1、2018-2019学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题1命题p：x0R，f（x0）2，则p为（）AxR，f（x）2BxR，f（x）2Cx0R，f（x）2Dx0R，f（x）22已知a，bR，若ab，则（）Aa2bBabb2CDa3b33等比数列an中，首项是a1，公比是q，则q1是数列an单调递增的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4不等式的解集是（）A（3，2）（0，+）B（，3）（2，0）C（3，0）D（，3）（0，+）5在等差数列an中，a1+a2+a1030，则a5+a6（）A3B6C9D126曲线ysinx+ex在（0，1）处的切线
2、方程为（）Ax2y+20B2xy+10Cx+2y40Dxy+107某些首饰，如手镯，项链吊坠等都是椭圆形状，这种形状给人以美的享受，在数学中，我们把这种椭圆叫做“黄金椭圆”，其离心率设黄金椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为a，b，c，则a，b，c满足的关系是（）A2ba+cBb2acCab+cD2bac8设函数f（x）xex+1，则（）Ax1为f（x）的极大值点Bx1为f（x）的极小值点Cx1为f（x）的极大值点Dx1为f（x）的极小值点9已知抛物线y24x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，抛物线上一点P，若|PF|5，则PKF的面积为（）A4B5C8D1010已知双曲线1（a0，b0），若
3、焦点F（c，0）关于渐近线yx的对称点在另一条渐近线yx上，则双曲线的离心率为（）AB2CD311设数列an的前n项和为Sn，且a11，Sn+nan为常数列，则an（）ABCD12已知直线ya分别与函数yex+1和y交于A，B两点，则A，B之间的最短距离是（）ABCD二、填空题13f（x）在，3上最小值为 14等比数列an中，a1+a2+a32，a4+a5+a64，则a10+a11+a12 15若变量x，y满足约束条件，则z2xy取得最大值时的最优解为 16如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60
4、，再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是 米三、解答题17（10分）设p：实数x满足x25ax+4a20（a0），q：实数x满足2x5（1）当a1时，“pq”为真，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围18（12分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且ctanC（acosB+bcosA）（1）求角C；（2）若c2，ABC的面积为3，求三角形的周长19（12分）已知数列an为单调递增数列，a11，其前n项和为Sn，且满足2Snan22Sn1+1（n2，nN+）（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn
5、其前n项和为Tn，若Tn成立，求n的最小值20（12分）如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料A（点A，B在直径上，点C，D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）（1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？21（12分）在MAB中，点A（1，0），B（1，0），且它的周长为6，记点M的轨迹为曲线E（1）求E的方程；（2）设点D（2，0），过点B的直线与E交于不同的两点P、Q，PDQ是否可能为直角，并说明理由22（12分）已知函数x+（12a）lnx（a0）（1）若x2是函数的极值点，求a的
6、值及函数f（x）的极值；（2）讨论函数的单调性2018-2019学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1命题p：x0R，f（x0）2，则p为（）AxR，f（x）2BxR，f（x）2Cx0R，f（x）2Dx0R，f（x）2【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：x0R，f（x0）2，则p为：xR，f（x）2故选：B【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查2已知a，bR，若ab，则（）Aa2bBabb2CDa3b3【分析】讨论b的符号，即可判断A，B，C；运用yx
7、3在R上递增，即可判断D【解答】解：a，bR，若ab，对A，ab，若b0，则b2b；b0，则b2b；b0，则b2b，故A错误；对B，若b0，则abb2；若b0，则abb2；若b0，则abb2，故B错误；对C，a，b0，则，若a，b中有负的，则不成立，故C错误；对D，yx3在R上递增，可得a3b3，故D正确故选：D【点评】本题考查两式的大小比较，考查作差法和函数的单调性的运用，考查运算能力，属于基础题3等比数列an中，首项是a1，公比是q，则q1是数列an单调递增的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据等比数列递增的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判
