1、2017-2018学年广东省珠海市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题,5分，满分60分）1（5分）已知命题p：x0，x310，则p为（）Ax0，x310Bx0，x310Cx0，x310Dx0，x3102（5分）若（2，3，5），（3，1，2），则|（）ABCD3（5分）下面四个条件中，使ab成立的充分不必要条件是（）ABab1Ca2b2Dab+14（5分）已知ax2（1+a）x+b0的解集为x|x1，则a+b（）ABC4D45（5分）已知1表示焦点在y轴上椭圆，则m的取值范围为（）A（1，2）B（1，）C（1，+）D（，2）6（5分）已知an为等差数列，前n项和为Sn
2、，若，则sinS9（）ABCD7（5分）设变量x，y满足，则目标函数z2x+4y最大值为（）A13B12C11D108（5分）已知在ABC中，BAC60，AB6，若满足条件的ABC有两个，则边BC的取值范围为（）A3，6）B（3，6）C（3，6）D，6）9（5分）在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在棱A1B1，C1D1上且A1E1，C1F1，则异面直线AE，B1F所成角的余弦值为（）ABCD010（5分）一动圆P过定点M（3，0），且与已知圆N：（x3）2+y216外切，则动圆圆心P的轨迹方程是（）A1（x2）B1（x2）C1（x2）D1（x2）11（5分）已知anlo
3、g（n+1）（n+2）（nN*），我们把使乘积a1a2an为整数的数n叫做“劣数”，则在n（1，2018）内的所有“劣数”的和为（）A1016B2018C2024D202612（5分）已知点A，B均在抛物线x24y上运动，且线段AB的长度为5，则AB的中点到x轴的最短距离为（）ABC1D2二、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）13（5分）已知（1，3，），（2，4，5），若，则 14（5分）已知F1，F2为椭圆1的两个焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，若|F1A|+|F1B|，则|AB| 15（5分）命题p：关于x的不等式x2+2ax+40对一切xR恒成
4、立，命题q：指数函数f（x）（32a）x是增函数，若pq为真，则实数a的取值范围为 16（5分）已知各项为正数的等比数列an中，a1a34，a7a925，则a5 17（5分）已知空间四边形ABCD中，若，且（x，y，zR），则y 18（5分）若在ABC中，则ABC是 三角形19（5分）已知直线l：ax+y+20及两点P（2，1），Q（3，2），若直线l与线段PQ有公共点，则a的取值范围是 20（5分）如图，已知F1，F2分别是双曲线1（a0，b0）的左、右两个焦点，|F1F2|10，P是双曲线右支上的一点，直线F2P与y轴交
5、于点A，APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|3，则双曲线的离心率为 三、解答题（共5小题，共50分）21（10分）在锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边且（a2+b2c2）tanCab（1）求角C；（2）若c，b2，求边a的值及ABC的面积22（10分）在梯形ABCD中，BCDA，BEDA，EAEBBC2，DE1，将四边形DEBC沿BE折起，使平面DEBC平面ABE，如图2，连结AD，AC（1）若F为AB中点，求证：EF平面ADC；（2）求平面ABE与平面ADC所成锐二面角的余弦值23（10分）某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，
6、A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y118，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2 （注：利润与投资金额单位：万元）（1）该公司已有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中，其中x万元资金投入A产品，试把A，B两种产品利润总和表示为x的函数，并写出定义域；（2）在（1）的条件下，试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？24（10分）已知椭圆C：1（ab0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy+0相切（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：ykx+m与椭圆C相交于A、B两点，且kOAkOB求证：AOB的面积为定值25
7、（10分）正项数列an的前n项和Sn满足：0（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足，且前n项和为Tn，且若对于nN*，都有（mR），求m的取值范围2017-2018学年广东省珠海市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题,5分，满分60分）1（5分）已知命题p：x0，x310，则p为（）Ax0，x310Bx0，x310Cx0，x310Dx0，x310【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：x0，x310，则p为x0，x310故选：B【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定
