1、2018-2019学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1（5分）命题“若ab，则a+cb+c”的否命题是（）A若a+cb+c，则abB若ab，则a+cb+cC若a+cb+c，则abD若ab，则a+cb+c2（5分）设xR，则“x1”是“x2+x20”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3（5分）甲、乙两校各有2名教师报名支教，若从这4名教师中任选2名，选出的2名教师来自同一学校的概率为（）ABCD4（5分）某班有50名学生，男女人数不相等随机询问
2、了该班5名男生和5名女生的某次数学测试成绩，用茎叶图记录如图所示，则下列说法一定正确的是（）A这5名男生成绩的标准差大于这5名女生成绩的标准差B这5名男生成绩的中位数大于这5名女生成绩的中位数C该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数D这种抽样方法是一种分层抽样5（5分）已知实数x，y满足，则zx+2y的最大值为（）A0B3C6D76（5分）函数f（x）x34x+4的极大值为（）AB6CD77（5分）已知x0，y0，且2x+y1，则xy的最大值是（）AB4CD88（5分）抛物线y22px（p0）上的点M（4，m）到焦点的距离为5，则m的值为（）A2B3C4D4或49（5分）执行如图的程序框
3、图，若输入a，b，k分别为1，2，3，则输出的M（）ABCD10（5分）从编号为0，1，2，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为（）A8B10C12D1611（5分）若函数f（x）x2exa恰有三个零点，则实数a的取值范围是（）ABC（0，4e2）D（0，+）12（5分）设F1，F2分别是椭圆E：+1（ab0）的左、右焦点，过点F1（c，0）的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|3|F1B|，且ABAF2，则椭圆E的离心率是（）ABCD二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）不等式x2+6x80
4、的解集为 14（5分）已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程是 15（5分）利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x2x+a0无实根的概率为 16（5分）若函数f（x）lnx+ax22在区间内单调递增，则实数a的取值范围 三解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）点（4，4）在抛物线C：x22py（p0）上，且A，B为C上两点，A与B的横坐标之和为4（1）求抛物线C的方程；（2）求直线AB的斜率18（12分）2019年4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解中学生课外阅读情
5、况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，按阅读时间分组：第一组0，5），第二组5，10），第三组10，15），第四组15，20），第五组20，25，绘制了频率分布直方图如下图所示已知第三组的频数是第五组频数的3倍（1）求a的值，并根据频率分布直方图估计该校学生一周课外阅读时间的平均值；（2）现从第三、四、五这3组中用分层抽样的方法抽取6人参加校“中华诗词比赛”经过比赛后，从这6人中随机挑选2人组成该校代表队，求这2人来自不同组别的概率19（12分）已知函数f（x）x3+ax21在点（1，f（1）处的切线方程为3x+y+20（1）求函数f（x）的解析式；（2
6、）求函数f（x）在区间1，2上的最大值与最小值20（12分）某市2011年至2017年新开楼盘的平均销售价格（单位：千元/平方米）的统计数据如表：年份2011201220132014201520162017年份代号x1234567销售价格y33.43.74.54.95.36（1）求y关于x的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2011年至2017年该市新开楼盘平均销售价格的变化情况，并预测该市2019年新开楼盘的平均销售价格附：参考公式：，b，其中为样本平均值参考数据：21（12分）在直角坐标系xOy中，已知椭圆的上下两个焦点分别为F2，F1，且，椭圆过点（1）求椭圆C的标准方程；
7、（2）设椭圆C的一个顶点为B（b，0），直线BF2交椭圆C于另一个点N，求F1BN的面积22（12分）已知函数f（x）x+alnx（aR）（1）讨论f（x）的单调性；（2）设g（x）x22x+2a，若对任意x1（0，+），均存在x20，1，使得f（x1）g（x2），求a的取值范围2018-2019学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1（5分）命题“若ab，则a+cb+c”的否命题是（）A若a+cb+c，则abB若ab，则a+cb+cC若a+cb+c，则abD若ab，则a
8、+cb+c【分析】根据命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”【解答】解：命题“若ab，则a+cb+c”的否命题是“若ab，则a+cb+c”故选：B【点评】本题考查了命题与它的否命题的应用问题，是基础题2（5分）设xR，则“x1”是“x2+x20”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由不等式x2+x20，得x1或x2，所以由x1可以得到不等式x2+x20成立，但由x2+x20不一定得到x1，所以x1是x2+x20的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条