8、断即可【解答】解：若a10，q1时，an递减，数列an单调递增不成立若数列an单调递增，当a10，0q1时，满足an递增，但q1不成立“公比q1”是“数列an单调递增”的既不充分也不必要条件故选：D【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质是解决本题的关键，比较基础4不等式的解集是（）A（3，2）（0，+）B（，3）（2，0）C（3，0）D（，3）（0，+）【分析】原不等式等价于 0 把各个因式的根排列在数轴上，用穿根法求得它的解集【解答】解：不等式等价于 0如图，把各个因式的根排列在数轴上，用穿根法求得它的解集为 （3，2）（0，+），故选：A【点评】本题主
9、要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题5在等差数列an中，a1+a2+a1030，则a5+a6（）A3B6C9D12【分析】由已知结合等差数列的性质可得5（a5+a6）30，则答案可求【解答】解：在等差数列an中，由an0，且a1+a2+a1030，得（a1+a10）+（a2+a9）+（a3+a8）+（a4+a7）+（a5+a6）30，即5（a5+a6）30，a5+a66故选：B【点评】本题考查等差数列的性质，是基础的计算题6曲线ysinx+ex在（0，1）处的切线方程为（）Ax2y+20B2xy+10Cx+2y40Dxy+10【分析】先求出函数的导函数，然后得到在x0处
10、的导数即为切线的斜率，最后根据点斜式可求得直线的切线方程【解答】解：ysinx+ex，yex+cosx，在x0处的切线斜率kf（0）1+12，ysinx+ex在（0，1）处的切线方程为：y12x，2xy+10，故选：B【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，解此题的关键是要对函数能够正确求导，此题是一道基础题7某些首饰，如手镯，项链吊坠等都是椭圆形状，这种形状给人以美的享受，在数学中，我们把这种椭圆叫做“黄金椭圆”，其离心率设黄金椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为a，b，c，则a，b，c满足的关系是（）A2ba+cBb2acCab+cD2bac【分析】通过椭圆的离心率，构造离心率的
11、方程，然后推出a、b、c的关系，即可得到选项【解答】解：因为离心率的椭圆称为“黄金椭圆”，所以是方程e2+e10的正跟，即有（）2+10，可得c2+aca20，又c2a2b2，所以b2ac即b是a，c的等比中项故选：B【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，构造法是解得本题的关键，考查计算能力8设函数f（x）xex+1，则（）Ax1为f（x）的极大值点Bx1为f（x）的极小值点Cx1为f（x）的极大值点Dx1为f（x）的极小值点【分析】由题意，可先求出f（x）（x+1）ex，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x1为f（x）的极小值点【解答】解：由于f（x）xex，可得f（x）（x+1）ex，令
12、f（x）（x+1）ex0可得x1，令f（x）（x+1）ex0可得x1，即函数在（1，+）上是增函数令f（x）（x+1）ex0可得x1，即函数在（，1）上是减函数所以x1为f（x）的极小值点故选：D【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题9已知抛物线y24x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，抛物线上一点P，若|PF|5，则PKF的面积为（）A4B5C8D10【分析】根据抛物线的性质计算P点坐标，再得出三角形的面积【解答】解：F（1，0），K（1，0），准线方程为x1，设P（x0，y0），则|PF|x0+15，即x04，不妨设P在第一象限，
13、则P（4，4），SPKF|FK|y0|244故选：A【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题10已知双曲线1（a0，b0），若焦点F（c，0）关于渐近线yx的对称点在另一条渐近线yx上，则双曲线的离心率为（）AB2CD3【分析】首先求出F1到渐近线的距离，利用焦点F（c，0）关于渐近线yx的对称点在另一条渐近线yx上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率【解答】解：由题意，F1（c，0），F2（c，0），设一条渐近线方程为yx，则F1到渐近线的距离为b设F1关于渐近线的对称点为M，F1M与渐近线交于A，|MF1|2b，A为F1M的中点，又焦点F（c，0）关于渐近线yx的对称点在另一条渐近线
14、yx上，OAF2M，F1MF2为直角，MF1F2为直角三角形，由勾股定理得4c2c2+4b23c24（c2a2），c24a2，c2a，e2故选：B【点评】本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题11设数列an的前n项和为Sn，且a11，Sn+nan为常数列，则an（）ABCD【分析】由题意知，Sn+nan2，当n2时，（n+1）an（n1）an1，由此能求出【解答】解：数列an的前n项和为Sn，且a11，S1+1a11+12，Sn+nan为常数列，由题意知，Sn+nan2，当n2时，（n+1）an（n1）an1，从而，当n1时上式
