1、2018-2019学年广东省深圳高中高二（上）期末数学试卷（文科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合AxZ|1x4，B2，1，4，8，9，设CAB，则集合C的元素个数为（）A9B8C3D22（5分）设z+i，则|z|（）ABCD23（5分）下列全称命题中假命题的个数为（）2x+1是整数（xR）xR，x3xZ，2x2+1为奇数A0B1C2D34（5分）已知，则（）AcbaBcabCbacDacb5（5分）某公司20052010年的年利润x（单位：百万元）与年广告支出y（单位：百万元）的统计资料如表所示：年份20
2、0520062007200820092010利润x12.214.6161820.422.3支出y0.620.740.810.8911.11根据统计资料，则（）A利润中位数是16，x与y有正线性相关关系B利润中位数是18，x与y有负线性相关关系C利润中位数是17，x与y有正线性相关关系D利润中位数是17，x与y有负线性相关关系6（5分）过点P（4，5）引圆x2+y22x4y+10的切线，则切线长是（）A3BC4D57（5分）已知非零向量（t，0），（1，），若4，则+2与的夹角（）ABCD8（5分）执行如图的程序框图，那么输出S的值是（）A2B1CD19（5分）点P（，1）是函数f（x）sin（
3、x+）+m（0，|）的图象的一个对称中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为f（x）的最小正周期是； f（x）的值域为0，2； f（x）的初相为 f（x）在，2上单调递增以上说法正确的个数是（）A1B2C3D410（5分）分别在区间1，6和1，4内任取一个实数，依次记为m和n，则mn的概率为（）ABCD11（5分）若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是（）A（1，4）B（4，1）C（，4）（1，+）D（，3）（0，+）12（5分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它
4、们的一个交点，且F1PF2，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则的最大值是（）ABC2D3二.填空题：本大共4小题每小题5分，满分20分13（5分）已知双曲线C：1的焦距为10，点P（1，2）在双曲线C的渐近线上，则双曲线C的方程为 14（5分）已知复数z满足，则z 15（5分）已知函数f（x）x2+alnx（aR），若函数f（x）的图象在x2处的切线方程为xy+b0，则实数a 16（5分）已知数列an的前n项和为Sn，a11，a22，且，则数列an的通项公式为 三.解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或
5、演算步骤17（10分）某银行对某市最近5年住房贷款发放情况（按每年6月份与前一年6月份为1年统计）作了统计调查，得到如下数据：年份x20142015201620172018贷款y（亿元）50607080100（1）将上表进行如下处理：tx2013，z（y50）10，得到数据：t12345z01235试求z与t的线性回归方程zbt+a，再写出y与x的线性回归方程ybx+a（2）利用（1）中所求的线性回归方程估算2019年房贷发放数额参考公式：，18（12分）如图，在ABC中，点D在BC边上，ADAC，（）求ABD的面积；（）求线段DC的长19（12分）按规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在2080mg
6、/100ml（不含90）之间，属酒后驾车；在80mg/100mL（含80）以上时，属醉酒驾车某市交警在某路段的一次拦查行动中，依法检查了250辆机动车，查出酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员20人，如图是对这20人血液中酒精含量进行检查所得结果的频率分布直方图（1）根据频率分布直方图，求：此次抽查的250人中，醉酒驾车的人数；（2）从血液酒精浓度在70，90）范围内的驾驶员中任取2人，求恰有1人属于醉酒驾车的概率20（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S39，a1，a3，a7成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若数列an的公差不为0，数列bn满足bn，求数列bn的前n项和Tn21（1
7、2分）已知动圆过定点A（0，2），且在x轴上截得的弦长为4（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）点P为轨迹C上任意一点，直线l为轨迹C上在点P处的切线，直线l交直线：y1于点R，过点P作PQl交轨迹C于点Q，求PQR的面积的最小值22（12分）已知函数（1）求函数f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a，使得函数f（x）的极值大于0？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由2018-2019学年广东省深圳高中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合AxZ|1x4，B
