2018-2019学年广东省汕头市潮阳区高二(上)期末数学试卷(文科)含详细解答

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1、2018-2019学年广东省汕头市潮阳区高二(上)期末数学试卷(文科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1(5分)已知集合Ax|x2k1,kz,Bx|x2x60,则AB()A1,1B3,1,1C0,1,2D1,0,1,22(5分)一路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒当你到达此路口时,看见的不是绿灯的概率为()ABCD3(5分)已知命题p:x1,x2R,(f(x1)f(x2)(x1x2)0,则p是()Ax1,x2R,(f(x1)f(x2)(x1x2)0Bx1,x2R,(f(x1)f(x2)(

2、x1x2)0Cx1,x2R,(f(x1)f(x2)(x1x2)0Dx1,x2R,(f(x1)f(x2)(x1x2)04(5分)函数f(x)(x+1)ex的图象在点(0,f(0)处的切线方程为()Axy+10Bxy10C2xy+10D2xy105(5分)下列函数为奇函数的是()Af(x)x3+3x2Bf(x)2x+2xCf(x)xsinxDf(x)ln6(5分)若实数x,y满足,则y的最大值是()A1B2C3D47(5分)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的k的值是()A4B5C6D78(5分)若抛物线y22px(p0)上横坐标为6的点到焦点的距离等于8,则焦点到准线的距离是()A6B2C8D

3、49(5分)“a”是“ln(2a1)0”成立的()A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件10(5分)已知点M(3,8)在双曲线C:1(a0,b0)上,C的焦距为6,则它的离心率为()A2B3C4D511(5分)如图,四棱锥PABCD的底面ABCD是梯形,ABCD,若平面PAD平面PBCl,则()AlCDBlBCCl与直线AB相交Dl与直线DA相交12(5分)若曲线与直线ykx1有两个不同的交点,则实数k的取值范围是()ABCD二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13(5分)已知地球表面及约是火星表面积的4倍,则地球体积是火星体积的 14(5分)已知向量,

4、间的夹角为,若(2,3),|,则 15(5分)九章算术中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”已知某“堑堵“的三视图如图所示,俯视图中间的实线平分矩形的面积,则该“堑堵”的表面积为 16(5分)已知圆的方程为:(x1)2+y21,则斜率为3且与圆相切直线的方程为 三、解答题:本大题共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)已知在ABC中,角A,B,C所对的边分别为且a,b,c,且(1)求角A的大小;(2)若a6,b2c,求ABC的面积18(12分)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,P、Q分别是AA1、A1C1的中点(1)设棱BB1的中点为D,证明:C1D平面PQB1

5、(2)若AB2,ACAA1AC14,AA1B160,且平面AA1C1C平面AA1B1B,求三棱锥PQA1B1的体积19(12分)已知正项的等比数列an的前n项和为Sn,且(1)求数列an的通项公式;(2)若bnlog2an+3,数列的前n项和为Tn,求满足的正整数n的最小值20(12分)某中学为了解高一学生的视力健康状况,在高一年级体检活动中采用统一的标准对数视力表,按照中国学生体质健康监测工作手册的方法对1039名学生进行了视力检测,判断标准为:双眼裸眼视力T5.0为视力正常,T5.0为视力低下,其中T4.9为轻度,4.6T4.8为中度,T4.5为重度统计检测结果后得到如图所示的柱状图(1)

6、求该校高一年级轻度近视患病率;(2)根据保护视力的需要,需通知检查结果为“重度近视”学生的家长带孩子去医院眼科进一步检查和确诊,并开展相应的矫治,则该校高一年级需通知的家长人数约为多少人?(3)若某班级6名学生中有2人为视力正常,则从这6名学生中任选2人,恰有1人视力正常的概率是多少?21(12分)已知函数f(x)x2+alnx(1)当a2时,求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若在1,+)上是单调函数,求实数a的取值范围22(12分)已知椭圆+1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e,点P是椭圆上的一个动点,PF1F2面积的最大值是4(1)求椭圆的方程;(2)若A,B,C,D是椭

