1、2018-2019学年广东省广州市荔湾区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）双曲线1的渐近线方程是（）AyxByxCyxDyx2（5分）命题“如果xa2+b2，那么x2ab”的逆否命题是（）A如果xa2+b2，那么x2abB如果x2ab，那么xa2+b2C如果x2ab，那么xa2+b2D如果xa2+b2，那么x2ab3（5分）根据给出的算法框图，计算f（1）+f（2）（）A0B1C2D44（5分）某学校共有教师120人，老教师、中年教师、青年教师的比例为3：4：3，其中青年男教师24人现用
2、分层抽样的方式从该校教师中选出一个30人的样本，则被选出的青年女教师的人数为（）A12B6C4D35（5分）为了测试小班教学的实践效果，王老师对A、B两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A、B两班学生的平均成绩分别为，A、B两班学生成绩的方差分别为SA2，SB2，则观察茎叶图可知（）AAB，SA2SB2BAB，SA2SB2CAB，SA2SB2DAB，SA2SB26（5分）设F1是椭圆的一个焦点，AB是经过另一个焦点F2的弦，则AF1B的周长是（）A12B8C6D47（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次
3、，则出现向上的点数之和等于9的概率为（）ABCD8（5分）港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米，桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h现对大桥某路段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出频率分布直方图（如图）根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过90km/h的概率分别为（）A85，0.25B90，0.35C87.5，0.25D87.5，0.359（5分）函数yf（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A0f'（1）f'（2）f（2）f（1）B0f'（1）f（2）f（1
4、）f'（2）C0f'（2）f（2）f（1）f'（1）D0f'（2）f'（1）f（2）f（1）10（5分）函数在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）A1，+）B（，1C（1，+）D（，1）11（5分）设命题p：函数f（x）2x+2x在R上单调递增，命题q：在ABC中，AB是sinAsinB的充要条件则下列命题为真命题的是（）ApqBp（q）C（p）qD（p）（q）12（5分）F1、F2为双曲线的左、右焦点，过F1作x轴的垂线与双曲线交于M，N两点，则C的离心率为（）ABCD2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知命题p：“xN，
5、x22x”，则p： 14（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是 15（5分）已知M（x，y）|x|2，|y|2，点P的坐标为（x，y），当PM时，则x，y满足（x2）2+（y2）24的概率为 16（5分）抛物线x24y的焦点为F，P为抛物线上一点，O为坐标原点OPF的外接圆与抛物线的准线相切，则此外接圆的半径为 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知抛物线C：y22px经过点M（1，2）（1）求C的标准方程和焦点坐标；（2）斜率为1的直线l经过抛物线C的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，
6、求线段AB的长18（12分）某电视台为了宣传本区，随机对本区内1565岁的人群抽取了n人，回答问题“本区内著名旅游景点有哪些”，统计结果如图表所示：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组15，25）a0.5第2组25，35）18x第3组35，45）b0.9第4组45，55）90.36第5组55，653y（1）分别求出n，a，b，x，y的值（2）根据频率分布直方图估计这组数据的中位数（保留小数点后两位）和平均数（3）若第1组回答正确的人员中，有2名为女性，其余为男性，现从中随机抽取2人，求至少抽中一名女性的概率19（12分）设函数f（x）x3+ax2+4x+1在x2时取得极值（1
7、）求实数a的值；（2）求函数f（x）在区间3，0上的最值20（12分）如图是某公司2001年至2017年新产品研发费用y（单位：万元）的折线图为了预测该公司2019年的新产品研发费用，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型根据2001年至2017年的数据（时间变量t的值依次为1，2，17）建立模型：；根据2011年至2017年的数据（时间变量t的值依次为1，2，7）建立模型：（1）分别利用这两个模型，求该公司2019年的新产品研发费用的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由21（12分）已知椭圆（ab0）的离心率为，且过点直线l与C交于A，B两点，点F1是C的左焦点（1）
