1、2018-2019学年广东省深圳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）ABCD2（5分）连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量与向量的夹角记为，则的概率为（）ABCD3（5分）如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，若直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（ab），则（）ABCD4（5分）已知命题p：xR，使得x+2，命题q：xR，x2+x+10，下列命题为真的是（）A（p）
2、qB（p）（q）Cp（q）Dpq5（5分）下列说法正确的是（）AaR，“1”是“a1”的必要不充分条件B“pq为真命题”是“pq为真命题”的必要不充分条件C命题“xR使得x2+2x+30”的否定是：“xR，x2+2x+30”D命题p：“xR，sinx+cosx”，则p是真命题6（5分）如图，已知直线l：yk（x+1）（k0）与抛物线C：y24x相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|2|BN|，则k的值是（）ABCD27（5分）在一次歌咏比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 &n
3、bsp;94 93 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A92，2.8B92，2C93，2D93，2.88（5分）为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：）制成如图所示的茎叶图考虑以下结论：甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（）ABCD9（5分）某商场在
4、国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（）A8万元B10万元C12万元D15万10（5分）设P为椭圆+1上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若|PF1|：|PF2|2：1则PF1F2的面积为（）A2B3C4D511（5分）已知双曲线C：1（a0，b0）的右焦点为F（c，0），直线xa与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为A，O为坐标原若OAF的面积为a2，则双曲线C的离心率为（）ABCD12（5分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且F1PF2，记椭圆和双
5、曲线的离心率分别为e1，e2则（）A4B2C2D3二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13（5分）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93这种抽样方法是一种分层抽样；这种抽样方法是一种系统抽样；这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差；该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数，则以上说法一定正确的是 14（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1，若E是AD的中点，则异面直线A1B与C1E所成
6、角等于 15（5分）设椭圆1（0b5）的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则b值为 16（5分）如图，多面体OABCD，ABCD2，ADBC2，ACBD，且OA，OB，OC两两垂直，给出下列5个结论：三棱锥OABC的体积是定值；球面经过点A、B、C、D四点的球的直径是；直线OB平面ACD；直线AD与OB所成角是60；二面角AOCD等于30其中正确的结论是 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）（1）若抛物线的焦点是椭圆+1左顶点，求此抛物线的标准方程；（2）某双曲线与椭圆+1共焦点，且以y为渐近线，求此双
7、曲线的标准方程18（12分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图（）求分数在50，60）的频率及全班人数；（）求分数在80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中80，90）间矩形的高；（）若要从分数在80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在90，100）之间的概率19（12分）设关于x的一元二次方程x2+2ax+b20（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率（2）若a是从区间0，3任取的一个数，b是从区间0，2任取的一个
8、数，求上述方程有实根的概率20（12分）已知抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点（1）若3，求直线AB的斜率；（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值21（12分）已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA3，（1）如图建立空间直角坐标系，写出、的坐标；（2）求直线AB与平面SBC所成角的正弦值22（12分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADCD，ABCD，ABAD2，CD4，M为CE的中点（1）求证：BC平面BDE；（2）求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角
9、的余弦值2018-2019学年广东省深圳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）ABCD【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数n10，甲被选中包含的基本事件的个数m4，甲被选中的概率p故选：B【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用2（5
10、分）连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量与向量的夹角记为，则的概率为（）ABCD【分析】根据题意，由分步计数原理分析可得向量的情况数目；进而根据向量的数量积公式可得cos，由余弦函数的性质可得若，则1，对其变形化简可得mn，由列举法可得其情况数目，由等可能事件的概率公式计算可得答案【解答】解：根据题意，m、n的情况各有6种，则的情况有6636种，又由题意，向量，向量，则cos，若，则1，化简可得m2n2，即mn，则的坐标可以为：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6