7、圆上不重合的四点,AC与BD相交于点F1,且AC与BD垂直,又|AC|+|BD|,求此时直线AC的方程2018-2019学年广东省汕头市潮阳区高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1(5分)已知集合Ax|x2k1,kz,Bx|x2x60,则AB()A1,1B3,1,1C0,1,2D1,0,1,2【分析】化简集合B,根据交集的定义写出AB【解答】解:集合Ax|x2k1,kz为奇数集,Bx|x2x60x|2x3,则AB1,1故选:A【点评】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题2(5

8、分)一路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒当你到达此路口时,看见的不是绿灯的概率为()ABCD【分析】用几何概型的概率公式计算即可【解答】解:由题意知红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒;到达此路口时看见的不是绿灯的概率为P1故选:C【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题,是基础题3(5分)已知命题p:x1,x2R,(f(x1)f(x2)(x1x2)0,则p是()Ax1,x2R,(f(x1)f(x2)(x1x2)0Bx1,x2R,(f(x1)f(x2)(x1x2)0Cx1,x2R,(f(x1)f(x2)(x1x2)0Dx1,x2R,(f(

9、x1)f(x2)(x1x2)0【分析】由全称命题的否定是特称命题,写出命题p的否定p来【解答】解:根据全称命题的否定是特称命题,得;命题p的否定是p:x1,x2R,(f(x1)f(x2)(x1x2)0故选:C【点评】本题考查了全称命题的否定命题是什么,解题时直接写出它的否定命题即可,是容易题4(5分)函数f(x)(x+1)ex的图象在点(0,f(0)处的切线方程为()Axy+10Bxy10C2xy+10D2xy10【分析】求出原函数的导函数,得到f(0)2,再求出f(0),由直线方程的点斜式得答案【解答】解:由f(x)(x+1)ex得f(x)(x+1)ex+exex(x+2),f(0)2,又f

10、(0)1,函数f(x)(x+1)ex图象在点(0,f(0)处的切线方程是y12(x0),即y2x+1故选:C【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,过曲线上某点的切线的斜率,就是函数在该点处的导数值,是中档题5(5分)下列函数为奇函数的是()Af(x)x3+3x2Bf(x)2x+2xCf(x)xsinxDf(x)ln【分析】举例说明A不是奇函数,利用定义证明B,C为偶函数,D为奇函数【解答】解:对于A,f(1)2,f(1)4,f(1)f(1),函数不是奇函数;对于B,函数定义域为R,f(x)2x+2(x)2x+2xf(x),函数为偶函数;对于C,函数定义域为R,f(x)xsin

11、(x)xsinxf(x),函数为偶函数;对于D,由0,得3x3,函数定义域为(3,3),而f(x),函数为奇函数故选:D【点评】本题考查函数奇偶性的性质与判断,训练了利用定义法判断函数的奇偶性,是基础题6(5分)若实数x,y满足,则y的最大值是()A1B2C3D4【分析】画出约束条件的可行域,即可判断y的最大值的位置,求解即可【解答】解:实数x,y满足的可行域如图:可行域是三角形的区域,A的纵坐标取得最大值,由,可得x1,y2故选:B【点评】本题考查线性规划的简单应用,是基本知识的考查7(5分)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的k的值是()A4B5C6D7【分析】由已知中的程序框图可知:该

12、程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案【解答】解:当S0时,满足继续循环的条件,故S1,k1;当S1时,满足继续循环的条件,故S3,k2;当S3时,满足继续循环的条件,故S11,k3;当S11时,满足继续循环的条件,故S2059,k4;当S2049时,不满足继续循环的条件,故输出的k值为4,故选:A【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答8(5分)若抛物线y22px(p0)上横坐标为6的点到焦点的距离等于8,则焦点到准线的距离是()A6B2C8D4【分析】由方程可得抛物线的焦点和

13、准线,进而由抛物线的定义可得6()8,解之可得p值,进而可得所求【解答】解:由题意可得抛物线y22px(p0)开口向右,焦点坐标(,0),准线方程x,由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为6的点到准线的距离等于8,即6()8,解之可得p4故焦点到准线的距离为p4故选:D【点评】本题考查抛物线的定义,关键是由抛物线的方程得出其焦点和准线,属基础题9(5分)“a”是“ln(2a1)0”成立的()A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【分析】由ln(2a1)0得a1,再根据小范围推出大范围得结果【解答】解:ln(2a1)0,2a11,a1,a推不出a1,a1a,“a”是“ln(

