1、2018-2019学年广东省深圳高中联考联盟高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分满分60分.在每小题绐出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）抛物线y28x的焦点坐标是（）A（2，0）B（2，0）C（4，0）D（4，0）2（5分）“x21”是“x1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3（5分）在等差数列an中，a12，a3+a510，则a7（）A5B8C10D144（5分）命题p：xR，x2+10，命题q：R，sin2+cos21.5，则下列命题中真命题是（）ApqBpqCpqDp（q）5（5分）函数yxcosx
2、sinx在下面哪个区间上是增函数（）A（，）B（，2）C（ ，）D（ 2，3）6（5分）若不等式的解集为R，则k的取值范围为（）A（0，3）B0，3C（3，0）D（3，07（5分）已知经过椭圆1的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，则AF1B的周长为（）A10B20C30D408（5分）等比数列an每项都是正数，设其前n项和为Sn，若满足q1，a3+a520，a2a664，则S5（）A31B36C42D489（5分）下列结论正确的是（）A当x0且x1时，lgx+2B当x0时，+2C当x2时，x+的最小值为2D当0x2时，x无最大值10（5分）函数y（x21）e|x|的图象大
3、致是（）ABCD11（5分）函数f（x）ax12（a0，a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中m0，n0，则的最小值为（）A4B5C6D12（5分）已知定义在R上的函数g（x）满足g（x）+g'（x）0，则下列不等式成立的是（）Aeg（2018）g（2019）Beg（2018）g（2019）Cg（2018）eg（2019）Dg（2018）eg（2019）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13（5分）设f（x）xlnx，若f'（x0）2，则x0 14（5分）已知双曲线的方程为，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c（c为双曲线的半焦距长），则
4、双曲线的离心率为 15（5分）设变量x，y满足的约束条件，则z32xy的最大值 16（5分）已知椭圆，1的左右两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且F1PF260，则F1PF2的面积为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）命题p：方程x2x+a23a0有一正根和一负根；命题q：函数yx2+（2a3）x+1的图象与x轴有公共点；若命题pq为真命题，而命题pq为假命题，求实数a的取值范围18（12分）已知抛物线C的中心在原点，对称轴是坐标轴，且准线方程为x1（1）求该抛物线C的方程；（2）若M是抛物线C上的一点，已知M到
5、抛物线C的焦点的距离为5，求M点的坐标19（12分）已知数列an的前n项和，数列bn满足bnSn（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）求数列bn的前n项和Tn20（12分）已知公差不为0的等数列an中，a12，且a2+1a4+1a8+1成等比数列（1）求数列an的公差；（2）设数列bn满足bn，求适合方程b1b2+b2b3+bnbn+1的正整数n的值21（12分）如图，已知椭圆C：1（ab0）的右焦点为F（），点（2，1）在椭圆上（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与圆O：x2+y22相切，与椭圆C相交于P，Q两点若直线l过椭圆C的右焦点F，求OPQ的面积；求证：以线段PQ为直径的圆恒过
6、原点22（12分）已知函数f（x）a（x24）lnx+ln2，其中a是实常数（1）当a1时，求函数图象在点（2，f（2）处的切线方程；（2）若f（x）在x4处取得极值，求a的值；（3）若f（x）0在2，+）恒成立，求a的取值范围2018-2019学年广东省深圳高中联考联盟高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分满分60分.在每小题绐出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）抛物线y28x的焦点坐标是（）A（2，0）B（2，0）C（4，0）D（4，0）【分析】数形结合，注意抛物线方程中P的几何意义【解答】解：抛物线y28x开口向右，焦点在
7、x轴的负半轴上，P4，2，故焦点坐标（2，0），答案选B【点评】考查抛物线标准方程特征2（5分）“x21”是“x1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】由二次不等式的解法有：“x21”“x1或x1“，由充分必要条件的定义有：“x1或x1“是“x1”的必要不充分条件【解答】解：解不等式“x21”，得：“x1或x1“，又“x1或x1“是“x1”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题考查了二次不等式的解法及充分必要条件，属简单题3（5分）在等差数列an中，a12，a3+a510，则a7（）A5B8C10D14【分析】由题意可得a45，进而可得公差d1，可得a
