1、2018-2019学年广东省揭阳市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）已知集合Mx|x1，Ny|y2x，xM，则MN（）A（1，+）B（2，+）C（1，2）D（，2）2（5分）已知复数z满足（1+i）z1i，则z的共轭复数（）AiBiCiDi3（5分）已知costan，则sin（）（）ABCD4（5分）函数f（x）ln|x|（ln|x|+1）的图象大致为（）5（5分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每
2、一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于同一个常数若第一个单音的频率为f，第三个单音的频率为，则第十个单音的频率为（）ABCD6（5分）已知两条不同直线a、b，两个不同平面、，有如下命题：若a，b，则ab；若a，b，则ab；若，a，则a；若，a，b，则ab；以上命题正确的个数为（）A3B2C1D07（5分）若x，y满足约束条件，则zy2x的最大值为（）A2B1C2D48（5分）已知，（e为自然对数的底）则a，b，c的大小关系为（）AcabBcbaCbacDabc9（5分）从分别标有1，2，9的9张卡片中有放回地随机抽取5次，每次抽取1张则恰好有2次抽到奇数的概率是（）ABCD10（5分）
3、双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P在双曲线C上，且PF1F2是等腰三角形，其周长为22，则双曲线C的离心率为（）ABCD11（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）f（2x），当2x0时，f（x）ax1（a0），且f（2）8，则f（2019）（）A2B1C2D112（5分）已知数列an的前n项和为Sn，满足a11，（n2），若，则m的最小值为（）A6B7C8D9二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知两直线的方向向量分别为，若两直线平行，则m ；14（5分）曲线y（13a）ex在点（0，1）处的切线方程为 ；15（5分）直线
4、x+y+20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在抛物线y24x上，则ABP面积的最小值为 ；16（5分）已知P是底面为正三角形的直三棱柱ABCA1B1C1的上底面A1B1C1的中心，作平面BCDAP与棱AA1交于点D若AA12AB2，则三棱锥DABC的体积为 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22题第23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2，c3，（1）求b的值；（2）求cos（CB）的值18（12分
5、）如图，在三棱锥PABC中，APCP，O是AC的中点，PO1，OB2，（1）证明：平面PAC平面ABC；（2）若ACBC，D是AB的中点，求二面角PCDB的余弦值19（12分）已知某单位甲、乙、丙三个部门共有员工60人，为调查他们的睡眠情况，通过分层抽样获得部分员工每天睡眠的时间，数据如表（单位：小时）甲部门6 7 8乙部门5.5 6 6.5 7 &nb
6、sp; 7.5 8丙部门5 5.5 6 6.5 7 8.5（1）求该单位乙部门的员工人数？（2）从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，甲部门选出的员工记为A，乙部门选出的员工记为B，假设所有员工睡眠的时间相互独立，求A的睡眠时间不少于B的睡眠时间的概率；（3）若将每天睡眠时间不少于7小时视为睡眠充足，现从丙部门抽出的员工中随机抽取3人做进一步的身体检查用X表示抽取的3人中睡眠充足的员
7、工人数，求随机变量X的分布列与数学期望20（12分）已知椭圆（ab0）与圆的一个公共点为（1）求椭圆C的方程；（2）过点M的直线l与椭圆C交于A、B两点，且A是线段MB的中点，求OAB的面积21（12分）已知函数f（x）ax（lnx+a1）（x1，a0），（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当x1时，f（x）（ax）2，求证：（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点在直线l：cossin+m0上（1）求曲
8、线C和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C的相交于点A、B，求|PA|PB|的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+2a|xa|（1）若f（1）2，求a的取值范围；（2）x、yR，f（x）f（y）6，求a的取值范围2018-2019学年广东省揭阳市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）已知集合Mx|x1，Ny|y2x，xM，则MN（）A（1，+）B（2，+）C（1，2）D（，2）【分析】由集合Mx|x1，得Ny|y2x，xMx|x2，由此能求出MN【解答】解：集合Mx|x1，Ny|y2x，xMx|x2，则M
9、Nx|1x2（1，2）故选：C【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（5分）已知复数z满足（1+i）z1i，则z的共轭复数（）AiBiCiDi【分析】由条件求出z，可得复数z的共轭复数【解答】解：z（1+i）1i，zi，z的共轭复数为i，故选：A【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题3（5分）已知costan，则sin（）（）ABCD【分析】利用同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可求值得解【解答】解：costansin，sin（）cos212sin21