15、成立，故选：B【点评】本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累乘法的合理运用12已知直线ya分别与函数yex+1和y交于A，B两点，则A，B之间的最短距离是（）ABCD【分析】首先求出AB两点的坐标，后作差构造新函数h（a）a2lna+2，利用函数单调性求h（a）的最小值【解答】解：已知直线ya分别与函数yex+1和y交于A，B两点ex+1a0xlna1；xa2+1；AB两点之间的距离为：a2+1lna+1a2lna+2令h（a）a2lna+2h'（a）2a由h'（a）0，得a当0a时，h'（a）0，h（a）单调递减；当a时，h'（a）0
16、，h（a）单调递增；h（a）h（）故选：D【点评】本题考查了两点之间的距离，利用导数求函数最小值问题，属中等题二、填空题13f（x）在，3上最小值为0【分析】f（x）x+2，根据基本不等式即可求出【解答】解：f（x）x+222220，当且仅当x1时取等号，故答案为：0【点评】本题考查了不等式的应用，属于基础题14等比数列an中，a1+a2+a32，a4+a5+a64，则a10+a11+a1216【分析】由题意和整体思想可得q32，代入a10+a11+a12（a4+a5+a6）q6，计算可得【解答】解：等比数列an中a1+a2+a32，a4+a5+a64，公比q满足q32，a10+a11+a12
17、（a4+a5+a6）q616故答案为：16【点评】本题考查等比数列的通项公式，属基础题15若变量x，y满足约束条件，则z2xy取得最大值时的最优解为（4，2）【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最优解【解答】解：画出约束条件的可行域，如图：由z2xy得：y2xz，显然直线过B（4，2）时，z最大，所以最优解为：（4，2）故答案为：（4，2）【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法16如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，
18、再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是米【分析】设塔高为x米，根据题意可知在ABC中，ABC90，ACB60，ABx，从而有，在BCD中，CD10，BCD105，BDC45，CBD30，由正弦定理可求 BC，从而可求x即塔高【解答】解：设塔高为x米，根据题意可知在ABC中，ABC90，ACB60，ABx，从而有，在BCD中，CD10，BCD60+30+15105，BDC45，CBD30由正弦定理可得，可得，则x10故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，
19、进而选择合适的公式进行求解三、解答题17（10分）设p：实数x满足x25ax+4a20（a0），q：实数x满足2x5（1）当a1时，“pq”为真，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围【分析】（1）求出p，q为真命题的等价条件，结合复合命题最大真假关系，进行求解即可（2）根据充分不必要条件的定义转化为集合的真子集关系进行求解即可【解答】解：当a1时，x25ax+4a20得x25x+40，得1x4，若pq，则p，q同时为真，即，得2x4，即实数x的取值范围是（2，4）（2）由x25ax+4a20得（xa）（x4a）0，得ax4a，a0，q是p的充分不必要条件，q对
20、应的集合是p对应集合的真子集，（2，5（a，4a），则，得，得a2，即实数a的取值范围是a2，【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行转化是解决本题的关键18（12分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且ctanC（acosB+bcosA）（1）求角C；（2）若c2，ABC的面积为3，求三角形的周长【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinCtanCsinC，由于sinC0，利用同角三角函数基本关系式可求tanC，结合范围C（0，），可求C的值（2）利用三角形的面积公式可求ab12，根据余弦定理可得a+b4，即可求出三
21、角形的周长【解答】（本题满分为12分）解：（1）ctanC（acosB+bcosA），由正弦定理可得：sinCtanC（sinAcosB+sinBcosA）sin（A+B）sinC，sinC0，tanC，C（0，），C6分（2）C，ABC的面积为3absinCab，可得：ab12，c2，由余弦定理可得：cosC，解得：a+b4，三角形的周长a+b+c612分【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题19（12分）已知数列an为单调递增数列，a11，其前n项和为Sn，且满足2
22、Snan22Sn1+1（n2，nN+）（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn其前n项和为Tn，若Tn成立，求n的最小值【分析】（1）由数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求通项；（2）求得bn（），运用数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和，解不等式可得所求最小值【解答】解：（1）2Snan22Sn1+1（n2，nN+），可得n2时，2Sn1an122Sn2+1，相减可得2anan22Sn1+1an122Sn21an2an122an1，即为2（an+an1）（anan1）（an+an1），数列an为单调递增数列，即an+an10，可得anan12，an为首项为1，公差为2的
