1、2018-2019学年广东省珠海市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上.）1（5分）已知zC，zi2bi（bR），z的实部与虚部相等，则b（）A2BC2D2（5分）函数y在（1，0）处的切线与直线l：yax垂直，则a（）A3B3CD3（5分）若随机变量X满足XB（n，p），且EX3，DX，则p（）ABCD4（5分）若函数yf（x）的图象如图所示，则函数yf'（x）的图象有可能是（）ABCD5（5分）如图所示阴影部分是由函数yex、ysinx、x0和x围成的封闭图形
2、，则其面积是（）Ae+2Be2CeD2e6（5分）某机构需掌握55岁人群的睡眠情况，通过随机抽查110名性别不同的55岁的人的睡眠质量情况，得到如下列联表得到下列结论，正确的是（）A有99%以下的把握认为“睡眠质量与性别有关”B有99%以上的把握认为“睡眠质量与性别无关”C在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别有关”D在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别无关”7（5分）已知在等边ABC中，若D是BC边的中点，G是ABC的重心，则2，若把该结论推广到空间，则有：在棱长都相等的四面体ABCD中，若BCD的重心为M，四面体ABCD内一点O到各表面距离都相等，
3、则（）A1B2C3D48（5分）从10名男生6名女生中任选3人参加竞赛，要求参赛的3人中既有男生又有女生，则不同的选法有（）种A1190B420C560D33609（5分）从1、2、3、4、5、6中任取两个数，事件A：取到两数之和为偶数，事件B：取到两数均为偶数，则P（B|A）（）ABCD10（5分）已知13个村庄中，有6个村庄道路在维修，用X表示从13个村庄中每次取出9个村庄中道路在维修的村庄数，则下列概率中等于的是（）AP（X2）BP（X2）CP（X4）DP（X4）11（5分）直线l：mx+ny0，m、n1，2，3，4，5，6，所得到的不同直线条数是（）A22B23C24D2512（5分）
4、凸10边形内对角线最多有（）个交点AABCCADC二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）13（5分）若f'（1）a，则 14（5分）zm22+（2m1）i（mR），其共轭复数对应复平面内的点在第二象限，则实数m的范围是 15（5分）若（x+）8（a0）的展开式中，常数项为5670，则展开式中各项系数的和为 16（5分）若f（x）sin2x+2x，则f'（） 17（5分）正态分布XN（，2）三个特殊区间的概率值P（X+）0.6826P（2X+2）0.9544P（3X+3）0.9974若随机变量X满足XN（1，2
5、2），则P（3X5） 18（5分）已知a、bR，且a2+（2+a）i+1+2a+bi0，则|a+bi| 19（5分）观察下列等式11，1312，1+23，13+2332，1+2+36，13+23+3362，可以推测13+23+33+n3 （nN*，用含有n的代数式表示）20（5分）若f（x）是定义在D（，0）（0，+）上的可导函数，且xf'（x）f（x），对xD恒成立，当ba0时，有如下结论：bf（a）af（b），bf（a）af（b），af（a）bf（b），af（a）bf（b），其中一定成立的是 三、解答题（本大题共5小题，每小题
6、10分，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步21（10分）已知函数f（x）x3+x2+mx（m0）（1）m1时，求在点P（1，f（1）处的函数f（x）切线l方程：（2）m8时，讨论函数f（x）的单调区间和极值点22（10分）已知（+）n（x0，nN*，n2）的展开式中第三项与第四项二项式系数之比为（1）求n；（2）请答出展开式中第几项是有理项，并写出推演步骤（有理项就是x的指数为整数的项）23（10分）袋子中装有大小形状完全相同的5个小球，其中红球3个白球2个，现每次从中不放回的取出一球，直到取到白球停止（1）求取球次数X的分布列；（2）求取球次数X的期望和方差24（10分）某育种基
