1、2018-2019学年广东省汕头市潮阳区高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知全集U1，2，3，4，5，集合 A1，2，B2，3，则（UB）A（）A1B4，5C1，2，3D2，3，4，52（5分）已知i是虚数单位，若，则（）ABCD3（5分）设，则有（）AabcBcbaCcabDacb4（5分）从数字1、2、3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于20的概率为（）ABCD5（5分）设平面向量（1，2），（2，y），若，则|2|等于（）A4B5CD6（5分）设实数x，y满足
2、约束条件，则zx+y的最大值为（）A0B1C2D37（5分）函数f（x）（x3）ex的单调递增区间是（）A（，2）B（0，3）C（1，4）D（2，+）8（5分）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出P的值为（）A2B3C4D59（5分）已知函数f（x）sin（2x+）的图象关于直线x对称，则可能取值是（）ABCD10（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x），则gf（7）（）A3B3C2D211（5分）已知双曲线与抛物线y28x有相同的焦点F，过F且垂直于x轴的直线l与抛物线交于A、B两点，与双曲线交于C、D两点，当|AB|2|CD|时双曲线的离心率为（）ABCD212（
3、5分）已知函数f（x）mx（e为自然对数的底数），若f（x）0在（0，+）上恒成立，则实数m的取值范围是（）A（，2）B（，）C（，e）D（，+）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分答案填在答题卷上相应的位置上13（5分）曲线yx2+lnx在点（1，1）处的切线方程为 14（5分）已知x0，y0，且x+y2，则的最小值 15（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知b3，c2，cosA，则a 16（5分）下列有关命题中，正确命题的序号是 命题“若x21，则x1”的否命题为“若x21，则x1”；命题“xR，x2+x10”的否定是“xR，x2+x10”；命题“若xy，则
4、sinxsiny”的逆否命题是假命题若“p或q为真命题，则p，q至少有一个为真命题”三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）已知数列an的前n项和为，且，（1）求数列an的通项公式；（2）令，求数列bn的前n项和18（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，ABC90，AB4，AA16，点M时BB1中点（1）求证；平面A1MC平面AA1C1C；（2）求点A到平面A1MC的距离19（12分）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节
5、目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：文艺节目新闻节目总计20至40岁401858大于40岁152742总计5545100（1）由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？（2）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？（3）在上述抽取的5名观众中，任取2名，求恰有一名观众的年龄为20至40岁的概率20（12分）已知椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为，短轴端点与焦点构成四边形的面积为（1）求椭圆C的方程；（2）若过点（1，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，O为坐标原点，当时，试求直线
6、l的方程21（12分）已知函数f（x）exmx22x（1）若m0，讨论f（x）的单调性；（2）若，证明：当x0，+）时，（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为4cos，直线l的极坐标方程为，两条曲线交于A，B两点（1）求曲线C1和直线l的普通方程；（2）M曲线（为参数）上的动点，求MAB的面积的最小值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2xa|+|x+|（1）当a2时，解不等式f（x）1；（2）求函数g（
7、x）f（x）+f（x）的最小值2018-2019学年广东省汕头市潮阳区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知全集U1，2，3，4，5，集合 A1，2，B2，3，则（UB）A（）A1B4，5C1，2，3D2，3，4，5【分析】进行补集、交集的运算即可【解答】解：U1，2，3，4，5，A1，2，B2，3；UB1，4，5；（UB）A1故选：A【点评】考查列举法表示集合的定义，以及交集、补集的运算2（5分）已知i是虚数单位，若，则（）ABCD【分析】直接利用复数代数形式的乘除
