1、2018-2019学年广东省佛山一中高二（下）第一次段考数学试卷（文科）（4月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）点M的直角坐标是（1，），则点M的极坐标为（）A（2，）B（2，）C（2，）D（2，2k+）（kZ）2（5分）设点M的柱坐标为，则M的直角坐标是（）ABCD3（5分）极坐标系中，点A（1，），B（3，）之间的距离是（）ABCD4（5分）曲线C经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：x2+y21，则曲线C的方程为（）ABCD4x2+9y215（5分）在同一坐标系中，将曲线y2sin3x变为曲线ysinx的伸缩
2、变换公式是（）ABCD6（5分）在极坐标系中，圆8sin上的点到直线（R）距离的最大值是（）A4B7C1D67（5分）直线（t为参数）被曲线cos（+）所截的弦长为（）ABCD8（5分）将函数yf（x）图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，再把所得的图象沿x轴向右平移个单位，这样所得的曲线与y3sinx的图象相同，则函数yf（x）的表达式是（）ABCf（x）3sinxDf（x）3cos2x9（5分）曲线C的极坐标方程为cos+2（0，2），直线与曲线C交于A、B两点，则|AB|为（）A4BC8D10（5分）点P（x，y）是椭圆2x2+3y212上的一个动点，则x+2y的最大值为
3、（）ABCD11（5分）已知双曲线1（a0，b0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率为（）ABCD12（5分）已知函数f（x）ex（xb）（bR）若存在x，2，使得f（x）+xf（x）0，则实数b的取值范围是（）A（，）B（，）C（，）D（，+）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13（5分）某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持和不支持两种态度）的关系，运用22列联表进行独立性检验，经计算K27.069，则至少有 的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”附：P（K2k
4、0）0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.82814（5分）a+b1，a2+b23，a3+b34，a4+b47，a5+b511，则a9+b9 15（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线1（a0，b0）的右支与焦点为F的抛物线x22py（p0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 16（5分）设抛物线（t为参数，p0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E若|CF|2|AF|，且ACE的面积为3，则p的值为 三、解答题：本大题共6小题，共7
5、0分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）如图，在三棱锥中，点E、F分别为AC、AD的中点，ADCD，BABD（1）求证：EF平面BCD；（2）求证：平面EFB平面ABD18（12分）随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题某汽车销售公司作了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x与所支出的总费用y（万元）有如表的数据资料：使用年限x23456总费用y2.23.85.56.57.0（1）在给出的坐标系中做出散点图；（2）求线性回归方程x+中的、；（3）估
6、计使用年限为12年时，车的使用总费用是多少？（最小二乘法求线性回归方程系数公式，）19（12分）已知函数f（x）x2lnx（1）求曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间20（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点（1，0），倾斜角为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若，设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|（3）在（2）条件下，求AOB的面积21（12分）在直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为；以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆E的极坐标方程
7、为16sin（1）求椭圆C的极坐标方程，及圆E的普通方程；（2）若动点M在椭圆C上，动点N在圆E上，求|MN|的最大值；（3）若射线分别与椭圆C交于点P、Q，求证：为定值22（12分）如图，已知椭圆C：1（ab0）的离心率是，一个顶点是B（0，1）（）求椭圆C的方程；（）设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BPBQ试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由2018-2019学年广东省佛山一中高二（下）第一次段考数学试卷（文科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5
8、分）点M的直角坐标是（1，），则点M的极坐标为（）A（2，）B（2，）C（2，）D（2，2k+）（kZ）【分析】利用直角坐标与极坐标互化公式即可得出【解答】解：点M的直角坐标是（1，），则点M的极坐标2，tan，可得极坐标为故选：B【点评】本题考查了直角坐标与极坐标互化公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2（5分）设点M的柱坐标为，则M的直角坐标是（）ABCD【分析】柱面坐标（，Z）转化为直角坐标（x，y，z）时的变换公式为，套用此公式即可解决本题【解答】解：点M的柱坐标为，设M的直角坐标为（x，y，z），M的坐标为：故选：B【点评】本题考查了柱坐标系的建立方法及柱坐标的意义，会将柱坐标
