1、2018-2019学年广东省汕头市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的1（5分）已知集合M2，0，2，4，Nx|62x0，则MN（）A0，2B0，2，4C0D2，0，22（5分）复数z1（1i）2（i为虚数单位），则|z|（）A5BC2D13（5分）小聪要举办一项户外活动，由于多种原因，小聪只能从5位小伙伴中随机邀请其中3位参加该项活动，则甲乙两位都被邀请或都不被邀请的概率为（）ABCD4（5分）若alog30.2，blog32，c30.2，则a，b，c的大小关系为（）AabcBacbCbacDbc
2、a5（5分）设等比数列an的前n项和为Sn，已知a28a5，且a1与a3的等差中项为20，则a4（）A16B5C4D326（5分）已知双曲线1（a0，b0）与抛物线y24x有共同的焦点F，且点F到双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线的方程为（）ABx2y21CDx27（5分）如图是某几何体的三视图，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）ABC16D88（5分）在ABC中，D是BC边上的点，且，E为AD的中点，则（）ABCD9（5分）已知函数f（x）2cos2x+sin2x+2sinx1，则f（x）的最大值为（）A0BC6D310（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，在区间0，+
3、）上为增函数，且f（）0，则不等式f（logx）0的解集为（）A（，2）B（ 2，+）C（ 0，）（ 2，+）D（，1 ）（ 2，+）11（5分）已知四边形ABCD是边长为a的正方形，沿着对角线AC对折使得BDa，若三棱锥DABC外接球的体积为，则a（）A2BC4D212（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意xR，都有f（x+2）f（x2），且当x2，0时，f（x）（）x1，若在区间（2，6内关于x的方程f（x）loga（x+2）0（a1）有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A（1，2）B（2，+）C（1，）D（，2）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）若
4、x，y满足约束条件，则zy2x的最小值为 14（5分）数列an的项和记为Sn，已知a11，an+1（nN*），则a3 15（5分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，若ABBC2，AA13，则异面直线BC1与B1D1所成角的余弦值为 16（5分）已知点P为圆C：x2+y21上一点，A（0，4），B（4，0），则|的最小值为 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）如图，平面四边形ABCD中，CD2，AC2，ADAB，ADC135（1）求cosCAD的值；
5、（2）若ABC的面积为12，求BC的值18（12分）如图，四边形ABMN是矩形，且3AB2AN，点C是MN的中点，以AC与BC为折痕，将ACN和BCM折起，使点M、N重合于点D（1）求证：平面BCD平面ABD；（2）若三棱锥DABC的体积为，求AB19（12分）从某企业所生产的某种产品中随机抽取500件，并对这些产品的质量指标值x及落在不同指标区间所需的生产工时y（单位：min）进行测量，测量结果如表：质量指标值x165，175）175，185）185，195）195，205）205，215）215，225）225，235）产品数（件）10451101651204010生产工时y（min）15
6、182127303642（1）若产品质量指标值不低于215为优质品，估计该企业所生产这种产品的优质品率；（2）估计该企业生产这种产品的质量指标的平均值；（3）现该企业计划开发质量指标x235，245）的高端产品，为了预测高端产品的生产工时，画出了关于质量指标值x（同一质量指标区间的数据用该区间的中点值作代表）与生产工时y的散点图，如图由散点图可以看出y与x之间有线性相关关系请建立y关于x的线性回归方程，并预测产品质量指标值x240的生产工时附注：参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，a20（12分）已知椭圆E：1（ab0）经过点P（，），且离心率e（1）求椭圆E的标准方程；
7、（2）过椭圆E的右焦点F的直线l与椭圆E交于A，B两点，当AOB（O为坐标原点）的面积为时，求直线l的方程21（12分）已知函数f（x）ax2（a+2）x+lnx，其中aR（1）当a1时，求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若对于任意x2x10，f（x1）+2x1f（x2）+2x2恒成立，求a的取值范围选考题：共10分请考生在第223题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为cos24asin（a0），直线l的参数方程为（t为参数）（1）