8、关系，是基本知识的考查2（5分）若（2，3，5），（3，1，2），则|（）ABCD【分析】利用空间向量坐标运算法则先求出，再由向量的模能求出|【解答】解：（2，3，5），（3，1，2），（8，5，1），|3故选：C【点评】本题考查向量的模的求法，考查空间向量坐标运算法则、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3（5分）下面四个条件中，使ab成立的充分不必要条件是（）ABab1Ca2b2Dab+1【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可【解答】解：若ab+1，则ab成立，反之当ab时，ab+1不成立，即使ab成立的充分不必要条件是ab+1，故
9、选：D【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键4（5分）已知ax2（1+a）x+b0的解集为x|x1，则a+b（）ABC4D4【分析】根据不等式对应方程以及根与系数的关系，求出a、b的值，再计算a+b的值【解答】解：ax2（1+a）x+b0的解集为x|x1，方程ax2（1+a）x+b0的实数根为和1，解得a5，b1；a+b4故选：C【点评】本题课程一元二次不等式与对应方程的应用问题，也考查了根与系数的关系应用问题，是基础题5（5分）已知1表示焦点在y轴上椭圆，则m的取值范围为（）A（1，2）B（1，）C（1，+）D（，2）【分析】利用椭圆的性质列出不等式求
10、解即可【解答】解：方程1表示焦点在y轴上的椭圆，可得，解得1m则m的取值范围为：（1，）故选：B【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，基本知识的考查6（5分）已知an为等差数列，前n项和为Sn，若，则sinS9（）ABCD【分析】根据等差数列的性质得到a2+a82a5a1+a9，然后将其代入等差数列的求和公式S9求值，继而得到其正弦函数值【解答】解：an为等差数列，前n项和为Sn，a2+a82a5a1+a9，又若，3a5，则a5，a1+a9，S9，则sinS9故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题7（5分）设变量x，y满足，则目标函数z2x+4y
11、最大值为（）A13B12C11D10【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论【解答】解：作出变量x，y满足对应的平面区域如图由z2x+4y得yx+，平移直线yx+，由图象可知当直线yx+经过点A时，直线yx+的截距最大，此时z最大，由，解得A（，），此时z2+43+1013，故选：A【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键8（5分）已知在ABC中，BAC60，AB6，若满足条件的ABC有两个，则边BC的取值范围为（）A3，6）B（3，6）C（3，6）D，6）【分析】运用正弦定理可得sinC，由sinC1解不等式，结
12、合三角形的边角关系，可得BC的范围【解答】解：在ABC中，BAC60，AB6，由正弦定理可得，可得sinC，由题意可得sinC1，即为BC3；又满足条件的ABC有两个，可得BCAB6，即有3BC6故选：B【点评】本题考查三角形的正弦定理和三角形的边角关系，考查正弦函数的图象和性质，以及运算能力，属于中档题9（5分）在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在棱A1B1，C1D1上且A1E1，C1F1，则异面直线AE，B1F所成角的余弦值为（）ABCD0【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE，B1F所成角的余弦值
13、【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在棱A1B1，C1D1上且A1E1，C1F1，A（3，0，0），E（3，1，3），B1（3，3，3），F（0，2，3），（0，1，3），（3，1，0），设异面直线AE，B1F所成角为，则cos异面直线AE，B1F所成角的余弦值为故选：A【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题10（5分）一动圆P过定点M（3，0），且与已知圆N：（x3）2+y216外切，则
14、动圆圆心P的轨迹方程是（）A1（x2）B1（x2）C1（x2）D1（x2）【分析】由题意画出图形，利用圆心距与半径的关系可得|PN|PM|+4，即|PN|PM|4，从而说明点P的轨迹是以A，C为焦点，4为实轴长的双曲线的左支，则答案可求【解答】解：圆P与圆C外切，如图，|PN|PM|+4，即|PN|PM|4，0|PN|PM|MN|6，由双曲线的定义，点P的轨迹是以A，C为焦点，2为实轴长的双曲线的左支，其中a2，c3，b2c2a2945故所求轨方程为：（x2）故选：C【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查圆与圆的位置关系的应用，考查双曲线的定义，是中档题11（5分）已知anlog（n+1）（n+
15、2）（nN*），我们把使乘积a1a2an为整数的数n叫做“劣数”，则在n（1，2018）内的所有“劣数”的和为（）A1016B2018C2024D2026【分析】a1a2anlog2（n+2）k，可得2kn+2n2时，k1；n1022时，k10；若k11，则n2048220262018，不满足题意利用数列求和公式即可得出【解答】解：a1a2anlog2（n+2）k，则2kn+2n2时，k1；n1022时，k10；若k11，则n2048220262018，不满足题意在n（1，2018）内的所有“劣数”的和222+232+2102182026故选：D【点评】本题考查了对数运算性质、等比数列的求和公
