1、2018-2019学年广东省深圳市龙岗区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1（5分）命题“x0都有x2x+30”的否定是（）Ax0，使得x2x+30Bx0，使得x2x+30Cx0，都有x2x+30Dx0，都有x2x+302（5分）不等式成立的一个充分不必要条件是（）A1x2B1x3Cx3Dx23（5分）某双曲线的渐近线方程为y2x，虚轴长为2，则此双曲线的实轴长为（）A1B4C1或4D2或44（5分）在ABC中，已知a8，B30，b4，则c等于（）AB2C3D45（5分）设等差数列an的前n项和为
2、Sn，若S318，a38，则a6（）A12B14C18D216（5分）在等比数列an中，a32，a58，则a9（）A64B64或64C128或128D1287（5分）已知x，y满足则z2x4y的最大值为（）A26B26C18D188（5分）海洋中有A，B，C三座灯塔其中A，B之间距高为a，在A处观察B，其方向是南偏东40，观察C，其方向是南偏东70，在B处現察C，其方向是北偏东65，B，C之的距离是（）AaBaCaDa9（5分）已知x，y0，x+y1，若4xyt恒成立，则实数t的取值范围（）A（1，+）B（，1）C（，2）D（2，+）10（5分）F是双曲线l（a0，b0）的焦点，点A是双曲线上
3、一点，且AFx轴，且A点的纵坐标是b，则双曲线的离心率为（）ABCD11（5分）已知ABC的三个内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cosBsinAsinCsin2B，则（）Aa，b，c成等差数列B，成等比数列Ca2，b2，c2成等差数列Da2，b2，c2成等比数列12（5分）P是抛物线x上的一个动点，Q是圆（x3）2+（y1）21上的一个动点，N（2，0）是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为（）A3B4C5D+1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13（5分）设点P是双曲线1上一点，F1，F2分别是此双曲线的左右焦点若|PF1|5，则|PF2|
4、14（5分）已知一条抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点（，1），则抛物线的准线为 15（5分）若关于x的不等式x2+mx+20在区间1，2上有解，则实数m的取值范围为 16（5分）在数列an中，a2，a3，且数列nan+1是等比数列，则an 三.解答题：本大题共70分，其中17题10分，其余五题每题12分。17（10分）在ABC中，a，b，c是A，B，C所对的边，若a2+b2abc2（1）求C角大小；（2）若abcosC，且a+b6，求边c18（12分）设P：方程x2+mx+10有两个不等的正实根，Q；不等式4x2+4（m2）x+10在R上
5、恒成立若PQ为假，PQ为真，求实数m的取值范围19（12分）设x1与x2是函数f（x）ax3+bx22x，a0的两个极值点（1）试确定常数a和b的值；（2）求函数f（x）的单调区间20（12分）数列an满足a11，nan+1（n+1）an+n（n+1），nN*，数列bn的前n项和满足Sn，nN*（1）请证明数列是等差数列，并求出an和bn的通项公式；（2）设cnbn，求数列cn的前n项和Tn21（12分）已知椭圆C的左右焦点F1，F2在x轴上，中心在坐标原点，长轴长为4，短轴长为2（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在过F1的直线l，使得直线l与椭圆C交于A，B，AF2BF2？若存在，请求出直
6、线l的方程；若不存在，请说明理由22（12分）函数f（x）xaln（x+1），常数aR（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）x（1，+），f（x）a恒成立，求满足要求的最大整数a（已知数据：e27.39，e320，e454，e5148，e6403，e71096）2018-2019学年广东省深圳市龙岗区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1（5分）命题“x0都有x2x+30”的否定是（）Ax0，使得x2x+30Bx0，使得x2x+30Cx0，都有x2x+30Dx0，都有x2x+30【
7、分析】运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题“x0都有x2x+30”的否定是“x0都有x2x+30”，故选：B【点评】本题考查命题的否定，注意运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化思想，属于基础题2（5分）不等式成立的一个充分不必要条件是（）A1x2B1x3Cx3Dx2【分析】不等式化为：（x1）（x3）0，解出即可判断出结论【解答】解：不等式化为：0，即0，（x1）（x3）0，解得1x3，不等式成立的一个充分不必要条件是1x2故选：A【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、一元二次不等
