1、2018-2019学年广东省佛山一中高二（下）第一次段考数学试卷（理科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1（5分）函数f（x）x3+x在点x1处的切线方程为（）A4xy+20B4xy20C4x+y+20D4x+y202（5分）函数，则（）Axe为函数f（x）的极大值点Bxe为函数f（x）的极小值点C为函数f（x）的极大值点D为函数f（x）的极小值点4（5分）函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x+3）f（x）0的解集为（）A（，3）（1，1）B（，3）C（，1）（1，+）D（1，+）5（5分）若yf（x）在（，+）可导，且，则f（a）（）AB2C3D6（5分）已知f（x
2、）x2+3xf（1），则f（2）（）A1B2C4D87（5分）已知y+（b+6）x+3在R上存在三个单调区间，则b的取值范围是（）Ab2或b3B2b3C2b3Db2或b38（5分）如图所示，正弦曲线ysinx，余弦曲线ycosx与两直线x0，x所围成的阴影部分的面积为（）A1BC2D29（5分）下列说法正确的是（）设函数yf（x）可导，则；过曲线yf（x）外一定点做该曲线的切线有且只有一条；已知做匀加速运动的物体的运动方程是s（t）t2+t（米），则该物体在时刻t2秒的瞬时速度是5米/秒；一物体以速度v3t2+2t（米/秒）做直线运动，则它在t0到t2秒时间段内的位移为12米；已知可导函数yf
3、（x），对于任意x（a，b）时，f（x）0是函数yf（x）在（a，b）上单调递增的充要条件ABCD10（5分）若函数f（x）在R上可导，f（x）xf（x）则（）Aef（1）f（e）Bef（1）f（e）Cef（1）f（e）Df（1）f（e）11（5分）已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则（）A1B2C3D412（5分）把非零自然数按定的规则排成了下面所示的三角形数表（每行比上一行多一个数），设（aij，ijN+）是位于这个
4、三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，如a428，若i65，j3，则aij的值为（）A2053B205lC2049D2047二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13（5分）已知函数在（0，2）上有极值，则实数m的值为 14（5分）函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于 15（5分）函数f（x）x3+ax2在区间1，+）内是增函数，则实数a的取值范围是 16（5分）在函数f（x）alnx+（x+1）2（x0）的图象上任取两个不同点P（x1，y1），Q（x2，y2），总能使得f（x1）f（x2）4（x1x2），且x1x2，则实数a的取值范围为 三、解答题（本大题共6小题，共7
5、2.0分）17（10分）已知函数f（x）x33ax2+2bx在x1处有极小值1（1）求a、b的值；（2）求出函数f（x）的单调区间18（12分）已知函数f（x）x3+x16（1）求曲线yf（x）在点（2，6）处的切线方程；（2）直线l为曲线yf（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标19（12分）如图所示，抛物线y1x2与x轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地，其中A、B在抛物线上，C、D在x轴上已知工业用地每单位面积价值为3a元（a0），其它的三个边角地块每单位面积价值a元（）求等待开垦土地的面积；（）如何确定点C的位置，才能使得
6、整块土地总价值最大20（12分）一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图，分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照如此规律，第n步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为f（n）（1）求出f（2），f（3），f（4），f（5）的值；（2）利用归纳推理，归纳出f（n+1）与f（n）的关系式；（3）猜想f（n）的表达式，并写出推导过程21（12分）已知函数f（x）ax+lnx（aR）（）求函数f（x）的单调递增区间（）已知g（x）4x32x+1，若对任意的m（0，+），存在n0，1，使得f（m）g（n），求实数a的取值范围22（12分）设函数（其中kR）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当k0时