16、式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（5分）已知点A，B均在抛物线x24y上运动，且线段AB的长度为5，则AB的中点到x轴的最短距离为（）ABC1D2【分析】设A（x1，y1）B（x2，y2），根据抛物线方程可求得准线方程，所求的距离为d1，根据抛物线的定义可知d1，根据两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号求得d的最小值【解答】解：设A（x1，y1）B（x2，y2），F为焦点，抛物线准线方程y1，根据梯形的中位线定理，得所求的距离为：d1由抛物线定义d11（两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号）故选：B【点评】本题主要考查了抛物线的应用灵活利用了抛物线的定义，考查分
17、析问题解决问题的能力二、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）13（5分）已知（1，3，），（2，4，5），若，则2【分析】利用向量垂直的性质直接求解【解答】解：（1，3，），（2，4，5），21250，解得2故答案为：2【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题14（5分）已知F1，F2为椭圆1的两个焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，若|F1A|+|F1B|，则|AB|3【分析】运用椭圆的定义，可得三角形ABF2的周长为4a20，再由周长，即可得到AB的长【解答】解：椭圆1的a2，由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|BF
18、1|+|BF2|2a，则三角形ABF2的周长为4a8，若|F1A|+|F1B|，则|AB|4a（|F1A|+|F1B|）853故答案为：3【点评】本题考查椭圆的方程和定义，考查运算能力，属于基本知识的考查15（5分）命题p：关于x的不等式x2+2ax+40对一切xR恒成立，命题q：指数函数f（x）（32a）x是增函数，若pq为真，则实数a的取值范围为（2，1）【分析】求出命题p的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可【解答】解：若不等式x2+2ax+40对一切xR恒成立，则判别式4a2160，即a24，则2a2，若指数函数f（x）（32a）x是增函数，则32a1，即2a2，a1，若pq为真
19、，则p，q都为真，即，得2a1，即实数a的取值范围是（2，1），故答案为：（2，1）【点评】本题主要考查复合命题真假的应用，求出命题为真命题的等价是解决本题的关键16（5分）已知各项为正数的等比数列an中，a1a34，a7a925，则a5【分析】利用等比数列的通项公式进行解答【解答】解：设各项为正数的等比数列an的公比为q，则，解得，则a5a1qq32故答案是：【点评】本题考查等比数列的通项公式，以及整体代换求值，注意限制性条件“各项为正数”的等比数列an17（5分）已知空间四边形ABCD中，若，且（x，y，zR），则y【分析】如图所示，+与（x，y，zR），比较即可得出【解答】解：如图所示，
20、+（x，y，zR），y故答案为：【点评】本题考查了向量三角形法则、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（5分）若在ABC中，则ABC是等腰直角三角形【分析】由已知条件和正弦定理推知sin2Asin2B，从而可判断【解答】解：在ABC中，即正弦定理，得，则1cotAcotC，故AC45，所以ABC是等腰直角三角形故答案是：等腰直角【点评】本题主要考查了三角函数的形状判断三角形的正弦定理，同角三角函数的关系，难度不大，属于基础计算题19（5分）已知直线l：ax+y+20及两点P（2，1），Q（3，2），若直线l与线段PQ有公共点，则a的取值范围是【分析】直线l：ax+y+20
21、，可得直线l经过定点M（0，2），利用斜率计算公式可得kMP，kMQ若直线l与线段PQ有公共点，akMP，或akMQ，即可得出【解答】解：直线l：ax+y+20，可得直线l经过定点M（0，2），kMP，kMQ若直线l与线段PQ有公共点，a，或a，解得a或a则a的取值范围是故答案为：是【点评】本题考查了直线斜率计算公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（5分）如图，已知F1，F2分别是双曲线1（a0，b0）的左、右两个焦点，|F1F2|10，P是双曲线右支上的一点，直线F2P与y轴交于点A，APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|3，则双曲线的离心率为【分析】设内切圆与
22、AF1的切点为M，与AF2的切点为N，运用切线长定理和双曲线的定义，可得2a6，由2c10，运用离心率公式，计算即可得到所求值【解答】解：设内切圆与AF1的切点为M，与AF2的切点为N，由切线长定理可得，MF1QF1，PQPN3，AMAN，由对称性可得AF1AF2，由双曲线的定义可得2aPF1PF2PQ+QF1（AF2AP）PN+MF1（AM+MF1AP）3（ANAP）3（PN）3+36，即有a3，则双曲线的离心率为e故答案为：【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用切线的性质和双曲线的定义和对称性，考查运算能力，属于中档题三、解答题（共5小题，共50分）21（10分）在锐角ABC中，a
23、，b，c分别为角A，B，C所对的边且（a2+b2c2）tanCab（1）求角C；（2）若c，b2，求边a的值及ABC的面积【分析】（1）根据题意，利用余弦定理即可求出sinC以及C的值；（2）利用余弦定理解答即可【解答】解：（1）由（a2+b2c2）tanCab得，tanC即cosCtanC，sinC又锐角ABC，C；（2）c，b2，C，由余弦定理得：（）2a2+222abcos，整理，得a22a30，解得a3或a1（舍去）SABCabsinC32【点评】本题考查了余弦定理以及三角恒等变换的应用问题，是基础题目22（10分）在梯形ABCD中，BCDA，BEDA，EAEBBC2，DE1，将四边形