8、式与分式不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3（5分）某双曲线的渐近线方程为y2x，虚轴长为2，则此双曲线的实轴长为（）A1B4C1或4D2或4【分析】根据双曲线焦点位置，分别求得双曲线的实轴长即可【解答】解：双曲线的焦点坐标在x轴时可得b1，双曲线的实轴长为2a1；双曲线的焦点坐标在y轴时b1.，双曲线的实轴长为2a4 故选：C【点评】本题考查双曲线的简单性质以及双曲线方程的求法，考查计算能力属于基础题4（5分）在ABC中，已知a8，B30，b4，则c等于（）AB2C3D4【分析】由已知利用正弦定理可求sinA，可求A，结合直角三角形的边角关系求解【解答】解：a8，B30，b4
9、，由正弦定理，可得：sinA1，A（0，180），A90C600在RtABC中，cBC故选：D【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题5（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，若S318，a38，则a6（）A12B14C18D21【分析】由题意可得首项和公差的方程组，解方程组由通项公式可得【解答】解：设等差数列an的公差为d，则a3a1+2d8，S33a1+d18，联立解得a14，d2，a6a1+5d4+1014，故选：B【点评】本题考查等差数列的求和公式和通项公式，属基础题6（5分）在等比数列an中，a32，a58，则a9（）
10、A64B64或64C128或128D128【分析】先通过a2和a4求得q2，再根据a10a4q6求得a10【解答】解：等比数列an中，a32，a58，q24，a9a5q4816128，故选：D【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式属基础题7（5分）已知x，y满足则z2x4y的最大值为（）A26B26C18D18【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z2x4y为，由图可知，当直线过O1 （3，3）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为18故选：C【点评】本题考查简单的线性
11、规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题8（5分）海洋中有A，B，C三座灯塔其中A，B之间距高为a，在A处观察B，其方向是南偏东40，观察C，其方向是南偏东70，在B处現察C，其方向是北偏东65，B，C之的距离是（）AaBaCaDa【分析】作出示意图，根据正弦定理求出BC【解答】解：如图所示，由题意可知ABa，BAC704030，ABC40+65105，C45，在ABC中，由正弦定理得，即BCa故选：D【点评】本题考查了正弦定理，解三角形的应用，属于基础题9（5分）已知x，y0，x+y1，若4xyt恒成立，则实数t的取值范围（）A（1，+）B（，1）C（，2）D（2，+）【分析】利用基本不等
12、式求出4xy的最大值，从而可得出t的取值范围【解答】解：由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，4xy的最大值为1，则t1因此，实数t的取值范围为（1，+）故选：A【点评】本题考查基本不等式的应用，通过利用基本不等式求代数的最值，得出参数的取值范围，考查计算能力，属于中等题10（5分）F是双曲线l（a0，b0）的焦点，点A是双曲线上一点，且AFx轴，且A点的纵坐标是b，则双曲线的离心率为（）ABCD【分析】不妨设F为双曲线的右焦点，则F（c，0），求出点A的坐标，即可得到a2b，则ca，即可求出离心率【解答】解：不妨设F为双曲线的右焦点，则F（c，0），1，即y，AFx轴，且A点的纵坐标
13、是b，b，即a2b，ca，e，故选：D【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，考查运算能力，属于基础题11（5分）已知ABC的三个内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cosBsinAsinCsin2B，则（）Aa，b，c成等差数列B，成等比数列Ca2，b2，c2成等差数列Da2，b2，c2成等比数列【分析】根据正弦、余弦定理化简2cosBsinAsinCsin2B，再由等差中项的性质判断出正确答案【解答】解：由题意知，2cosBsinAsinCsin2B，根据正弦、余弦定理得，2acb2，化简可得，a2+c2b2b2，即a2+c22b2，所以a2、b2、c2成等差数列，故选：C【点评】