9、变换为直角坐标，属基础题3（5分）极坐标系中，点A（1，），B（3，）之间的距离是（）ABCD【分析】利用余弦定理即可得出【解答】解：AOB|AB|故选：C【点评】本题考查了极坐标的应用、余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4（5分）曲线C经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：x2+y21，则曲线C的方程为（）ABCD4x2+9y21【分析】直角坐标系中的伸缩变换只要是利用变换前的关系式，变换关系，变换后的关系式，只要知道其中的两个变量就可以求出点三个变量本题知道第二、第三个变量求第一个变量【解答】解：曲线C经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：x2+y21，把代入得到：故选：A【点评
10、】本题考查的知识要点：直角坐标系中的函数关系式的伸缩变换，属于基础题型5（5分）在同一坐标系中，将曲线y2sin3x变为曲线ysinx的伸缩变换公式是（）ABCD【分析】首先设出伸缩变换关系式，然后利用变换前的方程，把伸缩变换关系式代入变换后的方程，利用系数对应相等，求出相应的结果【解答】解：将曲线y2sin3x经过伸缩变换变为ysinx 即ysinx设伸缩变换公式是 把伸缩变换关系式代入式得：ysinx与的系数对应相等得到：变换关系式为： 故选：C【点评】本题考查的知识点：变换前的方程，伸缩变换关系式，变换后的方程，知道其中的两个量可以求出第三个变量6（5分）在极坐标系中，圆8sin上的点到
11、直线（R）距离的最大值是（）A4B7C1D6【分析】把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，即可得出最大值d+r【解答】解：圆8sin，即28sin，化为直角坐标方程：x2+y28y，配方为：x2+（y4）216可得圆心C（0，4），半径r4直线（R）化为直角坐标方程：yx圆心C到直线的距离d2，因此圆8sin上的点到直线（R）距离的最大值2+46故选：D【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7（5分）直线（t为参数）被曲线cos（+）所截的弦长为（）ABCD【分析】直线（t为参数），消去参数t化为普通
12、方程曲线cos（+），利用2x2+y2，xcos，ysin，可得直角坐标方程求出圆心到直线的距离，可得直线被曲线C所截的弦长【解答】解：直线（t为参数），消去参数化为：3x4y70曲线cos（+）即2cossin，化为直角坐标方程：x2+y2xy，配方为：（x）2+（y+）2，可得圆心C（，），半径r圆心到直线的距离d，可得直线被曲线C所截的弦长为2故选：A【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8（5分）将函数yf（x）图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，再把所得的图象沿x轴向右平移个单位
13、，这样所得的曲线与y3sinx的图象相同，则函数yf（x）的表达式是（）ABCf（x）3sinxDf（x）3cos2x【分析】由题意根据函数yAsin（x+）的图象变换规律，可得结论【解答】解：由题意可得，把y3sinx的图象沿x轴向左平移个单位可得函数y3sin（x+）的图象，再把所得图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，可得函数f（x）3sin（2x+）3cos2x的图象，故选：D【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，注意图象变换的可逆性，属于基础题9（5分）曲线C的极坐标方程为cos+2（0，2），直线与曲线C交于A、B两点，则|AB|为（）A4BC8D【
14、分析】曲线C的极坐标方程为cos+2（0，2），0时，把，分别代入可得：1，2可得|AB|1+2【解答】解：曲线C的极坐标方程为cos+2（0，2），0时，把，分别代入可得：1，2则|AB|1+2+8故选：C【点评】本题考查了极坐标方程的应用、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10（5分）点P（x，y）是椭圆2x2+3y212上的一个动点，则x+2y的最大值为（）ABCD【分析】由椭圆2x2+3y212化为，设，y2sin，利用两角和差的正弦公式及正弦函数的单调性即可得出【解答】解：由椭圆2x2+3y212化为，设，y2sin，x+2y，其中x+2y的最大值为故选：D【点评】本
15、题考查了椭圆的标准方程、两角和差的正弦公式及正弦函数的单调性，属于中档题11（5分）已知双曲线1（a0，b0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率为（）ABCD【分析】由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可得2b2ca4，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值【解答】解：由题意可得A1（a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，b），F1（c，0），F2（c，0），且a2+b2c2，菱形F1B1F2B2的边长为，由以A1A2为直径的圆内切于菱形F1
16、B1F2B2，运用面积相等，可得2b2ca4，即为b2c2a2（b2+c2），即有c4+a43a2c20，由e，可得e43e2+10，解得e2，可得e，（舍去）故选：A【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用圆内切等积法，考查化简整理的运算能力，属于中档题12（5分）已知函数f（x）ex（xb）（bR）若存在x，2，使得f（x）+xf（x）0，则实数b的取值范围是（）A（，）B（，）C（，）D（，+）【分析】求出f（x），问题转化为b在，2恒成立，令g（x），x，2，求出b的范围即可【解答】解：f（x）ex（xb），f（x）ex（xb+1），若存在x，2，使得f（x）+xf（x）0，则若
