2018-2019学年广东省汕头市潮阳区高二（上）期末数学试卷（文科）含详细解答

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1、2018-2019学年广东省汕头市潮阳区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1（5分）已知集合Ax|x2k1，kz，Bx|x2x60，则AB（）A1，1B3，1，1C0，1，2D1，0，1，22（5分）一路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒当你到达此路口时，看见的不是绿灯的概率为（）ABCD3（5分）已知命题p：x1，x2R，（f（x1）f（x2）（x1x2）0，则p是（）Ax1，x2R，（f（x1）f（x2）（x1x2）0Bx1，x2R，（f（x1）f（x2）（

2、x1x2）0Cx1，x2R，（f（x1）f（x2）（x1x2）0Dx1，x2R，（f（x1）f（x2）（x1x2）04（5分）函数f（x）（x+1）ex的图象在点（0，f（0）处的切线方程为（）Axy+10Bxy10C2xy+10D2xy105（5分）下列函数为奇函数的是（）Af（x）x3+3x2Bf（x）2x+2xCf（x）xsinxDf（x）ln6（5分）若实数x，y满足，则y的最大值是（）A1B2C3D47（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A4B5C6D78（5分）若抛物线y22px（p0）上横坐标为6的点到焦点的距离等于8，则焦点到准线的距离是（）A6B2C8D

3、49（5分）“a”是“ln（2a1）0”成立的（）A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件10（5分）已知点M（3，8）在双曲线C：1（a0，b0）上，C的焦距为6，则它的离心率为（）A2B3C4D511（5分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是梯形，ABCD，若平面PAD平面PBCl，则（）AlCDBlBCCl与直线AB相交Dl与直线DA相交12（5分）若曲线与直线ykx1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知地球表面及约是火星表面积的4倍，则地球体积是火星体积的 14（5分）已知向量，

4、间的夹角为，若（2，3），|，则 15（5分）九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”已知某“堑堵“的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为 16（5分）已知圆的方程为：（x1）2+y21，则斜率为3且与圆相切直线的方程为三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为且a，b，c，且（1）求角A的大小；（2）若a6，b2c，求ABC的面积18（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，P、Q分别是AA1、A1C1的中点（1）设棱BB1的中点为D，证明：C1D平面PQB1

5、（2）若AB2，ACAA1AC14，AA1B160，且平面AA1C1C平面AA1B1B，求三棱锥PQA1B1的体积19（12分）已知正项的等比数列an的前n项和为Sn，且（1）求数列an的通项公式；（2）若bnlog2an+3，数列的前n项和为Tn，求满足的正整数n的最小值20（12分）某中学为了解高一学生的视力健康状况，在高一年级体检活动中采用统一的标准对数视力表，按照中国学生体质健康监测工作手册的方法对1039名学生进行了视力检测，判断标准为：双眼裸眼视力T5.0为视力正常，T5.0为视力低下，其中T4.9为轻度，4.6T4.8为中度，T4.5为重度统计检测结果后得到如图所示的柱状图（1）

6、求该校高一年级轻度近视患病率；（2）根据保护视力的需要，需通知检查结果为“重度近视”学生的家长带孩子去医院眼科进一步检查和确诊，并开展相应的矫治，则该校高一年级需通知的家长人数约为多少人？（3）若某班级6名学生中有2人为视力正常，则从这6名学生中任选2人，恰有1人视力正常的概率是多少？21（12分）已知函数f（x）x2+alnx（1）当a2时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若在1，+）上是单调函数，求实数a的取值范围22（12分）已知椭圆+1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e，点P是椭圆上的一个动点，PF1F2面积的最大值是4（1）求椭圆的方程；（2）若A，B，C，D是椭

8、分）一路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒当你到达此路口时，看见的不是绿灯的概率为（）ABCD【分析】用几何概型的概率公式计算即可【解答】解：由题意知红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒；到达此路口时看见的不是绿灯的概率为P1故选：C【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题3（5分）已知命题p：x1，x2R，（f（x1）f（x2）（x1x2）0，则p是（）Ax1，x2R，（f（x1）f（x2）（x1x2）0Bx1，x2R，（f（x1）f（x2）（x1x2）0Cx1，x2R，（f（x1）f（x2）（x1x2）0Dx1，x2R，（f（

9、x1）f（x2）（x1x2）0【分析】由全称命题的否定是特称命题，写出命题p的否定p来【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，得；命题p的否定是p：x1，x2R，（f（x1）f（x2）（x1x2）0故选：C【点评】本题考查了全称命题的否定命题是什么，解题时直接写出它的否定命题即可，是容易题4（5分）函数f（x）（x+1）ex的图象在点（0，f（0）处的切线方程为（）Axy+10Bxy10C2xy+10D2xy10【分析】求出原函数的导函数，得到f（0）2，再求出f（0），由直线方程的点斜式得答案【解答】解：由f（x）（x+1）ex得f（x）（x+1）ex+exex（x+2），f（0）2，又f