10、2故选：D【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题4（5分）函数f（x）ln|x|（ln|x|+1）的图象大致为（）ABCD【分析】根据题意，分析函数f（x）的奇偶性以及在区间（0，）上，有f（x）0，据此分析选项，即可得答案【解答】解：根据题意，f（x）ln|x|（ln|x|+1），有f（x）ln|x|（ln|x|+1）ln|x|（ln|x|+1）f（x），则f（x）为偶函数，排除C、D，当x0时，f（x）lnx（lnx+1），在区间（0，）上，lnx1，则有lnx+10，则f（x）lnx（l
11、nx+1）0，排除B；故选：A【点评】本题考查函数的图象分析，一般用排除法分析，属于基础题5（5分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于同一个常数若第一个单音的频率为f，第三个单音的频率为，则第十个单音的频率为（）ABCD【分析】根据题意，设单音的频率组成等比数列an，设其公比为q，由等比数列的通项公式可得q的值，进而计算可得答案【解答】解：根据题意，设单音的频率组成等比数列an，设其公比为q，（q0）则有a
12、1f，a3，则q2，解可得q，第十个单音的频率a10a1q9（）9ff，故选：B【点评】本题考查等比数列的通项公式，关键是求出该等比数列的公比，属于基础题6（5分）已知两条不同直线a、b，两个不同平面、，有如下命题：若a，b，则ab；若a，b，则ab；若，a，则a；若，a，b，则ab；以上命题正确的个数为（）A3B2C1D0【分析】直接利用空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判定即可得答案【解答】解：若a，b，则a与b平行或异面，故错误；若a，b，则ab，则a与b平行，相交或异面，故错误；若，a，则a与没有公共点，即a，故正确；若，a，b，则a与b平行或异面，故错误正确的个数为1故选：C【点
13、评】本题考查命题真假的判断，考查直线与平面之间的位置关系，是基础题7（5分）若x，y满足约束条件，则zy2x的最大值为（）A2B1C2D4【分析】已知x，y满足约束条件，画出可行域，目标函数zy2x，求出z与y轴截距的最大值，从而进行求解；【解答】解：x，y满足约束条件，画出可行域，如图：z在点A出取得最大值，A（3，2），zmax22（3）4，故选：D【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标代入目标函数验证，求出最优解8（5分）已知，（e为自然对数的底）则a，b，c的大小关系为（）AcabBcbaCbacDabc【分析】
14、根据条件即可得出，alog2e，bln2，clog23，容易得出log23log2e1，ln21，从而得出a，b，c的大小关系【解答】解：；log23log2elog221，ln2lne1；cab故选：A【点评】考查指数式和对数式的互化，对数的换底公式，以及对数函数的单调性9（5分）从分别标有1，2，9的9张卡片中有放回地随机抽取5次，每次抽取1张则恰好有2次抽到奇数的概率是（）ABCD【分析】先求出每次抽到奇数的概率，再利用n次独立重复试验中恰好发生k的概率计算公式求出结果【解答】解：每次抽到奇数的概率都相等，为，故恰好有2次抽到奇数的概率是，故选：B【点评】本题主要考查n次独立重复试验中恰
15、好发生k的概率计算公式的应用，属于基础题10（5分）双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P在双曲线C上，且PF1F2是等腰三角形，其周长为22，则双曲线C的离心率为（）ABCD【分析】根据双曲线的定义和等腰三角形的性质，即可得到c，化简整理可得离心率【解答】解：双曲线，可得a3，由双曲线定义知|PF1|2a+|PF2|，在F1PF2中，2c+2c+|PF2|22，即6c2a22，即c，解得C的离心率e，故选：B【点评】本题考查了双曲线的简单性质，考查了运算求解能力和推理论证能力，属于中档题11（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）f（2x），当2x0时，f（x）ax1（a0），
16、且f（2）8，则f（2019）（）A2B1C2D1【分析】根据题意，结合函数的奇偶性与对称性可得函数f（x）是周期为8的周期函数，由函数的奇偶性可得f（2）8，结合函数的解析式求出a的值，进而求出f（1）的值，进而结合函数的奇偶性与对称性分析可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（x）f（x），若函数f（x）满足f（x+2）f（2x），则有f（x）f（x+4），则有f（x+4）f（x），变形可得f（x+8）f（x+4）f（x），则函数f（x）是周期为8的周期函数，又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）8，则f（2）8，若当2x0时，f（x）ax1（a0）
17、，且f（2）a218，解可得a，则f（1）（）112，则f（1）2，又由函数f（x）是周期为8的周期函数，则f（2019）f（3+2016）f（3）f（1）2；故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，关键是分析函数的周期性，属于基础题12（5分）已知数列an的前n项和为Sn，满足a11，（n2），若，则m的最小值为（）A6B7C8D9【分析】根据ansnsn1可以求出an的通项公式，再利用裂项相消法求出sn，最后根据已知，解出n即可【解答】解：由已知可得，（n2），1+，解之得，或 7.5，故选：C【点评】本题考查前n项和求通项公式以及裂项相消法求和，属于中等难度二、填空题：本大题