17、存在x，2，使得ex（xb）+xex（xb+1）0，即存在x，2，使得b成立，令g（x），x，2，则g（x）0，g（x）在，2递增，g（x）最大值g（2），故b，故选：A【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13（5分）某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持和不支持两种态度）的关系，运用22列联表进行独立性检验，经计算K27.069，则至少有99%的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”附：P（K2k0）0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.02
18、46.63510.828【分析】把观测值同临界值进行比较得到有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系【解答】解：K27.0696.635，对照表格：P（k2k0）0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系故答案为：99%【点评】本题考查独立性检验，解题时注意利用表格数据与观测值比较，这是一个基础题14（5分）a+b1，a2+b23，a3+b34，a4+b47，a5+b511，则a9+b976【分析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，然后根据归纳推理即可得到结论【解答】解：观察
19、可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第9项继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，第9项为76，即a9+b976，故答案为：76；【点评】本题主要考查归纳推理的应用，根据已知条件得到数列取值的规律性是解决本题的关键考查学生的观察能力15（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线1（a0，b0）的右支与焦点为F的抛物线x22py（p0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为yx【分析】把x22py（p0）代入双曲线1（a0，b0），可得：a2y22pb2y+a2b20
20、，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出【解答】解：把x22py（p0）代入双曲线1（a0，b0），可得：a2y22pb2y+a2b20，yA+yB，|AF|+|BF|4|OF|，yA+yB+24，p，该双曲线的渐近线方程为：yx故答案为：yx【点评】本题考查了抛物线与双曲线的标准方程定义及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（5分）设抛物线（t为参数，p0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E若|CF|2|AF|，且ACE的面积为3，则p的值为【分析】化简参数方程为普通方程，求出F
21、与l的方程，然后求解A的坐标，利用三角形的面积列出方程，求解即可【解答】解：抛物线（t为参数，p0）的普通方程为：y22px焦点为F（，0），如图：过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E|CF|2|AF|，|CF|3p，|AB|AF|p，A（p，），ACE的面积为3，可得SACE即：3，解得p故答案为：【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的参数方程的应用，考查分析问题解决问题的能力三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）如图，在三棱锥中，点E、F分别为AC、AD的中点，ADCD，BABD（1
22、）求证：EF平面BCD；（2）求证：平面EFB平面ABD【分析】（1）推导出EFCD，由此能证明EF平面BCD（2）推导出EFAD，BFAD，AD平面EFB，由此能证明平面EFB平面ABD【解答】证明：（1）在ACD中，A，F是AC，AD的中点，EFCD，EF平面BCD，CD平面BCD，EF平面BCD（2）在ACD中，ADCD，EFCD，EFAD，在ABD中，BABD，F为AD的中点，BFAD，EF平面EFB，BF平面EFB，且EFBFF，AD平面EFB，AD平面ABD，平面EFB平面ABD【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算
23、求解能力，考查数形结合思想，是中档题18（12分）随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题某汽车销售公司作了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x与所支出的总费用y（万元）有如表的数据资料：使用年限x23456总费用y2.23.85.56.57.0（1）在给出的坐标系中做出散点图；（2）求线性回归方程x+中的、；（3）估计使用年限为12年时，车的使用总费用是多少？（最小二乘法求线性回归方程系数公式，）【分析】（1）利用描点法作出散点图；（2）把数据代入公式，利用最小二乘法求回
24、归方程的系数，可得回归直线方程；（3）把x12代入回归方程得y值，即为预报变量【解答】解：（1）散点图如图，由图知y与x间有线性相关关系；（2）4，5， xiyi112.3，90，1.23；x51.2340.08（3）线性回归直线方程是1.23x+0.08，当x12（年）时，1.2312+0.0814.84（万元）即估计使用12年时，支出总费用是14.84万元【点评】本题考查了线性回归直线方程的求法及利用回归方程估计预报变量，解答此类问题的关键是利用公式求回归方程的系数，计算要细心19（12分）已知函数f（x）x2lnx（1）求曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）求函数f（x）的