10、（0）1，函数f（x）（x+1）ex图象在点（0，f（0）处的切线方程是y12（x0），即y2x+1故选：C【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题5（5分）下列函数为奇函数的是（）Af（x）x3+3x2Bf（x）2x+2xCf（x）xsinxDf（x）ln【分析】举例说明A不是奇函数，利用定义证明B，C为偶函数，D为奇函数【解答】解：对于A，f（1）2，f（1）4，f（1）f（1），函数不是奇函数；对于B，函数定义域为R，f（x）2x+2（x）2x+2xf（x），函数为偶函数；对于C，函数定义域为R，f（x）xsin

11、（x）xsinxf（x），函数为偶函数；对于D，由0，得3x3，函数定义域为（3，3），而f（x），函数为奇函数故选：D【点评】本题考查函数奇偶性的性质与判断，训练了利用定义法判断函数的奇偶性，是基础题6（5分）若实数x，y满足，则y的最大值是（）A1B2C3D4【分析】画出约束条件的可行域，即可判断y的最大值的位置，求解即可【解答】解：实数x，y满足的可行域如图：可行域是三角形的区域，A的纵坐标取得最大值，由，可得x1，y2故选：B【点评】本题考查线性规划的简单应用，是基本知识的考查7（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A4B5C6D7【分析】由已知中的程序框图可知：该

12、程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当S0时，满足继续循环的条件，故S1，k1；当S1时，满足继续循环的条件，故S3，k2；当S3时，满足继续循环的条件，故S11，k3；当S11时，满足继续循环的条件，故S2059，k4；当S2049时，不满足继续循环的条件，故输出的k值为4，故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答8（5分）若抛物线y22px（p0）上横坐标为6的点到焦点的距离等于8，则焦点到准线的距离是（）A6B2C8D4【分析】由方程可得抛物线的焦点和

13、准线，进而由抛物线的定义可得6（）8，解之可得p值，进而可得所求【解答】解：由题意可得抛物线y22px（p0）开口向右，焦点坐标（，0），准线方程x，由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为6的点到准线的距离等于8，即6（）8，解之可得p4故焦点到准线的距离为p4故选：D【点评】本题考查抛物线的定义，关键是由抛物线的方程得出其焦点和准线，属基础题9（5分）“a”是“ln（2a1）0”成立的（）A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【分析】由ln（2a1）0得a1，再根据小范围推出大范围得结果【解答】解：ln（2a1）0，2a11，a1，a推不出a1，a1a，“a”是“ln（

14、2a1）0”的必要不充分条件故选：C【点评】本题考查了充分条件和必要条件的判断，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10（5分）已知点M（3，8）在双曲线C：1（a0，b0）上，C的焦距为6，则它的离心率为（）A2B3C4D5【分析】由M在双曲线上，代入双曲线方程，又c3，即a2+b29，解方程可得a，由离心率公式可得所求值【解答】解：点M（3，8）在双曲线C：1（a0，b0）上，可得1，C的焦距为6，即2c6，可得c3，即a2+b29由解得a1，b2，则e3，故选：B【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，注意运用方程思想，考查运算能力，属于基础题11（5分）如图，四棱锥PAB

15、CD的底面ABCD是梯形，ABCD，若平面PAD平面PBCl，则（）AlCDBlBCCl与直线AB相交Dl与直线DA相交【分析】可得AD与CB必相交于点M，则P是面平面PAD和平面PBC的公共点，又平面PAD平面PBCl【解答】解：四棱锥PABCD的底面ABCD是梯形，ABCDAD与CB必相交于点M，则P是面平面PAD和平面PBC的公共点，又平面PAD平面PBClPll与直线DA相交故选：D【点评】本题考查了空间几何体中的直线与平面的位置关系，属于中档题12（5分）若曲线与直线ykx1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）ABCD【分析】作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论【解答】

16、解：作出曲线 y的图象如图：直线ykx1过定点（0，1），当k0时，两个函数只有一个交点，不满足条件，当k0时，两个函数有2个交点，满足条件，当k0时，直线ykx1与y在x1相切时，两个函数只有一个交点，此时kx1，即kx2（1+k）x+30，判别式（1+k）212k0，解得k210k+10，k52或k5+2（舍去）综上满足条件的k的取值范围是（，0）（0，52），故选：D【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合以及分段函数的性质是解决本题的关键二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知地球表面及约是火星表面积的4倍，则地球体积是火星体积的8倍【分析】先利用已