18、共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知两直线的方向向量分别为，若两直线平行，则m2；【分析】根据题意可得出，从而得出m240，解出m即可【解答】解：；m240；m2故答案为：2【点评】考查直线的方向向量的概念，以及平行向量的坐标关系14（5分）曲线y（13a）ex在点（0，1）处的切线方程为xy+10；【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，运用斜截式方程可得切线的方程【解答】解：曲线y（13a）ex在点（0，1），可得：113a，解得a0，函数f（x）ex的导数为f（x）ex，可得图象在点（0，1）处的切线斜率为1，则图象在点（0，1）处的切线方程为yx+1，即为xy+10故答案为：
19、xy+10【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和运用斜截式方程是解题的关键，属于基础题15（5分）直线x+y+20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在抛物线y24x上，则ABP面积的最小值为1；【分析】通过三角形的面积公式可知当点P到直线AB的距离最小时面积最小，求出与直线2xy20平行且为抛物线的切线的直线方程，进而利用两直线间的距离公式及面积公式计算即得结论【解答】解：依题意，A（2，0），B（0，2），设与直线x+y+20平行且与抛物线相切的直线l方程为：x+y+t0，联立直线l与抛物线方程，消去y得：y2+4y+4t0，则1616t0，即t1，直线x+y+20与直线l之
20、间的距离d，Smin|AB|d1故答案为：1【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，数形结合是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题16（5分）已知P是底面为正三角形的直三棱柱ABCA1B1C1的上底面A1B1C1的中心，作平面BCDAP与棱AA1交于点D若AA12AB2，则三棱锥DABC的体积为【分析】由题意画出图形，求出AD的长度，代入棱锥体积公式求解【解答】解：如图，P为上底面A1B1C1的中心，A1P，得APtan设平面BCD交AP于F，连接DF并延长，交BC于E，可得DEAPAA1，则tanDEAAE，AD三棱锥DABC的体积为V故答案为：【点评】本题考查多面
21、体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22题第23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2，c3，（1）求b的值；（2）求cos（CB）的值【分析】（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求sin（B）0，结合范围B（，），可求B的值，由余弦定理可得b的值（2）由（1）及正弦定理可得sinC的值，由余弦定理可得cosC的值，根据两角差的余弦函数公式即可计算得解cos（CB）的
22、值【解答】解：（1）a2，c3，可得：cosBsinBcosB，可得：sin（B）0，B（0，），B（，），B0，可得：B，由余弦定理可得：b（2）由正弦定理可得：sinC，由余弦定理可得：cosC，cos（CB）cosCcosB+sinCsinB+【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，正弦定理，两角差的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18（12分）如图，在三棱锥PABC中，APCP，O是AC的中点，PO1，OB2，（1）证明：平面PAC平面ABC；（2）若ACBC，D是AB的中点，求二面角PCDB的余弦值【分析】（1）利用POAC，O
23、P2+OB2PB2，即POOB可证明PO面ABC，即可得平面PAC平面ABC；（2）由（1）得PO面ABC，过O作OMCD于M，连接PM，则PMO就是二面角PCDB的补角解三角形POM即可【解答】证明：（1），APCP，O是AC的中点，POAC，PO1，OB2，OP2+OB2PB2，即POOBACOBO，PO面ABC，PO面PAC，平面PAC平面ABC；（2）由（1）得PO面ABC，过O作OMCD于M，连接PM，则PMO就是二面角PCDB的平面角的补角OC1，AC2，AB，CDSCOD，OMPM二面角PCDB的余弦值为【点评】本题考查了空间面面垂直的证明，空间二面角的求解，属于中档题19（12
24、分）已知某单位甲、乙、丙三个部门共有员工60人，为调查他们的睡眠情况，通过分层抽样获得部分员工每天睡眠的时间，数据如表（单位：小时）甲部门6 7 8乙部门5.5 6 6.5 7 7.5 8丙部门5 5.5 6 6.5
25、 7 8.5（1）求该单位乙部门的员工人数？（2）从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，甲部门选出的员工记为A，乙部门选出的员工记为B，假设所有员工睡眠的时间相互独立，求A的睡眠时间不少于B的睡眠时间的概率；（3）若将每天睡眠时间不少于7小时视为睡眠充足，现从丙部门抽出的员工中随机抽取3人做进一步的身体检查用X表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望【分析】（1）分层抽样共抽取：3+6+615名员工，其中该单位乙部门抽取6名员工，由此能求出该单位乙部门的员工人数（2）基本事件总数n