7、地对某个品种的种子进行试种观察，经过一个生长期培养后，随机抽取n株作为样本进行研究株高在35cm及以下为不良，株高在35cm到75cm之间为正常，株高在75cm及以上为优等下面是这n个样本株高指标的茎叶图和频率分布直方图，但是由于数据递送过程出现差错，造成图表损毁请根据可见部分，解答下面的问题（1）求n的值并在答题卡的附图中补全频率分布直方图；（2）通过频率分布直方图估计这n株株高的中位数（结果保留整数）；（3）从育种基地内这种品种的种株中随机抽取2株，记X表示抽到优等的株数，由样本的频率作为总体的概率，求随机变量X的分布列（用最简分数表示）25（10分）函数f（x）+lnx（a0，e2.71
8、828）（1）若函数f（x）在1，+）上为增函数，求实数a的取值范围；（2）求证：nN，n2时，ne2018-2019学年广东省珠海市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上.）1（5分）已知zC，zi2bi（bR），z的实部与虚部相等，则b（）A2BC2D【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，再由已知求得b值【解答】解：由zi2bi，得z，z的实部与虚部相等，b2，则b2故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，
9、是基础题2（5分）函数y在（1，0）处的切线与直线l：yax垂直，则a（）A3B3CD【分析】求得函数y的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为1，可得a的值【解答】解：函数y的导数为y，可得函数y在（1，0）处的切线斜率为，由切线与直线l：yax垂直，可得a3故选：A【点评】本题考查导数的几何意义，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题3（5分）若随机变量X满足XB（n，p），且EX3，DX，则p（）ABCD【分析】利用二项分布的性质直接求解【解答】解：随机变量XB（n，p），EX3，DX2，解得n12，p故选：A【点评】本题考查二项分布的期望和方差公式，考查
10、二项分布的性质等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题4（5分）若函数yf（x）的图象如图所示，则函数yf'（x）的图象有可能是（）ABCD【分析】根据yf'（x）的图象确定单调性，从而确定导数值的正负即可选出答案【解答】解：由图知函数yf（x）在（，0）上单调递减，f（x）0，在（0，+）上单调递增，f（x）0，故A符合，故选：A【点评】本题考查导数的意义，利用导数研究函数单调性，属于基础题5（5分）如图所示阴影部分是由函数yex、ysinx、x0和x围成的封闭图形，则其面积是（）Ae+2Be2CeD2e【分析】直接利用定积分的应用求出结果【解答】解：根据封闭图形的组成
11、，所以：故选：B【点评】本题考查的知识要点：定积分的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型6（5分）某机构需掌握55岁人群的睡眠情况，通过随机抽查110名性别不同的55岁的人的睡眠质量情况，得到如下列联表男女总计好402060不好203050总计6050110由K2得，K278根据K2表P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828得到下列结论，正确的是（）A有99%以下的把握认为“睡眠质量与性别有关”B有99%以上的把握认为“睡眠质量与性别无关”C在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别有关”D在犯错误的概率不超过0.01的前提下
12、，认为“睡眠质量与性别无关”【分析】计算观测值K2，对照临界值即可得出结论【解答】解：由题意，计算观测值K27.8226.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别有关”故选：C【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题7（5分）已知在等边ABC中，若D是BC边的中点，G是ABC的重心，则2，若把该结论推广到空间，则有：在棱长都相等的四面体ABCD中，若BCD的重心为M，四面体ABCD内一点O到各表面距离都相等，则（）A1B2C3D4【分析】设正四面体ABCD边长为1，易求得AM，又O到四面体各面的距离都相等，所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径