9、件的判断，结合充分条件和必要条件的定义进行判断是解决本题的关键3（5分）甲、乙两校各有2名教师报名支教，若从这4名教师中任选2名，选出的2名教师来自同一学校的概率为（）ABCD【分析】从4教师中任选2名教师的种数有6种，其中来自同一学校的可能种数有2种，由此能求出所求事件的概率【解答】解：从4教师中任选2名教师的种数有6种，则其中来自同一学校的可能种数有2种，故所求事件的概率是故选：B【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4（5分）某班有50名学生，男女人数不相等随机询问了该班5名男生和5名女生的某次数学测试成绩，用茎叶图记录如图所示，则下列说法一定正确
10、的是（）A这5名男生成绩的标准差大于这5名女生成绩的标准差B这5名男生成绩的中位数大于这5名女生成绩的中位数C该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数D这种抽样方法是一种分层抽样【分析】根据茎叶图的分别情况分别判断即可【解答】解：这5名男生成绩的方差为，女生的方差为，男生方差大于女生方差，所以男生标准差大于女生标准差，所以A对；这5名男生成绩的中位数是90，5名女生成绩的中位数93，所以B错；该班男生和女生成绩的平均数可通过样本估计，但不能通过样本计算得到平均数准确值，所以C错；若抽样方法是分层抽样，因为男生女生不等，所以分别抽取的人数不等，所以D错故选：A【点评】本题考查了茎叶图问题，考
11、查考查方程，平均数，中位数问题，是一道常规题5（5分）已知实数x，y满足，则zx+2y的最大值为（）A0B3C6D7【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（0，3），化目标函数zx+2y为y，由图可知，当直线y过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6故选：C【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题6（5分）函数f（x）x34x+4的极大值为（）AB6CD7【分析】先求函数的导函数，再解不等式f（x）0和f（x）0得函数的单调区间，进而由极值的定义
12、求得函数的极值点和极值【解答】解：f（x）x24（x+2）（x2），函数f（x）x34x+4在（，2）是增函数，在（2，2）上是减函数，在（2，+）是增函数，函数f（x）x34x+4在x2时取得极大值：f（2），故选：A【点评】利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键，要先确定出导函数等于零的实数x的值，再讨论出函数的单调区间，根据极值的判断方法求出该函数的极值，体现了导数的工具作用7（5分）已知x0，y0，且2x+y1，则xy的最大值是（）AB4CD8【分析】利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：x0，y0，且2x+y1，xy，当且仅当2xy0，2x+y1，即，y时，取等号，此时，xy的
13、最大值是故选：C【点评】熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键8（5分）抛物线y22px（p0）上的点M（4，m）到焦点的距离为5，则m的值为（）A2B3C4D4或4【分析】求出抛物线的准线方程，推出p，求出抛物线方程，然后求解m即可【解答】：解：抛物线y22px的准线方程为，由抛物线的定义有（负值舍去），此时y24x，将点M（4，m）代入抛物线方程中，求出m4故选：D【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查9（5分）执行如图的程序框图，若输入a，b，k分别为1，2，3，则输出的M（）ABCD【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a，b，k的值，当M时满足条件nk，退出循环
14、，输出M的值【解答】解：n1时，M1+，n2时，M2+，n3时，M+，故选：D【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的办法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题10（5分）从编号为0，1，2，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为（）A8B10C12D16【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可【解答】解：样本间隔为80516，42162+10，该样本中产品的最小编号为10，故选：B【点评】本题主要考查系统抽样的应用，根据条件求出样本间隔是解
15、决本题的关键比较基础11（5分）若函数f（x）x2exa恰有三个零点，则实数a的取值范围是（）ABC（0，4e2）D（0，+）【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数f（x）x2exa恰有三个零点，即可求实数a的取值范围【解答】解：函数yx2ex的导数为y2xex+x2exxex （x+2），令y0，则x0或2，2x0上单调递减，（，2），（0，+）上单调递增，0或2是函数y的极值点，函数的极值为：f（0）0，f（2）4e2函数f（x）x2exa恰有三个零点，则实数a的取值范围是：故选：B【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于中档题12（5分）
