1、2018-2019学年广东省汕尾市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合U1，2，3，4，5，6，7，集合Ax|3x7，xN，则UA（）A1，2B3，4，5，6，7C1，3，4，7D1，4，72（5分）已知复数z满足（1i）zi，且|z|（）ABCD13（5分）若alog67，blog76，clog，则（）AabcBacbCcbaDbca4（5分）已知双曲线的标准方程为1（a0，b0），若渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为（）AB2CD45（5分）若tan2，则sin2（）ABCD6（
2、5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）ABCD7（5分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，第四日行二十四，几朝才得到其关，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，其中第四天走了24里”问此人（）天后到达目的地A4B5C6D88（5分）如果实数x、y满足条件，那么z2x+y的最大值为（）A3BC3D49（5分）已知向量，满足|2|2，与的夹角为60，则|（）ABCD110（5分）将函数ysin
3、（2x+）的图象向左平移个单位后得到的图象解析式为（）Aysin2xBycos2xCD11（5分）世日本数学家角谷静夫发现的“3x+1猜想”是指：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图输入的N6，则输出i值为（）A6B7C8D912（5分）已知椭圆C：1的左、右顶点分别为A、B，点P为椭圆C上不同于A、B两点的动点，若直线PA斜率的取值范围是1，2，则直线PB斜率的
4、取值范围是（）A2，1B，C1，D，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上13（5分）某企业生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产品数量之比为2：3：5，现用分层抽样抽取一个容量为N的样本，样本中甲型号产品有16件，则N 14（5分）在等差数列an中，a23，a47，则an的前5项和S5 15（5分）函数f（x）ex在x1处的切线方程为 16（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，
5、仰角为60，则此山的高度CD m三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）在ABC中，A，B，C所对的边为a，b，c，满足（a+bc）（ab+c）bc（1）求A的值；（2）若a2，B，则ABC的周长18（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且a12，Snan+n2n（）求an；（）设bn，求数列bn的前n项和Tn19（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCBB1，AB1A1BE，D为AC的中点（）求证：BD平面A1ACC1；（）若AB1，且ACAD1，求B1到平面A1BD的距离20（12分）端午佳节旌旗胜，龙舟竞渡展雄风端午龙舟竞渡活动是我
6、国的民间传统习俗，龙舟精神激发着汕尾海陆丰老区人民敢为人先、奋发有为的勇气，每年在粽叶飘香的端午节到来的前一天，汕尾市都将在美丽的品清湖畔举行龙舟馅标赛，他们将在这片碧蓝的品清湖上挥桨劈浪，奋勇争先，一往无前的龙舟精神，该活动也为市民提供了难得的视觉盛宴，某商家为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了6月2日至6月6日的白天平均气温x（）与该奶茶店的这种饮料销量y（杯），得到如下数据：日期6月2日6月3日6月4日6月5日6月6日平均气温x（C）2729313033销量y（杯）2325302621（）先从这五组数据中抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数
7、据的概率；（）请根据所给五组数据，求出了y关于x的线性回归方程；若气象台预报6月7日白天的平均气温为35，根据线性回归方程预测该奶茶店这种饮料的销量（取整数）附：线性回归方程中，其中，为样本平均值21（12分）已知椭圆E：+1（ab0）的离心率为，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为4（）求椭圆E的方程；（）若直线xmy40与椭圆E相交于A，B两点，设P为椭圆E上一动点，且满足+t（O为坐标原点）当t1时，求m的最大值22（12分）已知函数f（x）x+alnx（a，bR，a0）（）若a1，b2，求f（x）的单调区间；（）当b1时，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0（n，n+1），其中
8、nN，求n（参考数据：ln20.7，ln31.1）2018-2019学年广东省汕尾市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合U1，2，3，4，5，6，7，集合Ax|3x7，xN，则UA（）A1，2B3，4，5，6，7C1，3，4，7D1，4，7【分析】可求出集合A，然后进行补集的运算即可【解答】解：U1，2，3，4，5，6，7，A3，4，5，6，7；UA1，2故选：A【点评】考查列举法、描述法表示集合的定义，以及补集的运算2（5分）已知复数z满足（1i）zi，且|z|（）