17、知条件得出地球半径与火星半径的倍数关系，再利用球体体积公式得出地球体积与火星体积的倍数关系【解答】解：设地球的半径为R，火星的半径为r，由已知条件得4R244r2，所以，R2r，所以，地球的体积为，因此，地球体积是火星体积的8倍，故答案为：8倍【点评】本题考查球体的表面积与体积，确定地球与火星半径之间的倍数关系，是解本题的关键，属于基础题14（5分）已知向量，间的夹角为，若（2，3），|，则【分析】可求出，并且，向量，间的夹角为，这样进行数量积的计算即可求出【解答】解：，且，间的夹角为；故答案为：【点评】考查根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量数量积的计算公式15（5分）九章算术中，将底面是

18、直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”已知某“堑堵“的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为6+4【分析】首先把几何体的三视图转换为几何体，进一步利用几何体的表面积公式求出结果【解答】解：根据几何体的三视图，如图所示：转换为几何体为：底面为腰长为的等腰直角三角形，高为2的三棱柱故：+6+4故答案为：6+4【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型16（5分）已知圆的方程为：（x1）2+y21，则斜率为3且与圆相切直线的方程为y3x3+或y3x3【分析】根据题意，设要求直线的方程为y

19、3x+m，即3xy+m0，结合直线与圆的位置关系可得1，解可得m的值，将m的值代入直线方程即可得答案【解答】解：根据题意，设要求直线的方程为y3x+m，即3xy+m0，若与圆（x1）2+y21相切，则有1，解可得m3，即要求直线的方程为y3x3+或y3x3；故答案为：y3x3+或y3x3【点评】本题考查直线与圆相切的性质，涉及圆的切线方程的计算，属于基础题三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为且a，b，c，且（1）求角A的大小；（2）若a6，b2c，求ABC的面积【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得tanA

20、，结合范围0A，可求A的值（2）利用余弦定理可求c，b的值，根据三角形面积公式即可计算得解【解答】（本题满分为10分）解：（1），可得：asinCccosA，由正弦定理可得：sinAcosA，2分tanA，3分0A，A5分（2）a6，b2c，a2b2+c22bccosA，整理可得：364c2+c22c2，解得：c2，b4，SABCbcsinA610分【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，P、Q分别是AA1、A1C1的中点（1）设棱BB1的中点为D，证明：C1D平面PQ

21、B1（2）若AB2，ACAA1AC14，AA1B160，且平面AA1C1C平面AA1B1B，求三棱锥PQA1B1的体积【分析】（1）连接AD，可得APDB1，且APDB1，四边形ADB1P是平行四边形，进一步得到AC1PQ，从而平面AC1D平面PQB1，可得C1D平面PQB1；（2）在面AA1C1C内作QMAA1于点M，结合已知可得QM平面 AA1B1B，求出QM，进一步求出PA1B1 是边长为2的正三角形再由体积公式计算得答案【解答】（1）证明：连接AD，D是BB1的中点，P是AA1的中点，可由棱柱的性质知APDB1，且APDB1，四边形ADB1P是平行四边形ADPB1P、Q分别是AA1、A

22、1C1的中点AC1PQ平面AC1D平面PQB1C1D平面PQB1；（2）解：在面AA1C1C内作QMAA1于点M，平面AA1C1C平面AA1B1B，QM平面 AA1B1B，QMA1PA1B12，AA1B160，PA1B1 是边长为2的正三角形【点评】本题主要考查了直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题19（12分）已知正项的等比数列an的前n项和为Sn，且（1）求数列an的通项公式；（2）若bnlog2an+3，数列的前n项和为Tn，求满足的正整数n的最小值【分析】（1）正项的等比数列an的公比为q（q0），由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即

23、可得到所求通项公式；（2）求得bnlog2an+3log22n2+3n2+3n+1，运用裂项相消求和可得Tn，解不等式即可得到所求最小值【解答】解：（1）正项的等比数列an的公比为q（q0），可得2a1qa1+a1q+，a1q22，解得a1，q2，则ana1qn12n2；（2）bnlog2an+3log22n2+3n2+3n+1，前n项和为Tn+，满足，可得，解得n4，满足的正整数n的最小值为5【点评】本题考查等比数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，不等式的解法，考查运算能力属于中档题20（12分）某中学为了解高一学生的视力健康状况，在高一年级体检活动中采用统一的标准对数视