16、设F1，F2分别是椭圆E：+1（ab0）的左、右焦点，过点F1（c，0）的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|3|F1B|，且ABAF2，则椭圆E的离心率是（）ABCD【分析】在AF1F2中和在ABF2中，分别利用勾股定理求得，再根据条件列出等式求解【解答】解：设|F1B|k（k0），则|AF1|3k，|AB|4k，|AF2|2a3k，|BF2|2akABAF2，|BF2|2|AF2|2+|AB|2，故a3k，AF1F2是等腰直角三角形，c，椭圆E的离心率e故选：D【点评】本题考查了椭圆的离心率，合理利用椭圆的定义是解题关键，属于中档题二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分
17、）不等式x2+6x80的解集为（2，4）（或写成x|2x4）【分析】把不等式化为x26x+80，求出解集即可【解答】解：不等式x2+6x80可化为x26x+80，即（x2）（x4）0，解得2x4，不等式的解集为x|2x4注意：本题答案形式可以是区间或集合，但不能是不等式的形式【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题14（5分）已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程是【分析】利用双曲线的离心率求出a，b关系，然后求解渐近线方程即可【解答】解：由已知可知离心率，即，双曲线焦点在y轴，渐近线方程为，即故答案为：【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查15（5分
18、）利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x2x+a0无实根的概率为【分析】由一元二次不等式的解的问题有：14a0，即a，又0a1，则a1，由几何概型中的线段型可得：关于x的一元二次方程x2x+a0无实根的概率为：，得解【解答】解：由关于x的一元二次方程x2x+a0无实根，则14a0，即a，又0a1，则a1，则由几何概型中的线段型可得：关于x的一元二次方程x2x+a0无实根的概率为：，故答案为：【点评】本题考查了几何概型中的线段型、一元二次不等式的解的问题，属简单题16（5分）若函数f（x）lnx+ax22在区间内单调递增，则实数a的取值范围a【分析】求出函数的导数，问题
19、转化为a，而g（x）在（，2）递增，求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可【解答】解：f（x）+2ax，若f（x）在区间（，2）内存在单调递增区间，则f（x）0在x（，2）有解，故a，令g（x），g（x）在（，2）递增，g（x）g（2），故a，故答案为：a【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题三解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）点（4，4）在抛物线C：x22py（p0）上，且A，B为C上两点，A与B的横坐标之和为4（1）求抛物线C的方程；（2）求直线AB的斜率【分析】（1）通过点（4，4）在抛物线上，求出p即可得到抛物
20、线C的方程；（2）设，且x1+x24，转化求解直线的斜率即可【解答】（本大题满分10分）解：（1）因为点（4，4）在抛物线上，代入得：162p4p2，（2分）所以抛物线C的方程为x24y（4分）；（2）设，且x1+x24，（6分）则，故直线AB的斜率为1（10分）【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力18（12分）2019年4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，按阅读时间分组：第一组0，5），第二组5，10），第三组10，15），第四组15，20），
21、第五组20，25，绘制了频率分布直方图如下图所示已知第三组的频数是第五组频数的3倍（1）求a的值，并根据频率分布直方图估计该校学生一周课外阅读时间的平均值；（2）现从第三、四、五这3组中用分层抽样的方法抽取6人参加校“中华诗词比赛”经过比赛后，从这6人中随机挑选2人组成该校代表队，求这2人来自不同组别的概率【分析】（1）由频率分布直方图可得第三组和第五组的频率之和，第三组的频率，由此能求出a和该样本数据的平均数，从而可估计该校学生一周课外阅读时间的平均值（2）从第3、4、5组抽取的人数分别为3、2、1，设为A，B，C，D，E，F，利用列举法能求出从该6人中选拔2人，这2人来自不同组别的概率【解
22、答】（本大题满分12分）解：（1）由频率分布直方图可得第三组和第五组的频率之和为：1（0.01+0.07+0.04）50.4（1分）第三组的频率为（2分）（3分）该样本数据的平均数为：（4分）12.25（5分）所以可估计该校学生一周课外阅读时间的平均值为12.25小时（6分）（2）从第3、4、5组抽取的人数分别为3、2、1，（7分）设为A，B，C，D，E，F，则从该6人中选拔2人的基本事件有15种，分别为：AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF（8分）其中来自不同的组别的基本事件有11种，分别为：（9分）AD，AE，AF，BD，BE，BF，CD
