1、2019-2020学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1（3分）的倒数是（）A4BCD42（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（）ABCD3（3分）下列二次根式能与合并的是（）ABCD4（3分）若ab3，a2b29，则a+b的值为（）A2B3C2D35（3分）为了绿化校园，甲、乙两班共植树苗30棵，已知甲班植树数量是乙班的1.5倍，设甲班植树x棵，乙班植树y棵根据题意，所列方程组正确的是（）ABCD6（3分）以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作（）A4个B3个C2个D1个7（3分）把分式中的x
2、，y的值都扩大3倍，那么分式的值是（）A扩大到原来的3倍B扩大到原来的9倍C不变D缩小到原来的8（3分）如图，平行四边形ABCD中，DBDC，C70，AEBD于E，则DAE等于（）A20B25C30D359（3分）如图，DE是ABC的中位线，点F在DE上，且AFC90，若AC10，BC16，则DF的长为（）A5B3C8D1010（3分）下列说法错误的是（）A平行四边形的内角和与外角和相等B一组邻边相等的平行四边形是菱形C对角线互相平分且相等的四边形是矩形D四条边都相等的四边形是正方形11（3分）下列各数中，与2的积为有理数的是（）AB2+C2D2+12（3分）如图，正方形ABCD的边长为，E在
3、正方形外，DEDC，过D作DHAE于H，直线DH，EC交于点M，直线CE交直线AD于点，则下列结论正确的是（）DAEDEA；DMC45；若MH2，则A1个B2个C3个D4个二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13（3分）因式分解：a39ab2 14（3分）花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000037毫克，那么0.000037毫克可以用科学记数法表示为 毫克15（3分）若实数m、n满足|m2|+0，且m，n恰好是等腰ABC的两条边的边长，则ABC的周长是 16（3分）若，则 17（3分）在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，如果AOB60，则AB：AC 18（3分）
4、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5dm、3dm和1dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是 dm三、解答题（本大题共8个小题，共66分）19（6分）计算：20（6分）先化简，再求值：（2x+y）2+（xy）（x+y）5x（xy），其中x+1，y121（8分）某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节目进行了一次抽样调查（每名学生必须选择且只能选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图请你根据图中信息，回答下列问题：（1）求本次
5、调查的学生人数，并补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，求“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；（3）若该学校共有学生2000人，请问该学校大约有多少同学最喜爱“小品”节目？22（8分）如图，AEBF，AC平分BAE，交BF于点C，BD平分ABC，交AE于点D，连接CD（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB5，AC6，求AE，BF之间的距离23（9分）某中学购买A、B品牌篮球分别花费了2400元、1950元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花50元（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？（2）该学校决定再次购进A、B两种品牌
6、篮球共30个，恰逢百货商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了10%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3200元，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌篮球？24（9分）如图1，在等腰直角三角形ABC中，ACB90，ACBC4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点（点E不与端点A，C重合），且AECF（1）求证：ADECDF；（2）如图2，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GOOD，连接DE，DF，GE，GF求证：四边形EDFG是正方形（3）当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小
7、？直接写出点E的位置及四边形EDFG面积的最小值25（10分）综合与实践问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD2AB，E是AB延长线上一点，且BEAB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG，连接AM试判断线段AM与DE的位置关系探究展示：勤奋小组发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法：证明：BEAB，AE2ABAD2AB，ADAE四边形ABCD是矩形，ADBC（依据1）BEAB，EMDM即AM是ADE的DE边上的中线，又ADAE，AMDE（依据2）AM垂直平分DE反思交流：（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”