11、，4），（6，5），共有15种情况；则的概率为，故选：B【点评】本题考查等可能事件的概率的计算，涉及向量数量积的运算与性质，关键是由数量积的运算性质可得m、n的关系3（5分）如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，若直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（ab），则（）ABCD【分析】根据几何概型的意义，求出三角形的面积，再求出大正方形的面积，根据比值即可得到关乎a，b的方程，解得即可【解答】解：这一点落在小正方形内的概率为 ，正方形ABCD面积为a2+b2，三角形的面积为ab，1，即a2+b2ab，即+，ab，解得，2（舍去）故
12、选：B【点评】本题考查几何概型的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积和总面积的比，这个比即事件（A）发生的概率4（5分）已知命题p：xR，使得x+2，命题q：xR，x2+x+10，下列命题为真的是（）A（p）qB（p）（q）Cp（q）Dpq【分析】本题的关键是判定命题p：xR，使得x+2，命题q：xR，x2+x+10的真假，在利用复合命题的真假判定【解答】解：对于命题p：xR，使得x+2，当x0时，命题p成立，命题p为真命题q：xR，x2+x+10，显然x2+x+10，命题q为真根据复合命题的真假判定，pq为真，（p）q为假，p（
13、q）为假，（p）（q）为假故选：D【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断5（5分）下列说法正确的是（）AaR，“1”是“a1”的必要不充分条件B“pq为真命题”是“pq为真命题”的必要不充分条件C命题“xR使得x2+2x+30”的否定是：“xR，x2+2x+30”D命题p：“xR，sinx+cosx”，则p是真命题【分析】A根据不等式的关系进行判断即可B根据充分条件和必要条件的定义进行判断C根据特称命题的否定是全称命题进行判断D根据三角函数的性质进行判断【解答】解：A由1得a1或a0，则“1”是“a1”的必要不充分条件
14、，正确，B若pq为真命题，则p，q都是真命题，此时pq为真命题，即充分性成立，反之当p假q真时，pq为真命题，但pq为假命题，故“pq为真命题”是“pq为真命题”的充分不必要条件，故B错误，C命题“xR使得x2+2x+30”的否定是：“xR，x2+2x+30”，故C错误，Dsinx+cosxsin（x+）恒成立，p是真命题，则p是假命题，故D错误，故选：A【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及充分条件和必要条件，含有量词的命题的否定，比较基础6（5分）如图，已知直线l：yk（x+1）（k0）与抛物线C：y24x相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|2|B
15、N|，则k的值是（）ABCD2【分析】直线yk（x+1）（k0）恒过定点P（1，0），由此推导出|OB|AF|，由此能求出点B的坐标，从而能求出k的值【解答】解：设抛物线C：y24x的准线为l：x1直线yk（x+1）（k0）恒过定点P（1，0）如图过A、B分别作AMl于M，BNl于N，由|AM|2|BN|，则|FA|2|FB|，点B为AP的中点、连接OB，则|OB|AF|，|OB|BF|，点B的横坐标为，点B的坐标为B（，），把B（，）代入直线l：yk（x+1）（k0），解得k故选：C【点评】本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用7（
16、5分）在一次歌咏比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A92，2.8B92，2C93，2D93，2.8【分析】先由题意列出所剩数据，由平均数和方差公式依次求出均数、方差即可【解答】解：由题意所剩数据：90 90 93 94 93，所以平均数92，方差S（9092）2+（9092）2+（9392）2+（9492）2+（9392）22.8，故选：A【点评】本题考查平均数和方差
17、公式，属于基础题8（5分）为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：）制成如图所示的茎叶图考虑以下结论：甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（）ABCD【分析】利用茎叶图分别求出甲、乙两地某月14时的气温的平均值和标准差，由此能求出结果【解答】解：由茎叶图，得：甲地该月14时的平均气温（26+28+29+3
18、1+31）29，甲地该月14时的平均气温的标准差S甲，乙地该月14时的平均气温（28+29+30+31+32）30，乙地该月14时的平均气温的标准差S乙，甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温，甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差根据茎叶图能得到的统计结论的标号为故选：A【点评】本题考查平均值、标准差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图、平均值、标准差的合理运用9（5分）某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（）A8万元B1
19、0万元C12万元D15万【分析】由频率分布直方图得0.40.14，也就是11时至12时的销售额为9时至10时的销售额的4倍【解答】解：由频率分布直方图得0.40.1411时至12时的销售额为3412故选：C【点评】本题考查频率分布直方图，关键是注意纵坐标表示频率比组距，属于基础题10（5分）设P为椭圆+1上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若|PF1|：|PF2|2：1则PF1F2的面积为（）A2B3C4D5【分析】先由椭圆的方程求出|F1F2|2，再由|PF1|2|PF2|，求出|PF1|4，|PF2|2，由此能够推导出PF1F2是直角三角形，其面积【解答】解：|PF1|：|PF2|2：
20、1，可设|PF1|2k，|PF2|k，由题意可知2k+k6，k2，|PF1|4，|PF2|2，|F1F2|2，PF1F2是直角三角形，其面积4故选：C【点评】本题考查椭圆的性质，判断出PF1F2是直角三角形能够简化运算11（5分）已知双曲线C：1（a0，b0）的右焦点为F（c，0），直线xa与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为A，O为坐标原若OAF的面积为a2，则双曲线C的离心率为（）ABCD【分析】利用OAF的面积为a2，建立方程，即可求出双曲线C的离心率【解答】解：由题意，A（a，b），OAF的面积为a2，bca2，2c23bc2b20，c2b或cb（舍去），ab，e故选：A【点评】本题考