13、为r，则有r，可求得r即OM，从而可得结论【解答】解：推广到空间，则有结论：“3”设正四面体ABCD边长为1，易求得AM，又O到四面体各面的距离都相等，O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r，可求得rOM，AOAMOM，故选：C【点评】本题考查类比推理、几何体的结构特征、体积法等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想是中档题8（5分）从10名男生6名女生中任选3人参加竞赛，要求参赛的3人中既有男生又有女生，则不同的选法有（）种A1190B420C560D3360【分析】3人中既有男生又有女生，包括2男1女和1男2女两种情况，分别求出这两种情况下的选法的数量，相加
14、即得所求【解答】解：这3人中既有男生又有女生，包括2男1女和1男2女两种情况若3人中有2男1女，则不同的选法共有 C102C61270种，若3人中有1男2女，则不同的选法共有C101C62150种，根据分类计数原理，所有的不同的选法共有 270+150420种，故选：B【点评】本题主要考查组合及两个基本原理，组合数公式的应用，体现了分类讨论的数学思想9（5分）从1、2、3、4、5、6中任取两个数，事件A：取到两数之和为偶数，事件B：取到两数均为偶数，则P（B|A）（）ABCD【分析】基本事件总数n15，利用列举法求出事件A包含的基本事件有6个，事件AB包含的基本事件有3个，从而P（A），P（A
15、B），利用条件概率计算公式能求出P（B|A）【解答】解：从1、2、3、4、5、6中任取两个数，基本事件总数n15，事件A：取到两数之和为偶数，事件B：取到两数均为偶数，事件A包含的基本事件有：（1，3），（1，5），（2，4），（2，6），（3，5），（4，6），共6个，事件AB包含的基本事件有：（2，4），（2，6），（4，6），共3个，P（A），P（AB），则P（B|A）故选：D【点评】本题考查概率的求法，考查条件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题10（5分）已知13个村庄中，有6个村庄道路在维修，用X表示从13个村庄中每次取出9个村庄中道路在维修的村庄数，则下列概率中等于
16、的是（）AP（X2）BP（X2）CP（X4）DP（X4）【分析】利用古典概型、排列组合直接求解【解答】解：13个村庄中，有6个村庄道路在维修，用X表示从13个村庄中每次取出9个村庄中道路在维修的村庄数，P（X2）故选：B【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题11（5分）直线l：mx+ny0，m、n1，2，3，4，5，6，所得到的不同直线条数是（）A22B23C24D25【分析】根据题意，分2种情况讨论：若mn，可以得到一条直线，即x+y0；若mn，分析m、n的取法，排除其中重复的情况，即可得此时所得直线的数目；由加法原理即可得答案【解答】解：根
17、据题意，m、n1，2，3，4，5，6，若mn，可以得到一条直线，即x+y0；若mn，则实数m、n的取法有A6230种，若得到直线l：mx+ny0，其中重复的情况有：m1、n2，m2、n4，m3、n6；m2、n1，m4、n2，m6、n3；m1、n3，m2、n6；m3、n1，m6、n2；m2，n3，m4，n6；m3，n2，m6，n4；则可以得到1+3022111123条不同的直线；故选：B【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及直线的方程，属于基础题12（5分）凸10边形内对角线最多有（）个交点AABCCADC【分析】根据题意，分析可得凸10边形中，若其内对角线没有共点的情况，则每4个顶点可以出现一
18、个对角线的交点，由组合数公式分析可得答案【解答】解：根据题意，凸10边形中，连接2个顶点形成一个对角线，若其内对角线没有共点的情况，则每4个顶点可以出现一个对角线的交点，故凸10边形内对角线最多有C104个交点，故选：D【点评】本题考查组合数公式的应用，注意多边形中内对角线的情况，属于基础题二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）13（5分）若f'（1）a，则2a【分析】根据题意，由极限的运算性质可得22，结合导数的定义分析可得答案【解答】解：根据题意，222f'（1）2a，故答案为：2a【点评】本题考查导数的定义，涉及极限的计算以及性质，属于基础题14（5分）zm