8、分别是指什么？试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明；探索发现：（3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，点B都在线段AE的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明26（10分）已知；如图1，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为，点C在y轴上，OBC60（1）
9、求点A的坐标；（2）如图2，连接AC，点P为ACD内一点，BP与AC交于点G，APB60，点E、F分别在线段AP、BP上，且BFAE若AFE30，求AF2+EF2的值；（3）如图3，在（2）的条件下，当PEAE时，试判断PAF形状并说明理由2019-2020学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1（3分）的倒数是（）A4BCD4【分析】a的倒数是（a0）【解答】解：的倒数是4，故选：D【点评】此题考查的知识点是倒数，关键掌握求一个数的倒数的方法注意：负数的倒数还是负数2（3分）下列图形中，不是轴
10、对称图形的是（）ABCD【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项错误；故选：A【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义3（3分）下列二次根式能与合并的是（）ABCD【分析】化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义解答【解答】解：的被开方数是3，而、2、的被开方数分别是5、2、2，所以它们不是同类二次根式，不能合并，即选项A、B、D都不符合题意2的被开方数是3，与是同类二次根式
11、，能合并，即选项C符合题意故选：C【点评】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式4（3分）若ab3，a2b29，则a+b的值为（）A2B3C2D3【分析】利用平方差公式解答【解答】解：ab3，a2b29，（a+b）（ab）3（a+b）9，a+b3故选：D【点评】考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方5（3分）为了绿化校园，甲、乙两班共植树苗30棵，已知甲班植树数量是乙班的1.5倍，设甲班植树x棵，乙班植树y棵根据题意，所列方程组正确的是（）ABCD【分析】根据“甲、乙两班共植树
12、苗30棵，甲班植树数量是乙班的1.5倍”即可得【解答】解：设甲班植树x棵，乙班植树y棵根据题意，所列方程组为，故选：B【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程组6（3分）以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作（）A4个B3个C2个D1个【分析】连接不在同一直线上的三点，得到一个三角形，分别以三角形的三边为对角线，用作图的方法，可得出选项【解答】解：如图，以点A，B，C能做三个平行四边形：分别是ABCD，ABFC，AEBC故选：B【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键平行四边形共有五种判定方法，记忆
13、时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关7（3分）把分式中的x，y的值都扩大3倍，那么分式的值是（）A扩大到原来的3倍B扩大到原来的9倍C不变D缩小到原来的【分析】按照分式的基本性质，结合题意进行变形，可得答案【解答】解：将分式中的x，y的值都扩大3倍，则有：故选：C【点评】本题考查了分式的基本性质在化简中的应用，属于基础知识的考查，比较简单8（3分）如图，平行四边形ABCD中，DBDC，C70，AEBD于E，则DAE等于（）A20B25C30D35【分析】要求DAE，就要先求出ADE，要求出ADE，就要先求出DBC利用DBDC，C70即可求出【解答】解：
14、DBDC，C70DBCC70，又ADBC，ADEDBC70AEBDAEB90那么DAE90ADE20故选：A【点评】解决本题的关键是利用三角形内角和定理，等边对等角等知识得到和所求角有关的角的度数9（3分）如图，DE是ABC的中位线，点F在DE上，且AFC90，若AC10，BC16，则DF的长为（）A5B3C8D10【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出EF，计算即可【解答】解：DE是ABC的中位线，DEBC8，AFC90，E是AC的中点，EFAC5，DFDEEF3，故选：B【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于
15、第三边的一半是解题的关键10（3分）下列说法错误的是（）A平行四边形的内角和与外角和相等B一组邻边相等的平行四边形是菱形C对角线互相平分且相等的四边形是矩形D四条边都相等的四边形是正方形【分析】根据四条边都相等的四边形一定是菱形，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，对各个结论进行分析，从而得到最后答案【解答】解：A正确，平行四边形的内角和与外角和都是360；B正确，符合菱形的定义；C正确，符合矩形的判定；D不正确，四条边都相等的四边形一定是菱形，不一定是正方形；故选：D【点评】掌握特殊四边形的定义与判定11（3分）下列各数中，与2的积为有理数的是（）AB2+C2D2+【分析】根据（2+）（2）
