1、2018-2019学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1（5分）命题“若ab，则a+cb+c”的否命题是（）A若a+cb+c，则abB若ab，则a+cb+cC若a+cb+c，则abD若ab，则a+cb+c2（5分）若f（x）是函数f（x）x3+2x+1的导函数，则f（1）的值为（）A1B3C1或3D43（5分）设xR，则“x1”是“x2+x20”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4（5分）已知（2，1，3），（1，2，1），若（），则实数的值为
2、（）A2BCD25（5分）执行如图的程序框图，若输入a，b，k分别为1，2，3，则输出的M（）ABCD6（5分）某班有50名学生，男女人数不相等随机询问了该班5名男生和5名女生的某次数学测试成绩，用茎叶图记录如图所示，则下列说法一定正确的是（）A这5名男生成绩的标准差大于这5名女生成绩的标准差B这5名男生成绩的中位数大于这5名女生成绩的中位数C该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数D这种抽样方法是一种分层抽样7（5分）已知x0，y0，且2x+y1，则xy的最大值是（）AB4CD88（5分）抛掷2枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是（）ABCD9（5分）设x，y满足约束条件
3、，则z3x+y的最大值为（）A3B4C2D510（5分）点P是双曲线x21（b0）上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，|PF1|+|PF2|6，PF1PF2，则双曲线的离心率为（）AB2CD11（5分）正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为（）ABCD12（5分）已知xR，mR，使4x2x+1+m0成立，则m的取值范围是（）A（，1B（，1）C（，1）D1，+）二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x2x+a0无实根的概率为 14
4、（5分）从编号为0，1，2，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为 15（5分）已知抛物线y22px（p0）的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M，N两点，给出下列三个结论：PMN必为直角三角形； 直线PM必与抛物线相切；PMN的面积为p2其中正确的结论是 16（5分）已知点M（3，0），N（3，0），B（1，0），圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为 三解答题：共70分，解答应写出文字说明，
5、证明过程或演算步骤17（10分）点（4，4）在抛物线C：x22py（p0）上，且A，B为C上两点，A与B的横坐标之和为4（1）求抛物线C的方程；（2）求直线AB的斜率18（12分）2019年4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，按阅读时间分组：第一组0，5），第二组5，10），第三组10，15），第四组15，20），第五组20，25，绘制了频率分布直方图如下图所示已知第三组的频数是第五组频数的3倍（1）求a的值，并根据频率分布直方图估计该校学生一周课外阅读时间的平均值；（2）现从第三、四、五这
6、3组中用分层抽样的方法抽取6人参加校“中华诗词比赛”经过比赛后，从这6人中随机挑选2人组成该校代表队，求这2人来自不同组别的概率19（12分）已知函数f（x）lnx+ax（1）当a1时，求函数f（x）在点P（1，f（1）处的切线方程；（2）若f（x）存在与直线2xy0平行的切线，求a的取值范围20（12分）某市2011年至2017年新开楼盘的平均销售价格（单位：千元/平方米）的统计数据如表：年份2011201220132014201520162017年份代号x1234567销售价格y33.43.74.54.95.36（1）求y关于x的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2011年至
7、2017年该市新开楼盘平均销售价格的变化情况，并预测该市2019年新开楼盘的平均销售价格附：参考公式：，b，其中为样本平均值参考数据：21（12分）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC，EFAC，AB，CEEF1（）求证：AF平面BDE；（）求证：CF平面BDE；（）求二面角ABED的大小22（12分）已知椭圆方程为x2+1，射线y2x（x0）与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A、B两点（异于M）（1）求证直线AB的斜率为定值；（2）求AMB面积的最大值2018-2019学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选
8、择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1（5分）命题“若ab，则a+cb+c”的否命题是（）A若a+cb+c，则abB若ab，则a+cb+cC若a+cb+c，则abD若ab，则a+cb+c【分析】根据命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”【解答】解：命题“若ab，则a+cb+c”的否命题是“若ab，则a+cb+c”故选：B【点评】本题考查了命题与它的否命题的应用问题，是基础题2（5分）若f（x）是函数f（x）x3+2x+1的导函数，则f（1）的值为（）A1B3C1或3D4【分析】先求函数f（x）的导函数，然后在导函数解析式中把x代1求值