21、查双曲线的离心率的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题12（5分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且F1PF2，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2则（）A4B2C2D3【分析】先设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找a1，a2，c之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，并且|F1F2|2c，F1PF2，在F1PF2中根据余弦定理可得到3a12+a224c2，结合离心率公式，计算可得所求值【解答】解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，P在双曲线的
22、右支上，根据椭圆及双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|2a1，|PF1|PF2|2a2，可得|PF1|a1+a2，|PF2|a1a2，设|F1F2|2c，F1PF2，在PF1F2中由余弦定理得，4c2（a1+a2）2+（a1a2）22（a1+a2）（a1a2）cos ，化简得3a12+a224c2，该式可变成+4，结合e1，e2，4故选：A【点评】本题考查椭圆及双曲线的交点，及椭圆与双曲线的定义，以及它们离心率的定义，余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13（5分）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和
23、五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93这种抽样方法是一种分层抽样；这种抽样方法是一种系统抽样；这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差；该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数，则以上说法一定正确的是【分析】若抽样方法是分层抽样，男生、女生分别抽取6人、4人，由题目看不出是系统抽样，求出这五名男生成绩的平均数、方差和这五名女生成绩的平均数、方差，由此能求出结果【解答】解：若抽样方法是分层抽样，男生、女生分别抽取6人、4人，所以错；由题目看不出是系统抽样，所以错；这五名男生成绩的平均数，男（86+
24、94+88+92+90）90，这五名女生成绩的平均数女（88+93+93+88+93）91，故这五名男生成绩的方差为（42+42+22+22+02）8，这五名女生成绩的方差为（32+22+22+32+22）6，故正确，错故答案为：【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样、系统抽样、平均数、方差的性质的合理运用14（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1，若E是AD的中点，则异面直线A1B与C1E所成角等于90【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1B与C1E所成角【解答】解：以A为原点，AB
25、为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则A1（0，0，2），B（2，0，0），C1（2，2，2），E（0，1，0），（2，0，2），（2，1，2），设异面直线A1B与C1E所成角为，则cos0，90异面直线A1B与C1E所成角等于90故答案为：90【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用15（5分）设椭圆1（0b5）的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则b值为4【分析】设椭圆焦距为2c，由已知可得5+c2b，结合隐含条件求得b可求【解答】解：设焦距为2c，则有，解得b216，可得b4故答案为
26、：4【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查等差数列性质的应用，是基础的计算题16（5分）如图，多面体OABCD，ABCD2，ADBC2，ACBD，且OA，OB，OC两两垂直，给出下列5个结论：三棱锥OABC的体积是定值；球面经过点A、B、C、D四点的球的直径是；直线OB平面ACD；直线AD与OB所成角是60；二面角AOCD等于30其中正确的结论是【分析】由题意，只要构造长方体，设OAx，OBy，OCz，则x2+y24，x2+z210，y2+z212，解得，x1，y，z3，运用棱锥的体积公式，即可判断；运用异面直线所成角的定义，即可判断；球面经过点A、B、C、D两点的球的直径即为长方体的对角线长，
27、即可判断；由于OBAE，AE和平面ACD相交，即可判断【解答】解：由题意，构造长方体，如右图，设OAx，OBy，OCz，则x2+y24，x2+z210，y2+z212，解得，x1，y，z3，对于，三棱锥OABC的体积为OCOAOB，故对；对于，球面经过点A、B、C、D两点的球的直径即为长方体的对角线长，即为，故对；对于，由于OBAE，AE和平面ACD相交，则OB和平面ACD相交，故错对于，由于OBAE，则DAE即为直线AD与OB所成的角，由tanDAE，则DAE60，故对；因为AOOC，DCOC，所以异面直线CD与OA所成的角大小为二面角AOCD的二面角大小，连接OE，则角AOE为所求，tan
28、AOE，所以AOE60；错误；故答案为：【点评】本题考查线面的位置关系的判断，空间异面直线所成的角，以及三棱锥的体积的计算和多面体的外接球的关系，考查运算能力，属于中档题和易错题三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）（1）若抛物线的焦点是椭圆+1左顶点，求此抛物线的标准方程；（2）某双曲线与椭圆+1共焦点，且以y为渐近线，求此双曲线的标准方程【分析】（1）求得椭圆的左顶点，设抛物线的方程为y22px（p0），可得8，求得p，即可得到所求方程；（2）求得椭圆的焦点，设双曲线的方程为1（a0，b0），可得渐近线方程，以及a，b的方程组，解得a，b，
29、即可得到所求双曲线的方程【解答】解：（1）椭圆+1的a8，左顶点为（8，0），设抛物线的方程为y22px（p0），可得8，解得p16，则抛物线的方程为y232x；（2）双曲线与椭圆+1共焦点（，0），即为（4，0），设双曲线的方程为1（a0，b0），则a2+b248，渐近线方程为yx，可得，解得a2，b6，则双曲线的方程为1【点评】本题考查椭圆、双曲线和抛物线的方程和性质，主要是焦点、顶点和渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题18（12分）某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图（）求分数在50，60）的频率及全班人数；（）求分数在