16、1可得出2+与2互为有理化因式，此题得解【解答】解：（2+）（2）221，2+与2互为有理化因式故选：B【点评】本题考查了分母有理化以及平方差公式，根据平方差公式寻找有理化因式是解题的关键12（3分）如图，正方形ABCD的边长为，E在正方形外，DEDC，过D作DHAE于H，直线DH，EC交于点M，直线CE交直线AD于点，则下列结论正确的是（）DAEDEA；DMC45；若MH2，则A1个B2个C3个D4个【分析】利用等腰三角形的性质即可证明根据DADCDE，利用圆周角定理可知AECADC45，即可解决问题如图，作DFDM交PM于F，证明ADMCDF（SAS）即可解决问题解直角三角形求出CEEF可
17、得结论【解答】解：四边形ABCD是正方形，DADC，ADC90，DCDE，DADE，DAEDEA，故正确，DADCDE，AECADC45（圆周角定理），DMAE，EHM90，DMC45，故正确，如图，作DFDM交PM于F，ADCMDF90，ADMCDF，DMF45，DMFDFM45，DMDF，DADC，ADMCDF（SAS），AMCF，AM+CMCF+CMMFDM，故正确，若MH2，则易知AHMHHE2，AMEM，在RtADH中，DH1，DM3，AM+CM3，CMCE，SDCMSDCE，故错误故选：C【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所
18、学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13（3分）因式分解：a39ab2a（a3b）（a+3b）【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可【解答】解：a39ab2a（a29b2）a（a3b）（a+3b）故答案为：a（a3b）（a+3b）【点评】此题主要考查了提取公因式以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键14（3分）花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000037毫克，那么0.000037毫克可以用科学记数法表示为3.7105毫克【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a10n，与
19、较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定【解答】解：0.000037毫克可以用科学记数法表示为3.7105 毫克，故答案为：3.7105【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a10n，其中1|a|10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定15（3分）若实数m、n满足|m2|+0，且m，n恰好是等腰ABC的两条边的边长，则ABC的周长是10【分析】由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解【解答】解：|m2|+0，m20，n40，解得m2，n4，当m2作腰时，
20、三边为2，2，4，不符合三边关系定理；当n4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+410故答案为：10【点评】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质关键是根据非负数的性质求m、n的值，再根据m或n作为腰，分类求解16（3分）若，则【分析】根据已知式子，利用比例的合比性质对原式化简即可得出，即可直接求解【解答】解：原式【点评】注意观察要求的式子和已知的式子之间的关系，利用合比性质对比例式进行灵活变形17（3分）在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，如果AOB60，则AB：AC【分析】根据矩形对角线的性质可推出ABO为等边三角形，得出OAB60，得出ACB30，得出BCAB
21、，即可得出答案【解答】解：四边形ABCD是矩形，ACBD，AOAC，BOBD，AB90，AOBO，又AOB60，AOB是等边三角形，OAB60，ACB30，BCAB，AB：AC1：；故答案为：【点评】本题考查的是矩形的性质以及等边三角形的判定和性质，熟记矩形的性质，证明AOB是等边三角形是解题的关键18（3分）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5dm、3dm和1dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是13dm【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路将台阶展开得到的是一个矩
22、形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案【解答】解：将台阶展开，如图，因为AC33+1312，BC5，所以AB2AC2+BC2169，所以AB13（dm），所以蚂蚁爬行的最短线路为13dm答：蚂蚁爬行的最短线路为13dm故答案为：13【点评】此题主要考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关键三、解答题（本大题共8个小题，共66分）19（6分）计算：【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案【解答】解：原式4+13+24【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键20（6分
23、）先化简，再求值：（2x+y）2+（xy）（x+y）5x（xy），其中x+1，y1【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值【解答】解：原式4x2+4xy+y2+x2y25x2+5xy9xy，当x+1，y1时，原式9436【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键21（8分）某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节目进行了一次抽样调查（每名学生必须选择且只能选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图请你根据图中信息，回答下列