8、运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案【解答】解：，故选：D【点评】本题考查了复数的运算性质和共轭复数的概念，属基础题3（5分）设，则有（）AabcBcbaCcabDacb【分析】由是减函数，知；由y3x是增函数，知b；由是减函数，知0c，由此能够得到正确选项【解答】解：是减函数，；y3x是增函数，b；是减函数，0c，acb故选：D【点评】本题考查对数值和指数值的大小的比较，是基础题解题时要认真审题，仔细解答4（5分）从数字1、2、3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于20的概率为（）ABCD【分析】基本事件总数n6，这个两位数大于20包含的基本事件有21，23，31，32，共
9、4个，由此能求出这个两位数大于20的概率【解答】解：从数字1、2、3中任取两个不同的数字构成一个两位数，基本事件总数n6，这个两位数大于20包含的基本事件有21，23，31，32，共4个，则这个两位数大于20的概率为p故选：D【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5（5分）设平面向量（1，2），（2，y），若，则|2|等于（）A4B5CD【分析】利用向量共线定理即可得出y，从而计算出的坐标，利用向量模的计算公式即可得出【解答】解：，22y0，解得y42（1，2）（2，4）（4，8），|2|故选：D【点评】熟练掌握向量共线定理、向量模的计算公式是解
10、题的关键6（5分）设实数x，y满足约束条件，则zx+y的最大值为（）A0B1C2D3【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图看出使目标函数取得最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由实数x，y满足约束条件，作可行域如图，由zx+y，得yx+z要使z最大，则直线yx+z的截距最大，由图看出，当直线yx+z过可行域内的点A（3，0）时直线在y轴上的截距最大，zx+y的最大值是z3故选：D【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题7（5分）函数f（x）（x3）ex的单调递增区间是（）A（，2）B（0，3）C（1，4）D（2，+）【
11、分析】求出导函数，利用导函数的符号，求解函数的单调增区间即可【解答】解：函数f（x）（x3）ex，可得f（x）ex+（x3）ex（x2）ex，令f（x）0，得x2，函数f（x）（x3）ex的单调递增区间是（2，+）故选：D【点评】本题考查函数的单调性的应用，单调区间的求法，考查计算能力8（5分）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出P的值为（）A2B3C4D5【分析】根据输入A的值，然后根据S进行判定是否满足条件S2，若满足条件执行循环体，依此类推，一旦不满足条件S2，退出循环体，求出此时的P值即可【解答】解：A2，P1，S0，满足条件S2，则P2，S，满足条件S2，则P3，S，满足
12、条件S2，则P4，S不满足条件S2，退出循环体，此时P4故选：C【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断9（5分）已知函数f（x）sin（2x+）的图象关于直线x对称，则可能取值是（）ABCD【分析】根据正弦函数图象的对称轴，结合题意求得的可能取值【解答】解：函数f（x）sin（2x+），令2x+k+，kZ；f（x）的图象关于直线x对称，2+k+，kZ；解得k+，kZ；的可能取值是故选：C【点评】本题考查了正弦函数的图象与对称性应用问题，是基础题10（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x
13、），则gf（7）（）A3B3C2D2【分析】先设x0，则x0，根据函数的奇偶性，即可求出g（x），再代值计算即可【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x），设x0，则x0，则f（x）log2（x+1），f（x）f（x），f（x）f（x）log2（x+1），g（x）log2（x+1）（x0），f（7）g（7）log2（7+1）3，g（3）log2（3+1）2，故选：D【点评】本题考查了函数的奇偶性和函数解析式的求法以及函数值的求法，属于基础题11（5分）已知双曲线与抛物线y28x有相同的焦点F，过F且垂直于x轴的直线l与抛物线交于A、B两点，与双曲线交于C、D两点，当|AB|2|C
14、D|时双曲线的离心率为（）ABCD2【分析】求得抛物线的焦点（2，0），即双曲线的c2，将x2分别代入抛物线和双曲线的方程，求得|AB|，|CD|，解方程可得a，b，再由双曲线的离心率公式，即可得到所求值【解答】解：抛物线y28x的焦点F为（2，0），令x2，可得y216，即y4，可得|AB|8，由|AB|2|CD|，可得|CD|4，将x2代入双曲线的方程可得：yb，可得2b4，又a2+b24，解得a1，b22（1），则双曲线的离心率e故选：A【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程思想和抛物线、双曲线的性质，考查运算能力，属于中档题12（5分）已知函数f（x）mx（e为自然对数的底