30、80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中80，90）间矩形的高；（）若要从分数在80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在90，100）之间的概率【分析】（）先由频率分布直方图求出50，60）的频率，结合茎叶图中得分在50，60）的人数即可求得本次考试的总人数；（）根据茎叶图的数据，利用（）中的总人数减去50，80）外的人数，即可得到50，80）内的人数，从而可计算频率分布直方图中80，90）间矩形的高；（）用列举法列举出所有的基本事件，找出符合题意得基本事件个数，利用古典概型概率计算公式即可求出结果【解答】解：（）分数在50，60）的频率为0
31、.008100.08，由茎叶图知：分数在50，60）之间的频数为2，全班人数为（）分数在80，90）之间的频数为25223；频率分布直方图中80，90）间的矩形的高为（）将80，90）之间的3个分数编号为a1，a2，a3，90，100）之间的2个分数编号为b1，b2，在80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）共10个，其中，至少有一个在90，100）之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在90，100）之间的概率是【点评】本题考查
32、了茎叶图和频率分布直方图的性质，以及古典概型概率计算公式的应用，此题是基础题19（12分）设关于x的一元二次方程x2+2ax+b20（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率（2）若a是从区间0，3任取的一个数，b是从区间0，2任取的一个数，求上述方程有实根的概率【分析】首先分析一元二次方程有实根的条件，得到ab（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数，求得概率（2）本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为（a，b）|0a3，0b2，满足条件的构
33、成事件A的区域为（a，b）|0a3，0b2，ab，根据概率等于面积之比，得到概率【解答】解：设事件A为“方程有实根”当a0，b0时，方程有实根的充要条件为ab（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为（a，b）|0a3，0b2满足条件的构成事件A的区域为（a，b）|0a3，0b2，ab所求的概率是【点
34、评】本题考查古典概型及其概率公式，考查几何概型及其概率公式，本题把两种概率放在一个题目中进行对比，得到两种概率的共同之处和不同点20（12分）已知抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点（1）若3，求直线AB的斜率；（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值【分析】（1）由题意可知：设直线AB的方程为：xmy+1，代入抛物线方程，由韦达定理可知：y1+y24m，y1y24，则（1x1，y1），（x21，y2），由3，y13y2，解得：m，即可求得直线AB的斜率；（2）由（1）可知：|y1y2|4，则四边形OACB面积SOACB2SA
35、OB|OF|y1y2|y1y2|，即可求得44，当m0时，四边形OACB的面积最小，最小值为4【解答】解：（1）由抛物线y24x的焦点在x轴上，焦点坐标F（1，0），设直线AB的方程为：xmy+1，则，整理得：y24my40，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理可知：y1+y24m，y1y24，（1x1，y1），（x21，y2），3，y13y2，整理得：m2，解得：m，直线AB的斜率k，直线AB的斜率或；（2）由（1）可知：|y1y2|4，四边形OACB面积SOACB2SAOB|OF|y1y2|y1y2|44，当m0时，四边形OACB的面积最小，最小值为4【点评】本题考查直线与抛物
36、线的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标坐标，三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题21（12分）已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA3，（1）如图建立空间直角坐标系，写出、的坐标；（2）求直线AB与平面SBC所成角的正弦值【分析】（1）以A为原点建系，则S（0，0，3），A（0，0，0），B（，1，0），C（0，2，0），即可求解（2）求出面SBC的法向量 设AB与面SBC所成的角为，则sin【解答】解：（1）以A为原点建系如图，则S（0，0，3），A（0，0，0），B（，1，0），C（0，2，0）（，1，0），（，1，3），（0，2，3
37、）（6分）（2）设面SBC的法向量为则令y3，则z2，x，设AB与面SBC所成的角为，则sin12分【点评】本题考查了空间向量的应用，属于中档题22（12分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADCD，ABCD，ABAD2，CD4，M为CE的中点（1）求证：BC平面BDE；（2）求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值【分析】（1）推导出EDAD，ED平面ABCD，EDBC，BDBC，由此能证明BC平面BDE（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值【解答】证明：（1）ADEF为正方
38、形，EDAD 又平面ADEF平面ABCD，且平面ADEF平面ABCDAD又ED平面ADEF，ED平面ABCD 又BC平面ABCD，EDBC ADCD，ABCD，ABAD2，CD4，BDBC2，BD2+BC2CD2，BDBC，BDEDD，BC平面BDE解：（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，B（2，2，0），E（0，0，2），C（0，4，0），（2，2，2），（0，4，2），设平面BEC的法向量（x，y，z），则，取y1，得（1，1，2），平面ADEF的法向量（0，1，0），设平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为，则cos平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题
