1、2018-2019学年广东省深圳市四校发展联盟体高二（下）期中数学试卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知i为虚数单位，复数z满足，则复数z的虚部为（）A2iB2C2iD22（5分）“x1”是“x21”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3（5分）在空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM2MA，N为BC的中点，则等于（）A+B+CD4（5分）在等差数列an中，已知a22，前7项和S756，则公差d（）A2B3C2D35（5分）观察下列各式：a+b1，a2+b2
2、3，a3+b34，a4+b47，a5+b511，则a10+b10（）A28B76C123D1996（5分）设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么|PF|（）A4B8C16D87（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2b22bc，sinC3sinB，则A（）ABCD8（5分）由曲线y，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为（）AB4CD69（5分）已知a0，b0，a+b2，则的最小值是（）AB4CD510（5分）如果不等式ax2+bx+c0的解集是x|x2或x4，那么对于函数f（x）ax2+bx+c应有（）Af（
3、5）f（2）f（1）Bf（5）f（1）f（2）Cf（1）f（2）f（5）Df（2）f（5）f（1）11（5分）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且其中的一个焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为，则双曲线的离心率为（）A2B3CD12（5分）已知函数f（x）为定义在（，+）上的可导函数，且f（x）f（x）对于xR恒成立，且e为自然对数的底数，则（）Af（1）ef（0）、f（2019）e2019f（0）Bf（1）ef（0）、f（2019）e2019f（0）Cf（1）ef（0）、f（2019）e2019f（0）Df（1）ef（0）、f（2019）e2019f（0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分
4、，共20分）13（5分）曲线在点（1，1）处的切线方程为 14（5分）已知实数x，y满足，则z3x+5y的最大值等于 15（5分）经过点M（2，1）作直线l交于双曲线x21于A，B两点，且M为AB的中点，则直线l的方程为 16（5分）在ABC中，若ACBC，ACb，BCa，则ABC的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体SABC中，若SA、SB、SC两两互相垂直，SAa，SBb，SCc，则四面体SABC的外接球半径R 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）在ABC中，（1）求sinB的值；（2）求ABC的面积18（1
5、2分）已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn2an1（1）求数列an的通项公式an；（2）令bn，求数列bn的前n项和Tn；19（12分）已知函数f（x）x（xc）2在x2处有极小值（1）求c的值；（2）若关于x的方程f（x）a有三个不同的实数根，求实数a的取值范围20（12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，ABAC1，AA12，D、E分别为AA1、B1C的中点（1）求DE的长；（2）证明：DE平面BCC1；（3）求二面角DBCC1的余弦值21（12分）已知椭圆的离心率，过其右焦点F（1，0）且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于A，B两点（1）求椭圆C的方程；（2）O为坐标原点
6、，在x轴上是否存在点D，使得点O到直线DA，DB的距离总相等？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由22（12分）已知函数f（x）ln（1+x），kR（1）讨论f（x）的单调区间；（2）当k1时，求f（x）在0，+）上的最小值，并证明+ln（1+n）2018-2019学年广东省深圳市四校发展联盟体高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知i为虚数单位，复数z满足，则复数z的虚部为（）A2iB2C2iD2【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由，得复
7、数z的虚部为2故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2（5分）“x1”是“x21”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由x21得x1或x1，故“x1”是“x21”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础3（5分）在空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM2MA，N为BC的中点，则等于（）A+B+CD【分析】由题意结合图形，直接利用，求出，然后即可解答【解答】解：因为空间四边形OABC如图，点M在线段OA上，且O