9、ABCD1【分析】由（1i）zi，可得（1+i）（1i）zi（1+i），可得z，再利用模的计算公式即可得出【解答】解：（1i）zi，（1+i）（1i）zi（1+i），z+i则|z|故选：B【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（5分）若alog67，blog76，clog，则（）AabcBacbCcbaDbca【分析】可以得出，从而得出a，b，c的大小关系【解答】解：log67log661，0log71log76log771，；cba故选：C【点评】考查对数函数的单调性，对数的运算，以及增函数和减函数的定义4（5分）已知双曲线的标
10、准方程为1（a0，b0），若渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为（）AB2CD4【分析】由双曲线1（a0，b0）的渐近线方程是yx，可得，利用双曲线的离心率e，即可得出结论【解答】解：双曲线1（a0，b0）的渐近线方程是yx，双曲线的离心率e2故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，确定是关键5（5分）若tan2，则sin2（）ABCD【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得sin2的值【解答】解：tan2，则sin2，故选：D【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题6（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等
11、腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）ABCD【分析】由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，再根据其中正视图是腰长为2的等腰三角形，我们易得圆锥的底面直径为2，母线为为2，故圆锥的底面半径为1，高为，代入圆锥体积公式即可得到答案【解答】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，又正视图是腰长为2的等腰三角形r1，h故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图判断出几何的形状及相关几何量（底面半径，高等）的大小是解答的关键7（5分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，第四日行二十四，几朝才得到其关，请公仔细
12、算相还”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，其中第四天走了24里”问此人（）天后到达目的地A4B5C6D8【分析】设这个人第一天走了x里路，y天到达目的地，利用等比数列的定义和通项公式，等比数列的求和公式求出y的值，可得结论【解答】解：设这个人第一天走了x里路，y天到达目的地，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，故第二天走了里路，第三天走了 里路，第四天走了里路由于第四天走了24里，故 24，x192里由题意，192+96+48+24+192378，1，求得y6，故选：C【点评】本题主要考查等比数列的定义和通项公式，等比数列的
13、求和公式，属于基础题8（5分）如果实数x、y满足条件，那么z2x+y的最大值为（）A3BC3D4【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC及其内部，再将目标函数z2x+y对应的直线进行平移，可得2x+y的最大值【解答】解：作出实数x、y满足条件，表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中A（2，1），设zF（x，y）2x+y，将直线l：z2x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值z最大值F（2，1）3故选：C【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z2x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题9（5分）已知向量，满
14、足|2|2，与的夹角为60，则|（）ABCD1【分析】利用向量的数量积以及向量的模的运算法则化简求解即可【解答】解：向量，满足|2|2，与的夹角为60，则|故选：B【点评】本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，是基本知识的考查10（5分）将函数ysin（2x+）的图象向左平移个单位后得到的图象解析式为（）Aysin2xBycos2xCD【分析】根据三角函数图象平移法则，写出图象平移后的对应函数解析式即可【解答】解：的图象向左平移个单位，得ysin2（x+）+，即ysin2x+cos2x，所得图象的函数解析式为ycos2x故选：B【点评】本题考查了三角函数图象平移问题，是基础题11（5分）世日
15、本数学家角谷静夫发现的“3x+1猜想”是指：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图输入的N6，则输出i值为（）A6B7C8D9【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算n的值并输出相应的i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：由题意，模拟程序的运行，可得n3，i1满足条件n是奇数，n10，i2不满足条件n1，
