1、2018-2019学年广东省潮州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）在ABC中，B135，C15，a3，则边b（）A5B4C3D22（5分）已知命题p：1x1，命题q；x2，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3（5分）已知数列an是等比数列，且a11，a48，则a6（）A15B24C32D644（5分）已知实数ab，则以下不等式中恒成立的是（）Aa3b3Ba2b2C（）a（）bD5（5分）将给定的9个数排成如图所示的数表，若每行3个数按从左至
2、右的顺序构成等差数列，每列的3个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数a222，则表中所有数之和为（）A2B18C20D5126（5分）已知x，则函数y4x+取最小值为（）A3B2C5D77（5分）设x，y满足约束条件，则z3x+y的最大值是（）A0B4C5D68（5分）设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足0，0，0，则BCD是（）A钝角三角形B锐角三角形C直角三角形D等边三角形9（5分）两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于2km，灯塔A在C北偏东45，B在C南偏东15，则A，B之间的距离为（）AkmBkmCkmDkm10（5分）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中
3、，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）ABCD11（5分）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且其中的一个焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为，则双曲线的离心率为（）A2B3CD12（5分）设数列an是首项为1，公比为q（q1）的等比数列，若是等差数列，则（）+（）+（）（）A4036B4038C4030D4032二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上13（5分）已知双曲线的左支上一点P到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为 14（5分）在等比数列an中，a3、a8是方程x23x50的两个根，则a1a10 15（5分）若
4、函数f（x）x2+ax+b的两个零点是2和3，则不等式af（2x）0的解集是 16（5分）已知抛物线C：x28y，F是焦点，点A（2，4），若点P在抛物线上，且|PF|+|PA|的值最小，则点P的坐标为 三、解答题：本大题共6小题，满分共70分；解答要写出证明过程或解题步骤17（10分）给定命题p：关于x的方程x2+ax+a0无实根；命题q：函数y在（0，+）上单调递减已知pq是真命题，pq是假命题，求实数a的取值范围18（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S416，a47（1）求数列an的通项公式；（2）求的值19（12分）在ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b，c1，
5、cosB（1）求sinC的值；（2）求ABC的面积20（12分）已知函数f（x）2x+2x（1）求方程f（x）2的实根；（2）若对于任意xR，不等式f（2x）mf（x）6恒成立，求实数m的最大值21（12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB2AD4，PD底面ABCD（1）证明：平面PBC平面PBD；（2）若二面角PBCD的大小为，求AP与平面PBC所成角的正弦值22（12分）已知圆O：x2+y2r2（r0）与直线l1：x+60相切，设点A为圆上一动点，ABx轴于B，且动点N满足，设动点N的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）直线l与直线11垂直且与曲线C交于B，D两
6、点，求OBD面积的最大值2018-2019学年广东省潮州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）在ABC中，B135，C15，a3，则边b（）A5B4C3D2【分析】由已知利用三角形内角和定理可求A，根据正弦定理可求b的值【解答】解：B135，C15，A180BC30，由正弦定理，可得：故选：C【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题2（5分）已知命题p：1x1，命题q；x2，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D