8、7a1+6d，代值计算即可【解答】解：在等差数列an中a12，a3+a510，2a4a3+a510，解得a45，公差d1，a7a1+6d2+68故选：B【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题4（5分）命题p：xR，x2+10，命题q：R，sin2+cos21.5，则下列命题中真命题是（）ApqBpqCpqDp（q）【分析】由于命题p：xR，x2+10，为真命题，而命题q：R，sin2+cos21.5为假命题再根据复合命题的真假判定，一一验证选项即可得正确结果【解答】解：命题p：由于对已知xR，x20，则x2+110，则命题p：xR，x2+10，为真命题，p为假命题；命题q：由于对R，si
9、n2+cos21，则命题q：R，sin2+cos21.5为假命题，q为真命题则pq、pq、pq为假命题，p（q）为真命题故选：D【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断复合命题的真值表： pqpqpqp 真真 真 真 假 真假 假 真 假 假真 假 真 真 假假 假 假 真5（5分）函数yxcosxsinx在下面哪个区间上是增函数（）A（，）B（，2）C（ ，）D（ 2，3）【分析】分析知函数的单调性用三角函数的相关性质不易判断，易用求其导数的方法来判断其在那个区间上是增函数【解答】解：y'cosxxsinxco
10、sxxsinx欲使导数为正，只需x与sinx符号总相反，分析四个选项知，B选项符合条件，故选：B【点评】考查判断函数单调性的方法一般可以用定义法，导数法，其中导数法判断函数的单调性比较简便6（5分）若不等式的解集为R，则k的取值范围为（）A（0，3）B0，3C（3，0）D（3，0【分析】可分k0与k0讨论解决，当k0时，利用可得k的范围，二者取其并即刻【解答】解：不等式的解集为R，当k0时，0，满足题意；当k0时，有解得3k0，综上所述，3k0故选：D【点评】本题考查二次函数的性质，分k0与k0讨论是关键，突出考查恒成立问题，属于中档题7（5分）已知经过椭圆1的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两
11、点，F1是椭圆的左焦点，则AF1B的周长为（）A10B20C30D40【分析】AF1B为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出AF1B的周长【解答】解：F1，F2为椭圆+1的两个焦点，|AF1|+|AF2|10，|BF1|+|BF2|10，AF1B的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|10+1020故选：B【点评】本题主要考查了椭圆的定义的应用，做题时要善于发现规律，进行转化8（5分）等比数列an每项都是正数，设其前n项和为Sn，若满足q1，a3+a520，a2a664，则S5（）A31B36C42D48【分析】利用等比中项的性质
12、求得a3a5a2a6，进而根据a3+a520，构造出一元二次方程求得a3和a5，则a1和q可求得，最后利用等比数列的求和公式求得答案【解答】解：a3a5a2a664，a3+a520，a3和a5为方程x220x+640的两根，an0，q1，a3a5，a516，a34，q2，a11，S531故选：A【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式，等比数列的等比中项的性质的应用解题过程中巧妙的构造出一元二次方程，较快的求得a3和a5，进而求得a1和q9（5分）下列结论正确的是（）A当x0且x1时，lgx+2B当x0时，+2C当x2时，x+的最小值为2D当0x2时，x无最大值【分析】本题中各选项都是利用基本
13、不等式求最值，注意验证一正、二定、三相等条件是否满足即可A中不满足“正数”，C中“”取不到【解答】解：A中，当0x1时，lgx0，lgx+2不成立；由基本不等式B正确；C中“”取不到；D中x在0x2时单调递增，当x2时取最大值故选：B【点评】本题主要考查利用基本不等式求最值的三个条件，一正、二定、三相等，在解题中要牢记10（5分）函数y（x21）e|x|的图象大致是（）ABCD【分析】根据函数的函数奇偶性，值域即可判断【解答】解：因为f（x）（x21）e|x|f（x），所以f（x）为偶函数，所以图象关于y轴对称，故排除B，当x+时，y+，故排除A当1x1时，y0，故排除D故选：C【点评】本题考
14、查了函数图象的识别，关键掌握函数奇偶性，值域，属于基础题11（5分）函数f（x）ax12（a0，a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中m0，n0，则的最小值为（）A4B5C6D【分析】由指数函数可得A坐标，可得m+n1，整体代入可得（）（m+n）3+，由基本不等式可得【解答】解：当x10即x1时，ax12恒等于1，故函数f（x）ax12（a0，a1）的图象恒过定点A（1，1），由点A在直线mxny10上可得m+n1，由m0，n0可得（）（m+n）3+3+23+2当且仅当即m1且n2时取等号，故选：D【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及指数函数的性质，属基础题12（5分）已知