16、执行循环体，不满足条件n是奇数，n5，i3不满足条件n1，执行循环体，满足条件n是奇数，n16，i4不满足条件n1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n8，i5不满足条件n1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n4，i6不满足条件n1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n2，i7不满足条件n1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n1，i8满足条件n1，退出循环，输出i的值为8故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题12（5分）已知椭圆C：1的左、右顶点分别为A、B，点P为椭圆C上不同于A、B两点的动点，若直线PA斜率的取值范围是1，2，
17、则直线PB斜率的取值范围是（）A2，1B，C1，D，【分析】首先证明结论：设椭圆（ab0）的左右顶点分别为A（a，0），B（a，0），P（x0，y0）为椭圆上不同于A，B的任意一点，则kPAkPB，再由直线PA斜率的取值范围求得直线PB斜率的取值范围【解答】解：设椭圆（ab0）的左右顶点分别为A（a，0），B（a，0），P（x0，y0）为椭圆上不同于A，B的任意一点，则，由P在椭圆上，得，则由椭圆C：+1，得，kPA1，2，故选：D【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查计算能力，是中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上13（5分）某企业生产
18、甲、乙、丙三种不同型号的产品，产品数量之比为2：3：5，现用分层抽样抽取一个容量为N的样本，样本中甲型号产品有16件，则N80【分析】由题意利用分层抽样的定义和方法，求出N的值【解答】解：某企业生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产品数量之比为2：3：5，现用分层抽样抽取一个容量为N的样本，样本中甲型号产品有16件，则N16，N80，故答案为：80【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题14（5分）在等差数列an中，a23，a47，则an的前5项和S525【分析】由题意利用等差数列的定义、通项公式，求出公差d的值，再利用前n项和公式求出结果【解答】解：等差数列an中，a23，a47，
19、故公差2da4a24，d2，a11，则an的前5项和S55a1+d25，故答案为：25【点评】本题主要考查等差数列的定义、通项公式及前n项和公式，属于基础题15（5分）函数f（x）ex在x1处的切线方程为yex【分析】由题意可先求切点，然后对函数求导，根据导数的几何意义可知函数f（x）在x1处的切线斜率kf（1），利用点斜式可求直线方程【解答】解：f（x）exf（1）e且f（x）ex根据导数的几何意义可知函数f（x）在x1处的切线斜率kf（1）e函数f（x）ex在x1处的切线方程是yee（x1）即yex故答案为：yex【点评】本题主要考查了导数的几何意义：导数在一点处的导数值即为该点处切线的斜
20、率的应用，属于基础试题16（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为60，则此山的高度CD300m【分析】设此山高h（m），在BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在ABC中利用正弦定理求得h【解答】解：设此山高h（m），则BCh，在ABC中，BAC30，CBA105，BCA45，AB600，根据正弦定理，得，解得h300（m）故答案为：300【点评】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属基础题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）在A
21、BC中，A，B，C所对的边为a，b，c，满足（a+bc）（ab+c）bc（1）求A的值；（2）若a2，B，则ABC的周长【分析】（1）化简已知等式可得b2+c2a2bc，由余弦定理可求cosA，结合范围A（0，），可求A的值（2）利用三角形的内角和定理可求C，由正弦定理可得b，c的值，即可得解三角形的周长【解答】解：（1）（a+bc）（ab+c）bc，可得：a2（bc）2bc，可得：b2+c2a2bc，cosA，A（0，），A（2）A，a2，B，CAB，由正弦定理可得：，解得：b，c，ABC的周长La+b+c2+2+【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的内角和定理，正弦定理在解三角形中的综合
22、应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且a12，Snan+n2n（）求an；（）设bn，求数列bn的前n项和Tn【分析】（）由数列的递推式：n2时，anSnSn1，化简可得所求通项公式；（）求得bn（），再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和【解答】解：（）a12，Snan+n2nn2时，anSnSn1an+n2nan1+（n1）2（n1），可得an12n2，即有an2n，对n1也成立，可得数列an的通项公式为an2n，nN*；（）bn（），可得数列bn的前n项和Tn（1+）（1）【点评】本题考查数列的递推式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简运
23、算能力，属于基础题19（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCBB1，AB1A1BE，D为AC的中点（）求证：BD平面A1ACC1；（）若AB1，且ACAD1，求B1到平面A1BD的距离【分析】（）推导出AA1BD，ACBD，由此能证明BD平面A1ACC1（）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出B1到平面A1BD的距离【解答】证明：（）在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCBB1，AB1A1BE，D为AC的中点AA1BD，ACBD，AA1ACA，BD平面A1ACC1解：（）AB1，且ACAD1，ACBDABBC1，ABBC，以B为原