9、【解答】解：因为函数f（x）x3+2x+1，所以其导函数 f（x）x2+2，所以f（1）（1）2+23故选：B【点评】本题考查了导数的运算，已知函数解析式，求函数在x取某一具体值时的导数值属于基础题3（5分）设xR，则“x1”是“x2+x20”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由不等式x2+x20，得x1或x2，所以由x1可以得到不等式x2+x20成立，但由x2+x20不一定得到x1，所以x1是x2+x20的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判
10、断，结合充分条件和必要条件的定义进行判断是解决本题的关键4（5分）已知（2，1，3），（1，2，1），若（），则实数的值为（）A2BCD2【分析】求出向量，利用，向量的数量积为0，求出的值即可【解答】解：因为，所以，由，所以，得2（2）+12+9302，故选：D【点评】本题是基础题，考查向量的数量积的求法，考查计算能力5（5分）执行如图的程序框图，若输入a，b，k分别为1，2，3，则输出的M（）ABCD【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a，b，k的值，当M时满足条件nk，退出循环，输出M的值【解答】解：n1时，M1+，n2时，M2+，n3时，M+，故选：D【点评】本题主要考查了循环结
11、构的程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的办法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题6（5分）某班有50名学生，男女人数不相等随机询问了该班5名男生和5名女生的某次数学测试成绩，用茎叶图记录如图所示，则下列说法一定正确的是（）A这5名男生成绩的标准差大于这5名女生成绩的标准差B这5名男生成绩的中位数大于这5名女生成绩的中位数C该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数D这种抽样方法是一种分层抽样【分析】根据茎叶图的分别情况分别判断即可【解答】解：这5名男生成绩的方差为，女生的方差为，男生方差大于女生方差，所以男生标准差大于女生标准差，所以A对；这5
12、名男生成绩的中位数是90，5名女生成绩的中位数93，所以B错；该班男生和女生成绩的平均数可通过样本估计，但不能通过样本计算得到平均数准确值，所以C错；若抽样方法是分层抽样，因为男生女生不等，所以分别抽取的人数不等，所以D错故选：A【点评】本题考查了茎叶图问题，考查考查方程，平均数，中位数问题，是一道常规题7（5分）已知x0，y0，且2x+y1，则xy的最大值是（）AB4CD8【分析】利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：x0，y0，且2x+y1，xy，当且仅当2xy0，2x+y1，即，y时，取等号，此时，xy的最大值是故选：C【点评】熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键8（5分）抛掷2枚质地
13、均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是（）ABCD【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子有6636种结果，绝对值等于3的基本事件有6种结果，根据概率公式计算可得【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子有6636种结果，绝对值为3的基本事件有（1，4），（2，5），（3，6），（4，1），（5，2），（6，3）六种结果，故所求概率P故选：C【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是列举出所有符合条件的事件，注意列举时做到不重不漏9（5分）设x，y满足约束条件，则z3x+y的最大值为（）A3B4C2D5【分析
14、】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z3x+y为y3x+z，由图可知，当直线y3x+z过B（1，1）时，直线在y轴上的截距最大，此时z有最大值为31+14故选：B【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题10（5分）点P是双曲线x21（b0）上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，|PF1|+|PF2|6，PF1PF2，则双曲线的离心率为（）AB2CD【分析】根据题意，由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a2，设|PF1|PF2|，则有|PF1|PF2|2，
15、与|PF1|+|PF2|6联立分析可得|PF1|、|PF2|的值，由勾股定理可得|PF1|2+|PF2|24c220，计算可得c的值，由双曲线离心率公式计算可得答案【解答】解：根据题意，点P是双曲线x21（b0）上一点，则有|PF1|PF2|2a2，设|PF1|PF2|，则有|PF1|PF2|2，又由|PF1|+|PF2|6，解可得：|PF1|4，|PF2|2，又由PF1PF2，则有|PF1|2+|PF2|24c220，则c，又由a1，则双曲线的离心率e；故选：C【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及勾股定理的应用，注意利用双曲线的定义求出|PF1|、|PF2|的关系11（5分）正三棱柱ABC
16、A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为（）ABCD【分析】先证出B1D平面AC1，过A点作AGCD，证AG平面B1DC，可知ADG即为直线AD与平面B1DC所成角，求其正弦即可【解答】解：如图，连接B1DD是A1C1的中点，A1B1C1是正三角形B1DA1C1，平面AC1平面A1B1C1，平面AC1平面A1B1C1A1C1，B1D平面AC1，过A点作AGCD，则由B1D平面AC1，得AGB1D由线面垂直的判定定理得AG平面B1DC，于是ADG即为直线AD与平面B1DC所成角，由已知，不妨令棱长为2，则ADCD，由等面积法得AG所以直线AD与面
