1、2018-2019学年广东省潮州市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）复数z（1+i）2i（i为虚数单位）等于（）A2B2iC2D2i2（5分）一位母亲根据儿子39岁身高的数据建立了身高y（cm）与年龄x（岁）的回归模型为7.19x+73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（）A身高在145.83cm左右B身高一定是145.83cmC身高在145.83cm以上D身高在145.83cm以下3（5分）“四边形ABCD为矩形，四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提为（）A正方形都是对角线相等的四边形B矩形都是
2、对角线相等的四边形C等腰梯形都是对角线相等的四边形D矩形都是对边平行且相等的四边形4（5分）已知数列an是等比数列，若a11，a516，则a3的值为（）A4B4或4C2D2或25（5分）在某项测量中，测量结果XN（0，2），且0，若X在（0，1）内取值的概率为0.3，则X在（1，+）内取值的概率为（）A0.1B0.2C0.3D0.46（5分）在平面直角坐标系中，由坐标轴和曲线ycosx（0x）所围成的图形的面积为（）A2BC3D47（5分）欧拉公式eixcosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数
3、论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限8（5分）函数y4x+1的图象是（）ABCD9（5分）某同学通过英语听力测试的概率为，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值是（）A3B4C5D610（5分）函数f（x）lnxax在区间（1，5）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A（，1）B（，1C（，）D（，11（5分）不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数（）A成等比数列而非等差数列B成等差数列而非
4、等比数列C既成等差数列又成等比数列D既非等差数列又非等比数列12（5分）当x（，1）时，函数f（x）xlnx，则下列大小关系正确的是（）Af（x）2f（x2）f（x）Bf（x2）f（x）2f（x）Cf（x）f（x2）f（x）2Df（x2）f（x）f（x）2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）在（1+x）n（nN*）的二项展开式中，若只有x5系数最大，则n 14（5分）函数y4x2+（x0）的最小值为 15（5分）从字母a，b，c，d，e，f中选出4个字母排成一排，其中一定要选出a和b，并且它们必须相邻（a在b前面），共有排列方法 种16（5分）已知yf（x）为R上的连
5、续可导函数，当x0时，f（x）+0，则函数g（x）f（x）+的零点有 个三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答要写出证明过程或解题步骤）17（12分）在二项式（+x3）n（nN*）的展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等（1）求n的值，并求所有项的二项式系数的和；（2）求展开式中的常数项18（12分）某超市为了解气温对某产品销售量的影响，随机记录了该超市12月份中5天的日销售量y（单位：千克）与该地当日最低气温x（单位：C）的数据，如表所示：x257912y1210986（1）求y关于x的线性回归方程x+；（精确到0.001）（2）判断y与x之间是正相关还是负相关；若该地12月份某天的最
6、低气温为6C，请用（1）中的回归方程预测该超市当日的销售量参考公式：b，ab参考数据：xiyi212+510+79+98+126281，22+52+72+92+12230319（12分）在各项均为正数的数列an中，a1a且an+1（1）当a32时，求a的值；（2）求证：当n2时，an+1an20（12分）某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研：项目A：通信设备根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为：获利40%、损失20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，a项目B：新能源汽车根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为：获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b，c经测算，当
7、投入A，B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益（即数学期望）也相等（1）求a，b，c的值；（2）若将100万元全部投到其中的一个项目，请你从投资回报稳定性考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由21（12分）已知函数f（x）（x22x）ekx（kR，e为自然对数的底数）（1）若k1，求函数f（x）的单调区间；（2）在（1）的条件下，求函数f（x）在区间0，m上的最大值和最小值请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数）现以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极
8、坐标系，曲线C的极坐标方程为6cos（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若点P坐标为（1，0），直线l交曲线C于A，B两点，求|PA|+|PB|的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x4|+|x+1|，xR（1）解不等式f（x）9；（2）若方程f（x）x2+a在区间0，2有解，求实数a的取值范围2018-2019学年广东省潮州市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）复数z（1+i）2i（i为虚数单位）等于（）A2B2iC2D2i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算求解即可【解答】解：z（1
9、+i）2i2ii2故选：C【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题2（5分）一位母亲根据儿子39岁身高的数据建立了身高y（cm）与年龄x（岁）的回归模型为7.19x+73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（）A身高在145.83cm左右B身高一定是145.83cmC身高在145.83cm以上D身高在145.83cm以下【分析】根据回归方程计算x10时y的值，即可估计这个孩子10岁时的身高【解答】解：估计回归直线方程y7.19x+73.93，计算x10时，y7.1910+73.93145.83，由此预测这个孩子10岁时的身高在145.83cm左右故选：A【点评
10、】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题3（5分）“四边形ABCD为矩形，四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提为（）A正方形都是对角线相等的四边形B矩形都是对角线相等的四边形C等腰梯形都是对角线相等的四边形D矩形都是对边平行且相等的四边形【分析】用三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，由四边形ABCD为矩形，得到四边形ABCD的对角线相等的结论，得到大前提【解答】解：用三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，由四边形ABCD为矩形，得到四边形ABCD的对角线相等的结论，大前提一定是矩形的对角线相等，故选：B【点评】本题考查用三段论形式推导一个
11、命题成立，要求我们填写大前提，这是常见的一种考查形式，三段论中所包含的三部分，每一部分都可以作为考查的内容4（5分）已知数列an是等比数列，若a11，a516，则a3的值为（）A4B4或4C2D2或2【分析】根据题意，设数列an的公比为q，由等比数列的通项公式可得q416，变形可得q24，又由a3a1q2，计算可得答案【解答】解：根据题意，数列an是等比数列，设其公比为q，若a11，a516，则q416，解可得：q24，则a3a1q24；故选：A【点评】本题考查等比数列的性质以及通项公式，注意分析a3的符号5（5分）在某项测量中，测量结果XN（0，2），且0，若X在（0，1）内取值的概率为0.
