1、2018-2019学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分每小题只有一个选项符合题意）1（5分）“ab”是“lgalgb”的（）条件A充分非必要B必要非充分C充要D既非充分也非必要2（5分）在ABC中，若，则A（）A或B或C或D或3（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1+a66，则S6（）A6B12C18D364（5分）已知、分别为椭圆的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆C于A、B两点若ABF2周长是，则该椭圆方程是（）ABCD5（5分）设a0，b0，若a+b2，则的最小值为（）A4BC5D6（5分）若x、y满足约束条件，则2
2、x+y的最小值为（）A3B4C5D77（5分）若命题“存在x0R，使x22xm0”是假命题，则实数m的取值范围是（）A（，1）B（，2）C1，1D（，0）8（5分）在ABC中，已知bc，则A等于（）ABCD9（5分）直线l过点且与双曲线仅有一个公共点，这样的直线有（）条A1B2C3D不确定10（5分）已知an为等比数列，Sn是它的前n项和若a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5（）A31B32CD11（5分）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f（x）2x2f'（2）+lnx，则f'（2）的值为（）ABC1D212（5分）过双曲线的右支上一点P，分别向圆
3、C1：（x+4）2+y21和圆C2：（x4）2+y21作切线，切点分别为M、N，则|PM|2|PN|2的最小值为（）A10B13C16D19二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）椭圆的离心率为 14（5分）不等式的解集是 15（5分）曲线在点（1，3）处的切线方程为 16（5分）已知函数f（x）2axalnx在（1，2）上单调递减，则a的取值范围是 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）设命题p：aR，|a3|2；命题q：xR，x2+ax+10，如果命题“pq”为
4、真命题，命题“pq”为假命题，求实数a的取值范围18（12分）已知抛物线E的焦点F在x轴正半轴上，其弦AB过点F且垂直于x轴，若|AB|4（）求抛物线E的标准方程；（）设M，N是抛物线E上不重合两点，M与N两点的纵坐标之和为4，求直线MN的斜率19（12分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知（）求tanB；（）若a+c4，b2，求ABC的面积20（12分）已知an是首项为2的等比数列，且（）求数列an的通项an；（）设bn（n+1）log2an，是否存在正整数k，使得对于nN+恒成立若存在，求出正整数k的最小值；若不存在，请说明理由21（12分）已知函数（）若g（x）f（x）+
5、3x，当a1时，求g（x）的单调区间；（）若函数f（x）有唯一的零点，求实数a的取值范围22（12分）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，且其焦点和短轴端点都在圆C：x2+y22上（）求椭圆E的标准方程；（）点P是圆C上一点，过点P作圆C的切线交椭圆E于A，B两点，求|AB|的最大值2018-2019学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分每小题只有一个选项符合题意）1（5分）“ab”是“lgalgb”的（）条件A充分非必要B必要非充分C充要D既非充分也非必要【分析】由lgalgbab0，即可判断出关系【解答】解：
6、lgalgbab0，“ab”是“lgalgb”的必要不充分条件故选：B【点评】本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2（5分）在ABC中，若，则A（）A或B或C或D或【分析】直接利用正弦定理转化求解即可【解答】解：在ABC中，若，可得sinBsinAsinB，所以sinA，所以A或故选：D【点评】本题考查正弦定理的应用，是基本知识的考查3（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1+a66，则S6（）A6B12C18D36【分析】根据等差数列的前n项和公式求解即可【解答】解：因为数列an是等差数列，所以S618故选：C【点评】本题考查了等差数列的前
7、n项和公式，属于基础题4（5分）已知、分别为椭圆的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆C于A、B两点若ABF2周长是，则该椭圆方程是（）ABCD【分析】由题意，得c，a，然后求解b，由此能求出椭圆的方程【解答】解：由题意，、分别为椭圆的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆C于A、B两点若ABF2周长是，可得c，4a4，所以a，则b1，故所求的椭圆的方程：故选：A【点评】本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查5（5分）设a0，b0，若a+b2，则的最小值为（）A4BC5D【分析】利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（+）展开后，利用基本不等式求得y的最小值【解答】解：a+b2
8、，1，+（）（+）+2（当且仅当b2a时等号成立）则+的最小值是，故选：B【点评】本题主要考查了基本不等式求最值注意把握好一定，二正，三相等的原则6（5分）若x、y满足约束条件，则2x+y的最小值为（）A3B4C5D7【分析】先根据条件画出可行域，设z2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z2x+y，过可行域内的点A（1，2）时的最小值，从而得到z最小值即可【解答】解：x、y满足约束条件的可行域如图：在坐标系中画出可行域ABC，A（1，2），B（2，1），C（，2），由图可知，当x1，y2时，则目标函数z2x+y的最小，最小值为4故选：B【点评】借助于平面区域