17、DCB1的正弦值为故选：B【点评】本题考查正棱柱的性质以及线面角的求法，考查空间想象能力以及点线面的位置关系12（5分）已知xR，mR，使4x2x+1+m0成立，则m的取值范围是（）A（，1B（，1）C（，1）D1，+）【分析】通过换元t2x后转化为求函数yt2+2t（t0）的值域【解答】解：原命题m2x+14x有解求函数yt2+2t，（t0）的值域，yt2+2t（t1）2+1，t1，x0时函数y取得最大值1故值域为（，1故选：A【点评】本题考查了函数的值域，属中档题二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x2x+
18、a0无实根的概率为【分析】由一元二次不等式的解的问题有：14a0，即a，又0a1，则a1，由几何概型中的线段型可得：关于x的一元二次方程x2x+a0无实根的概率为：，得解【解答】解：由关于x的一元二次方程x2x+a0无实根，则14a0，即a，又0a1，则a1，则由几何概型中的线段型可得：关于x的一元二次方程x2x+a0无实根的概率为：，故答案为：【点评】本题考查了几何概型中的线段型、一元二次不等式的解的问题，属简单题14（5分）从编号为0，1，2，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为10【分析】根据系统抽样的定义求
19、出样本间隔即可【解答】解：样本间隔为80516，42162+10，该样本中产品的最小编号为10，故答案为：10【点评】本题主要考查系统抽样的应用，根据条件求出样本间隔是解决本题的关键比较基础15（5分）已知抛物线y22px（p0）的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M，N两点，给出下列三个结论：PMN必为直角三角形； 直线PM必与抛物线相切；PMN的面积为p2其中正确的结论是【分析】利用抛物线的焦点坐标，通过已知条件求出PMN必为直角三角形； 直线PM必与抛物线相切；PMN的面积为p2判断真假即可【解答】解：抛物线y22px（p0）的焦点为，过F作x轴的
20、垂线交抛物线于M，N两点，则，则F为MN的中点，且，PMN为等腰直角三角形，故正确；直线PM的方程为，与抛物线y22px联立，消去x，得y22py+p20，4p24p20，直线PM与抛物线相切，故正确；，故正确故答案为：【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力16（5分）已知点M（3，0），N（3，0），B（1，0），圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为（x1）【分析】PM，PN分别与圆C相切于Q、R，根据圆的切线长定理，能够推导出PMPNQMRNMBNB2MN，因此点P的轨迹是以M、N为焦点的双曲线再根据题条件能够求出P点的
21、轨迹方程【解答】解：由已知，设PM，PN分别与圆C相切于Q、R，根据圆的切线长定理，有PQPR，MQMB，NRNB；PMPNQMRNMBNB2MN点P的轨迹是以M、N为焦点的双曲线，由于M、N两点关于y轴对称，且在x轴上，故其方程可设为标准方程：，点M（3，0），N（3，0），PMPNQMRNMBNB2，c3，a1，所以b28点P的轨迹方程为：（x1）故答案为：（x1）【点评】本题考查双曲线的基本性质和圆的切线长定理，解题时要注意审题三解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）点（4，4）在抛物线C：x22py（p0）上，且A，B为C上两点，A与B的横坐标之和为4（
22、1）求抛物线C的方程；（2）求直线AB的斜率【分析】（1）通过点（4，4）在抛物线上，求出p即可得到抛物线C的方程；（2）设，且x1+x24，转化求解直线的斜率即可【解答】（本大题满分10分）解：（1）因为点（4，4）在抛物线上，代入得：162p4p2，（2分）所以抛物线C的方程为x24y（4分）；（2）设，且x1+x24，（6分）则，故直线AB的斜率为1（10分）【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力18（12分）2019年4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：
23、小时）的数据，按阅读时间分组：第一组0，5），第二组5，10），第三组10，15），第四组15，20），第五组20，25，绘制了频率分布直方图如下图所示已知第三组的频数是第五组频数的3倍（1）求a的值，并根据频率分布直方图估计该校学生一周课外阅读时间的平均值；（2）现从第三、四、五这3组中用分层抽样的方法抽取6人参加校“中华诗词比赛”经过比赛后，从这6人中随机挑选2人组成该校代表队，求这2人来自不同组别的概率【分析】（1）由频率分布直方图可得第三组和第五组的频率之和，第三组的频率，由此能求出a和该样本数据的平均数，从而可估计该校学生一周课外阅读时间的平均值（2）从第3、4、5组抽取的人数分别为
24、3、2、1，设为A，B，C，D，E，F，利用列举法能求出从该6人中选拔2人，这2人来自不同组别的概率【解答】（本大题满分12分）解：（1）由频率分布直方图可得第三组和第五组的频率之和为：1（0.01+0.07+0.04）50.4（1分）第三组的频率为（2分）（3分）该样本数据的平均数为：（4分）12.25（5分）所以可估计该校学生一周课外阅读时间的平均值为12.25小时（6分）（2）从第3、4、5组抽取的人数分别为3、2、1，（7分）设为A，B，C，D，E，F，则从该6人中选拔2人的基本事件有15种，分别为：AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，E