25、单调区间【分析】（1）求函数的导数，利用直线的点斜式可求曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）利用导函数大于或小于0，可求函数f（x）的单调区间【解答】解：函数f（x）x2lnx（1）依题意，函数f（x）的定义域为（0，+），且f（x）2x所以：f（1）211，f（1）1所以曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为：y1x1；即：yx；（2）依题意，函数f（x）的定义域为（0，+），且f（x）2x，令f（x）0，解得：x，或x，令f（x）0，解得：0x，故函数f（x）的单调增区间为：（，+），函数的单调递减区间为：（0，）故答案为：（1）曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线方
26、程：yx；（2）f（x）的单调增区间为：（，+），函数的单调递减区间为：（0，）【点评】本题主要考查导数法研究函数的切线方程、函数的单调性和单调区间，属于中档题20（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点（1，0），倾斜角为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若，设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|（3）在（2）条件下，求AOB的面积【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换（2）利用一元二次方程根和系数关系式求出结果（3）利用点到直线的距离公式的应用求
27、出三角形的面积【解答】解：（1）直线l过点（1，0），倾斜角为，直线L的参数方程为：（t为参数）曲线C的极坐标方程是，即（sin）28cos，整理得曲线C的直角坐标方程为：y28x（2）当时，直线l的参数方程为：（t为参数），把直线的参数方程代入y28x，得到：（t1和t2为A、B对应的参数），所以：，t1t216所以：|AB|t1t2|8（3）O到AB的距离为：则：【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型21（12分）在直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为；以原点O为极点，以x轴正半
28、轴为极轴建立极坐标系，圆E的极坐标方程为16sin（1）求椭圆C的极坐标方程，及圆E的普通方程；（2）若动点M在椭圆C上，动点N在圆E上，求|MN|的最大值；（3）若射线分别与椭圆C交于点P、Q，求证：为定值【分析】（1）直接利用转换关系式求出结果（2）利用圆的关系式求出最大值（3）利用极径的应用和三角函数关系式的变换求出结果【解答】解 （1）椭圆C的方程为；椭圆C化为普通方程为：；将xcos，ysin代入的C的极坐标方程为：圆E的极坐标方程为16sin转换为直角坐标方程为：x2+（y8）264（2）由（1）知圆心为E（0.8），半径为8，利用椭圆参数方程，设M（3cos，sin）：得，当si
29、n1时，|MN|max|ME|max+89+817（3）椭圆C极坐标方程：，因为射线射线互相垂直，即OPOQ，所有设：P（1，）Q（），所以|OP|1，|OQ|2为定值【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型22（12分）如图，已知椭圆C：1（ab0）的离心率是，一个顶点是B（0，1）（）求椭圆C的方程；（）设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BPBQ试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由【分析】（）设椭圆C的半焦距为c求
30、出b利用离心率求出a，即可求解椭圆C的方程（）证法一：直线PQ的斜率存在，设其方程为ykx+m将直线PQ的方程代入x2+4y24，消去y，设 P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理，通过BPBQ，化简求出5m22m30，求出m，即可得到直线PQ恒过的定点证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为ykx+1，将直线BP的方程代入x2+4y24，消去y，解得x，设 P（x1，y1），转化求出P的坐标，求出Q坐标，求出直线PQ的方程利用直线系方程求出定点坐标【解答】（本小题满分14分）（）解：设椭圆C的半焦距为c依题意，得b1，（1分）且 ，（3分）解得 a24（4分）所以，椭
31、圆C的方程是（5分）（）证法一：易知，直线PQ的斜率存在，设其方程为ykx+m（6分）将直线PQ的方程代入x2+4y24，消去y，整理得 （1+4k2）x2+8kmx+4m240（8分）设 P（x1，y1），Q（x2，y2），则 ，（9分）因为 BPBQ，且直线BP，BQ的斜率均存在，所以 ，整理得 x1x2+y1y2（y1+y2）+10（10分）因为 y1kx1+m，y2kx2+m，所以 y1+y2k（x1+x2）+2m，将代入，整理得（11分）将代入，整理得 5m22m30（13分）解得 ，或m1（舍去）所以，直线PQ恒过定点（14分）证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为ykx+1（6分）将直线BP的方程代入x2+4y24，消去y，得 （1+4k2）x2+8kx0（8分）解得 x0，或（9分）设 P（x1，y1），所以，所以 （10分）以替换点P坐标中的k，可得 （11分）从而，直线PQ的方程是 依题意，若直线PQ过定点，则定点必定在y轴上（13分）在上述方程中，令x0，解得所以，直线PQ恒过定点（14分）【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，难度比较大，是压轴题