24、问题：（1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，求“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；（3）若该学校共有学生2000人，请问该学校大约有多少同学最喜爱“小品”节目？【分析】（1）根据喜爱相声的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，从而可以求得喜爱舞蹈的人数，进而可以将条形统计图补充完整；（2）根据条形统计图中的数据可以求得在扇形统计图中，求“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；（3）根据统计图中的数据可以计算出该学校大约有多少同学最喜爱“小品”节目【解答】解：（1）本次调查的学生有：1428%50（人），喜爱舞蹈的学生有：5020%10（人），补全的条形统计图如右图所示；（
25、2）在扇形统计图中，求“歌曲”所在扇形的圆心角的度数是：36072；（3）2000640（名），答：该学校大约有640名同学最喜爱“小品”节目【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答22（8分）如图，AEBF，AC平分BAE，交BF于点C，BD平分ABC，交AE于点D，连接CD（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB5，AC6，求AE，BF之间的距离【分析】（1）根据平行线的性质得出ADBDBC，DACBCA，根据角平分线定义得出DACBAC，ABDDBC，求出BACACB，ABDADB，根据等腰三角形的判定得出ABBCAD
26、，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案；（2）先求出BD的长，求出菱形的面积，即可求出答案【解答】（1）证明：AEBF，ADBDBC，DACBCA，AC、BD分别是BAD、ABC的平分线，DACBAC，ABDDBC，BACACB，ABDADB，ABBC，ABADADBC，ADBC，四边形ABCD是平行四边形，ADAB，四边形ABCD是菱形；（2）解：过A作AMBC于M，则AM的长是AE，BF之间的距离，四边形ABCD是菱形，ACBD，AOOCAC63，AB5，在RtAOB中，由勾股定理得：BO4，BD2BO8，菱形ABCD的面积为ACBD6824，四边形ABCD是菱
27、形，BCAB5，5AM24，AM，即AE，BF之间的距离是【点评】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定的应用，能熟记菱形的判定和性质是解此题的关键23（9分）某中学购买A、B品牌篮球分别花费了2400元、1950元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花50元（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？（2）该学校决定再次购进A、B两种品牌篮球共30个，恰逢百货商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了10%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买
28、A、B两种品牌篮球的总费用不超过3200元，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌篮球？【分析】（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+50）元，根据购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍列出方程解答即可；（2）设此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球（30a）个，根据购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3200元，列出不等式解决问题【解答】解：（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+50）元，由题意得2，解得：x80，经检验x80是原方程的解，x+50130答：购买一个A品牌的篮球需80元，购买一个B品牌的篮球需130元（2）设此次
29、可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球（30a）个，由题意得80（1+10%）（30a）+1300.9a3200，解得a19，a是整数，a最大等于19，答：该学校此次最多可购买19个B品牌蓝球【点评】此题考查分式方程与一元一次不等式的应用，找出题目蕴含的等量关系与不等关系是解决问题的关键24（9分）如图1，在等腰直角三角形ABC中，ACB90，ACBC4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点（点E不与端点A，C重合），且AECF（1）求证：ADECDF；（2）如图2，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GOOD，连接DE，DF，GE，GF求证：四边形EDFG是正方形（3）
30、当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？直接写出点E的位置及四边形EDFG面积的最小值【分析】（1）由等腰直角三角形的性质知AB45，结合D为AB中点知CDAB且ADBDCD，继而得ADCF，结合AECF即可证得全等；（2）首先证明四边形EDFG是平行四边形，再证明DEDF，EDF90即可；（3）根据垂线段最短即可解决问题【解答】解：（1）ACB90，ACBC4，AB45，点D是AB的中点，CDAB，且ADBDCD，DCB45，ADCF，又AECF，ADECDF（SAS）；（2）O是EF的中点，GOOD，四边形EDFG是平行四边形ADECDFDEDF，ADECDF由DEDF及四边形EDF