7、既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：依题意可pq成立，反之不成立即p是q的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键3（5分）已知数列an是等比数列，且a11，a48，则a6（）A15B24C32D64【分析】由a11，a48可得公比q2，由此能求出a6【解答】解：由a11，a48可得公比q2，故故选：C【点评】本题考查等比数列第6项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4（5分）已知实数ab，则以下不等式中恒成立的是（）Aa3b3Ba2b2C（）
8、a（）bD【分析】根据不等式的性质进行判断即可【解答】解：f（x）x3是增函数，易知选项A正确，当a1，b1时，a2b2不成立由（）a（）b，得ab，则C错误，a1，b1时，不成立，故选：A【点评】本题主要考查不等关系与不等式的性质，结合不等式的性质是解决本题的关键5（5分）将给定的9个数排成如图所示的数表，若每行3个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的3个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数a222，则表中所有数之和为（）A2B18C20D512【分析】首先根据等差数列的性质求出每行数的和每行数的和等于第二个数的3倍，又知每列的3个数按从上到下的顺序也构成等差数列，求出该列数
9、的和，根据等差数列的性质，每列数的和等于第2个数的3倍，据此即可求出表中所有数之和【解答】解：每行3个数按从左至右的顺序构成等差数列，a11+a12+a133a12，a21+a22+a233a22，a31+a32+a333a32，每列的3个数按从上到下的顺序也构成等差数列，a12+a22+a323a22，表中所有数之和为9a229218，故选：B【点评】本题主要考查等差数列的前n项和的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等差数列的性质和数列求和公式，本题基础题，还是比较简单6（5分）已知x，则函数y4x+取最小值为（）A3B2C5D7【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：x，4x50
10、则函数y4x+4x5+5+57，当且仅当x时取等号函数y4x+取最小值为7故选：D【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题7（5分）设x，y满足约束条件，则z3x+y的最大值是（）A0B4C5D6【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合，即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z3x+y得y3x+z，平移直线y3x+z，由图象可知当直线y3x+z，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大由，解得，即A（2，0），此时zmax326，故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键8（5分）设A、B、C、D是空间不共面的四点
11、，且满足0，0，0，则BCD是（）A钝角三角形B锐角三角形C直角三角形D等边三角形【分析】判断三角形的形状有两种基本的方法看三角形的角看三角形的边本题可用向量的夹角来判断三角形的角【解答】解：，故B是锐角，同理D，C都是锐角，故BCD是锐角三角形，故选：B【点评】本题考查向量的分解，重点是向量的夹角公式，是高考考查的热点问题9（5分）两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于2km，灯塔A在C北偏东45，B在C南偏东15，则A，B之间的距离为（）AkmBkmCkmDkm【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示，根据平角的定义，由已知的15和45，求出ACB的度数，在三角形ABC中，再由|AC|BC
12、|2km，利用余弦定理即可表示出|AB|的值【解答】解：根据图形可知ACB120，在ABC中，|AC|BC|2km，根据余弦定理得：|AB|222+22222cos12012，所以A，B 之间的距离为2km故选：A【点评】本题考查解三角形的实际应用，涉及的知识有方位角的画法，余弦定理，利用了数形结合的思想，解答此类题的关键是审清题意，画出相应的图形，利用余弦定理建立已知与未知间的关系，从而达到解决问题的目的10（5分）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）ABCD【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可
13、得出【解答】解：如图所示，A（1，1，1），C（0，0，1），M，N，设异面直线AM与CN所成角为则cos故选：B【点评】本题考查了利用向量的夹角公式求异面直线所成的角，属于基础题11（5分）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且其中的一个焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为，则双曲线的离心率为（）A2B3CD【分析】由题意求出c2，再根据焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为，求出b，即可求出a1，根据离心率公式计算即可【解答】解：椭圆与双曲线有共同的焦点，4+m2m2a2+b2，双曲线的焦点坐标为（2，0），（2，0）设F（2，0）其渐近线方程为yx，焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为，2