8、M2MA，N为BC的中点，所以所以故选：B【点评】本题考查空间向量的基本运算，考查计算能力4（5分）在等差数列an中，已知a22，前7项和S756，则公差d（）A2B3C2D3【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求a1，d【解答】解：等差数列an中，a22，S756，解可得，a11，d3，故选：B【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题5（5分）观察下列各式：a+b1，a2+b23，a3+b34，a4+b47，a5+b511，则a10+b10（）A28B76C123D199【分析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，所求值为数列中的第十项根据数列的
9、递推规律求解【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，第十项为123，即a10+b10123，故选：C【点评】本题考查归纳推理，实际上主要为数列的应用题要充分寻找数值、数字的变化特征，构造出数列，从特殊到一般，进行归纳推理6（5分）设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么|PF|（）A4B8C16D8【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，根据直线AF的斜率得到AF方程，与准
10、线方程联立，解出A点坐标，因为PA垂直准线l，所以P点与A点纵坐标相同，再代入抛物线方程求P点横坐标，利用抛物线的定义就可求出|PF|长【解答】解：抛物线方程为y28x，焦点F（2，0），准线l方程为x2，直线AF的斜率为：，直线AF的方程为y（x+2），由可得A点坐标为（2，4），PAl，A为垂足，P点纵坐标为4，代入抛物线方程，得P点坐标为（6，4），|PF|PA|6（2）|8，故选：D【点评】本题主要考查抛物线的几何性质，定义的应用，以及曲线交点的求法，属于综合题7（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2b22bc，sinC3sinB，则A（）ABCD【分析】已知
11、第二个等式利用正弦定理化简，得到c3b，代入第一个等式用b表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a与c代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数【解答】解：利用正弦定理化简sinC3sinB得：c3b，代入得：a2b22bc6b2，即a27b2，解得：ab，cosA，A为三角形内角，A故选：B【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键8（5分）由曲线y，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为（）AB4CD6【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y，直线yx2的交点，确定出积分区间
12、和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为：S故选C【点评】本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题9（5分）已知a0，b0，a+b2，则的最小值是（）AB4CD5【分析】利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值【解答】解：a+b2，1（）（）+2（当且仅当b2a时等号成立）故选：C【点评】本题主
13、要考查了基本不等式求最值注意把握好一定，二正，三相等的原则10（5分）如果不等式ax2+bx+c0的解集是x|x2或x4，那么对于函数f（x）ax2+bx+c应有（）Af（5）f（2）f（1）Bf（5）f（1）f（2）Cf（1）f（2）f（5）Df（2）f（5）f（1）【分析】由已知可知，a0、且2，4是ax2+bx+c0的根，从而可求f（x）ax2+bx+cax22ax8a对称轴及开口方向，根据二次函数的性质可知距离对称轴越远，函数值越小，可判断【解答】解：ax2+bx+c0的解集是x|x2或x4，a0、且2，4是ax2+bx+c0的根，b2a，c8a，f（x）ax2+bx+cax22ax8
14、a对称轴x1，开口向下，距离对称轴越远，函数值越小，f（5）f（2）f（1）故选：A【点评】本题主要考查了二次不等式法性质及函数的性质的简单应用，属于基础试题11（5分）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且其中的一个焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为，则双曲线的离心率为（）A2B3CD【分析】由题意求出c2，再根据焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为，求出b，即可求出a1，根据离心率公式计算即可【解答】解：椭圆与双曲线有共同的焦点，4+m2m2a2+b2，双曲线的焦点坐标为（2，0），（2，0）设F（2，0）其渐近线方程为yx，焦点F到双曲线的两条渐近线的距离之和为，22，b，a2c2b21
15、，e2，故选：A【点评】本题考查了双曲线的简单性质以及椭圆的简单性质，考查了运算能力，属于基础题12（5分）已知函数f（x）为定义在（，+）上的可导函数，且f（x）f（x）对于xR恒成立，且e为自然对数的底数，则（）Af（1）ef（0）、f（2019）e2019f（0）Bf（1）ef（0）、f（2019）e2019f（0）Cf（1）ef（0）、f（2019）e2019f（0）Df（1）ef（0）、f（2019）e2019f（0）【分析】先构造函数g（x），再利用导数研究函数的单调性得：g（x）0恒成立，即g（x）为增函数，所以g（1）g（0），g（2019）g（0），即f（1）ef（0），f（