12、3，则X在（1，+）内取值的概率为（）A0.1B0.2C0.3D0.4【分析】根据服从正态分布N（0，2），得到正态分布图象的对称轴为x0，根据在（0，1）内取值的概率为0.3，利用在对称轴为x0右侧的概率为0.5，即可得出答案【解答】解：测量结果服从正态分布N（0，2），正态分布图象的对称轴为x0，在（0，1）内取值的概率为0.3，随机变量在（1，+）上取值的概率为0.50.30.2故选：B【点评】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、概率的基本性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题6（5分）在平面直角坐标系中，由坐标轴和曲线ycosx（0x）所围成的图形的面积为（）A2
13、BC3D4【分析】由已知直接利用等积法求解【解答】解：依题意得，所求面积等于3sinx故选：C【点评】本题考查定积分的求法，考查数学转化思想方法，是基础题7（5分）欧拉公式eixcosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】e2icos2+isin2，根据2，即可判断出【解答】解：e2icos2+isin2，2，cos2（1，0），sin2（0，1），e
14、2i表示的复数在复平面中位于第二象限故选：B【点评】本题考查了复数的欧拉公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8（5分）函数y4x+1的图象是（）ABCD【分析】根据已知中函数的解析式，利用导数法分析出函数的单调性及极值，比照四个答案函数的图象，可得答案【解答】解：函数y4x+1，yx24，令y0，则x2，当x2时，y0，函数为增函数，当2x2时，y0，函数为减函数，当x2时，y0，函数为增函数，故当x2时，函数取极大值，当x2时，函数取极小值分析四个答案中的图象，可得仅有A符合条件，故选：A【点评】本题考查的知识点是函数的图象，分析出函数的单调性，极值点是解答的关
15、键9（5分）某同学通过英语听力测试的概率为，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值是（）A3B4C5D6【分析】由题意利用n此独立试验中恰好发生k的概率计算公式，求得结果【解答】解：由题意可得，10.9，求得0.1，n4，故选：B【点评】本题主要考查n此独立试验中恰好发生k的概率计算公式的应用，属于基础题10（5分）函数f（x）lnxax在区间（1，5）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A（，1）B（，1C（，）D（，【分析】求出函数的导数，利用导函数的符号，转化求解函数的单调性即可【解答】解：函数f（x）lnxax，可得f（x），故据题意可得问题等价于（1，
16、5）上0恒成立，故只需f（5）a0，解得a故选：D【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，函数恒成立体积的转化11（5分）不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数（）A成等比数列而非等差数列B成等差数列而非等比数列C既成等差数列又成等比数列D既非等差数列又非等比数列【分析】因为就研究三项，所以可用等差中项和等比中项的定义来推导即可【解答】解：b2x2b2abb（ab），y2b2bcb2b（cb）abcb，b2x2y2b2，故x2、b2、y2三个数成等差数列若x2、b2、y2三个数成等比数列，b4x2y2
17、，b2ac，ac与题意矛盾故选：B【点评】本题主要考查等差中项：x，A，y成等差数列2Ax+y，等比中项：x、G、y成等比数列G2xy12（5分）当x（，1）时，函数f（x）xlnx，则下列大小关系正确的是（）Af（x）2f（x2）f（x）Bf（x2）f（x）2f（x）Cf（x）f（x2）f（x）2Df（x2）f（x）f（x）2【分析】求导数得出f（x）1+lnx，从而得出f（x）在上单调递增，而根据即可得出x2x，从而得出f（x2）f（x）0，从而得出选项D正确【解答】解：f（x）1+lnx；f（x）在上单调递增；x2x；f（x2）f（x）0；又f（x）20；f（x2）f（x）f（x）2故选
18、：D【点评】考查增函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及积的函数的求导二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）在（1+x）n（nN*）的二项展开式中，若只有x5系数最大，则n10【分析】求出x5的系数，据展开式中中间项的二项式系数最大，求出n的值【解答】解：（1+x）n（nN*）的展开式通项为Tr+1nrxr当r5时，n5值最大所以n5是展开式中最大的二项式系数所以n10故答案为10【点评】解决二项式系数的最值问题常利用结论：二项展开式中中间项的二项式系数最大14（5分）函数y4x2+（x0）的最小值为3【分析】对函数求导，然后判断单调性，在求出最小值即可【解