14、本题考查正弦、余弦定理，以及等差中项的性质，考查化简、计算能力，属于中档题12（5分）P是抛物线x上的一个动点，Q是圆（x3）2+（y1）21上的一个动点，N（2，0）是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为（）A3B4C5D+1【分析】由题意画出图形，根据N为抛物线的焦点，可过圆（x3）2+（y1）21的圆心M作抛物线的准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|+|PN|的最小值等于|MH|1【解答】解：由抛物线方程y28x，可得抛物线的焦点F（2，0），准线为x2，又N（2，0），即N与F重合由抛物线的定义可得|PN|d（d为P到准线的距离），圆（x3）2+（y1）21的圆心设为
15、M（3，1），半径为1，如图，过圆（x3）2+（y1）21的圆心M作抛物线的准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，此时|PQ|+|PN|取得最小值，且为|MH|1514故选：B【点评】本题考查了圆与圆锥曲线的关系，考查了抛物线的简单几何性质，考查了数学转化思想方法，是中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13（5分）设点P是双曲线1上一点，F1，F2分别是此双曲线的左右焦点若|PF1|5，则|PF2|9【分析】求得双曲线的a，b，c，讨论P在双曲线的左支和右支上，结合双曲线的定义和P与焦点的距离的最小值，即可得到所求值【解答】解：双曲线1的a2，b2，c4，若P在双曲线的
16、左支上，可得|PF1|的最小值为ca2，由|PF2|PF1|2a4，|PF1|5，即有|PF2|9；若P在双曲线的右支上，可得|PF1|的最小值为c+a6，|PF1|56，则P不可能在右支上，综上可得|PF2|9故答案为：9【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，注意分类讨论思想，考查运算能力，属于基础题14（5分）已知一条抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点（，1），则抛物线的准线为x1【分析】设抛物线的标准方程为y22Px，（P0），代入点的坐标求P，可得答案；【解答】解：设抛物线的标准方程为y22Px，（P0），点（，1）在抛物线上，122P2P4，抛物线的方程为y24x，则
17、抛物线的准线为x1故答案为：x1，【点评】本题考查了抛物线的标准方程，直线与抛物线的相交弦长问题，计算时注意抛物线的标准方程特征，属于基础题15（5分）若关于x的不等式x2+mx+20在区间1，2上有解，则实数m的取值范围为m3【分析】x1，2时不等式可化为mx，求出f（x）x在1，2内的最小值，即可写出m的取值范围【解答】解：x1，2时，不等式x2+mx+20可化为mx，设f（x）x，x1，2，则f（x）在1，2内的最小值为f（1）f（2）3，关于x的不等式x2+mx+20在区间1，2上有解，实数m的取值范围是m3故答案为：m3【点评】本题考查了含有参数的一元二次不等式在某一闭区间上有解的应
18、用问题，是基础题16（5分）在数列an中，a2，a3，且数列nan+1是等比数列，则an【分析】推导出数列nan+1是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出an【解答】解：数列an中，a2，a3，且数列nan+1是等比数列，2a2+13+14，3a3+17+18，数列nan+1是首项为2，公比为2的等比数列，解得an故答案为：【点评】本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用三.解答题：本大题共70分，其中17题10分，其余五题每题12分。17（10分）在ABC中，a，b，c是A，B，C所对的边，若a2+b2abc2（1）求C角大小；（2）若abc
19、osC，且a+b6，求边c【分析】（1）由已知结合余弦定理可求cosC的值，结合C的范围及特殊角的三角函数值即可得解（2）由已知可求ab的值，进而根据余弦定理即可计算得解c的值【解答】解：（1）在ABC中，a2+b2abc2，可得：b2+a2c2ab，由余弦定理可得：cosC，C（0，180），C60（2）C60，abcosCab，可得：ab9，a+b6，由余弦定理可得：c3【点评】本题主要考查了余弦定理，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题18（12分）设P：方程x2+mx+10有两个不等的正实根，Q；不等式4x2+4（m2）x+10在R上恒成立若PQ为假，PQ为真，求实
20、数m的取值范围【分析】先化简P与Q，然后根据P与Q一真一假，列式解得结果相并【解答】解：P：方程x2+mx+10有两个不等的正实根m2Q；不等式4x2+4（m2）x+10在R上恒成立4（m2）24401m3因为PQ为假，PQ为真，所以P与Q一真一假，当P真时，Q假，解得m2；当P假时，Q真，解得1m3综上，实数m的取值范围是（，2）（1，3）【点评】本题考查了复合命题及其真假，属基础题19（12分）设x1与x2是函数f（x）ax3+bx22x，a0的两个极值点（1）试确定常数a和b的值；（2）求函数f（x）的单调区间【分析】（1）利用x1与x2是函数f（x）ax3+bx22x，a0的两个极值点