16、2019）e2019f（0），得解【解答】解：因为函数f（x）为定义在（，+）上的可导函数，且f（x）f（x）对于xR恒成立，设g（x），则g（x）0恒成立，即g（x）为增函数，所以g（1）g（0），g（2019）g（0），即f（1）ef（0），f（2019）e2019f（0），故选：D【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性及利用函数单调性比较大小，属中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）曲线在点（1，1）处的切线方程为x+y20【分析】由求导公式求出导数，根据导数的几何意义求出切线的斜率，代入点斜式方程，再化为一般式方程【解答】解：由题意得，在点（1，1）处
17、的切线斜率k1，则在点（1，1）处的切线方程是：y1（x1），即x+y20故答案为：x+y20【点评】本题考查了导数的几何意义，以及直线的点斜式方程，属于基础题14（5分）已知实数x，y满足，则z3x+5y的最大值等于21【分析】通过实数x，y满足约束条件直接画出此二一元次不等式组表示的平面区域；直接求出目标函数z3x+2y结果的可行域内的顶点，即可求出z的最大值；【解答】解：实数x，y满足的可行域如图：直线z3x+5y经过，的交点A（2，3）当x2，y3时z取最大值21；故答案为：21【点评】本题考查简单的线性规划的应用，考查计算能力与作图能力，以及表达式的几何意义15（5分）经过点M（2，
18、1）作直线l交于双曲线x21于A，B两点，且M为AB的中点，则直线l的方程为4xy70【分析】首先，设点A（x1，y1），点B（x2，y2），M（x0，y0），得到2x12y122 ，2x22y222 然后，并结合有关中点坐标公式求解【解答】解：设点A（x1，y1），点B（x2，y2），M（x0，y0），则2x12y122 2x22y222 得2（x1+x2）（x1x2）（y1+y2）（y1y2）0，22x02y00，82k0，k4，y14（x2），直线l的方程为4xy70，故答案为：4xy70【点评】本题重点考查了直线与双曲线的位置关系、中点弦问题等知识，处理中点弦问题时，常常采用“点差法”
19、进行处理16（5分）在ABC中，若ACBC，ACb，BCa，则ABC的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体SABC中，若SA、SB、SC两两互相垂直，SAa，SBb，SCc，则四面体SABC的外接球半径R【分析】这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由已知在平面几何中，ABC中，若BCAC，ACb，BCa，则ABC的外接圆半径，我们可以类比这一性质，推理出在四面体SABC中，若SA、SB、SC两两垂直，SAa，SBb，SCc，则四面体SABC的外接球半径R【解答】解：由平面图形的性质类
20、比推理空间图形的性质时一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由圆的性质推理到球的性质由已知在平面几何中，ABC中，若BCAC，ACb，BCa，则ABC的外接圆半径，我们可以类比这一性质，推理出：在四面体SABC中，若SA、SB、SC两两垂直，SAa，SBb，SCc，则四面体SABC的外接球半径R故答案为：【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）在ABC中，（1）求sinB的
21、值；（2）求ABC的面积【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，由正弦定理可求sinB的值（2）由已知及余弦定理得AB22AB80，解得AB的值，根据三角形的面积公式即可计算得解【解答】（本题满分为10分）解：（1）在ABC中，由，得：sinA，（2分）由正弦定理，得：，（3分）又因为：，所以，sinB（5分）（2）由余弦定理，得：BC2AC2+AB22ACABcosA，（6分）代入数据，整理得：AB22AB80，（7分）解得：AB4或AB2，（舍去），（8分）ABC的面积为：SABC6（10分）【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理，三角形的
22、面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn2an1（1）求数列an的通项公式an；（2）令bn，求数列bn的前n项和Tn；【分析】（1）由数列的递推式：n1时，a1S1；n2时，anSnSn1，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求通项；（2）求得bnn（）n1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和【解答】解：（1）Sn2an1，可得n1时，a1S12a11，即a11；n2时，anSnSn12an12an1+1，即有an2an1，可得数列an为首项为1，公比为2的等比数列，则a
23、n2n1，nN*；（2）bnn（）n1，可得前n项和Tn1（）0+2（）1+3（）2+n（）n1，Tn1（）+2（）2+3（）3+n（）n，两式相加可得Tn1+（）1+（）2+（）n1n（）nn（）n，化简可得Tn4（n+2）（）n1【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简运算能力，属于中档题19（12分）已知函数f（x）x（xc）2在x2处有极小值（1）求c的值；（2）若关于x的方程f（x）a有三个不同的实数根，求实数a的取值范围【分析】（1）由函数f（x）x（xc）2在x2处有极小值得f（2）0讨论解得c，（2）方程f（x）a有三
24、个不同的实数根等价于函数yf（x）的图象与直线ya有三个交点；利用数形结合法解即可【解答】解：（1）函数f（x）x（xc）2f（x）3x24cx+c2由函数f（x）x（xc）2在x2处有极小值得f（2）0；即：128c+c2 0，所以：c2或c6；当c6时，f（x）3x224x+363（x2）（x6）；当x2时，f（x）0，f（x）单调递；当2x6时，f（x）0，f（x）单调递减，此时，f（2）为极大值，与题设矛盾所以c2（2）由（1），得f（x）3x28x+4（x2）（3x2）；由f（x）0，得：x2，或x；由x变化时，f（x）、f（x）的变化情况如下：x（，） （，2）2 （2，+）f（x