24、力表，按照中国学生体质健康监测工作手册的方法对1039名学生进行了视力检测，判断标准为：双眼裸眼视力T5.0为视力正常，T5.0为视力低下，其中T4.9为轻度，4.6T4.8为中度，T4.5为重度统计检测结果后得到如图所示的柱状图（1）求该校高一年级轻度近视患病率；（2）根据保护视力的需要，需通知检查结果为“重度近视”学生的家长带孩子去医院眼科进一步检查和确诊，并开展相应的矫治，则该校高一年级需通知的家长人数约为多少人？（3）若某班级6名学生中有2人为视力正常，则从这6名学生中任选2人，恰有1人视力正常的概率是多少？【分析】（1）由柱状图可得该校高一年级学生轻度近视患病率（2）由柱状图可得该校

25、高一年级需通知的家长人数（3）记6名学生中视力正常的学生为A1，A2，视力低下的学生为B1，B2，B3，B4，从中任选2人所有可能为15种，其中恰有1人视力正常的概率包含的基本事件有8种，由此能求出从这6名学生中任选2人恰有1人为视力正常的概率【解答】解：（1）由柱状图可得：1（0.33+0.14+0.13+0.1+0.07）23%，即该校高一年级学生轻度近视患病率为23%（2）由已知可得：10391.30.1135（人）即该校高一年级需通知的家长人数约为135人（3）记6名学生中视力正常的学生为A1，A2，视力低下的学生为B1，B2，B3，B4，则从中任选2人所有可能为15种，分别为：（A1

26、，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4），从这6名学生中任选2人，其中恰有1人视力正常的概率包含的基本事件有8种，从这6名学生中任选2人，恰有1人视力正常的概率即从这6名学生中任选2人恰有1人为视力正常的概率为【点评】本题考查高一年级学生轻度近视患病率、高一年级需通知的家长人数、概率的求法，考查柱形图的性质、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题21（12分）已知函数f（x）x2+alnx（1）当a

27、2时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若在1，+）上是单调函数，求实数a的取值范围【分析】（1）求出函数f（x）的导数，得到导数在x1时为零然后列表讨论函数在区间（0，1）和（1，+）上讨论函数的单调性，即可得到函数f（x）的单调区间和极值；（2）在1，+）上是单调函数，说明g（x）的导数g（x）在区间1，+）恒大于等于0，或g（x）在区间1，+）恒小于等于0然后分两种情况加以讨论，最后综合可得实数a的取值范围【解答】解：（1）易知，函数f（x）的定义域为（0，+）（1分）当a2时，（2分）当x变化时，f（x）和f（x）的值的变化情况如下表：（4分）x（0，1）1（1，+）f（x）0+f

28、（x）递减极小值递增由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+），极小值是f（1）1（8分）（2）由，得（9分）又函数为1，+）上单调函数，若函数g（x）为1，+）上的单调增函数，则g（x）0在1，+）上恒成立，即不等式在1，+）上恒成立也即在1，+）上恒成立，而（x）在1，+）上的最大值为（1）0，所以a0（12分）若函数g（x）为1，+）上的单调减函数，根据，在1，+）上（x）max（1）0，（x）没有最小值（13分）所以g（x）0在1，+）上是不可能恒成立的（15分）综上，a的取值范围为0，+）（16分）【点评】本题是一道导数的应用题，着重考查利用导数研究

29、函数的单调性与极值，函数恒成立等知识点，属于中档题22（12分）已知椭圆+1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e，点P是椭圆上的一个动点，PF1F2面积的最大值是4（1）求椭圆的方程；（2）若A，B，C，D是椭圆上不重合的四点，AC与BD相交于点F1，且AC与BD垂直，又|AC|+|BD|，求此时直线AC的方程【分析】（1）由椭圆的离心率公式和当P位于椭圆的短轴的端点时，PF1F2面积取得最大值，由三角形的面积公式和基本量的关系，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；（2）讨论直线AC，BD的斜率是否存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用弦长公式，解方程即可得到所求方程【解答】解

30、：（1）由题意可得e，当P位于椭圆的短轴的端点时，PF1F2面积的最大值是4，即有b2c4，又a2b2c2，解得a4，b2，则椭圆方程为+1；（2）由（1）知F1（2，0），ACBD，当直线AC，BD中一条直线斜率不存在时，|AC|+|BD|14，不合题意；当直线AC斜率为k，k0时，其方程为yk（x+2），将该方程带入椭圆方程并整理得（3+4k2）x2+16k2x+16k2480，若设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2，x1x2，|AC|x1x2|；直线BD的方程为y（x+2），同理可得|BD|；|AC|+|BD|，解得k21，即直线AC的方程为y（x+2）【点评】本题考查三角形的面积公式，椭圆离心率的概念，椭圆的标准方程，a，b，c三个系数的几何意义，直线的点斜式方程，以及弦长公式，属于中档题

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