8、写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）已知直线l与曲线C交于M，N两点，P（2，1），若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x+1|ax1|（1）当a1时，求不等式f（x）2的解集；（2）当x（，0）时，不等式f（x）2x成立，求实数a的取值范围2018-2019学年广东省汕头市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的1（5分）已知集合M2，0，2，4，Nx|62x0，则MN（）A0，2B0，2，4C0D2，0，2【
9、分析】可以求出集合N，然后进行交集的运算即可【解答】解：M2，0，2，4，Nx|x3；MN2，0，2故选：D【点评】考查列举法、描述法表示集合的定义，以及交集的运算2（5分）复数z1（1i）2（i为虚数单位），则|z|（）A5BC2D1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解【解答】解：z1（1i）211+2i+11+2i，|z|故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题3（5分）小聪要举办一项户外活动，由于多种原因，小聪只能从5位小伙伴中随机邀请其中3位参加该项活动，则甲乙两位都被邀请或都不被邀请的概率为（）ABCD【分析】先求5
10、位小伙伴中随机邀请其中3位的选法，再讨论甲乙两位都被邀请或都不被邀请的可能性，由古典概率的公式，计算可得所求【解答】解：从5位小伙伴中随机邀请其中3位共有10种选法，而甲乙两位都被邀请或都不被邀请的可能共有+4种选法，则甲乙两位都被邀请或都不被邀请的概率为故选：D【点评】本题考查古典概率的求法，考查分类讨论思想和运算能力，属于基础题4（5分）若alog30.2，blog32，c30.2，则a，b，c的大小关系为（）AabcBacbCbacDbca【分析】容易得出，从而可得出a，b，c的大小关系【解答】解：log30.2log310，0log31log32log331，30.2301；abc故选
11、：A【点评】考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数的定义，对数的运算5（5分）设等比数列an的前n项和为Sn，已知a28a5，且a1与a3的等差中项为20，则a4（）A16B5C4D32【分析】等比数列an的公比设为q，运用等比数列的通项公式可得公比q，再由等差数列的中项性质可得首项，进而得到所求值【解答】解：等比数列an的公比设为q，a28a5，可得q3，即q，a1与a3的等差中项为20，可得a1+a340，即为a1+a140，可得a132，a4a1q332234故选：C【点评】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题6（5分）已知双曲线1（a0
12、，b0）与抛物线y24x有共同的焦点F，且点F到双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线的方程为（）ABx2y21CDx2【分析】通过双曲线的标准方程可见其焦点在x轴上，则双曲线的左焦点为（，0），此时由双曲线的性质a2+b2c2可得a、b的一个方程；再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为yx，可得a、b的另一个方程那么只需解a、b的方程组，问题即可解决【解答】解：因为抛物线y28x的焦点坐标（，0），则由题意知，点F（，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2c22，又双曲线的一条渐近线方程是bxay0，所以点F到双曲线的渐近线的距离d1，b1，解得a1，所以双曲线的方程为：x2y21故选：B【点评
13、】本题考查圆锥曲线的共同特征，主要考查了双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，确定c和a的值，是解题的关键7（5分）如图是某几何体的三视图，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）ABC16D8【分析】由三视图可以判定出这是一个底面为四边形的四棱锥，其高为5，求出底面积，用棱锥的体积公式求出体积【解答】解：由三视图可以判定出这是一个底面为四边形的四棱锥，其高h为5，底面四边形的面积S12，体积V16，故选：C【点评】本题考查了通过三视图识别几何体的形状求其体积8（5分）在ABC中，D是BC边上的点，且，E为AD的中点，则（）ABCD【分析】可通过向量加法将向量化简，最终落脚