14、2a1)0”的必要不充分条件故选:C【点评】本题考查了充分条件和必要条件的判断,考查了推理能力与计算能力,属于基础题10(5分)已知点M(3,8)在双曲线C:1(a0,b0)上,C的焦距为6,则它的离心率为()A2B3C4D5【分析】由M在双曲线上,代入双曲线方程,又c3,即a2+b29,解方程可得a,由离心率公式可得所求值【解答】解:点M(3,8)在双曲线C:1(a0,b0)上,可得1,C的焦距为6,即2c6,可得c3,即a2+b29由解得a1,b2,则e3,故选:B【点评】本题考查双曲线的方程和性质,考查离心率的求法,注意运用方程思想,考查运算能力,属于基础题11(5分)如图,四棱锥PAB

15、CD的底面ABCD是梯形,ABCD,若平面PAD平面PBCl,则()AlCDBlBCCl与直线AB相交Dl与直线DA相交【分析】可得AD与CB必相交于点M,则P是面平面PAD和平面PBC的公共点,又平面PAD平面PBCl【解答】解:四棱锥PABCD的底面ABCD是梯形,ABCDAD与CB必相交于点M,则P是面平面PAD和平面PBC的公共点,又平面PAD平面PBClPll与直线DA相交故选:D【点评】本题考查了空间几何体中的直线与平面的位置关系,属于中档题12(5分)若曲线与直线ykx1有两个不同的交点,则实数k的取值范围是()ABCD【分析】作出两个函数的图象,利用数形结合即可得到结论【解答】

16、解:作出曲线 y的图象如图:直线ykx1过定点(0,1),当k0时,两个函数只有一个交点,不满足条件,当k0时,两个函数有2个交点,满足条件,当k0时,直线ykx1与y在x1相切时,两个函数只有一个交点,此时kx1,即kx2(1+k)x+30,判别式(1+k)212k0,解得k210k+10,k52或k5+2(舍去)综上满足条件的k的取值范围是(,0)(0,52),故选:D【点评】本题主要考查函数与方程的应用,利用数形结合以及分段函数的性质是解决本题的关键二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13(5分)已知地球表面及约是火星表面积的4倍,则地球体积是火星体积的8倍【分析】先利用已

17、知条件得出地球半径与火星半径的倍数关系,再利用球体体积公式得出地球体积与火星体积的倍数关系【解答】解:设地球的半径为R,火星的半径为r,由已知条件得4R244r2,所以,R2r,所以,地球的体积为,因此,地球体积是火星体积的8倍,故答案为:8倍【点评】本题考查球体的表面积与体积,确定地球与火星半径之间的倍数关系,是解本题的关键,属于基础题14(5分)已知向量,间的夹角为,若(2,3),|,则【分析】可求出,并且,向量,间的夹角为,这样进行数量积的计算即可求出【解答】解:,且,间的夹角为;故答案为:【点评】考查根据向量坐标求向量长度的方法,以及向量数量积的计算公式15(5分)九章算术中,将底面是

18、直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”已知某“堑堵“的三视图如图所示,俯视图中间的实线平分矩形的面积,则该“堑堵”的表面积为6+4【分析】首先把几何体的三视图转换为几何体,进一步利用几何体的表面积公式求出结果【解答】解:根据几何体的三视图,如图所示:转换为几何体为:底面为腰长为的等腰直角三角形,高为2的三棱柱故:+6+4故答案为:6+4【点评】本题考查的知识要点:三视图和几何体的转换,几何体的体积和表面积公式的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型16(5分)已知圆的方程为:(x1)2+y21,则斜率为3且与圆相切直线的方程为y3x3+或y3x3【分析】根据题意,设要求直线的方程为y