19、答】解：y4x2+（x0）y令y0，解得令y0，解得即原函数在递减，在递增，故x时取得最小值3，故答案为：3【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属基础题15（5分）从字母a，b，c，d，e，f中选出4个字母排成一排，其中一定要选出a和b，并且它们必须相邻（a在b前面），共有排列方法36种【分析】再从剩余的4个字母中选取2个，再将这2个字母和整体ab进行排列，根据分步计数原理求得结果【解答】解：由于ab已经选出，故再从剩余的4个字母中选取2个，方法有6种，再将这2个字母和整体ab进行排列，方法有6种，根据分步计数原理求得所有的排列方法共有 6636种，故选：A【点评】本题主要考查排
20、列与组合及两个基本原理的应用，属于中档题16（5分）已知yf（x）为R上的连续可导函数，当x0时，f（x）+0，则函数g（x）f（x）+的零点有0个【分析】令0得f（x），即xf（x）1，然后利用导数研究函数xf（x）的单调性和极值，即可得到结论【解答】解：令0，得f（x），即xf（x）1，即零点满足此等式不妨设h（x）xf（x），则h（x）f（x）+xf（x）当x0时，当x0时，即当x0时，xf（x）+f（x）0，即h（x）0，此时函数h（x）单调递增，当x0时，xf（x）+f（x）0，即h（x）0，此时函数h（x）单调递减，当x0时，函数h（x）取得极小值，同时也是最小值h（0）0，当x0
21、时，h（x）0，h（x）1无解，即xf（x）1无解即函数的零点个数为0个故答案为：0【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性和极值是解决本题的关键，综合性较强，涉及的知识点较多三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答要写出证明过程或解题步骤）17（12分）在二项式（+x3）n（nN*）的展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等（1）求n的值，并求所有项的二项式系数的和；（2）求展开式中的常数项【分析】（1）由题意利用二项展开式的通项公式，求出n的值，可得所有项的二项式系数的和（2）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数
22、项【解答】解：（1）二项式（+x3）n（nN*）的展开式的通项公式为 Tr+12nrx4rn，由已知得 2n22n3，即2，求得n8所有二项式系数的和为28256（2）展开式中的通项公式为 Tr+12nrx4rn28rx4r8，若它为常数项时，4r80，求得r2，所以常数项是T3261792【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题18（12分）某超市为了解气温对某产品销售量的影响，随机记录了该超市12月份中5天的日销售量y（单位：千克）与该地当日最低气温x（单位：C）的数据，如表所示：x257912y1210986（1）求y关于x的线性回归方程x
23、+；（精确到0.001）（2）判断y与x之间是正相关还是负相关；若该地12月份某天的最低气温为6C，请用（1）中的回归方程预测该超市当日的销售量参考公式：b，ab参考数据：xiyi212+510+79+98+126281，22+52+72+92+122303【分析】（1）由已知求得与，则y关于x的线性回归方程可求；（2）由0，可知y与x负相关，将x6代入，求得y值即可【解答】解：（1）由题目条件可得，0.586，故y关于x的线性回归方程为；（2）由0，可知y与x负相关将x6代入，得据此预测该超市当日的销售量为9.586千克【点评】本题考查线性回归方程，考查计算能力，是中档题19（12分）在各项
24、均为正数的数列an中，a1a且an+1（1）当a32时，求a的值；（2）求证：当n2时，an+1an【分析】（1）推导出2，解得a22，从而2，由此能求出a的值（2）要证n2 时，an+1an，（an0），只需证1，只需证4，只需证an2，根据基本不等式能证明当n2时，an+1an【解答】解：（1）在各项均为正数的数列an中，a1a且an+1，a32，2，解得a22，2，解得a2证明：（2）要证n2 时，an+1an，（an0），只需证1，只需证1，只需证1，只需证4，只需证an2，根据基本不等式得22，当n2时，an+1an【点评】本题考查实数值的求法，考查数列的递推公式、递推思想等基础知识
25、，考查运算求解能力，是中档题20（12分）某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研：项目A：通信设备根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为：获利40%、损失20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，a项目B：新能源汽车根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为：获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b，c经测算，当投入A，B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益（即数学期望）也相等（1）求a，b，c的值；（2）若将100万元全部投到其中的一个项目，请你从投资回报稳定性考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由【分析】（1）根据概率和为1列方程求得a的值，再利用分布列