14、点在和向量即可得出所求【解答】解：+（）+（）+故选：A【点评】本题主要考察向量的线性运算，对向量加法和减法的运用较为灵活，属于基础题9（5分）已知函数f（x）2cos2x+sin2x+2sinx1，则f（x）的最大值为（）A0BC6D3【分析】将cos2x12sin2x代入f（x）中，然后转化为关于sinx的二次函数形式，然后根据二次函数的图象与性质可得f（x）的最大值【解答】解：f（x）2cos2x+sin2x+2sinx12（12sin2x）+sin2x+2sinx13sin2x+2sinx+1，sinx1，1，当sinx时，故选：B【点评】本题考查了三角函数的图象与性质和二次函数的图象
15、与性质，考查了转化思想和转化法，属基础题10（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，在区间0，+）上为增函数，且f（）0，则不等式f（logx）0的解集为（）A（，2）B（ 2，+）C（ 0，）（ 2，+）D（，1 ）（ 2，+）【分析】根据f（x）是定义在R上的偶函数，它在0，+）上为增函数，且f（）0，则不等式f（x）0，可得x|，解出即可【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，它在0，+）上为增函数，且f（）0，由不等式f（x）0，可得x|，化为x或x，解得0x或x2不等式f（x）0的解集为（0，）（2，+）故选：C【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性、对数的运算性质、不等式的性质
16、，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11（5分）已知四边形ABCD是边长为a的正方形，沿着对角线AC对折使得BDa，若三棱锥DABC外接球的体积为，则a（）A2BC4D2【分析】取AC中点O，连结DO，BO，求出DOBO，O是三棱锥DABC外接球的球心，由三棱锥DABC外接球的体积为，得到三棱锥DABC外接球的半径RBO2，由此能求出a【解答】解：取AC中点O，连结DO，BO，四边形ABCD是边长为a的正方形，沿着对角线AC对折使得BDa，AC，DOBO，O是三棱锥DABC外接球的球心，三棱锥DABC外接球的体积为，三棱锥DABC外接球的半径RBO2，解得a2故选：A【点评】本题考查正方形的
17、边长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题12（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意xR，都有f（x+2）f（x2），且当x2，0时，f（x）（）x1，若在区间（2，6内关于x的方程f（x）loga（x+2）0（a1）有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A（1，2）B（2，+）C（1，）D（，2）【分析】根据函数的奇偶性和对称性可以得到函数是周期函数，然后将方程转化为两个函数，利用数形结合以及两个函数图象的交点个数，求得，由此求得a的范围【解答】解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意xR，都有f（x+2）f（x2），f（x2）
18、f（x+2）f（2x），即f（x）f（x+4），即函数的周期是4当 x0，2时，x2，0，此时f（x）（）x1f（x），即f（x）2x1，且当x2，0时，f（x）（）x1分别作出函数f（x）（图中黑色曲线）和yloga（x+2）（图中红色曲线）图象如图：由在区间（2，6内关于x的方程f（x）loga（x+2）0（a1）有3个不同的实数根，可得函数f（x）和yloga（x+2）图象有3个交点，故有，求得a2，故选：D【点评】本题主要考查方程根的个数的判断，根据函数的奇偶性和对称性的性质求出函数的周期性，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2
19、0分13（5分）若x，y满足约束条件，则zy2x的最小值为2【分析】先根据条件画出可行域，设zy2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最小，只需求出直线zy2x，过可行域内的点A（2，2）时的最小值，从而得到z最小值即可【解答】解：x，y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线y2x0经过点A（2，2）时，y2x最小，最小值为：2，则目标函数zy2x的最小值为2故答案为：2【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定14（5分）数列an的项和记为Sn，已知a11，an+1（nN*），则a3