8、求椭圆C的方程；（2）若l过点F1且不与x轴重合，求AOB面积S的最大值22（12分）已知函数，aR（1）讨论f（x）的单调性；（2）若a1，证明：当x1，+）时，2018-2019学年广东省广州市荔湾区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）双曲线1的渐近线方程是（）AyxByxCyxDyx【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得其中a、b的值，结合焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程即可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：1，其中a4，b3；且其焦点在x轴上，则其渐近
9、线方程为：yx；故选：A【点评】本题考查双曲线的标准方程，掌握双曲线的渐近线方程即可2（5分）命题“如果xa2+b2，那么x2ab”的逆否命题是（）A如果xa2+b2，那么x2abB如果x2ab，那么xa2+b2C如果x2ab，那么xa2+b2D如果xa2+b2，那么x2ab【分析】根据命题的逆否命题的概念，即是逆命题的否命题，也是逆命题的否命题；写出逆命题，再求其否命题即可【解答】解：命题的逆命题是：如果x2ab，那么xa2+b2逆否命题是：如果x2ab，那么xa2+b2，故选：C【点评】本题主要考查四种命题间的关系如图3（5分）根据给出的算法框图，计算f（1）+f（2）（）A0B1C2D4
10、【分析】程序的功能是求分段函数f（x）的值，分别求出f（1），f（2），可得答案【解答】解：由程序框图知：程序的功能是求分段函数f（x）的值，f（1）4；f（2）224，f（1）+f（2）0故选：A【点评】本题考查了选择结构的程序框图，根据框图流程判断算法的功能是关键4（5分）某学校共有教师120人，老教师、中年教师、青年教师的比例为3：4：3，其中青年男教师24人现用分层抽样的方式从该校教师中选出一个30人的样本，则被选出的青年女教师的人数为（）A12B6C4D3【分析】利用分层抽样的性质直接求解【解答】解：某学校共有教师120人，老教师、中年教师、青年教师的比例为3：4：3，其中青年男教师
11、24人则青年教师人数为12036人，青年女教师12人，现用分层抽样的方式从该校教师中选出一个30人的样本，被选出的青年女教师的人数为：303故选：D【点评】本题考查被选出的青年女教师的人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5（5分）为了测试小班教学的实践效果，王老师对A、B两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A、B两班学生的平均成绩分别为，A、B两班学生成绩的方差分别为SA2，SB2，则观察茎叶图可知（）AAB，SA2SB2BAB，SA2SB2CAB，SA2SB2DAB，SA2SB2【分析】观察茎叶图数据，根据平均分，方差的定义即可判
12、断得解【解答】解：A班学生的分数多集中在70，80之间，B班学生的分数集中在50，70之间，故AB；相对两个班级的成绩分布来说，A班学生的分数更加集中，B班学生的分数更加离散，故SA2SB2，故选：B【点评】本题主要考查了平均分，方差的定义，考查了茎叶图的应用，属于基础题6（5分）设F1是椭圆的一个焦点，AB是经过另一个焦点F2的弦，则AF1B的周长是（）A12B8C6D4【分析】由椭圆的方程知，长半轴a4，利用椭圆的定义知，ABF2的周长为4a，从而可得答案【解答】解：椭圆的方程为，a3，b2，又过焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，A，B与椭圆的另一个焦点F2构成ABF2，则ABF2的周长
13、l|AB|+|AF2|+|BF2|（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）2a+2a4a12故选：A【点评】本题考椭圆的简单性质，着重考查椭圆定义的应用，属于基础题7（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和等于9的概率为（）ABCD【分析】基本事件总数n6636，利用向量法能求了出现向上的点数之和等于9包含的基本事件有4个，由此能求出出现向上的点数之和等于9的概率【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数n6636，出现向上
14、的点数之和等于9包含的基本事件有：（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），共4个，出现向上的点数之和等于9的概率为p故选：C【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8（5分）港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米，桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h现对大桥某路段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出频率分布直方图（如图）根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过90km/h的概率分别为（）A85，0.25B90，0.35C87.5，0.25D87
15、.5，0.35【分析】由频率分布直方图能估计在此路段上汽车行驶速度的众数和在此路段上汽车行驶速度超过90km/h的概率【解答】解：由频率分布直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数为：87.5，由频率分布直方图估计在此路段上汽车行驶速度超过90km/h的频率为：（0.05+0.02）50.35，由频率分布直方图估计在此路段上汽车行驶速度超过90km/h的概率为：0.35，故选：D【点评】本题考查众数和概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题9（5分）函数yf（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A0f'（1）f'（2）f