21、，导函数的函数值为0，求解即可（2）通过导函数的符号，求解函数的单调区间即可【解答】解：（1）f'（x）3ax2+2bx2由题意可知：f'（1）0，f'（2）0，3a+2b20，12a4b20，（6分）（2）f'（x）x2+x2，由f（x）0得x2或x1，由f（x）0得2x1，f（x）的增区间为（，2），（1，+）；减区间为（2，1）（12分）【点评】本题考查函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力20（12分）数列an满足a11，nan+1（n+1）an+n（n+1），nN*，数列bn的前n项和满足Sn，nN*（1）请证明数列是等差数列，并求出an和bn
22、的通项公式；（2）设cnbn，求数列cn的前n项和Tn【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和【解答】证明：（1）数列an满足a11，nan+1（n+1）an+n（n+1），nN*，所以：，所以：数列是以，1为公差的等差数列，则：，所以：数列bn的前n项和满足Sn，nN*当n2时，得：，整理得：bn3bn1，即：（常数），所以：数列bn是以b13为首项，3为公比的等比数列则：，所以：，则：，3，得：n3n+1，解得：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运
23、算能力和转化能力，属于基础题型21（12分）已知椭圆C的左右焦点F1，F2在x轴上，中心在坐标原点，长轴长为4，短轴长为2（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在过F1的直线l，使得直线l与椭圆C交于A，B，AF2BF2？若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由【分析】（1）设出椭圆方程，由题意可得a，b，即可得到所求椭圆方程；（2）假设存在过F1的直线l，使得直线l与椭圆C交于A，B，AF2BF2，设直线l的方程为xmy1，联立椭圆方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件：斜率之积为1，化简整理，解方程即可判断【解答】解：（1）设椭圆的方程为+1，ab0，可得2a4，2b2，即a2，b，则
24、椭圆方程为+1；（2）假设存在过F1的直线l，使得直线l与椭圆C交于A，B，AF2BF2，设直线l的方程为xmy1，联立椭圆方程可得（4+3m2）y26my90，设A（x1，y1），B（x2，y2），y1+y2，y1y2，AF2BF2，即为1，由x1my11，x2my21，化为（1+m2）y1y2+42m（y1+y2）0，可得（1+m2）（）+42m0，化为79m20，可得m，则存在过F1的直线l：xy1，使得直线l与椭圆C交于A，B，AF2BF2【点评】本题考查椭圆的方程的求法和直线方程与椭圆方程联立，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件，考查化简运算能力，属于中档题22（12分）函数f（x）
25、xaln（x+1），常数aR（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）x（1，+），f（x）a恒成立，求满足要求的最大整数a（已知数据：e27.39，e320，e454，e5148，e6403，e71096）【分析】（1）f（x）1，x（1，+），对分类讨论即可得出单调性（2）x（1，+），f（x）a恒成立，x（1，+），2x2aln（x+1）+a0恒成立令g（x）2x2aln（x+1）+a，x（1，+），g（x）2对a分类讨论，利用导数研究其单调性可得出最小值进而得出结论【解答】解：（1）f（x）1，x（1，+），a0时，f（x）0，此时函数f（x）单调递增a0时，a11，f（x），函数f（x）
26、在（1，a1）内单调递减，在（a1，+）内单调递增（2）x（1，+），f（x）a恒成立，x（1，+），2x2aln（x+1）+a0恒成立令g（x）2x2aln（x+1）+a，x（1，+），g（x）2a0时，g（x）0，函数g（x）此时单调递增，x1时，g（x），舍去a0时，a11，g（x）令g（x）0，解得xa1可得函数g（x）在xa1时取得极小值，由题意可得：g（a1）3a22alna0，令h（a）3a22alna，h（a）12lna，令h（a）12lna0，解得a可得a时函数g（x）即h（a）取得最大值h（）32220h（2）44ln20，h（3）76ln3e71096，36729，h（3）0h（4）1016ln2，e10148224372，21624212，而372212642，因此4不满足条件满足h（a）3a22alna0的最大整数为3【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题