20、8【分析】利用数列的递推关系式，逐步求解即可【解答】解：数列an的项和记为Sn，已知a11，an+1（nN*），所以a2313a32（1+3）8故答案为：8【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，是基本知识的考查15（5分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，若ABBC2，AA13，则异面直线BC1与B1D1所成角的余弦值为【分析】由异面直线的作法及异面直线的求法得：AD1B1为所求，又ABBC2，AA13，所以AB1AD1，B1D12，所以cosAD1B1，得解【解答】解：连接AD1，因为AD1BC1，所以AD1B1为所求，又ABBC2，AA13，所以AB1AD1，B1D12，所以cosAD
21、1B1，故答案为：【点评】本题考查了异面直线的作法及异面直线的求法，属中档题16（5分）已知点P为圆C：x2+y21上一点，A（0，4），B（4，0），则|的最小值为【分析】设P（x0，y0），则，求得|，再由的几何意义求解【解答】解：设P（x0，y0），则，A（0，4），B（4，0），则，|，的几何意义为圆上的动点到（2，2）的距离，最小值为|的最小值为故答案为：【点评】本题考查圆的方程的应用，涉及向量模的计算，关键是分析|的几何意义，是中档题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一
22、）必考题：共60分17（12分）如图，平面四边形ABCD中，CD2，AC2，ADAB，ADC135（1）求cosCAD的值；（2）若ABC的面积为12，求BC的值【分析】（1）在ADC中，由余弦定理解得ADcosCAD即可（2）sinCABcos（CAB）cosCAD由SABC12AB6由余弦定理得BC【解答】解：（1）在ADC中，AC2AD2+DC2+2ADDCAD2+4AD120AD2（负值舍）cosCAD（2）sinCABcos（CAB）cosCADSABC12，AB6BC2AC2+AB22ACABcosCAB32【点评】本题考查了解三角形，属于中档题18（12分）如图，四边形ABMN是
23、矩形，且3AB2AN，点C是MN的中点，以AC与BC为折痕，将ACN和BCM折起，使点M、N重合于点D（1）求证：平面BCD平面ABD；（2）若三棱锥DABC的体积为，求AB【分析】（1）根据题意和矩形的性质，由线面垂直的判定定理可得DC平面DAB，再由面面垂直的判定定理即可得证；（2）运用三棱锥的体积公式，以及三角形的面积公式，计算可得所求值【解答】证明：（1）DCDB，DCDA，DBDAD，DC平面DAB，CD面BCD，平面BCD平面ABD；（2）可设AB2t，AN3t，由DC平面DAB，可得：三棱锥DABC的体积为DCSABDt2t，解得t2，即AB4【点评】本题考查面面垂直的证明，考查
24、棱锥的体积，考查运算求解能力，是中档题19（12分）从某企业所生产的某种产品中随机抽取500件，并对这些产品的质量指标值x及落在不同指标区间所需的生产工时y（单位：min）进行测量，测量结果如表：质量指标值x165，175）175，185）185，195）195，205）205，215）215，225）225，235）产品数（件）10451101651204010生产工时y（min）15182127303642（1）若产品质量指标值不低于215为优质品，估计该企业所生产这种产品的优质品率；（2）估计该企业生产这种产品的质量指标的平均值；（3）现该企业计划开发质量指标x235，245）的高端产品
25、，为了预测高端产品的生产工时，画出了关于质量指标值x（同一质量指标区间的数据用该区间的中点值作代表）与生产工时y的散点图，如图由散点图可以看出y与x之间有线性相关关系请建立y关于x的线性回归方程，并预测产品质量指标值x240的生产工时附注：参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，a【分析】（1）直接由频率分布表求该企业所生产这种产品的优质品率；（2）利用每组数据的中间值乘以频率作和求解；（3）求出与的值，可得线性回归方程，取x240求解y值即可【解答】解：（1）依题意，产品质量指标值不低于215为优质品，故优质品率为；（2）估计该企业生产这种产品的质量指标的平均值为：170+
26、180+190+200+210+220+230200；（3）由题意，200，27，17015+18018+19021+20027+21030+220362304239060，1702+1802+1902+2002+2102+2202+2302282800，0.45，270.4520063，y关于x的线性回归方程为0.45x63，可以预测当产品质量指标值x240时的生产工时为0.452406345【点评】本题考查频率分布表及频率分布直方图，考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题20（12分）已知椭圆E：1（ab0）经过点P（，），且离心率e（1）求椭圆E的标准方程；（2）过椭圆E的右焦点