19、22+（2m1）i（mR），其共轭复数对应复平面内的点在第二象限，则实数m的范围是（，）【分析】求出，由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解【解答】解：zm22+（2m1）i（mR），由题意，解得m实数m的范围是（，）故答案为：（，）【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题15（5分）若（x+）8（a0）的展开式中，常数项为5670，则展开式中各项系数的和为256【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于5670，求得实数a是值，令x1可得展开式中各项系数之和【解答】解：二项式展开式的通项公式为，令2r
20、80，求得r4，故展开式中常数项为，故a3（舍去）或a3，故令x1可得展开式中各项系数之和为28256【点评】本题考查二项式定理，二项展开式的通项公式要牢记是解题关键16（5分）若f（x）sin2x+2x，则f'（）【分析】根据题意，求出函数的导数，将x代入计算即可得答案【解答】解：根据题意，f（x）sin2x+2x，其导数f（x）2cos2x+2，则f（）2cos+2，故答案为：【点评】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题17（5分）正态分布XN（，2）三个特殊区间的概率值P（X+）0.6826P（2X+2）0.9544P（3X+3）0.9974若随机变量X满足X
21、N（1，22），则P（3X5）0.1359【分析】XN（1，4），1，2，利用对称性，即可得出结论【解答】解：XN（1，4），1，2P（3X5）P（3X5）P（1X3）P（14X1+4）P（12X1+2）P（2X+2）P（X+）（0.954 40.682 6）0.1359故答案为：0.1359【点评】本题考查概率的计算，考查正态分布曲线的特点，考查学生的计算能力，比较基础18（5分）已知a、bR，且a2+（2+a）i+1+2a+bi0，则|a+bi|【分析】由复数相等的条件列式求得a，b的值，再由复数模的计算公式求解【解答】解：由a2+（2+a）i+1+2a+bi（a+1）2+（a+b+2）i
22、0，得，解得a1，b1|a+bi|故答案为：【点评】本题考查复数相等的条件，考查计算能力，是基础题19（5分）观察下列等式11，1312，1+23，13+2332，1+2+36，13+23+3362，可以推测13+23+33+n32（nN*，用含有n的代数式表示）【分析】根据等差的取值规律，利用归纳推理即可得到结论【解答】解：根据已知可以归纳推理得，13+23+33+n3（1+2+3+n）22，故答案为：【点评】本题考查归纳推理，注意观查，发现规律是关键20（5分）若f（x）是定义在D（，0）（0，+）上的可导函数，且xf'（x）f（x），对xD恒成立，当ba0时，有如下结论：bf（a
23、）af（b），bf（a）af（b），af（a）bf（b），af（a）bf（b），其中一定成立的是【分析】构造g（x），利用其单调性逐一判断四个答案的正误，即可得出结论【解答】解：令g（x），则g（x）0，函数g（x）在（，0），（0，+）上单调递增0ab，g（a）g（b），可得bf（a）af（b），则对，错；由于xf（x）的单调性不好确定，可得错故答案为：【点评】正确构造g（x）和熟练掌握利用导数研究单调性是解题的关键三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步21（10分）已知函数f（x）x3+x2+mx（m0）（1）m1时，求在点P（1，f（1）