8、2，1，4，8，9，设CAB，则集合C的元素个数为（）A9B8C3D2【分析】化简集合A，代入求出C即可【解答】解：已知集合AxZ|1x41，0，1，2，3，4，B2，1，4，8，9，CAB1，4，故选：D【点评】题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）设z+i，则|z|（）ABCD2【分析】先求z，再利用求模的公式求出|z|【解答】解：z+i+i故|z|故选：B【点评】本题考查复数代数形式的运算，属于容易题3（5分）下列全称命题中假命题的个数为（）2x+1是整数（xR）xR，x3xZ，2x2+1为奇数A0B1C2D3【分析】xR时，2x+1不一定是整数；xR，x3不成
9、立；xZ，x2N，2x2为偶数，2x2+1为奇数【解答】解：对于，xR时，2x+1不一定是整数，如x时2x+1不是整数，错误；对于，xR，x3不成立，如x23，错误；对于，xZ，x2N，2x2为偶数，2x2+1为奇数，正确综上，以上假命题是故选：C【点评】本题考查了全称命题真假性的判断问题，是基础题4（5分）已知，则（）AcbaBcabCbacDacb【分析】容易得出20.61，0log31，从而可判断出a，b，c的大小关系【解答】解：20.6201，0log31，；cba故选：A【点评】考查指数函数和对数函数的单调性，以及增函数的定义5（5分）某公司20052010年的年利润x（单位：百万元
10、）与年广告支出y（单位：百万元）的统计资料如表所示：年份200520062007200820092010利润x12.214.6161820.422.3支出y0.620.740.810.8911.11根据统计资料，则（）A利润中位数是16，x与y有正线性相关关系B利润中位数是18，x与y有负线性相关关系C利润中位数是17，x与y有正线性相关关系D利润中位数是17，x与y有负线性相关关系【分析】求出利润中位数，而且随着利润的增加，支出也在增加，故可得结论【解答】解：由题意，利润中位数是17，而且随着利润的增加，支出也在增加，故x与y有正线性相关关系故选：C【点评】本题考查变量间的相关关系，考查中位
11、数，解题的关键是理解正线性相关关系，属于基础题6（5分）过点P（4，5）引圆x2+y22x4y+10的切线，则切线长是（）A3BC4D5【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心A的坐标和圆的半径r，利用两点间的距离公式求出|AP|的长，利用勾股定理即可求出切线长【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x1）2+（y2）24，得到圆心A坐标为（1，2），圆的半径r2，|PA|3，切线长是：，故选：B【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，考查了数形结合的数学思想，是一道基础题7（5分）已知非零向量（t，0），（1，），若4，则+2与的夹角（）ABCD【分析】运用向量的夹角和模长的计
12、算公式可得结果【解答】解：根据题意得，（+2）22+4+42t216+44t2，又t4，t4，4，（+224+244，cos+2，+2与的夹角为故选：A【点评】本题考查向量的夹角和模长的计算8（5分）执行如图的程序框图，那么输出S的值是（）A2B1CD1【分析】利用循环结构，判断s的值在循环，具有周期性，求出即可【解答】解：初始s2，k0，1s，k1，2s，k2，3s，k3，4s，k4，可见s为循环数列，1，2，k2018时，20182016+2，2016能被3整除，故s2故选：A【点评】考查程序框图的功能，基础题9（5分）点P（，1）是函数f（x）sin（x+）+m（0，|）的图象的一个对称
13、中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为f（x）的最小正周期是； f（x）的值域为0，2； f（x）的初相为 f（x）在，2上单调递增以上说法正确的个数是（）A1B2C3D4【分析】由条件利用正弦函数的周期性、单调性、最值，以及它的图象的对称性，得出结论，从而得到答案【解答】解：点P（，1）是函数f（x）sin（x+）+m（0，|）的图象的一个对称中心，m1，（）+k，kZ点P到该图象的对称轴的距离的最小值为，2，k+，f（x）sin（2x+）+1故f（x）的最小正周期是，正确；f（x）的值域为0，2，正确；f（
14、x）的初相为，正确；在，2上，2x+，再根据函数的周期性，等价于2x+，故函数f（x）单调递增，故正确，故选：D【点评】本题主要考查正弦函数的周期性、单调性、最值，以及它的图象的对称性，属于基础题10（5分）分别在区间1，6和1，4内任取一个实数，依次记为m和n，则mn的概率为（）ABCD【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出满足条件mn的图形面积，及在区间1，6和1，4内的点对应的面积，再代入几何概型计算公式求解【解答】解：如图，则在区间1，6和1，4内任取一个实数，依次记为m和n，则（m，n）表示的图形面积为3515其中满足mn，即在直线mn右侧的点表示的图形面积为：，故m
15、n的概率P，故选：A【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据PN（A）/N求解11（5分）若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是（）A（1，4）B（4，1）C（，4）（1，+）D（，3）（0，+）【分析】由x+（x+）（）2，利用基本不等式可求其最小值，存在x，y使不等式有解，即m2+3m，解不等式可求【解答】解：正实数x，y满足，x+（x+）（）2