16、（2）f（1）B0f'（1）f（2）f（1）f'（2）C0f'（2）f（2）f（1）f'（1）D0f'（2）f'（1）f（2）f（1）【分析】根据题意，由导数的几何意义可得f（1）函数f（x）在x1处切线的斜率，f（2）函数f（x）在x2处切线的斜率，又由f（2）是（1，f（1）与（2，f（2）两点连线的斜率，据此结合函数的单调性变化分析可得答案【解答】解：根据题意，f（x）的导数为f（x），则f（1）函数f（x）在x1处切线的斜率，f（2）函数f（x）在x2处切线的斜率，f（2）f（1），图象上 x 为2和3对应两点连线的斜率，f（2）是（1，
17、f（1）与（2，f（2）两点连线的斜率，则有0f'（2）f（2）f（1）f'（1）；故选：C【点评】本题考查导数的几何意义，涉及直线斜率的计算，关键是掌握导数的几何意义10（5分）函数在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）A1，+）B（，1C（1，+）D（，1）【分析】求出函数的导数，问题转化为即ax2+2x在R恒成立，从而求出a的范围即可【解答】解：函数，f（x）x2+2xa，若f（x）在R递增，则x2+2xa0在R恒成立，可得4+4a0故a1，故选：B【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道基础题11（5分）设命题p：函数f（x）2x+2x在
18、R上单调递增，命题q：在ABC中，AB是sinAsinB的充要条件则下列命题为真命题的是（）ApqBp（q）C（p）qD（p）（q）【分析】命题p：函数f（x）2x+2x在（，0）上单调递减，即可判断出真假命题q：在ABC中，ABab，再利用正弦定理可得：，进而判断出真假【解答】解：命题p：函数f（x）2x+2x在（，0）上单调递减，因此是假命题命题q：在ABC中，ABab，由正弦定理可得：，因此sinAsinB，反之也成立，是真命题则下列命题为真命题的是（p）q故选：C【点评】本题考查了函数的单调性、正弦定理、三角形边角大小关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12（
19、5分）F1、F2为双曲线的左、右焦点，过F1作x轴的垂线与双曲线交于M，N两点，则C的离心率为（）ABCD2【分析】画出图形，求出cosOF2M，然后通过，求解双曲线的离心率即可【解答】解：由题意可知：|MF2|2a+，cos，可得：，可得：8e，解得e或e（舍去）故选：A【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知命题p：“xN，x22x”，则p：xN，x22x【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：“xN，x22x”，则p：xN，x22x故答案
20、为：xN，x22x【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础14（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：依题意，执行如图所示的程序框图可知：S1，k1，满足条件k5，执行循环体，S，k2满足条件k5，执行循环体，S2，k3满足条件k5，执行循环体，S1，k4满足条件k5，执行循环体，S，k5此时，不满足条件k5，退出循环输出S的值为故答案为：【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，
21、是基础题15（5分）已知M（x，y）|x|2，|y|2，点P的坐标为（x，y），当PM时，则x，y满足（x2）2+（y2）24的概率为【分析】根据题意，满足|x|2且|y|2的点P在如图的正方形ABCD及其内部运动，而满足（x2）2+（y2）24的点P在以C为圆心且半径为2的圆及其外部运动因此，所求概率等于圆C与正方形ABCD重叠部分扇形面积与正方形ABCD的面积之比，根据扇形面积和正方形面积计算公式，即可求出本题的概率根据扇形面积和正方形面积计算公式，即可求出本题的概率【解答】解：如图，点P所在的区域为正方形ABCD及其内部满足（x2）2+（y2）24的点位于的区域是以C（2，2）为圆心，半
22、径等于2的圆及其外部P满足（x2）2+（y2）24的概率为P111故答案为：【点评】本题给出点P满足的条件，求点P到点C（2，2）距离大于或等于2的概率着重考查了正方形、扇形面积计算公式和几何概型计算公式等知识，属于基础题16（5分）抛物线x24y的焦点为F，P为抛物线上一点，O为坐标原点OPF的外接圆与抛物线的准线相切，则此外接圆的半径为【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，由外接圆圆心在线段OF的垂直平分线上，可得圆心的纵坐标为，再由直线和圆相切的条件：dr，计算可得所求半径【解答】解：抛物线x24y的焦点为F（0，1），抛物线的准线方程为y1，设OPF的外接圆的圆心C为（m，n），半径为r
23、，可得C在线段OF的垂直平分线上，即有n，由外接圆与准线相切可得n+1r，即有r故答案为：【点评】本题考查抛物线的焦点和准线方程，以及直线和圆相切的条件：dr，考查运算能力，属于基础题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知抛物线C：y22px经过点M（1，2）（1）求C的标准方程和焦点坐标；（2）斜率为1的直线l经过抛物线C的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长【分析】（1）设出抛物线方程，利用已知条件求出p，得到抛物线的方程，然后求解焦点坐标（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），求出直线方程与抛物线联立，求出AB坐标，然后求解弦长即