24、处的函数f（x）切线l方程：（2）m8时，讨论函数f（x）的单调区间和极值点【分析】（1）将m1代入f（x）中，求出f（x）的导函数，再求出f（1）和f'（1），利用点斜式写出l的方程；（2）将m8代入f（x）中，然后求出函数的导数，得出单调区间，根据单调区间判断函数的极大值点和极小值点【解答】解：（1）当m1时，f（x）x3+x2+x，则f'（x）x2+2x+1，f（x）在P（1，f（1）处的l的方程为：，即6x3y10；（2）当m8时，f（x）x3+x2+8x，则f'（x）x2+2x+8，令f'（x）0，则x2或x4，当x2或x4时f'（x）0；当2
25、x4时，f'（x）0，f（x）在（，2）和（4，+）上单调递减，在（2，4）上单调递增，2为f（x）的极小值点，4为f（x）的极大值点【点评】本题考查了求函数的切线方程，利用导数研究函数的单调性和极值，考查了运算能力，属中档题22（10分）已知（+）n（x0，nN*，n2）的展开式中第三项与第四项二项式系数之比为（1）求n；（2）请答出展开式中第几项是有理项，并写出推演步骤（有理项就是x的指数为整数的项）【分析】（1）利用二项式的通项公式，列方程求解可得n的值；（2）在（1）的基础之上写出通项公式，求出有理项即可【解答】解：（1）由题设知，解得n6（2）n6，展开式通项，0r6且rN，
26、只有r0，2，4，6时，Tr+1为有理项，有理项是展开式的第1，3，5，7项【点评】本题考查二项式定理，和计数原理知识，属于中档题23（10分）袋子中装有大小形状完全相同的5个小球，其中红球3个白球2个，现每次从中不放回的取出一球，直到取到白球停止（1）求取球次数X的分布列；（2）求取球次数X的期望和方差【分析】（1）由题设知X的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列（2）由取球次数X的分布列能求出取球次数X的期望和方差【解答】解：（1）由题设知X的可能取值为1，2，3，4，P（X1），P（X2），P（X3），P（X4），X的分布列为： X 1 2 3 4 P （2
27、）取球次数X的期望为：E（X）2X的方差为：D（X）（12）2+（32）21【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题24（10分）某育种基地对某个品种的种子进行试种观察，经过一个生长期培养后，随机抽取n株作为样本进行研究株高在35cm及以下为不良，株高在35cm到75cm之间为正常，株高在75cm及以上为优等下面是这n个样本株高指标的茎叶图和频率分布直方图，但是由于数据递送过程出现差错，造成图表损毁请根据可见部分，解答下面的问题（1）求n的值并在答题卡的附图中补全频率分布直方图；（2）通过频率分布直方图估计
28、这n株株高的中位数（结果保留整数）；（3）从育种基地内这种品种的种株中随机抽取2株，记X表示抽到优等的株数，由样本的频率作为总体的概率，求随机变量X的分布列（用最简分数表示）【分析】（1）由第一组知0.0025，求出n20，由此能补全频率分布直方图（2）设中位数为x0，前三组的频率之和为0.05+0.1+0.20.350.5，得到x075，95），从布（x075）0.02250.15，由此能估计这n株株高的中位数（3）由题设知XB（2，），由此能求出随机变量X的分布列【解答】解：（1）由第一组知0.0025，解得n20，补全后的频率分布直方图如图：（2）设中位数为x0，前三组的频率之和为0.0
29、5+0.1+0.20.350.5，x075，95），（x075）0.02250.15，解得x0估计这n株株高的中位数为82（3）由题设知XB（2，），则P（X0），P（X1），P（X2），X的分布列为： X 0 1 2 P 【点评】本题主要考查频率分布直方图、概率与统计相关知识考查运算化简能力、推理计算能力、数据处理能力和化归转化思想25（10分）函数f（x）+lnx（a0，e2.71828）（1）若函数f（x）在1，+）上为增函数，求实数a的取值范围；（2）求证：nN，n2时，ne【分析】（1）函数f（x）在1，+）上为增函数，则f'（x）0在1，+）上恒成立，然后利用分离参数法求出a的范围；（2）令，从而得到，即，然后利用累加法得到lnn，即可证明结论【解答】解：（1）由f（x）+lnx，得，f（x）在1，+）上为增函数，f'（x）0在1，+）上恒成立，即在1，+）上恒成立，a1，a的取值范围为1，+）；（2）证明：由（1）知a1时，在1，+）上为增函数，令，nN*，n2，则x1，即，ln2ln1，ln3ln2，lnnln（n1），累加得lnn，【点评】本题考查了导函数的符号和函数单调性之间的关系和利用累加法求数列的和，考查了分离参数法，属中档题