27、F的直线l与椭圆E交于A，B两点，当AOB（O为坐标原点）的面积为时，求直线l的方程【分析】（1）根据题意列出关于a，b，c的方程组，解得a，b，c的值，写出椭圆方程即可；（2）已知直线l的斜率存在且不为0，故设直线l的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2）yk（x），联立直线与椭圆解方程组，得到关于x的一元二次方程，由判别式得出k的取值范围，有韦达定理的两根关系，根据面积值为定值列方程求得k的值，不在范围内的要舍去【解答】解：（1）由已知条件可得，解得a24，b21，所以椭圆E的标准方程为（2）由已知直线l的斜率存在且不为0，故设直线l的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2）yk
28、（x），联立直线与椭圆方程可得，消去y化简可得，（1+4k2）x2+12k240，所以0，解得1k1又，所以|AB|设O到直线AB的距离为d，则，因为AOB（O为坐标原点）的面积为，所以，化简解得或k21，所以k或k1（舍），故直线l的方程为和【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，三角形面积公式等，属于中档题21（12分）已知函数f（x）ax2（a+2）x+lnx，其中aR（1）当a1时，求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若对于任意x2x10，f（x1）+2x1f（x2）+2x2恒成立，求a的取值范围【分析】（1）已知切点横坐标，利用导数求斜线的斜率，切点坐标，结
29、合点斜式即可得到切线方程（2）由任意x2x10，f（x1）+2x1f（x2）+2x2恒成立，想到函数的单调性，为此构造新函数h（x）f（x）+2xax2ax+lnx，（x0）；将f（x1）+2x1f（x2）+2x2恒成立转化为h（x）f（x）+2xax2ax+lnx，（x0）恒为增函数即导数0（x0）恒成立，从而得到a的范围【解答】解：（1）当a1时，f（x）x23x+lnx，切线的斜率kf（1）0，f（1）2，切点为（1，2），此处的切线方程为：y（2）0，即y+20；（2）由对于任意x2x10，f（x1）+2x1f（x2）+2x2恒成立 则 令h（x）f（x）+2xax2ax+lnx，（x
30、0）；任意x2x10，f（x1）+2x1f（x2）+2x2恒成立h（x）在（0，+）上为增函数，即其导数0（x0）恒成立，即 2ax2ax+10 （x0）恒成立令g（x）2ax2ax+1 （x0），则 g（x）0恒成立，当a0时，g（x）10，恒成立，当a0时，g（x）的图象开口向上，对称轴为，g（x）min，解得 a8，综上所述：a的范围为0，8【点评】本题是一个恒成立问题，恒成立问题关键是要等价转化，因此转化化归思想是本题的灵魂，利用导数判断函数的单调性是本题的核心，属于中档题选考题：共10分请考生在第223题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22（1
31、0分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为cos24asin（a0），直线l的参数方程为（t为参数）（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）已知直线l与曲线C交于M，N两点，P（2，1），若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；（2）直接利用|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，进一步利用直线和曲线的位置关系和一元二次方程根和系数关系的应用求出a的值【解答】解：（1）由cos24asin，得2cos24asin，曲线C的直角坐标方
32、程为x24ay（a0）；由（t为参数），消去参数t，可得xy+10即直线l的普通方程为xy+10；（2）将直线l的参数方程（t为参数）代入曲线x24ay得到（a+1）t+8（a+1）0，（t1和t2为M、N对应的参数）（a+1），t1t28（a+1），由于：|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，整理得：32（a+1）240（a+1），解得：a【点评】本题主要考查极坐标和参数方程的基础知识体现直观想象、运算能力、逻辑推理的核心素养，是中档题选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x+1|ax1|（1）当a1时，求不等式f（x）2的解集；（2）当x（，0）时，不等式f（x）2x成立，求实数a的取值范围【分析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解最后取并集，（2）根据绝对值定义将不等式化简，分离变量转化为对应函数最值问题，即得结果【解答】解：（1）当a1时，f（x）|2x+1|x1|，由f（x）2，得或或，解得x或或，不等式f（x）2的解集为（2）当x时，不等式f（x）2等价于2x+1|ax12x，即|ax1|1，1ax11，即0ax2，x，a0，又由x，得，4a0，a的取值范围是4，0）【点评】本题考查解含绝对值不等式以及函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题