15、数），若f（x）0在（0，+）上恒成立，则实数m的取值范围是（）A（，2）B（，）C（，e）D（，+）【分析】问题转化为m在（0，+）恒成立，令h（x），（x0），根据函数的单调性求出m的范围即可【解答】解：若f（x）0在（0，+）上恒成立，则m在（0，+）恒成立，令h（x），（x0），h（x），令h（x）0，解得：x2，令h（x）0，解得：0x2，故h（x）在（0，2）递减，在（2，+）递增，故h（x）minh（2），故m，故选：B【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分答案填在答题卷上相应的位
16、置上13（5分）曲线yx2+lnx在点（1，1）处的切线方程为3xy20【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，再由点斜式方程，即可得到所求切线的方程【解答】解：yx2+lnx的导数为y2x+，则在点（1，1）处的切线斜率为k3，即有在点（1，1）处的切线方程为y13（x1），即为3xy20故答案为：3xy20【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，掌握导数的几何意义和运用点斜式方程是解题的关键14（5分）已知x0，y0，且x+y2，则的最小值【分析】利用“乘1法”和基本不等式即可得出【解答】解：x0，y0，x+y2，当且仅当y2x时取等号故答案为【点评】熟练掌握“乘1法”和基本不等式是解题的
17、关键15（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知b3，c2，cosA，则a【分析】由已知利用余弦定理即可求解【解答】解：b3，c2，cosA，由余弦定理可得：a2b2+c22bccosA32+222325，解得：a故答案为：【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题16（5分）下列有关命题中，正确命题的序号是命题“若x21，则x1”的否命题为“若x21，则x1”；命题“xR，x2+x10”的否定是“xR，x2+x10”；命题“若xy，则sinxsiny”的逆否命题是假命题若“p或q为真命题，则p，q至少有一个为真命题”【分析】分别对进行判断，从而得到结论【解答
18、】解：命题“若x21，则x1”的否命题为“若x21，则x1”；故错误；命题“xR，x2+x10”的否定是“xR，x2+x10”；故错误；命题“若xy，则sinxsiny”的逆否命题是若sinxsiny，则xy，是真命题，故错误；若“p或q为真命题，则p，q至少有一个为真命题”，正确；故答案为：【点评】本题考察了命题的否定以及命题之间的关系，是一道基础题三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）已知数列an的前n项和为，且，（1）求数列an的通项公式；（2）令，
19、求数列bn的前n项和【分析】（1）由数列的递推式：n1时，a1S1，n2时，anSnSn1，化简可得所求通项公式；（2）求得，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和【解答】解：（1），可得a1S12，n2时，anSnSn1n2+n（n1）2（n1）2n，对n1也成立，可得数列an的通项公式为an2n，nN*；（2），可得数列bn的前n项和为1+1【点评】本题考查数列的递推式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于基础题18（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，ABC90，AB4，AA16，点M时BB1中点（1）求证；平面A1MC平面AA1C1C；
20、（2）求点A到平面A1MC的距离【分析】（1）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面A1MC平面AA1C1C（2）由（0，0，6），平面A1MC的法向量（3，3，4），利用向量法能求出点A到平面A1MC的距离【解答】证明：（1）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，由题意A1（0，4，6），M（0，0，3），C（4，0，0），A（0，4，0），（0，4，3），（4，0，3），（0，0，6），（4，4，0），设平面A1MC的法向量为（x，y，z），则，取x3，得（3，3，4），设平面AA1C1C的法向量（a，b，
21、c），则，取a1，得（1，1，0），0，平面A1MC平面AA1C1C解：（2）（0，0，6），平面A1MC的法向量（3，3，4），点A到平面A1MC的距离：d【点评】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用19（12分）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：文艺节目新闻节目总计20至40岁401858大于40岁152742总计5545100（1）由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？（2）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众