19、3x+m,即3xy+m0,结合直线与圆的位置关系可得1,解可得m的值,将m的值代入直线方程即可得答案【解答】解:根据题意,设要求直线的方程为y3x+m,即3xy+m0,若与圆(x1)2+y21相切,则有1,解可得m3,即要求直线的方程为y3x3+或y3x3;故答案为:y3x3+或y3x3【点评】本题考查直线与圆相切的性质,涉及圆的切线方程的计算,属于基础题三、解答题:本大题共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)已知在ABC中,角A,B,C所对的边分别为且a,b,c,且(1)求角A的大小;(2)若a6,b2c,求ABC的面积【分析】(1)由正弦定理化简已知等式可得tanA

20、,结合范围0A,可求A的值(2)利用余弦定理可求c,b的值,根据三角形面积公式即可计算得解【解答】(本题满分为10分)解:(1),可得:asinCccosA,由正弦定理可得:sinAcosA,2分tanA,3分0A,A5分(2)a6,b2c,a2b2+c22bccosA,整理可得:364c2+c22c2,解得:c2,b4,SABCbcsinA610分【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题18(12分)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,P、Q分别是AA1、A1C1的中点(1)设棱BB1的中点为D,证明:C1D平面PQ

21、B1(2)若AB2,ACAA1AC14,AA1B160,且平面AA1C1C平面AA1B1B,求三棱锥PQA1B1的体积【分析】(1)连接AD,可得APDB1,且APDB1,四边形ADB1P是平行四边形,进一步得到AC1PQ,从而平面AC1D平面PQB1,可得C1D平面PQB1;(2)在面AA1C1C内作QMAA1于点M,结合已知可得QM平面 AA1B1B,求出QM,进一步求出PA1B1 是边长为2的正三角形再由体积公式计算得答案【解答】(1)证明:连接AD,D是BB1的中点,P是AA1的中点,可由棱柱的性质知APDB1,且APDB1,四边形ADB1P是平行四边形ADPB1P、Q分别是AA1、A

22、1C1的中点AC1PQ平面AC1D平面PQB1C1D平面PQB1;(2)解:在面AA1C1C内作QMAA1于点M,平面AA1C1C平面AA1B1B,QM平面 AA1B1B,QMA1PA1B12,AA1B160,PA1B1 是边长为2的正三角形【点评】本题主要考查了直线与平面之间的位置关系,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于中档题19(12分)已知正项的等比数列an的前n项和为Sn,且(1)求数列an的通项公式;(2)若bnlog2an+3,数列的前n项和为Tn,求满足的正整数n的最小值【分析】(1)正项的等比数列an的公比为q(q0),由等比数列的通项公式,解方程可得首项和公比,即

23、可得到所求通项公式;(2)求得bnlog2an+3log22n2+3n2+3n+1,运用裂项相消求和可得Tn,解不等式即可得到所求最小值【解答】解:(1)正项的等比数列an的公比为q(q0),可得2a1qa1+a1q+,a1q22,解得a1,q2,则ana1qn12n2;(2)bnlog2an+3log22n2+3n2+3n+1,前n项和为Tn+,满足,可得,解得n4,满足的正整数n的最小值为5【点评】本题考查等比数列的通项公式的运用,考查数列的求和方法:裂项相消求和,不等式的解法,考查运算能力属于中档题20(12分)某中学为了解高一学生的视力健康状况,在高一年级体检活动中采用统一的标准对数视

24、力表,按照中国学生体质健康监测工作手册的方法对1039名学生进行了视力检测,判断标准为:双眼裸眼视力T5.0为视力正常,T5.0为视力低下,其中T4.9为轻度,4.6T4.8为中度,T4.5为重度统计检测结果后得到如图所示的柱状图(1)求该校高一年级轻度近视患病率;(2)根据保护视力的需要,需通知检查结果为“重度近视”学生的家长带孩子去医院眼科进一步检查和确诊,并开展相应的矫治,则该校高一年级需通知的家长人数约为多少人?(3)若某班级6名学生中有2人为视力正常,则从这6名学生中任选2人,恰有1人视力正常的概率是多少?【分析】(1)由柱状图可得该校高一年级学生轻度近视患病率(2)由柱状图可得该校