25、F（8分）其中来自不同的组别的基本事件有11种，分别为：（9分）AD，AE，AF，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DF，EF，（11分）这2人来自不同组别的概率为P（12分）【点评】本题考查平均数、概率的求法，考查古典概型、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19（12分）已知函数f（x）lnx+ax（1）当a1时，求函数f（x）在点P（1，f（1）处的切线方程；（2）若f（x）存在与直线2xy0平行的切线，求a的取值范围【分析】（1）当求出导函数，得到切线的斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程（2）函数定义域为（0，+），通过函数f（x）存在与2xy0平行的切线，列出不等
26、式求解a的范围【解答】（本大题满分12分）解：（1）当a1时，f（x）lnx+x，则，（1分）f（1）1+12，（2分）则切线方程为：y1f（1）（x1），（3分）即：y2x1（4分）（2）函数定义域为（0，+），因为函数f（x）存在与2xy0平行的切线，所以有解，（6分）即有解与y2a有交点，所以2a0，所以a2（8分）若直线2xy0与f（x）相切，设切点为（x0，2x0），（9分）则有不符合题意，（11分）故综上所述，a的取值范围是：（12分）【点评】本题考查切线方程的求法，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力20（12分）某市2011年至2017年新开楼盘的平均销售价格（单位：千元
27、/平方米）的统计数据如表：年份2011201220132014201520162017年份代号x1234567销售价格y33.43.74.54.95.36（1）求y关于x的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2011年至2017年该市新开楼盘平均销售价格的变化情况，并预测该市2019年新开楼盘的平均销售价格附：参考公式：，b，其中为样本平均值参考数据：【分析】（1）由已知表格数据求得的值，则线性回归方程可求；（2）由（1）得到，可知2011年至2017年该市新开楼盘平均销售价格的变化是逐年增加的，平均每年每平方增加0.5千元再把x9代入线性回归方程，求得y值，可预测该市2019年新
28、开楼盘的平均销售价格【解答】解：（1）由题意知：，（2分），（4分），（6分）（7分）线性回归方程为：；（8分）（2）由（1）得到，2011年至2017年该市新开楼盘平均销售价格的变化是逐年增加的，平均每年每平方增加0.5千元10分将x9代入线性回归方程，得到：（11分）故预测该市2019年新开楼盘的平均销售价格为6.9千元/平方米（12分）【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题21（12分）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC，EFAC，AB，CEEF1（）求证：AF平面BDE；（）求证：CF平面BDE；（）求二面角ABED的大小【分析】（）设
29、AC与BD交于点G，则在平面BDE中，可以先证明四边形AGEF为平行四边形EGAF，就可证：AF平面BDE；（）先以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz把对应各点坐标求出来，可以推出0和0，就可以得到CF平面BDE（）先利用（）找到（，1），是平面BDE的一个法向量，再利用平面ABE的法向量0和0，求出平面ABE的法向量，就可以求出二面角ABED的大小【解答】解：证明：（I）设AC与BD交于点G，因为EFAG，且EF1，AGAC1，所以四边形AGEF为平行四边形所以AFEG因为EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEA
30、C，所以CE平面ABCD如图，以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz则C（0，0，0），A（，0），D（，0，0），E（0，0，1），F（，1）所以（，1），（0，1），（，0，1）所以01+10，1+0+10所以CFBE，CFDE，所以CF平面BDE（III）由（II）知，（，1），是平面BDE的一个法向量，设平面ABE的法向量（x，y，z），则0，0即所以x0，且zy令y1，则z所以n（），从而cos（，）因为二面角ABED为锐角，所以二面角ABED为【点评】本题综合考查直线和平面垂直的判定和性质和线面平行的推导以及二面角的求法在证明线面平行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线当然
31、也可以用面面平行来推导线面平行22（12分）已知椭圆方程为x2+1，射线y2x（x0）与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A、B两点（异于M）（1）求证直线AB的斜率为定值；（2）求AMB面积的最大值【分析】（1）设k0，求得M的坐标，则可表示出AM的直线方程和BM的直线方程，分别与椭圆的方程联立求得xA和xB，进而求得AB的斜率（2）设出直线AB的方程与椭圆方程联立消去y，利用判别式大于0求得m的范围，进而表示出三角形AMB的面积，利用m的范围确定面积的最大值【解答】解：（1）斜率k存在，不妨设k0，求出M（，2），直线MA方程为y2k（x），直线MB方程为y2k（x）分别与椭圆方程联立，可解出xA，xB则yA2k（x），yB2+k（x），kAB2；kAB2（定值）（2）设直线AB方程为y2x+m，与x2+1联立，消去y得16x2+4mx+（m28）0由0得4m4，且m0，点M（，2）到AB的距离d设AMB的面积为SS2|AB|2d2m2（16m2）2当m2时，得Smax【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题考查了学生分析问题和解决问题的能力