22、应该抽取几名？（3）在上述抽取的5名观众中，任取2名，求恰有一名观众的年龄为20至40岁的概率【分析】（1）分析表格可得，收看新闻节目的观众多为年龄大的（2）用样本容量乘以收看新闻节目的观众中，年龄大于40岁的观众所占的比例，即得所求（3）由（2）知，抽取的5名观众中，有2名观众的年龄处于20至40岁，故所求概率为，运算求得结果【解答】解：（1）由表格可得，收看新闻节目的观众与年龄有关，收看新闻节目的观众多为年龄大的（3分）（2）应抽取的人数为：（人） （6分）（3）由（2）知，抽取的5名观众中，有2名观众的年龄处于20至40岁，3名观众的年龄大于40岁（8分）所求概率为：（12分）【点评】本
23、题主要考查分层抽样的定义和方法，古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题20（12分）已知椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为，短轴端点与焦点构成四边形的面积为（1）求椭圆C的方程；（2）若过点（1，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，O为坐标原点，当时，试求直线l的方程【分析】（1）利用已知条件求出a，b然后求解椭圆方程（2）当直线l的斜率不存在时，；当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk（x+1），联立方程组消y得：（1+4k2）x2+8k2x+4k240，设A（x1，y2），B（x2，y2），利用韦达定理，转化求解直线的斜率，通过时，
24、即可求直线l的方程【解答】解：（1）依题意，又，a2，b1故椭圆的标准方程为；（2）当直线l的斜率不存在时，；当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk（x+1），联立方程组消y得：（1+4k2）x2+8k2x+4k240设A（x1，y2），B（x2，y2），则，即，直线方程为，即x+2y+10或x2y+10【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力21（12分）已知函数f（x）exmx22x（1）若m0，讨论f（x）的单调性；（2）若，证明：当x0，+）时，【分析】（1）当m0时，f（x）ex2xf（x）ex2，根据导数
25、的符号确定单调性；（2）由f（x）ex2mx2，可证得f（x）单调递增又，即存在唯一的x0（0，1），使得f（x0）0，即，得利用导数可得，即可得证【解答】解：（1）当m0时，f（x）ex2xf（x）ex2，令f（x）0，得xln2易知f（x）在（，ln2）上单调递减，f（x）在（ln2，+）上单调递增（2）证明：f（x）ex2mx2，当x0，+）时，ex1e2，故f（x）0，故f（x）单调递增又，故存在唯一的x0（0，1），使得f（x0）0，即，且当x（0，x0）时，f（x）0，故f（x）单调递减，当x（x0，+）时，f（x）0，故f（x）单调递增故因为xx0是方程的根，故故令，故g（x）在
26、（0，1）上单调递减，故，故g（x）在（0，1）上单调递减，故【点评】本题考查了导数的综合应用，考查了函数的单调性、最值问题，转化思想，属于难题（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为4cos，直线l的极坐标方程为，两条曲线交于A，B两点（1）求曲线C1和直线l的普通方程；（2）M曲线（为参数）上的动点，求MAB的面积的最小值【分析】（1）把4cos两边同时乘以，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C1的直角坐标
27、方程，把展开两角差的余弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程；（2）利用点到直线的距离公式和三角函数的关系式的恒等变换求出三角形的面积【解答】解：（1）由曲线C1的极坐标方程为4cos，两边同乘，得24cos，转化为直角坐标方程为：x2+y24x直线l的极坐标方程为cos（+）2，得，转化为直角坐标方程为：xy40；（2）联立，解得直线l与曲线C1交点的直角坐标为（2，2），（4，0）|AB|因此，MAB的面积取得最小时M到直线l的距离最小设点M（2cos，sin），则点M到直线l的距离为：d当sin（）1时，dminSMAB|AB|dmin【点评】本题考查参数方程和极坐标方程
28、与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，点到直线的距离公式的应用，是中档题选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2xa|+|x+|（1）当a2时，解不等式f（x）1；（2）求函数g（x）f（x）+f（x）的最小值【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值不等式的性质求出g（x）的最小值即可【解答】解：（1）当a2时，|2x2|+|x+1|1，x1时，22xx11，得x0，即有x1，1x1时，22x+x+11，得x2，即有1x1，x1时，2x2+x+11，得x，即有x1，综上，不等式f（x）1的解集为R（2）g（x）f（x）+f（x）|2xa|+|x+|+|2xa|+|x+|2xa|+|2x+a|+|x+|+|x|（2xa）（2x+a）|+（x+）（x）|2a|+|24，当且仅当（2xa）（2x+a）0，（x+）（x）0且|2a|时取“”函数g（x）的最小值为4【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题