25、高一年级需通知的家长人数(3)记6名学生中视力正常的学生为A1,A2,视力低下的学生为B1,B2,B3,B4,从中任选2人所有可能为15种,其中恰有1人视力正常的概率包含的基本事件有8种,由此能求出从这6名学生中任选2人恰有1人为视力正常的概率【解答】解:(1)由柱状图可得:1(0.33+0.14+0.13+0.1+0.07)23%,即该校高一年级学生轻度近视患病率为23%(2)由已知可得:10391.30.1135(人)即该校高一年级需通知的家长人数约为135人(3)记6名学生中视力正常的学生为A1,A2,视力低下的学生为B1,B2,B3,B4,则从中任选2人所有可能为15种,分别为:(A1

26、,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3),(B2,B4),(B3,B4),从这6名学生中任选2人,其中恰有1人视力正常的概率包含的基本事件有8种,从这6名学生中任选2人,恰有1人视力正常的概率即从这6名学生中任选2人恰有1人为视力正常的概率为【点评】本题考查高一年级学生轻度近视患病率、高一年级需通知的家长人数、概率的求法,考查柱形图的性质、列举法等基础知识,考查运算求解能力,是基础题21(12分)已知函数f(x)x2+alnx(1)当a

27、2时,求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若在1,+)上是单调函数,求实数a的取值范围【分析】(1)求出函数f(x)的导数,得到导数在x1时为零然后列表讨论函数在区间(0,1)和(1,+)上讨论函数的单调性,即可得到函数f(x)的单调区间和极值;(2)在1,+)上是单调函数,说明g(x)的导数g(x)在区间1,+)恒大于等于0,或g(x)在区间1,+)恒小于等于0然后分两种情况加以讨论,最后综合可得实数a的取值范围【解答】解:(1)易知,函数f(x)的定义域为(0,+)(1分)当a2时,(2分)当x变化时,f(x)和f(x)的值的变化情况如下表:(4分)x(0,1)1(1,+)f(x)0+f

28、(x)递减极小值递增由上表可知,函数f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+),极小值是f(1)1(8分)(2)由,得(9分)又函数为1,+)上单调函数,若函数g(x)为1,+)上的单调增函数,则g(x)0在1,+)上恒成立,即不等式在1,+)上恒成立也即在1,+)上恒成立,而(x)在1,+)上的最大值为(1)0,所以a0(12分)若函数g(x)为1,+)上的单调减函数,根据,在1,+)上(x)max(1)0,(x)没有最小值(13分)所以g(x)0在1,+)上是不可能恒成立的(15分)综上,a的取值范围为0,+)(16分)【点评】本题是一道导数的应用题,着重考查利用导数研究

29、函数的单调性与极值,函数恒成立等知识点,属于中档题22(12分)已知椭圆+1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e,点P是椭圆上的一个动点,PF1F2面积的最大值是4(1)求椭圆的方程;(2)若A,B,C,D是椭圆上不重合的四点,AC与BD相交于点F1,且AC与BD垂直,又|AC|+|BD|,求此时直线AC的方程【分析】(1)由椭圆的离心率公式和当P位于椭圆的短轴的端点时,PF1F2面积取得最大值,由三角形的面积公式和基本量的关系,解方程可得a,b,进而得到所求椭圆方程;(2)讨论直线AC,BD的斜率是否存在,设出直线方程,联立椭圆方程,运用弦长公式,解方程即可得到所求方程【解答】解

30、:(1)由题意可得e,当P位于椭圆的短轴的端点时,PF1F2面积的最大值是4,即有b2c4,又a2b2c2,解得a4,b2,则椭圆方程为+1;(2)由(1)知F1(2,0),ACBD,当直线AC,BD中一条直线斜率不存在时,|AC|+|BD|14,不合题意;当直线AC斜率为k,k0时,其方程为yk(x+2),将该方程带入椭圆方程并整理得(3+4k2)x2+16k2x+16k2480,若设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2,x1x2,|AC|x1x2|;直线BD的方程为y(x+2),同理可得|BD|;|AC|+|BD|,解得k21,即直线AC的方程为y(x+2)【点评】本题考查三角形的面积公式,椭圆离心率的概念,椭圆的标准方程,a,b,c三个系数的几何意义,直线的点斜式方程,以及弦长公式,属于中档题

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