24、可【解答】解：（1）由已知抛物线经过点M（1，2），代入y22px得222p，解得p2，所以，抛物线C的标准方程为 y24x，所以，抛物线的焦点为（1，0），（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由已知得直线l的方程为 yx1，联立方程消去y得 x26x+10，解得，所以 x1+x26（也可以由韦达定理直接得到x1+x26），于是|AB|x1+x2+28【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，考查计算能力18（12分）某电视台为了宣传本区，随机对本区内1565岁的人群抽取了n人，回答问题“本区内著名旅游景点有哪些”，统计结果如
25、图表所示：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组15，25）a0.5第2组25，35）18x第3组35，45）b0.9第4组45，55）90.36第5组55，653y（1）分别求出n，a，b，x，y的值（2）根据频率分布直方图估计这组数据的中位数（保留小数点后两位）和平均数（3）若第1组回答正确的人员中，有2名为女性，其余为男性，现从中随机抽取2人，求至少抽中一名女性的概率【分析】（1）由频率表中第4组数据可知，第4组的人数为25，再结合频率分布直方图可知n100，由此有求出a，b，x，y（2）设中位数为x，由频率分布直方图可知x35，45），且有0.01010+0.02010
26、+（x35）0.03005，得x41.67，由此能估计这组数据的中位数和平均数（3）第一组中回答正确的人员中有3名男性，2名女性，男性分别记为a，b，c，女性分别记为1，2，先从5人中随机抽取2人，利用列举法能求出至少抽中一名女性的概率【解答】解：（1）由频率表中第4组数据可知，第4组的人数为25，再结合频率分布直方图可知n100，（1分）a100（0.01010）0.55，b100（0.03010）927，（2分）x0.9，（3分）y0.2（4分）（2）设中位数为x，由频率分布直方图可知x35，45），且有0.01010+0.02010+（x35）0.03005，解得x41.67，（6分）故
27、估计这组数据的中位数为41.67，估计这组数据的平均数为：200.01010+300.02010+400.03010+500.02510+600.0301041.5（8分）（3）由（1）知a5，则第一组中回答正确的人员中有3名男性，2名女性，男性分别记为a，b，c，女性分别记为1，2，先从5人中随机抽取2人，共有：（a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（1，2），（b，c）10个基本事件，记“至少抽中一名女性”为事件A，共有（a，1），（a，2），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（1，2）7个基本事件，至少抽中一名女性的
28、概率p【点评】本题考查实数值、中位数、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19（12分）设函数f（x）x3+ax2+4x+1在x2时取得极值（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）在区间3，0上的最值【分析】（1）求出函数的导数，利用导函数求出极值点，然后求解a，利用导函数的符号，验证即可（2）利用导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解最值【解答】（本小题满分12分）解：（1）f'（x）3x2+2ax+4，2 分因为 f（x）在x2处取得极值，所以f'（2）0解得 a44 分当 a4时，f'（x）3x2+8
29、x+4，令f'（x）0，得x2或当x2时，f'（x）0，f（x）在（，2）上单调递增，当时，f'（x）0，f（x）在上单调递减，当时，f'（x）0，f（x）在上单调递增，所以 当a4时，f（x）在x2取得极大值5 分（2）由（1）可列表得x3，2）2f'（x）+00+f（x）17 分由表可知，在3，0上，当x2时函数f（x）取得极大值f（2）1当时函数f（x）取得极小值9 分又由于f（3）2，f（0）111 分所以 函数f（x）在3，0上的最大值是1，最小值是212 分【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化
30、思想以及计算能力20（12分）如图是某公司2001年至2017年新产品研发费用y（单位：万元）的折线图为了预测该公司2019年的新产品研发费用，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型根据2001年至2017年的数据（时间变量t的值依次为1，2，17）建立模型：；根据2011年至2017年的数据（时间变量t的值依次为1，2，7）建立模型：（1）分别利用这两个模型，求该公司2019年的新产品研发费用的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由【分析】（1）在模型中，取t19，在模型中，取t9，即可求得这两个模型该公司2019年的新产品研发费用的预测值；（2）（i）从散点图分析，可
31、知2001年至2017年的数据对应的点没有随机散布在直线上下，说明利用2001年至2017年的数据建立的线性模型不能很好地描述新产品研发费用的变化趋势.2011年至2017年的数据对应的点位于一条直线附近，这说明从2011年开始新产品研发费用的变化规律呈线性增长趋势，利用2011年至2017年的数据建立的线性模型可以较好地描述2011年以后的新产品研发费用的变化趋势（ii）从计算结果相对于2017年的新产品研发费用的关系分析【解答】解：（1）利用模型，该公司2019年的新产品研发费用的预测值为（万元）3 分利用模型，该公司2019年的新产品研发费用的预测值为（万元）6 分（2）利用模型得到的预