16、4当且仅当且，即x2，y8时取等号，存在x，y使不等式有解，4m2+3m，解可得m1或m4，故选：C【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值及存在性问题与最值问题的相互转化思想的应用12（5分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且F1PF2，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则的最大值是（）ABC2D3【分析】先设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找a1，a2，c之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在F1PF2中根据余弦定理可得到+4，利用基本不等式可得
17、结论【解答】解：如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|2a1，|PF1|PF2|2a2，|PF1|a1+a2，|PF2|a1a2，设|F1F2|2c，F1PF2，则：在PF1F2中由余弦定理得，4c2（a1+a2）2+（a1a2）22（a1+a2）（a1a2）cos化简得：a12+3a224c2，该式可变成：+4，4+2，故选：A【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长来二.填空题：本大共4小题每小题5分，满分20分13（5分）
18、已知双曲线C：1的焦距为10，点P（1，2）在双曲线C的渐近线上，则双曲线C的方程为1【分析】由题意可得c5，即有a2+b2125，求出双曲线的渐近线方程为yx，可得a2b，解方程可得a，b，进而得到所求双曲线的方程【解答】解：双曲线C：1的焦距为10，可得2c10，即c5，即有a2+b2125，双曲线的渐近线方程为yx，由题意可得a2b，解得a10，b5，可得双曲线的方程为：1故答案为：1【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和基本量的关系，考查运算能力，属于基础题14（5分）已知复数z满足，则z2i【分析】设za+bi，则（1+i）（abi）1+3i，推导出a+b+
19、（ab）i1+3i，由此能求出z【解答】解：设za+bi，复数z满足，（1+i）（abi）1+3i，a+aibibi21+3i，a+b+（ab）i1+3i，解得a2，b1，z2i故答案为：2i【点评】本题考查复数的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15（5分）已知函数f（x）x2+alnx（aR），若函数f（x）的图象在x2处的切线方程为xy+b0，则实数a2【分析】求出原函数的导函数，得到f（2），再由函数f（x）的图象在x2处的切线方程为xy+b0可得f（2）1，则a可求【解答】解：f（x）x2+alnx，f（x）x+，f（2），由题意可知，2+1，即a2故答案
20、为：2【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题16（5分）已知数列an的前n项和为Sn，a11，a22，且，则数列an的通项公式为【分析】由题意，进而得到，运用累乘法即可求解【解答】解：，以上两式相减得，即，又当n1时，不满足an2（n1），所求通项公式为故答案为：【点评】本题考查数列通项与前n项和之间的关系及累乘法的运用，考查运算求解能力，属于基础题三.解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）某银行对某市最近5年住房贷款发放情况（按每年6月份与前一年6月份为1年统计）作了统计调查，得到如下数据：年份x20142015201
21、620172018贷款y（亿元）50607080100（1）将上表进行如下处理：tx2013，z（y50）10，得到数据：t12345z01235试求z与t的线性回归方程zbt+a，再写出y与x的线性回归方程ybx+a（2）利用（1）中所求的线性回归方程估算2019年房贷发放数额参考公式：，【分析】（1）由已知求得，进一步求得与的值，则z与t的线性回归方程可求，结合tx2 013，z（y50）10，可得y与x的线性回归方程；（2）在（1）中求得的回归方程中，取x2019求得y值即可【解答】解：（1）计算得，a2.21.231.4，z与t的线性回归方程为z1.2t1.4注意到tx2013，z（y
22、50）10，代入z1.2t1.4，整理得y12x24120；（2）当x2019时，y12201924120108，即2017年房贷发放的实际值约为108亿元【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题18（12分）如图，在ABC中，点D在BC边上，ADAC，（）求ABD的面积；（）求线段DC的长【分析】（）求出B的正弦函数值，利用三角形的面积公式求解即可（） 利用余弦定理求出AD，求出在RtDAC中求解DC即可【解答】（本小题13分）解：（），且0B，又sin2B+cos2B1，（5分）（）AD2AB2+BD22ABBDcosB，且，AD3又， 又在RtDAC中，DA
23、C90，即， （13分）【点评】本题考查余弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力19（12分）按规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在2080mg/100ml（不含90）之间，属酒后驾车；在80mg/100mL（含80）以上时，属醉酒驾车某市交警在某路段的一次拦查行动中，依法检查了250辆机动车，查出酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员20人，如图是对这20人血液中酒精含量进行检查所得结果的频率分布直方图（1）根据频率分布直方图，求：此次抽查的250人中，醉酒驾车的人数；（2）从血液酒精浓度在70，90）范围内的驾驶员中任取2人，求恰有1人属于醉酒驾车的概率【分析】（1）计算80，100）小组的面积即频