15、定义在R上的函数g（x）满足g（x）+g'（x）0，则下列不等式成立的是（）Aeg（2018）g（2019）Beg（2018）g（2019）Cg（2018）eg（2019）Dg（2018）eg（2019）【分析】令h（x）exg（x），根据函数的单调性判断出h（2018）h（2019）即可【解答】解：令h（x）exg（x），则h（x）ex（g（x）+g（x）0，故h（x）在R递减，故h（2018）h（2019），即g（2018）eg（2019），故选：C【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道常规题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13（5分）设f（x）xlnx
16、，若f'（x0）2，则x0e【分析】由题意求导f（x）lnx+1，从而得lnx0+12；从而解得【解答】解：f（x）lnx+1；故f（x0）2可化为lnx0+12；故x0e；故答案为：e【点评】本题考查了导数的求法及应用，属于基础题14（5分）已知双曲线的方程为，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为c（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为【分析】根据双曲线方程可得它的渐近线方程为bxay0，焦点坐标为（c，0）利用点到直线的距离，结合已知条件列式，可得bc，再用平方关系可算出ac，最后利用双曲线离心率的公式，可以计算出该双曲线的离心率【解答】解：双曲线的渐近线方程为bxay0，焦
17、点坐标为（c，0），其中c一个焦点到一条渐近线的距离为dc，即bc，因此，ac，由此可得双曲线的离心率为e故答案为：【点评】本题给出双曲线一个焦点到渐近线的距离与焦距的关系，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题15（5分）设变量x，y满足的约束条件，则z32xy的最大值9【分析】设m2xy，作出不等式组对应的平面区域，根据指数函数的单调性只要求出m的最大值即可得到结论【解答】解：设m2xy，得y2xm，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y2xm，由平移可知当直线y2xm，经过点C时，直线y2xm的截距最小，此时m取得最大值，由，解得，即C（1，
18、0）将C的坐标代入m2xy，得m2，此时z32xy的最大值z329，即目标函数z32xy的最大值是9故答案为：9【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法16（5分）已知椭圆，1的左右两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且F1PF260，则F1PF2的面积为3【分析】依题意，在F1PF2中，F1PF260，|F1P|+|PF2|2a8，|F1F2|4，利用余弦定理可求得|F1P|PF2|的值，从而可求得PF1F2的面积【解答】解：椭圆1，a6，b3，c3又P为椭圆上一点，F1PF260，F1、F2为左右焦点，|F1P|+|P
19、F2|2a12，|F1F2|6，|F1F2|2（|PF1|+|PF2|）22|F1P|PF2|2|F1P|PF2|cos601443|F1P|PF2|108，|F1P|PF2|12|F1P|PF2|sin603故答案为：3【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查余弦定理的应用与三角形的面积公式，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）命题p：方程x2x+a23a0有一正根和一负根；命题q：函数yx2+（2a3）x+1的图象与x轴有公共点；若命题pq为真命题，而命题pq为假命题，求实数a的取值范围【分析】方程x2x+a23a0有一正根和一负根，由韦达定理得：a23
20、a0，即0a3，函数yx2+（2a3）x+1的图象与x轴有公共点，则（2a3）240，即a或a，列不等式组求解即可【解答】解：当命题p为真时，由韦达定理得：a23a0，即0a3，当命题求q为真时，则（2a3）240，即a或a，又命题pq为真命题，而命题pq为假命题，则命题p、q一真一假，即或，即实数a的取值范围为：a0或或a3，故答案为：（，0（，）3，+）【点评】本题考查了二次方程根的问题及二次函数有零点问题，复合命题及其真假，属简单题18（12分）已知抛物线C的中心在原点，对称轴是坐标轴，且准线方程为x1（1）求该抛物线C的方程；（2）若M是抛物线C上的一点，已知M到抛物线C的焦点的距离为
21、5，求M点的坐标【分析】（1）设抛物线的方程为y22px（p0），由准线方程可得p，进而得到抛物线的方程；（2）运用抛物线的定义，可得M的横坐标，进而得到M的坐标【解答】解：（1）抛物线C的中心在原点，对称轴是坐标轴，且准线方程为x1，设抛物线的方程为y22px（p0），可得1，即p2，可得抛物线的方程为y24x；（2）若M是抛物线C上的一点，已知M到抛物线C的焦点的距离为5，由抛物线的定义可得xM+15，即xM4，可得M的坐标为（4，4）【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查方程思想和转化思想，以及运算能力，属于基础题19（12分）已知数列an的前n项和，数列bn满足bnSn（nN*