26、18，利用列举法求出A的睡眠时间不少于B的睡眠时间包含的基本事件个数，由此能求出A的睡眠时间不少于B的睡眠时间的概率（3）X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望E（X）【解答】解：（1）由题意，得到分层抽样共抽取：3+6+615名员工，其中该单位乙部门抽取6名员工，该单位乙部门的员工人数为：624人（2）由题意甲部门抽取3名员工，乙部门抽取6名员工，从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，基本事件总数n18，A的睡眠时间不少于B的睡眠时间包含的基本事件（a，b）有11人：（6，5.5），（6，6），（7，5.5），（7，6），（7，7），（8，5.5
27、），（8，6），（8，6.5），（8，7），（8，7.5），（8，8），A的睡眠时间不少于B的睡眠时间的概率p（3）由题意从丙部门抽出的员工有6人，其中眨眼充足的员工人数有2 人，从丙部门抽出的员工中随机抽取3人做进一步的身体检查用X表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，则X的可能取值为0，1，2，P（X0），P（X1），P（X2），X的分布列为： X 0 1 2 P E（X）1【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的尾性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20（12分）已知椭圆（ab0）与圆的一个公共点为（1）求椭圆C的方程；（2
28、）过点M的直线l与椭圆C交于A、B两点，且A是线段MB的中点，求OAB的面积【分析】（1）将公共点代入椭圆和圆方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；（2）设过点M（0，2）的直线l的方程为ykx2，联立椭圆方程，运用韦达定理，以及三角形的面积公式可得所求值【解答】解：（1）由题意可得+1，+（b21）2，解得a23，b22，则椭圆方程为+1；（2）设过点M（0，2）的直线l的方程为ykx2，联立椭圆方程2x2+3y26，可得（2+3k2）x212kx+60，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2，x1x2，A是线段MB的中点，可得x22x1，解得k2，x12，可得OAB的面积为2|
29、x1x2|x1|【点评】两曲线的交点满足两曲线方程，联立直线方程和圆锥曲线方程，运用韦达定理，是解题常用方法21（12分）已知函数f（x）ax（lnx+a1）（x1，a0），（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当x1时，f（x）（ax）2，求证：【分析】（1）因为f（x）含有参数a，单调性和a的取值有关，所以需要分类讨论；（2）要证明的结论相比“求a的取值范围“这种问题而言要更弱，所以可以利用反证法由（1）的经验可以先证明a0是不对的，再证明a是不对的【解答】解：（1）f'（x）alnx+a2a（lnx+a）ia0：因为x1，所以f'（x）0，所以f（x）在（1，+）单调递增
30、；iia0：当x（1，ea）时，f'（x）0，f（x）单调递减；当x（ea，+），f'（x）0，f（x）单调递增（2）f（x）（ax）2ax（lnx+a1）a2x20a（lnx+a1）a2x0令x1，则a（a1）a20a0所以f（x）（ax）2lnx+a1ax0令g（x）lnx+a1ax，则g'（x）a；假设0a：当1x时，g'（x）0，g（x）单调递增；当x时，g'（x）0，g（x）单调递减，所以g（x）在x取最大值g（）alna；又因为a1lna，所以g（）0，与g（x）0矛盾所以a【点评】本题是一道函数导数综合题，涉及到了导数的应用、分类讨论、构造
31、函数等方法，在第二问的证明过程中还用到了反正法技巧，避免了过于复杂的分类讨论问题，是一道中档题（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点在直线l：cossin+m0上（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C的相交于点A、B，求|PA|PB|的值【分析】（1）直接把曲线C的参数方程中的参数消去，即可得到曲线C的普通方程，把P的极坐标代入直线方程求得m，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l
32、的直角坐标方程；（2）写出直线l的参数方程，把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化为关于t的一元二次方程，利用此时t的几何意义及根与系数的关系求解【解答】解：（1）由为参数），消去参数，可得曲线C的普通方程为；由在直线l：cossin+m0上，得，得m直线l：cossin+m0的直角坐标方程为xy+0；（2）直线l的参数方程为，代入，得：13t220t200|PA|PB|【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是参数方程中此时t的几何意义的应用，是中档题选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+2a|xa|（1）若f（1）2，求a的取值范围；（2）x、y
33、R，f（x）f（y）6，求a的取值范围【分析】（1）f（1）|2a+1|a1|，根据f（1）2分别解不等式即可'（2）根据觉得值三角不等式求出f（x）的值域，然后由条件可得f（x）minf（y）max6，即3|a|3|a|6，解出a的范围【解答】解：（1）f（x）|x+2a|xa|，f（1）|2a+1|a1|，f（1）2，或，或，a1，或a1，或a4，a的取值范围为；（2）|x+2a|xa|（x+2a）（xa）|3|a|，f（x）3|a|，3|a|，x、yR，f（x）f（y）6，只需f（x）minf（y）max6，即3|a|3|a|6，6|a|6，1a1，a的取值范围为1，1【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和利用绝对值三角不等式求函数的范围，考查了分类讨论和转化思想，属中档题