9、特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定7（5分）若命题“存在x0R，使x22xm0”是假命题，则实数m的取值范围是（）A（，1）B（，2）C1，1D（，0）【分析】直接利用命题的应用求出参数m的取值范围【解答】解：由于命题“存在x0R，使x22xm0”为假命题，故：“对于xR，都有x22xm0恒成立”为真命题故：4+4m0，解得：m1故：m的取值范围是（，1）故选：A【点评】本题考查的知识要点：全称命题和特称命题的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型8（5分）在ABC中，已知bc，则A等于（）ABCD【分析】直接利
10、用余弦定理转化求解即可【解答】解：在ABC中，已知bc，所以cosA0，所以A故选：A【点评】本题考查余弦定理的应用，是基本知识的考查9（5分）直线l过点且与双曲线仅有一个公共点，这样的直线有（）条A1B2C3D不确定【分析】点（，0）在双曲线上，过双曲线上一点且与双曲线公有一个公共点的直线有3条【解答】解：点（，0）是双曲线的右顶点，过点（，0）且与双曲线仅有一个公共点的直线有三条，其中一条是过点（，0）垂直于x轴，一条过点（，0）且平行于渐近线x+y0，另一条过点（，0）且平行于渐近线xy0故选：C【点评】判断出点（，0）是双曲线上的一点，是准确解题的关键10（5分）已知an为等比数列，S
11、n是它的前n项和若a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5（）A31B32CD【分析】设等比数列an的公比为q，由已知可得q和a1的值，代入等比数列的求和公式可得【解答】解：设等比数列an的公比为q，则可得a1qa1q22a1，即a4a1q32，又a4与2a7的等差中项为，所以a4+2a7，即2+22q3，解得q，可得a116，故S531故选：A【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，涉及等差数列的性质，属基础题11（5分）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f（x）2x2f'（2）+lnx，则f'（2）的值为（）ABC1D2【分析】对f（x）2x2
12、f'（2）+lnx求导数，然后令x2，即可求出f（2）的值【解答】解：解：f（x）2x2f'（2）+lnx，f（x）4xf（2）+，令x2，则f（2）8f（2）+，即2f（2），故选：B【点评】本题考查了函数的导数属于基础题12（5分）过双曲线的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y21和圆C2：（x4）2+y21作切线，切点分别为M、N，则|PM|2|PN|2的最小值为（）A10B13C16D19【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线x21的左右焦点为F1（4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和
13、取得最小值，计算即可得到所求值【解答】解：圆C1：（x+4）2+y24的圆心为（4，0），半径为r11；圆C2：（x4）2+y21的圆心为（4，0），半径为r21，设双曲线x21的左右焦点为F1（4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得|PM|2|PN|2（|PF1|2r12）（|PF2|2r22）（|PF1|21）（|PF2|21）|PF1|2|PF2|2（|PF1|PF2|）（|PF1|+|PF2|）2a（|PF1|+|PF2|）2（|PF1|+|PF2|）22c2816当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值16故选：C【点评】本题考查最值的求法，注意运用双曲线
14、的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力，属于中档题二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）椭圆的离心率为【分析】先根据由椭圆的标准方程求的a和b，再根据c求得c，进而根据离心率的公式求得答案【解答】解：由椭圆的标准方程可知，a2，b1ce故答案为【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质属基础题14（5分）不等式的解集是x|x0或x【分析】根据题意，原不等式变形可得（3x1）x0，解可得x的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，00（3x1）x0，解可得x0或x，即不等式的解集为x|x0或x；故答案为：x|x0或x【点评】本题考查分时不等式的解法，关键是将分时不等
15、式变形为整式不等式，属于基础题15（5分）曲线在点（1，3）处的切线方程为xy+20【分析】求出曲线的导函数，把x1代入即可得到切线的斜率，然后根据（1，3）和斜率写出切线的方程即可【解答】解：由函数f（x）2x+知y2，把x1代入y得到切线的斜率k211，则切线方程为：y31（x1），即xy+20故答案为：xy+20【点评】本题主要考查了学生会根据曲线的导函数求切线的斜率，从而利用切点和斜率写出切线的方程，属于基础题16（5分）已知函数f（x）2axalnx在（1，2）上单调递减，则a的取值范围是，+）【分析】由题意可得f（x）0在x（1，2）上恒成立，即x22axa0成立，令g（x）x22