22、）（1）求数列an的通项公式；（2）求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）求出数列的首项，利用数列的第n项与前n项和的关系求解数列的通项公式（2）化简通项公式，然后求解数列的和即可【解答】解：（1），当n1时，；当n2时，又，（6分）（2）由已知，Tnb1+b2+b3+bn（22+23+24+2n+1）2n（12分）【点评】本题考查数列求和，通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力20（12分）已知公差不为0的等数列an中，a12，且a2+1a4+1a8+1成等比数列（1）求数列an的公差；（2）设数列bn满足bn，求适合方程b1b2+b2b3+bnbn+1的正整数n的值【分析】（1）设公差为
23、d，运用等比数列的中项性质，以及等差数列的通项公式，解方程可得公差d，即可得到所求通项公式；（2）求得bn，bnbn+13（），运用裂项相消求和，化简整理，解方程即可得到所求值【解答】解：（1）公差d不为0的等数列an中，a12，且a2+1a4+1a8+1成等比数列，即有（a4+1）2（a2+1）（a8+1），即（3+3d）2（3+d）（3+7d），解得d3，则ana1+（n1）d2+3（n1）3n1；（2）bn，bnbn+13（），b1b2+b2b3+bnbn+13（+）3（），解得n20【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算
24、能力，属于中档题21（12分）如图，已知椭圆C：1（ab0）的右焦点为F（），点（2，1）在椭圆上（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与圆O：x2+y22相切，与椭圆C相交于P，Q两点若直线l过椭圆C的右焦点F，求OPQ的面积；求证：以线段PQ为直径的圆恒过原点【分析】（1）利用已知条件列出方程，求出椭圆的几何量，即可得到椭圆方程；（2）椭圆C的右焦点F（，0）设切线方程为yk（x），利用点到直线的距离公式，求出K得到直线方程，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，得到PQ，然后求解三角形的面积（i）若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x或x利用0，推出OPOQ；（ii）若直线PQ的斜率存在
25、，设直线PQ的方程为ykx+m，通过，将直线PQ方程代入椭圆方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理，结合m22k2+2，0，推出结果【解答】解：（1）由题意，得 c，即a2b23，又+1，解得a26，b23所以椭圆的方程为+1；（2）椭圆C的右焦点F（，0）设切线方程为yk（x），即kxyk0，由，解得k，所以切线方程为y（x）由方程组可得5x28x+60，即有x1+x2，x1x2，所以|PQ|，因为O到直线PQ的距离为，所以OPQ的面积为；（i）若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x或x当x时，P（，），Q（，）因为0，所以OPOQ当x时，同理可得OPOQ，即有（ii
26、）若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为ykx+m，即kxy+m0因为直线与圆相切，所以，即m22k2+2；将直线PQ方程代入椭圆方程，得（1+2k2）x2+4kmx+2m260设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有x1+x2，x1x2，因为x1x2+y1y2x1x2+（kx1+m）（kx2+m）（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2（1+k2）+km（）+m2，将m22k2+2代入上式可得0，所以以线段PQ为直径的圆恒过原点【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力22（12分）已知函数f（x）a（x24）lnx+ln2，其中a是实
27、常数（1）当a1时，求函数图象在点（2，f（2）处的切线方程；（2）若f（x）在x4处取得极值，求a的值；（3）若f（x）0在2，+）恒成立，求a的取值范围【分析】（1）求出函数的导数，计算f（2），f（2）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，根据函数极值的意义，得到关于a的方程，解出即可；（3）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数f（x）的单调区间，求出函数的最小值，根据f（x）min0，从而确定a的范围即可【解答】解：（1）a1时，f（x）x24lnx+ln2，f（x）2x，故f（2）0，f（2），故切线方程是：y（x2），即yx7；（2）f（x）2ax，由题意f（4）8a
28、0，解得：a；（3）f（x），a0时，f（x）0，f（x）在2，+）递减，而f（2）0，故f（x）0在2，+）恒成立，不合题意；a0时，令f（x）0，解得：x，令2，解得：0a，故0a时，2，令f（x）0，解得：x，令f（x）0，解得：2x，故f（x）在2，）递减，在（，+）递增，故f（x）minf（）4a+ln2+lna，问题转化为只需4a+ln2+lna0，（0a），即只需18a+3ln2+lna0（0a），令h（a）18a+3ln2+lna0（0a），h（a）8+0，h（a）在（0，）递增，而h（）0，故h（a）0在（0，）恒成立，故0a不合题意，a时，2，故f（x）在2，+）递增，故只需f（2）0即可，而f（2）0，满足题意，综上，a【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题