7、，讨论函数f（x）的零点个数2018-2019学年广东省佛山一中高二（下）第一次段考数学试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1（5分）函数f（x）x3+x在点x1处的切线方程为（）A4xy+20B4xy20C4x+y+20D4x+y20【分析】首先求出函数f（x）在点x1处的导数，也就是切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程【解答】解：f（x）x3+xf（x）3x2+1容易求出切线的斜率为4当x1时，f（x）2利用点斜式，求出切线方程为4xy20故选：B【点评】本题比较简单，主要应用导数的几何意义，求出切线方程2（5分）函数，则（）Axe为函数f（
8、x）的极大值点Bxe为函数f（x）的极小值点C为函数f（x）的极大值点D为函数f（x）的极小值点【分析】求导，令f（x）0，求得函数的单调递增区间，令f（x）0，求得函数的单调递减区间，则当xe时，函数有极大值【解答】解：的定义域（0，+），求导f（x），令f（x）0，解得：0xe，令f（x）0，解得：xe，函数在（0，e）上递增，在（e，+）上递减，当xe时，函数有极大值，故选：A【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及极值，考查计算能力，属于基础题3（5分）（理）的值是（）ABCD【分析】根据微积分的积分公式和微积分基本定理的几何意义进行计算即可【解答】解：，设，则（x
9、1）2+y21，（y0），表示为圆心在（1，0），半径为1的上半圆的，所以由积分的几何意义可知dx12，而，所以故选：A【点评】本题主要考查微积分的基本公式以及微积分的几何意义，要求熟练掌握基本函数的微积分公式4（5分）函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x+3）f（x）0的解集为（）A（，3）（1，1）B（，3）C（，1）（1，+）D（1，+）【分析】根据函数图象分别讨论x（，1）时x（1，1）时x（1，+）时的情况，从而得出答案【解答】解：x（，1）时，f（x）0，解不等式（x+3）f（x）0，得x3，x（1，1）时，f（x）0，解不等式（x+3）f（x）0，得；1x1，x（1，+）时，
10、f（x）0，解不等式（x+3）f（x）0，无解综合得：x（，3）（1，1），故选：A【点评】本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，同时考查了分类讨论的思想，属于基础题5（5分）若yf（x）在（，+）可导，且，则f（a）（）AB2C3D【分析】根据导数的定义进行求解即可【解答】解：，1，即f（a）1，则f（a），故选：D【点评】本题主要考查导数的计算，根据导数的极限定义进行转化是解决本题的关键6（5分）已知f（x）x2+3xf（1），则f（2）（）A1B2C4D8【分析】先求出f（x）2x+3f（1），令x1，求出f（1 ）后，导函数即可确定，再求f（2）【解答】解：f（x）2x+3f（1），
11、令x1，得f（1）2+3f（1），f（1）1，f（x）2x3f（2）1故选：A【点评】本题考查函数与导数，求导公式的应用及函数值求解本题求出f（1 ） 是关键步骤7（5分）已知y+（b+6）x+3在R上存在三个单调区间，则b的取值范围是（）Ab2或b3B2b3C2b3Db2或b3【分析】问题转化为只需yx2+2bx+（b+6）0有2个不相等的实数根即可【解答】解：若y+（b+6）x+3在R上存在三个单调区间，只需yx2+2bx+（b+6）0有2个不相等的实数根，即只需4b24（b+6）0，解得：b2或b3，故选：D【点评】本题考查了函数的单调性问题，考察二次函数的性质，是一道基础题8（5分）如
12、图所示，正弦曲线ysinx，余弦曲线ycosx与两直线x0，x所围成的阴影部分的面积为（）A1BC2D2【分析】由图形可知，阴影部分的面积等于正弦函数与余弦函数图形到的面积，所以利用此区间的定积分可求【解答】解：由图形以及定积分的意义，得到所求封闭图形面积等价于；故选：D【点评】本小题主要考查定积分的几何意义以及定积分的基本运算，对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求9（5分）下列说法正确的是（）设函数yf（x）可导，则；过曲线yf（x）外一定点做该曲线的切线有且只有一条；已知做匀加速运动的物体的运动方程是s（t）t2+t（米），则该物体在时刻t2秒的瞬时速度是5米/秒；一物体以速度v