14、2，b，a2c2b21，e2，故选：A【点评】本题考查了双曲线的简单性质以及椭圆的简单性质，考查了运算能力，属于基础题12（5分）设数列an是首项为1，公比为q（q1）的等比数列，若是等差数列，则（）+（）+（）（）A4036B4038C4030D4032【分析】由题意可得公比q1，可得an1，计算可得所求和【解答】解：数列an是首项为1，公比为q（q1）的等比数列，可得anqn1，an+an+1（1+q）qn1，则为等比数列，由是等差数列可得q1，故an1，原式共4032项，故答案为：4032故选：D【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题二、填
15、空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上13（5分）已知双曲线的左支上一点P到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为18【分析】由双曲线的方程可得 a4，根据双曲线的定义求出点P到右焦点的距离【解答】解：由双曲线的方程可得 a4，由双曲线的定义可得 点P到右焦点的距离等于 2a 加上点P到左焦点的距离，故点P到右焦点的距离为 8+1018，故答案为：18【点评】本题考查双曲线的定义和标准方程，得到点P到右焦点的距离等于 2a 加上点P到左焦点的距离，是解题的关键14（5分）在等比数列an中，a3、a8是方程x23x50的两个根，则a1a105【分析】先利用韦达定理
16、，再利用等差数列的性质，即可得到结论【解答】解：由a3、a8是方程x23x50的两个根，可得a3a85，由等比数列性质可知a1a10a3a85，故答案为：5【点评】本题考查韦达定理的运用，考查等差数列的性质，属于基础题15（5分）若函数f（x）x2+ax+b的两个零点是2和3，则不等式af（2x）0的解集是【分析】由已知函数f（x）x2+ax+b的两个零点是2和3得a，b的值，不等式af（2x）0，即为常见的一元二次不等式，解之即得【解答】解：f（x）x2+ax+b的两个零点是2，32，3是方程x2+ax+b0的两根，由根与系数的关系知，f（x）x2x6不等式af（2x）0，即（4x2+2x6
17、）02x2+x30，解集为故答案为【点评】此题体现了一元二次不等式的解法，解决一元二次不等式的解法的问题，常常需要向方程或图象方面转化，而数形结合正是它们转化的纽带，求解不等式联系方程的根，不等中隐藏着相等16（5分）已知抛物线C：x28y，F是焦点，点A（2，4），若点P在抛物线上，且|PF|+|PA|的值最小，则点P的坐标为（2，）【分析】当点P在过A且与准线垂直的线段与抛物线C的交点处，|PF|+|PA|的值最小，此时xp2，代入抛物线方程可得【解答】解：过点P向抛物线的准线y2作垂线PN，则|PF|PN|，|PF|+|PA|PA|+|PN|，当P，A，N三点共线时，|PN|+|PA|的
18、值最小，显然P点横坐标为xP2，代入抛物线方程可得yP故答案为：（2，）【点评】本题考查了抛物线的定义与简单性质，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，满分共70分；解答要写出证明过程或解题步骤17（10分）给定命题p：关于x的方程x2+ax+a0无实根；命题q：函数y在（0，+）上单调递减已知pq是真命题，pq是假命题，求实数a的取值范围【分析】求出命题为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可【解答】解：由方程x2+ax+a0无实根，可得a24a0解得0a4即命题p：0a4（3分）由函数在（0，+）上单调递减，可得14a0，解得即命题q：（6分）pq是真命题，pq是假命题p、q两
19、个命题真假性相反 （7分）或（9分）解得或a0实数a的取值范围为（10分）【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题p，q为真命题的等价条件结合复合命题真假关系是解决本题的关键18（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S416，a47（1）求数列an的通项公式；（2）求的值【分析】（1）根据等差数列的性质当n+mk+l时则an+amak+al得a11，d2所以an2n1（2）先得到数列的通项公式裂项后相加求和得【解答】解：（1）由题意得因为an是等差数列所以当n+mk+l时则an+amak+al所以S4a1+a2+a3+a42（a1+a4）16由a47a11d2所以数列an的