23、，CE，CF，DF，EF，（11分）这2人来自不同组别的概率为P（12分）【点评】本题考查平均数、概率的求法，考查古典概型、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19（12分）已知函数f（x）x3+ax21在点（1，f（1）处的切线方程为3x+y+20（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间1，2上的最大值与最小值【分析】（1）求出函数的导数，计算f'（1），得到关于a的方程，求出a的值，从而求出函数的解析式即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可【解答】解：（1）f'（x）3x2+2ax（1分）
24、函数f（x）x3+ax21在点（1，f（1）处的切线的斜率kf'（1）32a（2分）由题意可知32a3，得a3（3分）函数f（x）的解析式为f（x）x3+3x21（4分）（2）由（1）知f'（x）3x2+6x，x1，2令f'（x）0，解得x0（5分）令f'（x）0，解得0x2（6分）令f'（x）0，解得1x0（7分）故f（x）在（1，0）递减，在（0，2）递增（9分）而f（1）f（2），在区间1，2上，当x2时，f（x）取得最大值19，（11分）当x0时，f（x）取得最小值是1（12分）【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想
25、，是一道常规题20（12分）某市2011年至2017年新开楼盘的平均销售价格（单位：千元/平方米）的统计数据如表：年份2011201220132014201520162017年份代号x1234567销售价格y33.43.74.54.95.36（1）求y关于x的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2011年至2017年该市新开楼盘平均销售价格的变化情况，并预测该市2019年新开楼盘的平均销售价格附：参考公式：，b，其中为样本平均值参考数据：【分析】（1）由已知表格数据求得的值，则线性回归方程可求；（2）由（1）得到，可知2011年至2017年该市新开楼盘平均销售价格的变化是逐年增加的
26、，平均每年每平方增加0.5千元再把x9代入线性回归方程，求得y值，可预测该市2019年新开楼盘的平均销售价格【解答】解：（1）由题意知：，（2分），（4分），（6分）（7分）线性回归方程为：；（8分）（2）由（1）得到，2011年至2017年该市新开楼盘平均销售价格的变化是逐年增加的，平均每年每平方增加0.5千元10分将x9代入线性回归方程，得到：（11分）故预测该市2019年新开楼盘的平均销售价格为6.9千元/平方米（12分）【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题21（12分）在直角坐标系xOy中，已知椭圆的上下两个焦点分别为F2，F1，且，椭圆过点（1）求椭圆C的标准方
27、程；（2）设椭圆C的一个顶点为B（b，0），直线BF2交椭圆C于另一个点N，求F1BN的面积【分析】（1）法1：由题意可得，焦点，从而，求出a，b，由此能求出椭圆的标准方程法2：由题意可得，焦点，椭圆过点），列方程组求出a，b，由此能求出椭圆的方程法3：由题意可得，焦点，椭圆过点，得，求出a，b，由此能求出椭圆的方程（2）直线BF2的斜率，从而直线BF2的方程为，联立，得点N的横坐标为，由此能求出F1BN的面积【解答】（本大题满分12分）解：（1）解法1：由题意可得，焦点，（1分），得a2，（2分）b2a2c2422（3分）所以椭圆的标准方程是 （4分）（1）解法2：由题意可得，焦点，（1分）
28、又椭圆过点，（2分）解得a2，（3分）椭圆的方程为（4分）（1）解法3：由题意可得，焦点，（1分）又椭圆过点，（2分），a0，可解得a2，（3分）椭圆的方程为（4分）（2），直线BF2的斜率（5分）直线BF2的方程为，即（6分）联立，得点N的横坐标为（9分）又（10分）综上，F1BN的面积为（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查三角形面积的求法，考查椭圆、直线方程、圆等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题22（12分）已知函数f（x）x+alnx（aR）（1）讨论f（x）的单调性；（2）设g（x）x22x+2a，若对任意x1（0，+），均存在x20，1，使得f
29、（x1）g（x2），求a的取值范围【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为f（x）maxg（x）max，分别求出其最大值，得到关于a的不等式，解出即可【解答】解：（1）f（x）1+（x0），a0时，由于x0，故xa0，f（x）0，f（x）在（0，+）递减，a0时，由f（x）0，解得：xa，在区间（0，a）上，f（x）0，在区间（a，+）上，f（x）0，函数f（x）在（0，a）递增，在（a，+）递减，综上，a0时，f（x）在（0，+）递减，a0时，函数f（x）在（0，a）递增，在（a，+）递减；（2）依题意，要满足对任意x1（0，+），均存在x20，1，使得f（x1）g（x2），转化为f（x）maxg（x）max，g（x）x22x+2a，x0，1，g（x）max2a，由（1）得：a0时，f（x）在（0，+）递减，值域是R，不合题意，a0时，f（x）x0g（x）max，符合题意，a0时，f（x）在（0，a）递增，在（a，+）递减，故f（x）的极大值即为最大值，f（a）a+alna，故2aa+alna，解得：0ae3综上，a的范围是0，e3）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的运用以及分类讨论思想，是一道中档题