23、等差数列，可得an2n1；（2）bn（），可得前n项和为Tn（1+）（1），Tn即，解得n9，即n的最小值为10【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列的定义和通项公式，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题20（12分）如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料A（点A，B在直径上，点C，D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）（1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？【分析】（1）设BCx，求出AB，得出侧面积S关于x的函数，利用基本不等式得
24、出S的最大值；（2）用x表示出圆柱的底面半径，得出体积V（x）关于x的函数，判断V（x）的单调性，得出V（x）的最大值【解答】解：（1）连接OC，设BCx，则AB2，（其中0x30），S2x2 x2+（900x2）900，当且仅当x2900x2，即x15时，S取最大值900；取BC15cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm2（2）设圆柱底面半径为r，高为x，则AB22r，解得r，Vr2h（900xx3），（其中0x30）；V（9003x2），令V（x）0，得x10；因此V（x）（900xx3）在（0，10 ）上是增函数，在（10，30）上是减函数；当x10时，V（x）取得最大值V（
25、10），取BC10cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为cm3【点评】本题考查了圆柱的结构特征，圆柱的侧面积与体积计算，用不等式与函数单调性求函数最值，属于中档题21（12分）在MAB中，点A（1，0），B（1，0），且它的周长为6，记点M的轨迹为曲线E（1）求E的方程；（2）设点D（2，0），过点B的直线与E交于不同的两点P、Q，PDQ是否可能为直角，并说明理由【分析】（1）由题意得，|MA|+|MB|+|AB|6，则|MA|+|MB|4|AB|，可得M的轨迹E是以A（1，0），B（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，则E的方程可求；（2）设直线PQ的方程为xmy+1，与椭圆方程联立，化为
26、关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系结合向量数量积证明PDQ不可能为直角【解答】（1）解：由题意得，|MA|+|MB|+|AB|6，|MA|+|MB|4|AB|，则M的轨迹E是以A（1，0），B（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，又由M，A，B三点不共线，y0E的方程为（y0）；（2）证明：设直线PQ的方程为xmy+1，代入3x2+4y212，得（3m2+4）y2+6my90设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，（my1+1）（my2+1）+2（my1+1+my2+1）+4+y1y2（m2+1）y1y2+3m（y1+y2）+90PDQ不可能为直角【点评】本题考查定义法求椭圆方程，考查直
27、线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等，是中档题22（12分）已知函数x+（12a）lnx（a0）（1）若x2是函数的极值点，求a的值及函数f（x）的极值；（2）讨论函数的单调性【分析】（1）求出导函数，通过x2导函数为0，求出a，然后求解极值点判断导函数的符号，求解函数的极值（2）求出导函数，通过a的范围的讨论，判断导函数的符号，然后求解函数的单调性即可【解答】解：（1），由已知，此时，当0x1和x2时，f'（x）0，f（x）是增函数，当1x2时，f'（x）0，f（x）是减函数，所以函数f（x）在x1和
28、x2处分别取得极大值和极小值故函数f（x）的极大值为，极小值为（2），当，即时，0x1时，f'（x）0，x1时，f'（x）0，所以f（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增；当，即时，和x1时，f'（x）0，时，f'（x）0，所以f（x）在区间上单调递减，在区间和（1，+）上单调递增；当，即时，0x1和时，f'（x）0，时，f'（x）0，所以f（x）在区间上单调递减，在区间（0，1）和上单调递增；当，即时，f'（x）0，所以f（x）在定义域（0，+）上单调递增；综上：当时，f（x）在区间上单调递减，在区间（0，1）和上单调递增；当时，f（x）在定义域（0，+）上单调递增；当时，f（x）在区间上单调递减，在区间和（1，+）上单调递增；当时，f（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（0，+）上单调递增【点评】本题考查函数的极值以及函数的单调性的判断，考查分类讨论思想的应用，是难题