25、） +00+f（x）单调递增极大值单调递减极小值0单调递增所以方程f（x）a有三个不同的实数根等价于函数yf（x）的图象与直线ya有三个交点；结合图象，得：0a故实数a的取值范围 （0，）【点评】本题考查了函数的导数的应用，同时考查了函数d的极值与函数图象的关系，考查数形结合法，属于中档题20（12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，ABAC1，AA12，D、E分别为AA1、B1C的中点（1）求DE的长；（2）证明：DE平面BCC1；（3）求二面角DBCC1的余弦值【分析】建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，求出A，B，C，C1，B1，A1，坐标（1）利用D、E分别为AA1、B
26、1C的中点，求出坐标，即可求DE的长（2）通过计算向量的数量积为0，证明DEBC，DECC1，利用直线与平面垂直的判定定理证明DE平面BCC1（3）求出平面DBC的一个法向量，是平面BCC1的一个法向量，利用向量的数量积求解二面角DBCC1的余弦值【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，（1分）则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），C1（0，1，2），B1（1，0，2），A1（0，0，2）（2分）（1）D、E分别为AA1、B1C的中点（3分）（4分）（2）证明：由已知，得又，即DEBC，DECC1（7分）又DE平面BCC1，CC1平面BCC1，且BCCCCDE平面B
27、CC1 （8分）（3）由已知得，设平面DBC的一个法向量为，则，令z1，则x1，y1，（10分）由（2），知是平面BCC1的一个法向量 （11分）又，（13分）二面角DBCC1的余弦值为（14分）（取BC的中点F，可证DFE是二面角DBCC1的平面角）【点评】本题考查向量在立体几何中的应用，二面角的平面角的求法，直线与直线的垂直，直线与平面的垂直数量积为0的应用考查空间想象能力以及计算能力21（12分）已知椭圆的离心率，过其右焦点F（1，0）且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于A，B两点（1）求椭圆C的方程；（2）O为坐标原点，在x轴上是否存在点D，使得点O到直线DA，DB的距离总相等？若存在，
28、求出点D的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由椭圆离心率，过其右焦点F（1，0）且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于A，B两点列出方程组求出，由此能求出椭圆C的方程（2）当直线l的斜率存在时，设其方程为yk（x1），把直线l的方程代入椭圆方程，得（2k2+1）x24k2x+2k220，由此利用韦达定理、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出x轴上存在点D（2，0），使得点O到直线DA，DB的距离总相等【解答】解：（1）椭圆的离心率，过其右焦点F（1，0）且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于A，B两点由已知，得，解得，椭圆C的方程为C：1（2）当直线l的斜率存在时，设其方程为yk（x1），把直
29、线l的方程代入椭圆方程，整理得：（2k2+1）x24k2x+2k220，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2，x1x2，点O到直线DA，DB的距离总相等，ADOBDO，kAD+kBD0，设点D的坐标为（x0，0），则由kAD+kBD0，得：+0，即+0，整理得，把，代入上式，得：2，即存在点D（2，0），使得点O到直线DA，DB的距离总相等，当直线l的斜率不存在时，x轴为线段AB的垂直平分线，故x轴上存在点D（2，0），使得点O到直线DA，DB的距离总相等，综上所述，x轴上存在点D（2，0），使得点O到直线DA，DB的距离总相等【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点的坐
30、标的求法，考查椭圆、直线方程、直线与椭圆的位置关系、根的判别式、韦达定理、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题22（12分）已知函数f（x）ln（1+x），kR（1）讨论f（x）的单调区间；（2）当k1时，求f（x）在0，+）上的最小值，并证明+ln（1+n）【分析】（1）f（x）的定义域为（1，+）f（x），对k分类讨论：当k0时，当k0时，即可得出单调性（2）由（1）知，当k1时，f（x）在0，+）上单调递增，可得f（x）在0，+）上的最小值为f（0）0因此（x0），取x可得（nN*）利用“累加求和”即可得出【解答】解：（1）f（x）的定义域为（1，+），当k0时，f（x）0在（1，+）上恒成立，f（x）的单调递增区间是（1，+），无单调递减区间当k0时，由f（x）0解得xk1，由f（x）0得1xk1，函数f（x）的单调递增区间是（k1，+），单调递减区间是（1，k1）（2）由（1）知，当k1时，f（x）在0，+）上单调递增，f（x）在0，+）上的最小值为f（0）0（x0），即（nN*）+（ln2ln1）+（ln3ln2）+（ln（n+1）lnn）ln（1+n）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、“累加求和”方法，考查了利用已证明结论证明不等式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题