20、通项公式是an2n1（2）由（1）得an2n1所以的值是【点评】对等差数列的性质要熟悉，这也是高考常考的内容，此题是考查等差数列的性质等差中项数列求和是高考重点本题考查用裂项相消求和19（12分）在ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b，c1，cosB（1）求sinC的值；（2）求ABC的面积【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求sinB，由正弦定理可得sinC的值（2）由cb，可得C为锐角，由（1）可得cosC，利用两角和的正弦函数公式可求sinA的值，利用三角形面积公式即可得解【解答】（本题满分为12分）解：（1）b，c1，cosBsinB，由正弦定理可得：sinC4分（2
21、）cb，C为锐角，由（1）可得：cosC，sinAsin（B+C）sinBcosC+cosBsinC+，SABCbcsinA12分【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题20（12分）已知函数f（x）2x+2x（1）求方程f（x）2的实根；（2）若对于任意xR，不等式f（2x）mf（x）6恒成立，求实数m的最大值【分析】（1）方程f（x）2，即2x+2x2，（2x1）20，解得x0（2）由f（2x）mf（x）6对于xR恒成立，且f（x）0，可得mf（x）+对于xR恒成立利用均值不等式
22、即可求解【解答】解：（1）方程f（x）2，即2x+2x2，亦即（2x）222x+10，所以（2x1）20，于是2x1，解得x0（2）f（x）3，2x+2x3f（2x）22x+22x（2x+2x）223227，由条件知f（2x）22x+22x（2x+2x）22（f（x）22因为f（2x）mf（x）6对于xR恒成立，且f（x）0，所以mf（x）+对于xR恒成立令g（x）f（x）+24，当且仅当f（x）2x+2x2，即x0时取等号所以m4，故实数m的最大值为4【点评】本题考查了函数的值域，恒成立问题，属于中档题21（12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB2AD4，PD底面A
23、BCD（1）证明：平面PBC平面PBD；（2）若二面角PBCD的大小为，求AP与平面PBC所成角的正弦值【分析】（1）推导出BCBD，PDBC，从而BC平面PBD，由此能证明平面PBC平面PBD（2）由BC平面PBD，得PBD即为二面角PBCD的平面角，即PBD，从而BD2，PD2，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AP与平面PBC所成角的正弦值【解答】证明：（1）四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB2AD4，PD底面ABCDCD2BC2+BD2，BCBD，又PD底面ABCD，BC平面ABCD，PDBC，又PDBDD，BC平面PBD，BC
24、平面PBC，平面PBC平面PBD解：（2）由（1）所证，BC平面PBD，PBD即为二面角PBCD的平面角，即PBD，BD2，PD2，底面ABCD为平行四边形，DADB，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则A（2，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），P（0，0，2），（2，0，2），（2，0，0），（0，2，2），设平面PBC的法向量为（a，b，c），则，令b1，得（0，1，），AP与平面PBC所成角的正弦值为sin【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归
25、与转化思想、函数与方程思想，是中档题22（12分）已知圆O：x2+y2r2（r0）与直线l1：x+60相切，设点A为圆上一动点，ABx轴于B，且动点N满足，设动点N的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）直线l与直线11垂直且与曲线C交于B，D两点，求OBD面积的最大值【分析】（1）设动点N（x，y），A（x0，y0），由ABx轴于B，得B（x0，0），推导出圆O的方程为x2+y29，由题意，得，从而，将A（x，）代入圆x2+y29，能求出动点N的轨迹方程（2）由题意可设直线l：，设直线l与椭圆1交于B（x1，y1），D（x2，y2），联立方程，得10x2+6+3m290，由此利用根的判别式
26、、韦达定理、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出OBD面积的最大值【解答】解：（1）设动点N（x，y），A（x0，y0），因为ABx轴于B，所以B（x0，0），由题意得r3，所以圆O的方程为x2+y29（2分）由题意，得，所以（0，y0）（x0x，y），所以，即，将A（x，）代入圆x2+y29，得动点N的轨迹方程1（5分）（2）由题意可设直线l：，设直线l与椭圆1交于B（x1，y1），D（x2，y2），联立方程，得10x2+6+3m290，108m2104（3m29）0，解得m230，x1，2，（7分）又因为点O到直线l的距离d，|BD|2|x1x2|2，（9分）SOBD（11分）（当且仅当m230m2，即m215时取到最大值）OBD面积的最大值为（12分）【点评】本题考查曲线方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查圆、直线方程、韦达定理、点到直线距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题