24、点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，则B1（0，0，1），A1（1，0，1），B（0，0，0），D（，0），（0，0，1），（，0），（1，0，1），设平面A1BD的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，1），B1到平面A1BD的距离d【点评】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20（12分）端午佳节旌旗胜，龙舟竞渡展雄风端午龙舟竞渡活动是我国的民间传统习俗，龙舟精神激发着汕尾海陆丰老区人民敢为人先、奋发有为的勇气，每年在粽叶飘香的端午节到来的前一天，汕尾市都将在美丽的品
25、清湖畔举行龙舟馅标赛，他们将在这片碧蓝的品清湖上挥桨劈浪，奋勇争先，一往无前的龙舟精神，该活动也为市民提供了难得的视觉盛宴，某商家为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了6月2日至6月6日的白天平均气温x（）与该奶茶店的这种饮料销量y（杯），得到如下数据：日期6月2日6月3日6月4日6月5日6月6日平均气温x（C）2729313033销量y（杯）2325302621（）先从这五组数据中抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（）请根据所给五组数据，求出了y关于x的线性回归方程；若气象台预报6月7日白天的平均气温为35，根据线性回归方程预测该奶茶
26、店这种饮料的销量（取整数）附：线性回归方程中，其中，为样本平均值【分析】（）根据题意列举出从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是可能出现的，满足条件的事件包括的基本事件有4种根据等可能事件的概率求解；（）根据所给的数据，先做出x，y的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程x取35求得y值，即可预测该奶茶店这种饮料的销量【解答】解：（）设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A，所有基本事件（m，n）（其中m，n为6月份的日期数）有：（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5）
27、，（4，6），（5，6）共有10种事件A包括的基本事件有（2，3），（3，4），（4，5），（5，6）共4种P（A）；（）由数据，求得，由公式，求得0.05，25（0.05）3026.5y关于x的线性回归方程为0.05x+26.5取x35，得预测该奶茶店这种饮料的销量为25杯【点评】本题考查等可能事件的概率，考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，是中档题21（12分）已知椭圆E：+1（ab0）的离心率为，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为4（）求椭圆E的方程；（）若直线xmy40与椭圆E相交于A，B两点，设P为椭圆E上一动点，且满足+t（O为坐标原点）当t1时，求m的最大值【分析】
28、（）由已知列关于a，b，c的方程求解得出a，b，c，然后直接写出方程即可；（）根据已知，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（xp，yp），分别联立直线与椭圆的方程，消去x和y，的出关于其中一个变量的方程，有根与系数的关系得出x1+x2和y1+y2，结合所给向量关系式得出m与t的关系式，根据t的范围可以求出m的范围【解答】解：（）由已知得，解得 a24，b22，c，所以，椭圆E的方程为（）根据已知，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（xp，yp），由，消去x，得（m2+2）y2+8my+80，由已知得（8m）24（m22）80，即m2+20恒成立且，又由，消去y，得（m2+2）x21
29、6x+328m20，又，即P点在椭圆E上，即328m2t2（m2+2），又t1，即，故m的取值范围为【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，向量等知识，综合性较强，难度较大22（12分）已知函数f（x）x+alnx（a，bR，a0）（）若a1，b2，求f（x）的单调区间；（）当b1时，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0（n，n+1），其中nN，求n（参考数据：ln20.7，ln31.1）【分析】（）根据导数的符号与单调性之间的关系，求得单调期间；（）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出对应的函数值，从而求出n的值即可【解答】解：（）a1，b2时，f（x），0x2时，f（x）0，x2时，f（x）0f（x）的单调减区间：（0，2），单调增区间（2，+）；（）当b1时，f（x）x+alnx，a0，a2+40，方程x2ax10有两个实根x1，x2，x1+x2a0，x1x210x10，x21，f（x）在（0，x2）递减，在（x2，+）递增f（1）0，要使存在唯一的零点x0，且x0（n，n+1），则x0x21，（x0+）（x0）lnx00令h（x）x+（x）lnx，（x1），h（x）单调递减，而h（4），h（3）x0（3，4），n3【点评】本题考查函数的单调性以及函数的零点问题，考查学生的运算能力，属于中档题