13、3t2+2t（米/秒）做直线运动，则它在t0到t2秒时间段内的位移为12米；已知可导函数yf（x），对于任意x（a，b）时，f（x）0是函数yf（x）在（a，b）上单调递增的充要条件ABCD【分析】利用函数导数的概念，导数的几何意义，以及导数的单调性，根据条件逐项判断即可【解答】解：对于选项，设函数f（x），则；f（1），故错对于选项，过曲线yf（x）外一定点做该曲线的切线有且只有一条，故错对于选项，已知做匀速运动的物体的运动方程为s（t）t2+t，则s（t）2t+1，所以s（2）5，故正确对于选项，一物体以速度v3t2+2t做直线运动，则它在t0到t2时间段内的位移为（t3+t2）12，故正
14、确对于选项，已知可导函数yf（x），对于任意x（a，b）时，f（x）0是函数yf（x）在（a，b）上单调递增的充分不必要条件，故错故选：B【点评】本题考查命题的真假的判断，函数的导数的应用，是基本知识的考查10（5分）若函数f（x）在R上可导，f（x）xf（x）则（）Aef（1）f（e）Bef（1）f（e）Cef（1）f（e）Df（1）f（e）【分析】根据条件f（x）xf（x）可构造函数g（x），然后得到函数的单调性，从而得到所求【解答】解：设g（x），则g（x），f（x）xf（x），g（x）0即g（x）在R上单调递增函数g（1）g（e）即ef（1）f（e）故选：A【点评】本题主要考查了导数除
15、法的运算法则，以及利用构造法是解题的关键，同时考查了运算求解的能力，属于基础题11（5分）已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则（）A1B2C3D4【分析】类比平面几何结论，推广到空间，则有结论：“3”设正四面体ABCD边长为1，易求得AM，又O到四面体各面的距离都相等，所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r，可求得r即OM，从而可验证结果的正确性【解答】解：推广到空间，则有结论：“3”设正四面体ABCD边
16、长为1，易求得AM，又O到四面体各面的距离都相等，所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r，可求得r即OM，所以AOAMOM，所以 3故选：C【点评】本题考查类比推理、几何体的结构特征、体积法等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想属于基础题12（5分）把非零自然数按定的规则排成了下面所示的三角形数表（每行比上一行多一个数），设（aij，ijN+）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，如a428，若i65，j3，则aij的值为（）A2053B205lC2049D2047【分析】由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，aij是
17、第65行第3个数，得到结果【解答】解：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，aij是第65行第3个数，由图知，第65行都是奇数，设奇数为2n1，它是第1+3+63+31027个，因此aij为2102712053故选：A【点评】本题考查简单的演绎推理及数列的特点，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13（5分）已知函数在（0，2）上有极值，则实数m的值为2【分析】f（x）3x23x，令f（x）0，得x0，1，可得f（1），m2【解答】解：f（x）3x23x，令f（x）0，得x0，1，函数在（0，2）上有极值，m2，故答案为：2【点评】本题考查了函数的极值，属于中档
18、题14（5分）函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于【分析】先作出f（x）的图象，它与x轴所围成的封闭图形的面积问题用定积分求解【解答】解：由下图可知s01x2dx+故答案为：【点评】本题考查分段函数的图象问题、利用定积分求面积问题，难度不大15（5分）函数f（x）x3+ax2在区间1，+）内是增函数，则实数a的取值范围是3，+）【分析】求函数的导数，根据函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论【解答】解：函数f（x）x3+ax2在区间1，+）上单调递增，f（x）3x2+a0，在区间1，+）恒成立，即a3x2，3x23，a3，故实数a的取值范围是3，+）故答案为：3，+）【点评】本题主要考
19、查函数单调性和单调区间的应用，求函数的导数利用导数研究单调性是解决本题的关键16（5分）在函数f（x）alnx+（x+1）2（x0）的图象上任取两个不同点P（x1，y1），Q（x2，y2），总能使得f（x1）f（x2）4（x1x2），且x1x2，则实数a的取值范围为a【分析】不妨设x1x2，则x1x20，由f（x1）f（x2）4（x1x2），可得4，即函数f（x）alnx+（x+1）2（x0）的图象上任取两个不同点P（x1，y1），Q（x2，y2）连续的斜率不小于4，即导数值不小于4，由此构造关于a的不等式，可得实数a的取值范围【解答】解：不妨设x1x2，则x1x20，f（x1）f（x2）4（