32、测值更可靠8 分理由如下：（i）从折线图可以看出，2001年至2017年的数据对应的点没有随机散布在直线上下，这说明利用2001年至2017年的数据建立的线性模型不能很好地描述新产品研发费用的变化趋势.2011年相对2010年的新产品研发费用有明显增加，2011年至2017年的数据对应的点位于一条直线附近，这说明从2011年开始新产品研发费用的变化规律呈线性增长趋势，利用2011年至2017年的数据建立的线性模型可以较好地描述2011年以后的新产品研发费用的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠12 分（ii）从计算结果看，相对于2017年的新产品研发费用135万元，由模型得到的预测值134
33、.8万元明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠12 分【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，考查学生读取图表的能力，是中档题21（12分）已知椭圆（ab0）的离心率为，且过点直线l与C交于A，B两点，点F1是C的左焦点（1）求椭圆C的方程；（2）若l过点F1且不与x轴重合，求AOB面积S的最大值【分析】（1）通过椭圆离心率为，过点 列式值计算即得a，b即可；（2）解法1：设直线l的方程为代入椭圆方程，整理，利用韦达定理，计算三角形的面积，换元，利用函数的单调性，即可求得结论解法2：当直线l垂直于x轴时，将代入椭圆方程得，解得 &n
34、bsp;，此时，当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为（k0），代入椭圆方程，整理，利用韦达定理，计算三角形的面积，换元，利用函数的单调性，即可求得结论【解答】解：（1）依题意得，设a2，则，由a2b2+c21 分得 b，此时椭圆方程为，将点代入得，解得 1，所以，3 分所以椭圆C的方程为 4 分（2）依题意得 解法1：设直线l的方程为，联立椭圆方程得消去x整理得 6 分因为F1在椭圆内部，所以0设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ，7 分9 分令，则t1，10 分因为 当t1时，当且仅当时“”号成立，所以，所以AOB的面积S的最大值是112 分解
35、法2：当直线l垂直于x轴时，将代入椭圆方程得，解得 ，此时，5 分当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为（k0），联立椭圆方程得消去y整理得 6 分因为F1在椭圆内部，所以0设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ，7 分点O到AB的距离，所以 因为k0所以令，则，9 分令，则t1，10 分因为 当t1时，当且仅当时“”号成立，所以，11 分综上得AOB的面积S的最大值是112 分【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查三角形面积的计算，考查运算求解能力，属于中档题22（12分）已知函数，aR（1）讨论f（x）的单调性；（2）若a1，证明：当x1
36、，+）时，【分析】（1）求出导函数通过a的取值，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可（2）当a1时，要证，即证明（x2+1）lnx2x2，（x2+1）lnx2x+20在1，+）上恒成立，设g（x）（x2+1）lnx2x+2，利用函数的导数，判断函数的单调性然后推出结果【解答】（本小题满分12分）解：（1）1 分当a0时，当x0时，f'（x）0，f（x）单调递减，当x0时，f'（x）0，f（x）单调递增，所以 f（x）在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增2 分当a0时，令f'（x）0得 ax22xa0（*）因为4+4a20所以方程（*）有两根，由求根
37、公式得，3 分当a0时，x10x2，当xx1或xx2时，f'（x）0，f（x）单调递减，当x1xx2时，f'（x）0，f（x）单调递增，所以f（x）在（，x1）和（x2+）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增4 分当a0时，x20x1，当xx2或xx1时，f'（x）0，f（x）单调递增，当x2xx1时，f'（x）0，f（x）单调递减，所以f（x）在（，x2）和（x1+）上单调递增，在（x2，x1）上单调递减5 分综上所述，当a0时，f（x）在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增；当a0时，f（x）在（，x1）和（x2+）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增；当a0时，f（x）在（，x2）和（x1+）上单调递增，在（x2，x1）上单调递减6 分（2）当a1时，由题意知，要证在1，+）上恒成立，即证明（x2+1）lnx2x2，（x2+1）lnx2x+20在1，+）上恒成立7 分设g（x）（x2+1）lnx2x+2，则，8 分因为x1，所以2xlnx0，（当且仅当x1时等号成立），即g'（x）0，10 分所以g（x）在1，+）上单调递增，g（x）g（1）0，所以在1，+）上恒成立12 分【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用
