()类型一定积分的定义及应用例1求抛物线yx2与直线x0，x1，y0所围成的平面图形的面积S.考点求曲边梯形的面积问题题点求曲线梯形的面积问题解(1)分割：在区间0,1上等间隔地插入n1个点，将它等分成n个小区间，即，.记第i个区间为(i1,2，n)，其
5、长度为x.分别过上述n1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积记作S1，S2，Sn，则SSi.(2)近似代替：记f(x)x2.当n很大时，即x很小时，在区间上可以认为f(x)x2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点处的函数值f.这样在区间上，用小矩形的面积Si近似地代替Si，即在局部小范围内“以直代曲”，则有SiSifx2x2(i1,2，n)(3)求和：由得SnSix20221222(n1)2，从而得到S的近似值，即SSn.(4)取极限：分别将区间0,1等分成8,16,20，等份时，可以看到随着n的不断增大，即x越来越小时，Sn越来越趋近于S，而当
6、n趋向于时，式无限趋近于，即所求面积为.反思与感悟求曲边梯形的面积(1)思想：以直代曲(2)步骤：分割近似代替求和取极限(3)关键：近似代替(4)结果：分割越细，面积越精确(5)求和时可用一些常见的求和公式，如123n，122232n2，132333n32.跟踪训练1利用定积分的定义，求xdx.考点求曲边梯形的面积问题题点求曲边梯形的面积问题解(1)分割：将区间0,1分为n等份，形成n个小区间xi1，xi(i1,2，n)，且每个小区间的长度为x.(2)近似代替：取i(i1,2，n)，则Snx.(3)取极限：xdxSn .类型二利用定积分的性质求定积分例2已知x3dx，x3dx，x2dx，x2d
7、x，求下列各式的值(1)(3x3)dx；(2)(6x2)dx；(3)(3x22x3)dx.考点定积分性质的应用题点定积分性质的应用解(1)(3x3)dx3x3dx3312.(2)(6x2)dx6x2dx66126.(3)(3x22x3)dx(3x2)dx(2x3)dx3x2dx2x3dx32.反思与感悟若函数f(x)的奇偶性已经明确，且f(x)在a，a上连续，则(1)若函数f(x)为奇函数，则f(x)dx0.(2)若函数f(x)为偶函数，则f(x)dx2f(x)dx.跟踪训练2若f(x)且(2x1)dx2，exdx1e1，求f(x)dx.考点定积分性质的应用题点定积分性质的应用解f(x)dxf
8、(x)dxf(x)dx(2x1)dxexdx21e1(e11)类型三利用定积分的几何意义求定积分例3用定积分的几何意义求下列各式的值(1)dx；(2).考点定积分几何意义的应用题点定积分几何意义的应用解(1)由y得x2y24(y0)，其图像如图所示dx等于圆心角为60的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和，S弓形CED222，S矩形ABCDABBC2，dx2.(2)函数ysin x在x上是奇函数，0.反思与感悟利用定积分所表示的几何意义求 f(x)dx的值的关键是确定由曲线yf(x)，直线xa，直线xb及x轴所围成的平面图形的形状常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形跟踪
9、训练3求定积分：(x)dx.考点定积分几何意义的应用题点定积分几何意义的应用解dx表示圆心在(2,0)，半径等于2的圆的面积的，即dx22.xdx表示底和高都为2的直角三角形的面积，即xdx222.原式dxxdx2.1在求由函数y的图像与直线x1，x2，y0所围成的平面图形的面积时，把区间1,2等分成n个小区间，则第i个小区间为()A. B.Ci1，i D.考点定积分的概念题点定积分的概念答案B解析把区间1,2等分成n个小区间后，每个小区间的长度为，且第i个小区间的左端点不小于1.故选B.2设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb把区间a，b等分成n个小区间，在每个小
10、区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式Sn(i)xi，其中xi为小区间的长度，那么和式Sn的大小()A与f(x)和区间a，b有关，与分点的个数n和i的取法无关B与f(x)、区间a，b和分点的个数n有关，与i的取法无关C与f(x)、区间a，b和i的取法有关，与分点的个数n无关D与f(x)、区间a，b、分点的个数n和i的取法都有关考点定积分的概念题点定积分的概念答案D3下列值等于1的是()Axdx B(x1)dxC1dx Ddx考点定积分的几何意义及性质题点定积分的几何意义答案C解析xdx11，(x1)dx(12)1，1dx111，dx1.4汽车以10米/秒的速度行驶，在某处需要减速
11、停车，设汽车以2米/秒2的加速度刹车，若把刹车时间5等分，则从开始刹车到停车，汽车刹车距离的过剩估计值(取每个小区间的左端点对应的函数值)为()A80米 B60米 C40米 D30米考点变速运动的路程问题题点变速运动的路程问题答案D解析由题意知v(t)v0at102t，令v(t)0，得t5，即当t5秒时，汽车将停车将区间0,55等分，用每个小区间的左端点的函数值近似替代每个小区间上的平均速度，可得汽车刹车距离的过剩估计值S(101021102210231024)130(米)5计算：.考点定积分的几何意义及性质题点定积分的几何意义解由定积分的几何意义，得22.由定积分的几何意义，得0.所以52.1定积分f(x)dx是一个和式f(i)的极限，是一个常数2可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分3定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.