20、x1x2），4，可得yf（x）4xalnx+（x+1）24x在x0递增，y+2（x+1）4+2（x+1）4，a2x2+2x2x2+2x2（x）2+a，故答案为：a【点评】本题考查的知识点导数的几何意义，斜率公式，其中分析出f（x1）f（x2）4（x1x2）的几何意义，是解答的关键三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17（10分）已知函数f（x）x33ax2+2bx在x1处有极小值1（1）求a、b的值；（2）求出函数f（x）的单调区间【分析】（1）已知函数f（x）x33ax2+2bx在x1处有极小值1，即f（1）1，f（1）0，所以先求导函数，再代入列方程组，即可解得a、b的值；（2）分别
21、解不等式f（x）0和f（x）0，即可得函数f（x）的单调增区间与单调递减区间【解答】解：（1）f（x）3x26ax+2b，函数f（x）x33ax2+2bx在x1处有极小值1，f（1）1，f（1）013a+2b1，36a+2b0解得a，bf（x）x3x2x（2）f（x）3x22x1由f（x）3x22x10得x（，）或（1，+）由f（x）3x22x10得x（，1）函数f（x）的单调增区间为：（，），（1，+），减区间为：（，1）【点评】本题考查导数在求函数极值中的应用，利用导数求函数的单调区间，属于中档题18（12分）已知函数f（x）x3+x16（1）求曲线yf（x）在点（2，6）处的切线方程；（
22、2）直线l为曲线yf（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标【分析】（1）求出原函数的导函数，得到函数在x2时的导数，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案；（2）设出切点坐标，求出函数过切点的切线方程，由切线过原点求得切点横坐标，则直线方程与切点坐标可求【解答】解：（1）由f（x）x3+x16，得f（x）3x2+1，f（2）322+113，曲线yf（x）在点（2，6）处的切线方程为y613（x2），即13xy200；（2）设切点为（），切线方程为，切线经过原点，x02则f（2）13，所求的切线方程为y13x；切点为（2，26）【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方
23、程，关键是区分切线所经过的点是否为切点，是中档题19（12分）如图所示，抛物线y1x2与x轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地，其中A、B在抛物线上，C、D在x轴上已知工业用地每单位面积价值为3a元（a0），其它的三个边角地块每单位面积价值a元（）求等待开垦土地的面积；（）如何确定点C的位置，才能使得整块土地总价值最大【分析】（）先由定积分可求等待开垦土地的面积；（）进而可得工业用地面积，三个边角地块面积，由此可得土地总价值，利用导数的方法可求函数的最值【解答】解：（）由，故等待开垦土地的面积为（3分）（）设点C的坐标为（x，0），则点B（x
24、，1x2）其中0x1，（5分）土地总价值（7分）由y4a（13x2）0得（9分）并且当时，故当时，y取得最大值（12分）答：当点C的坐标为时，整个地块的总价值最大（13分）【点评】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，解题的关键是利用定积分知识求面积，从而构建函数，同时考查利用导数求最值，综合性强20（12分）一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图，分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照如此规律，第n步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为f（n）（1）求出f（2），f（3），f（4），f（5）的值；（2）利用归纳推理，归纳出f（n+1）与f（n）的关系式；（3）猜想f（n）的表达式，
25、并写出推导过程【分析】（1）根据前4个图形进行归纳，求出f（2），f（3），f（4），推测f（5）的值；（2）利用（1）的结果，归纳推理，通过相邻两个函数值的关系，归纳出f（n+1）与f（n）的关系式；（3）猜想f（n）的表达式，利用（2）的推导方法，即可写出推导过程【解答】解：（1）图中只有一个小正方形，得f（1）1；图中有3层，以第3层为对称轴，有1+3+15个小正方形，得f（2）5；图中有5层，以第3层为对称轴，有1+3+5+3+113个小正方形，得f（3）13；图中有7层，以第4层为对称轴，有1+3+5+7+5+3+125个小正方形，得f（4）25；图中有9层，以第5层为对称轴，有1+