24、DEBC沿BE折起，使平面DEBC平面ABE，如图2，连结AD，AC（1）若F为AB中点，求证：EF平面ADC；（2）求平面ABE与平面ADC所成锐二面角的余弦值【分析】（1）取AC中点N，连接FN、DN、EF，可得FNBC且FN，由DEBC且DE1，可得FNDE且FNDE，则四边形FNDE为平行四边形，得到EFND，再由线面平行的判定可得EF平面DECB； （2）由平面DEBC平面ABE且交于BE，AEBE，得AE平面DECB，分别以EA、EB、ED所在直线为x，y，z轴连接空间直角坐标系，分别求出平面ADC与平面平面ABE的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面ABE与平面ADC所成
25、锐二面角的余弦值【解答】（1）证明：取AC中点N，连接FN、DN、EF，FN是三角形ABC的中位线，FNBC且FN，由DEBC且DE1，FNDE且FNDE，则四边形FNDE为平行四边形，EFND，又EF平面ACD，DN平面ACD，EF平面DECB； （2）解：平面DEBC平面ABE且交于BE，AEBE，AE平面DECB，由已知DEEB，AEEB，分别以EA、EB、ED所在直线为x，y，z轴距离空间直角坐标系，则E（0，0，0），D（0，0，1），A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，2），设平面ADC的一个法向量，则，取x1，得平面ABE的一个法向量，且cos，平面ABE与平面ADC
26、所成锐二面角的余弦值为【点评】本题考查直线与平面平行的判定，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题23（10分）某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y118，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2 （注：利润与投资金额单位：万元）（1）该公司已有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中，其中x万元资金投入A产品，试把A，B两种产品利润总和表示为x的函数，并写出定义域；（2）在（1）的条件下，试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？【分析】（1）其中x万元资金投入A产品，则剩余的1
27、00x（万元）资金投入B产品，根据A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y118，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2，可得利润总和；（2）f（x）40，x0，100，由基本不等式，可得结论【解答】解：（1）其中x万元资金投入A产品，则剩余的100x（万元）资金投入B产品，利润总和f（x）18+38（x0，100）（6分）（2）f（x）40，x0，100，由基本不等式得：f（x）40228，取等号，当且仅当时，即x20（12分）答：分别用20万元和80万元资金投资A、B两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元（13分）【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本
28、不等式的运用，考查函数模型的建立，属于中档题24（10分）已知椭圆C：1（ab0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy+0相切（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：ykx+m与椭圆C相交于A、B两点，且kOAkOB求证：AOB的面积为定值【分析】（1）利用直线与圆相切的性质和点到直线的距离公式、椭圆的标准方程及其性质即可得出；（2）把直线的方程与椭圆的方程联立可化为关于x的一元二次方程得到根与系数的关系、再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出【解答】解：（1）由椭圆的离心率e，由b，则a2椭圆的标准方程为：；（2）证明：设A（x1，y1）
29、，（x2，y2），则，整理得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2120x1+x2，x1x2由0，得4k2m2+30y1y2（kx1+m）（kx2+m）k2x1x2+km（x1+x2）+m2，k2+km（）+m2kOAkOB，即y1y2x1x2，即2m24k23|AB|O到直线ykx+m的距离d，SAOBd|AB|，为定值，AOB的面积为定值【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查点到直线的距离，韦达定理及弦长公式的应用，考查转化思想，属于中档题25（10分）正项数列an的前n项和Sn满足：0（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足，且前n项和为Tn，且若对于nN*，
30、都有（mR），求m的取值范围【分析】（1）由0可得Sn（n2+n）（Sn+1）0，Sn0可得Snn2+n，n1时，a1S1n2时，anSnSn1，即可得出an（2）由数列bn满足，可得bn利用裂项求和方法、数列的单调性、不等式的解法即可得出【解答】解：（1）由0可得Sn（n2+n）（Sn+1）0，Sn0Snn2+n，n1时，a1S12n2时，anSnSn1n2+n（n1）2+（n1）2nn1时上式也成立an2n（2）数列bn满足，bn前n项和为Tn+若对于nN*，都有（mR），即，解得m或mm的取值范围是【点评】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法、数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