24、率，乘以数据总数20即可（2）求出70，80）和80，90）两小组的人数，使用列举出求出概率【解答】解：（1）由频率分布直方图可知：血液酒精浓度在80，90）内范围内有：0.0110202人血液酒精浓度在90，100）内范围内有：0.00510201人所以醉酒驾车的人数为2+13人（2）因为血液酒精浓度在70，80）内范围内有3人，记为a，b，c，80，90）范围内有2人，记为d，e，则从中任取2人的所有情况为（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d，），（c，e），（d，e）共10种恰有一人的血液酒精浓度在80，90）范围内的情况有（a，d
25、），（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e）共6种恰有1人属于醉酒驾车的概率为P【点评】本题考查了频率分布直方图，古典概型的概率计算，属于基础题20（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S39，a1，a3，a7成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若数列an的公差不为0，数列bn满足bn，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）设等差数列an的公差为d，由已知列式求得公差，结合S39求首项，则数列an的通项公式可求；（2）把（1）中求得的通项公式代入bn，利用错位相减法求数列bn的前n项和Tn【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，由题得，则，化简得，或d0当
26、时，得a12，d1，ana1+（n1）d2+（n1）n+1，即ann+1；当d0时，由S39，得a13，即an3；（2）由（1）知，由可得【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了利用错位相减法求数列的前n项和，是中档题21（12分）已知动圆过定点A（0，2），且在x轴上截得的弦长为4（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）点P为轨迹C上任意一点，直线l为轨迹C上在点P处的切线，直线l交直线：y1于点R，过点P作PQl交轨迹C于点Q，求PQR的面积的最小值【分析】（1）设出动圆圆心C的坐标，由圆的半径、弦心距及半弦长的关系列式整理求得动圆圆心的轨迹C的方程；（2）化（1）中的
27、抛物线方程为函数式，设出P点坐标，求出函数导函数，得到切线PR的方程，代入y1求得点R的横坐标，求出PQ所在直线方程，和抛物线联立化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系求得Q点横坐标，求出线段PQ和PR的长度，由三角形面积公式得到面积关于P点横坐标的函数，利用换元法及基本不等式求最值【解答】解：（1）设C（x，y），由动圆过定点A（0，2），且在x轴上截得的弦长为4得，|CA|2y24，即x2+（y2）2y24，整理得：x24y动圆圆心的轨迹C的方程为x24y；（2）C的方程为x24y，即，故，设，PR所在的直线方程为，即，则点R的横坐标，； &nb
28、sp; PQ所在的直线方程为，即，由，得，由得点Q的横坐标为，不妨设t0，记，则当t2时，f（t）min4由，得PQR的面积的最小值为16【点评】本题考查了轨迹方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常把直线方程和圆锥曲线方程联立，利用根与系数的关系解题，是高考试卷中的压轴题22（12分）已知函数（1）求函数f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a，使得函数f（x）的极值大于0？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由【分析】（1）由f（x）lnxax2+x，可求得f（x），然后对a分a0，a0，与a0分类讨论，
29、利用f（x）0，与f（x）0可得其递增区间与递减区间；（2）由（1）可知，当a0，函数取到极大值，此时f（x）0有两个不等的根，即有两个不等的根构造函数ylnx与，则两个图象有两个不同的交点，从而可求a的取值范围【解答】解：（1）f（x）lnxax2+x，aR，f（x）ax+1（x0），当a0时，f（x）0，故f（x）在（0，+）上单调递增；当a0时，由于x0，故ax20，于是ax2+x+10，f（x）0，故f（x）在（0，+）上单调递增；当a0时，f（x）0得，0x，即f（x）在（0，）上单调递增；由f（x）0得，x，即f（x）在（，+）上单调递减；函数f（x）在（0，+）（0，）单调递增，在（，+）单调递减（2）由（1）可知，当a0，x时函数取到极大值，此时x0，f（x）0，x+，f（x）0f（x）0有两个不等的根即有两个不等的根即有两个不等的根构造函数ylnx与，则两个图象有两个不同的交点ylnx过（1，0），的对称轴为直线，顶点坐标为，解得a20a2【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，突出分类讨论思想与转化思想的渗透与应用，属于难题，第二题把有正的极大值的问题转化为图象开口向下与X轴有两个交点，思路巧妙，学习中值得借鉴