26、和数学期望列方程组求得b、c的值；（2）计算均值与方差，比较即可得出结论【解答】解：（1）依题意，+a1，解得a；设投入到项目A、B的资金都为x万元，变量X1和X2分别表示投资项目A和B所获得的利润，则X1的分布列为：X10.4x0.2x0 PX2的分布列为：X20.3x0.1xPbc由分布列计算EX10.4x+（0.2x）+00.2x，EX20.3bx0.1cx，因为EX1EX2，所以0.3bx0.1cx0.2x，即0.3b0.1c0.2，又b+c1，解得b，c；综上知a，b，c；（2）当投入100万元资金时，由（1）知x100，所以EX1EX220，DX1（4020）2+（2020）2+（
27、020）2600，DX2（3020）2+（1020）2300，因为DX1DX2，说明虽然项目A和项目B的平均收益相等，但项目B更稳妥，所以从风险控制角度，建议该投资公司选择项目B【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望和方差的计算问题，是中档题21（12分）已知函数f（x）（x22x）ekx（kR，e为自然对数的底数）（1）若k1，求函数f（x）的单调区间；（2）在（1）的条件下，求函数f（x）在区间0，m上的最大值和最小值【分析】（1）将k1代入函数f（x）中，求出导函数大于零求出递增区间，导函数小于零求出递减区间；（2）因为当m等于2时，函数值会出现相等的情况可分0m和，和m2三
28、种情况分别判断f（x）在0，m上的单调性，然后求出最大值和最小值【解答】解：（1）若k1，则f（x）（x22x）ex，求导得f（x）ex（x22），ex0，令f（x）ex（x22）0，即（x22）0，解得或令f（x）ex（x22）0，即（x22）0，解得，函数f（x）在和上递增，在上递减即函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）当时，f（x）在上递减，f（x）在区间0，m上的最大值为f（0）0，f（x）在区间0，m上的最小值为f（m）（m22m）em，当时，f（x）在上递减，f（x）在上递增，且f（0）f（2）0，f（x）在0，m上的最大值为f（0）0，f（x）在区间0，m上的最小
29、值为，当m2时，f（x）在上递减，f（x）在上递增，且f（m）0f（0），f（x）在0，m上的最大值为f（m）（m22m）em，f（x）在区间0，m上的最小值为【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数）现以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为6cos（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若点P坐标为（1，0），直线l交曲线C于A，B两点
30、，求|PA|+|PB|的值【分析】1直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程；曲线C的极坐标方程转化为26cos，由此能求出曲线C的直角坐标方程（2）直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得0，由此能求出|PA|+|PB|的值【解答】解：（1）直线l的参数方程为（其中t为参数）直线l的普通方程为xy+10曲线C的极坐标方程为6cos，即26cos，曲线C的直角坐标方程为x2+y26x，即（x3）2+y29（2）直线l的参数方程为（其中t为参数）代入曲线C的直角坐标方程（x3）2+y29得：（t4）2+（）29，整理，得0，40，t1t27，t1+t24，|PA|+|PB|t1+t
31、2|4【点评】本题考查直线的普通方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查两线段和的求法，考查直角坐标方程、参数方程、检坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x4|+|x+1|，xR（1）解不等式f（x）9；（2）若方程f（x）x2+a在区间0，2有解，求实数a的取值范围【分析】（1）通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；（2）根据题意，原问题可以等价函数ya和函数yx2x+5图象在区间0，2上有交点，结合二次函数的性质分析函数yx2x+5的值域，即可得答案【解答】解：（1）f（x）9可化为|2x4|+|x+1|9，故，或，或；（2分）解得：2x4，或1x2，或2x1； （4分）不等式的解集为2，4；（5分）（2）由题意：f（x）x2+aax2x+5，x0，2故方程f（x）x2+a在区间0，2有解函数ya和函数yx2x+5，图象在区间0，2上有交点当x0，2时，yx2x+5，7，实数a的取值范围是，7（10分）【点评】本题考查绝对值不等式的性质以及应用，注意零点分段讨论法的应用，属于中档题