16、axa，则即可得出结论【解答】解：f（x）x2a，f（x）0在x（1，2）上恒成立，即x2a0，在x（1，2）上恒成立，即x22axa0，令g（x）x22axa，则即解得a故答案为，+）【点评】本题考查学生利用导数研究函数的单调性知识及转化划归思想的运用能力，属中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）设命题p：aR，|a3|2；命题q：xR，x2+ax+10，如果命题“pq”为真命题，命题“pq”为假命题，求实数a的取值范围【分析】求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可【解答】解：由|a3|2得2a32，即1
17、a5；即p：1a5；若：xR，x2+ax+10，则判别式a240，得2a2，即q：2a2，若命题“pq”为真命题，命题“pq”为假命题，则p，q一个为真命题，一个为假命题，若p真q假，则，得2a5，若p假q真，则得2a1，即实数a的取值范围是2a5或2a1【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键18（12分）已知抛物线E的焦点F在x轴正半轴上，其弦AB过点F且垂直于x轴，若|AB|4（）求抛物线E的标准方程；（）设M，N是抛物线E上不重合两点，M与N两点的纵坐标之和为4，求直线MN的斜率【分析】（）先设抛物线E的标准方程为y22px（p0），由对称性得出弦
18、AB端点的坐标，代入抛物线E的方程得出p的值，从而可得出抛物线E的方程；（）设点M、N的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），由已知条件得出，且y1+y24，利用斜率公式并结合坐标运算可得出直线MN的斜率【解答】解：（）设抛物线E的标准方程为y22px（p0），由于弦AB过点F且垂直于x轴，且|AB|4，所以，点在抛物线E上，将点的坐标代入抛物线E的方程得，p0，得p2，因此，抛物线E的标准方程为y24x；（）设点M、N的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则，且y1+y24，因此，直线MN的斜率为【点评】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线方程的求解，以及直线斜率问题的计算，
19、考查计算能力与转化能力，属于中等题19（12分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知（）求tanB；（）若a+c4，b2，求ABC的面积【分析】（）利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可求tanB的值（）利用同角三角函数基本关系式可求cosB，sinB的值，由余弦定理解得ac6，利用三角形的面积公式即可计算得解【解答】解：（）2cosB，tanB，（）tanB，cosB，sinBa+c4，b2，由余弦定理a2+c22accosBb2，可得：a2+c2ac4，即（a+c）23ac163ac4，ac4，所以SABCacsinB【点评】本题考查了二倍角公式，同角三角函数基
20、本关系式，余弦定理以及三角形的面积公式，考查了运算能力，属于基础题20（12分）已知an是首项为2的等比数列，且（）求数列an的通项an；（）设bn（n+1）log2an，是否存在正整数k，使得对于nN+恒成立若存在，求出正整数k的最小值；若不存在，请说明理由【分析】（）根据已知条件列解得q2，继而写出通项即可；（）因为（n+1）n（n+1），所以，用裂项相消法可以求得的范围，继而根据恒成立可以求得k的最小值【解答】解：（）设等比数列an的公比为q，q2，数列an的通项（）（n+1）n（n+1），（1）+（）+11，假设存在正整数k，使得k对于nN*恒成立，则k1所以正整数k的最小值为1【点评
21、】本题考查数列的递推式，采用了裂项相消法，技巧性较强，难度较大21（12分）已知函数（）若g（x）f（x）+3x，当a1时，求g（x）的单调区间；（）若函数f（x）有唯一的零点，求实数a的取值范围【分析】（）g（x）的定义域为（0，+），当a1时，g（x）2lnx+3x，求出导函数，利用导函数的符号可得单调区间（）问题等价于xlnx有唯一实根，构造函数h（x）xlnx，利用导数求出其最小值，然后根据最值求出实数a的范围【解答】解：（）g（x）的定义域为（0，+），当a1时，g（x）2lnx+3x，g（x）+3，由g（x）0得x1，g（x）0得0x1，g（x）的单调递减区间为（0，1），递增区间
22、为（1，+）；（）问题等价于xlnx有唯一实根，令h（x）xlnx，则h（x）1+lnx，由h（x）0得x，由h（x）0得0x，所以h（x）在（0，）上递减，在（，+）上递增，所以h（x）的最小值为h（），要使方程xlnx有唯一实根，只需直线y与曲线yh（x）有唯一的交点，则或0，解得a，或a0故实数a的取值范围是（0，+）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，属难题，22（12分）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，且其焦点和短轴端点都在圆C：x2+y22上（）求椭圆E的标准方程；（）点P是圆C上一点，过点P作圆C的切线交椭圆E于A，B两点，求|AB|的最大值【分析】（）利用焦点和短
23、轴端点在圆上可得b，c，问题得解；（）设切线方程ykx+m，利用圆心到切线距离等于半径得k，m关系式；利用切线方程与椭圆方程联立得根与系数关系，结合弦长公式，可用含k的式子表示|AB|，不难分析最值【解答】解：（）焦点和短轴端点都在圆C上，bc，a2，椭圆焦点在x轴上，椭圆方程为：；（）显然切线斜率不为0；当ABx轴时，易得|AB|2；当AB有斜率时，设其方程为ykx+m，（k0），则，得m22k2+2，直线方程与椭圆方程联立消去y得，（1+2k2）x2+4kmx+2m240，x1+x2，x1x2，4x1x2把代入得，|AB|x1x2|44，44，|AB|，综上可知，|AB|2，故|AB|的最大值为2【点评】此题考查了椭圆方程，直线与椭圆的综合，难度较大