26、3+5+7+9+7+5+3+141个小正方形，得f（5）41；（2）f（1）1； f（2）5；f（3）13；f（4）25；f（5）41；f（2）f（1）441；f（3）f（2）842；f（4）f（3）1243；f（5）f（4）1644；f（n）f（n1）4（n1）4n4f（n+1）与f（n）的关系式：f（n+1）f（n）4n（3）猜想f（n）的表达式：2n22n+1由（2）可知f（2）f（1）441；f（3）f（2）842；f（4）f（3）1243；f（5）f（4）1644；f（n）f（n1）4（n1）4n4将上述n1个式子相加，得f（n）f（1）4（1+2+3+4+（n1）+1+12n22n
27、+1f（n）的表达式为：2n22n+1【点评】本题给出成一定规律排列的图形，找出第n个图形中小正方形的个数，着重考查了等差数列的通项与求和，及简单归纳推理等知识，（3）也可以利用数学归纳法证明，属于中档题21（12分）已知函数f（x）ax+lnx（aR）（）求函数f（x）的单调递增区间（）已知g（x）4x32x+1，若对任意的m（0，+），存在n0，1，使得f（m）g（n），求实数a的取值范围【分析】（）先求出函数导数，通过讨论当a0时，当a0时的情况，从而求出函数的单调区间；（）分别求出f（x），g（x）的最大值，问题转化为f（x）maxg（x）max，即1+ln（）1，从而求出a的范围【解
28、答】解（）f（x）ax+lnx，x（0，+），f（x）a+，当a0时，f（x）a+0f（x）在（0，+）上单调递增，当a0时，f（x）a+0ax，f（x）在（0，）上单调递增，综上：当a0时，f（x）的增区间是（0，+），当a0时，f（x）的增区间是（0，）；（）g（x）4x32x+1，x0，1，令2xt1，2，yt23t+1，t1，2，当t1或2时，ymax1，由（）知，当a0时，f（x）在（0，+）上单调递增，无最值，不可能满足f（m）g（n），当a0时，在（0，）上递增，在（，+）上递减；f（x）maxf（）1+ln（），对任意的m（0，+），存在n0，1，使得f（m）g（n），f（x）
29、maxg（x）max，1+ln（）1，ln（）0，1，a1【点评】本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查了导数的应用，考查了转化思想，是一道中档题22（12分）设函数（其中kR）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当k0时，讨论函数f（x）的零点个数【分析】（1）求出函数的导数，通过k的范围，判断导函数的符号，然后求解函数的单调区间即可（2）f（0）1，通过当0k1时，由（1）知，当x（，0）时，函数的最大值大于0推出函数没有零点，当x0，+）时，f（2）e22ke220，函数有唯一的零点，当k1时，由（1）知，当x（，lnk）时，f（x）fmax（x）0，此时f（x）无零点；当xln
30、k，+）时，有唯一的零点推出当k0时函数f（x）在定义域（，+）上有且只有一个零点【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（，+），f（x）ex+（x1）exkxxexkxx（exk），当k0时，令f（x）0，解得x0，所以f（x）的单调递减区间是（，0），单调递增区间是0，+），当0k1时，令f（x）0，解得xlnk或x0，所以f（x）在（，lnk）和（0，+）上单调递增，在lnk，0上单调递减，当k1时，f（x）0，f（x）在（，）上单调递增，当k1时，令f（x）0，解得x0或xlnk，所以f（x）在（，0）和（lnk，+）上单调递增，在0，lnk上单调递减；（2）f（0）1，当0k1时，
31、由（1）知，当x（，0）时，此时f（x）无零点，当x0，+）时，f（2）e22ke220，又f（x）在0，+）上单调递增，所以f（x）在0，+）上有唯一的零点，故函数f（x）在定义域（，+）上有唯一的零点，当k1时，由（1）知，当x（，lnk）时，f（x）fmax（x）f（0）10，此时f（x）无零点；当xlnk，+）时，f（lnk）f（0）10，令，则g（t）ett，g（t）et1，因为t2，g（t）0，g（t）在（2，+）上单调递增，g（t）g（2）e220，所以g（t）在（2，+）上单调递增，得g（t）g（2）e220，即f（k+1）0，所以f（x）在lnk，+）上有唯一的零点，故函数f（x）在定义域（，+）上有唯一的零点综全知，当k0时函数f（x）在定义域（，+）上有且只有一个零点【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的零点与函数的最值的关系，考查分类讨论思想以及转化思想的应用