31、G是平行四边形知四边形EDFG是菱形，ADE+EDC90，EDC+CDFEDF90四边形EDFG是正方形（3）当DEAC时，线段DE的值最小，四边形EDFG的面积最小，最小值为4此时，E为线段AC的中点【点评】本题是四边形的综合问题，主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、垂线段最短等知识25（10分）综合与实践问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD2AB，E是AB延长线上一点，且BEAB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG，连接AM试判断线段AM与DE的位置关系探究展示：勤奋小组发现，AM垂
32、直平分DE，并展示了如下的证明方法：证明：BEAB，AE2ABAD2AB，ADAE四边形ABCD是矩形，ADBC（依据1）BEAB，EMDM即AM是ADE的DE边上的中线，又ADAE，AMDE（依据2）AM垂直平分DE反思交流：（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明；探索发现：（3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点
33、C，点B都在线段AE的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明【分析】（1）直接得出结论；借助问题情景即可得出结论；（2）先判断出BCE+BEC90，进而判断出BECBCG，得出GHCCBE，判断出ADBC，进而判断出HCBH，即可得出结论；（3）先判断出四边形BENM为矩形，进而得出1+290，再判断出13，得出ENFEBC，即可得出结论【解答】解：（1）依据1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（或平行线分线段成比例）依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高
34、互相重合（或等腰三角形的“三线合一”）答：点A在线段GF的垂直平分线上理由：由问题情景知，AMDE，四边形DEFG是正方形，DEFG，点A在线段GF的垂直平分线上（2）证明：过点G作GHBC于点H，四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，CBEABCGHC90，BCE+BEC90四边形CEFG为正方形，CGCE，GCE90，BCE+BCG90BECBCGGHCCBEHCBE，四边形ABCD是矩形，ADBCAD2AB，BEAB，BC2BE2HC，HCBHGH垂直平分BC点G在BC的垂直平分线上（3）答：点F在BC边的垂直平分线上（或点F在AD边的垂直平分线上）证法一：过点F作FMBC于点M，
35、过点E作ENFM于点NBMNENMENF90四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，CBEABC90，四边形BENM为矩形BMEN，BEN901+290四边形CEFG为正方形，EFEC，CEF902+39013CBEENF90，ENFEBCNEBEBMBE四边形ABCD是矩形，ADBCAD2AB，ABBEBC2BMBMMCFM垂直平分BC点F在BC边的垂直平分线上【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，构造全等三角形是解本题的关键26（10分）已知；如图1，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为，点C在y轴上，
36、OBC60（1）求点A的坐标；（2）如图2，连接AC，点P为ACD内一点，BP与AC交于点G，APB60，点E、F分别在线段AP、BP上，且BFAE若AFE30，求AF2+EF2的值；（3）如图3，在（2）的条件下，当PEAE时，试判断PAF形状并说明理由【分析】（1）由直角三角形的性质可求BC9，由菱形的ABBC9，即可求解；（2）如图2中，连接CE、CF想办法证明CEF是等边三角形，AFCF即可解决问题；（3）如图3中，延长CE交FA的延长线于H，在BP上截取BTPA，连接CH，CP，CT，通过证明PCT是等边三角形，可得CTPT，CPTCTP60，可得CPFH，即可得结论【解答】解：（1
37、）点B的坐标为，OB，BOC90，OBC60，OCB30，BC2OB9，四边形ABCD是菱形，ABBC9，OA，点A（，0）（2）如图2中，连接CE、CFOAOB，COAB，ACBC9，ABBCAC，ABC是等边三角形，ACB60，APB60，APBACB，PAG+APBAGBCBG+ACB，PAGCBG，且AEBF，ACBC，ACEBCF（SAS），CECF，ACEBCF，ECFACF+ACEACF+BCFACB60，CEF是等边三角形，CFE60，EFFC，AFE30，AFCAFE+CFE90，在RtACF中，AF2+CF2AC281，AF2+EF281；（3）APF是等边三角形，理由如下
38、：如图3中，延长CE交FA的延长线于H，在BP上截取BTPA，连接CH，CP，CT，CEF是等边三角形，CEF60，ECCFCF，AFE30，CEFH+EFH，HCEFEFH30，HEFH，EHEF，ECEH，且PEAE，PECAEH，CPEHAE（SAS），PCEH30，PCFH，CAPCBT，且ACBC，APBTACPBCT（SAS），CPCT，ACPBCT，PCTACB60，CPT是等边三角形，CTPT，CPTCTP60，CPFH，HFPCPT60，APB60，APF是等边三角形【点评】本题是四边形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题
