1、2018-2019学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）命题p：x0R，f（x0）2，则p为（）AxR，f（x）2BxR，f（x）2Cx0R，f（x）2Dx0R，f（x）22（5分）已知a，bR，若ab，则（）Aa2bBabb2CDa3b33（5分）等比数列an中，首项是a1，公比是q，则q1是数列an单调递增的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（5分）不等式的解集是（）A（3，2）（0，+）B（，3）（2，0）C（3，0）D（，3）（
2、0，+）5（5分）在等差数列an中，a1+a2+a1030，则a5+a6（）A3B6C9D126（5分）某些首饰，如手镯，项链吊坠等都是椭圆形状，这种形状给人以美的享受，在数学中，我们把这种椭圆叫做“黄金椭圆”，其离心率设黄金椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为a，b，c，则a，b，c满足的关系是（）A2ba+cBb2acCab+cD2bac7（5分）已知曲线ylnx的切线过原点，则此切线的斜率为（）AeBeCD8（5分）若函数f（x）x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A（1，2）B（，3）（6，+）C（3，6）D（，1）（2，+）9（5分）已知平面内有一个
3、点A（2，1，2），的一个法向量为（3，1，2），则下列点P中，在平面内的是（）A（1，1，1）BCD10（5分）设数列an的前n项和为Sn，且a11，Sn+nan为常数列，则an（）ABCD11（5分）下列命题正确的是（）若2+3，则与、共面；若2+3，则M、P、A、B共面；若+，则A、B、C、D共面；若+，则P、A、B、C共面A1B2C3D412（5分）已知函数f（x）ex，g（x）ln+，对任意aR存在b（0，+）使f（a）g（b），则ba的最小值为（）A21Be2C2ln2D2+ln2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不
4、清，模棱两可均不得分13（5分）若变量x，y满足约束条件，则z2xy取得最大值时的最优解为 14（5分）平面内，线段AB的长度为10，动点P满足|PA|6+|PB|，则|PB|的最小值为 15（5分）如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是 米16（5分）记Sn为正项等比数列an的前n项和，若S42S22，则S6S4的最小值为 三、解答题：本大題共有6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1
5、7（10分）已知数列an为单调递增数列，a11，其前n项和为Sn，且满足2Snan22Sn1+1（n2，nN+）（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn其前n项和为Tn，若Tn成立，求n的最小值18（12分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ctanC（acosB+bcosA）（1）求角C；（2）若c2，求ABC面积的最大值19（12分）如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料A（点A，B在直径上，点C，D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）（1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？（2）若要求圆柱体罐子的体积
6、最大，应如何截取？20（12分）在MAB中，点A（1，0），B（1，0），且它的周长为6，记点M的轨迹为曲线E（1）求E的方程；（2）设点D（2，0），过点B的直线与E交于不同的两点P、Q，PDQ是否可能为直角，并说明理由21（12分）如图，D是AC的中点，四边形BDEF是菱形，平面BDEF平面ABC，FBD60，ABBC，（1）若点M是线段BF的中点，证明：BF平面AMC；（2）求平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值22（12分）已知函数，（）当a0时，讨论函数f（x）的单调性；（）若f（x）g（x）在区间（0，1上恒成立，求实数a的取值范围2018-2019学年广东省中山市高二（上
7、）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）命题p：x0R，f（x0）2，则p为（）AxR，f（x）2BxR，f（x）2Cx0R，f（x）2Dx0R，f（x）2【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：x0R，f（x0）2，则p为：xR，f（x）2故选：B【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查2（5分）已知a，bR，若ab，则（）Aa2bBabb2CDa3b3【分析】讨论b的符号，即可
8、判断A，B，C；运用yx3在R上递增，即可判断D【解答】解：a，bR，若ab，对A，ab，若b0，则b2b；b0，则b2b；b0，则b2b，故A错误；对B，若b0，则abb2；若b0，则abb2；若b0，则abb2，故B错误；对C，a，b0，则，若a，b中有负的，则不成立，故C错误；对D，yx3在R上递增，可得a3b3，故D正确故选：D【点评】本题考查两式的大小比较，考查作差法和函数的单调性的运用，考查运算能力，属于基础题3（5分）等比数列an中，首项是a1，公比是q，则q1是数列an单调递增的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据等比数列递增的性质以
9、及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若a10，q1时，an递减，数列an单调递增不成立若数列an单调递增，当a10，0q1时，满足an递增，但q1不成立“公比q1”是“数列an单调递增”的既不充分也不必要条件故选：D【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质是解决本题的关键，比较基础4（5分）不等式的解集是（）A（3，2）（0，+）B（，3）（2，0）C（3，0）D（，3）（0，+）【分析】原不等式等价于 0 把各个因式的根排列在数轴上，用穿根法求得它的解集【解答】解：不等式等价于 0如图，把各个因式的根排列在数轴上，用穿根法求得它的解集为 （3
10、，2）（0，+），故选：A【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题5（5分）在等差数列an中，a1+a2+a1030，则a5+a6（）A3B6C9D12【分析】由已知结合等差数列的性质可得5（a5+a6）30，则答案可求【解答】解：在等差数列an中，由an0，且a1+a2+a1030，得（a1+a10）+（a2+a9）+（a3+a8）+（a4+a7）+（a5+a6）30，即5（a5+a6）30，a5+a66故选：B【点评】本题考查等差数列的性质，是基础的计算题6（5分）某些首饰，如手镯，项链吊坠等都是椭圆形状，这种形状给人以美的享受，在数学中，我们把这种椭圆叫
11、做“黄金椭圆”，其离心率设黄金椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为a，b，c，则a，b，c满足的关系是（）A2ba+cBb2acCab+cD2bac【分析】通过椭圆的离心率，构造离心率的方程，然后推出a、b、c的关系，即可得到选项【解答】解：因为离心率的椭圆称为“黄金椭圆”，所以是方程e2+e10的正跟，即有（）2+10，可得c2+aca20，又c2a2b2，所以b2ac即b是a，c的等比中项故选：B【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，构造法是解得本题的关键，考查计算能力7（5分）已知曲线ylnx的切线过原点，则此切线的斜率为（）AeBeCD【分析】设切点坐标为（a，lna），求函数的导数，可
12、得切线的斜率，切线的方程，代入（0，0），求切点坐标，切线的斜率【解答】解：设切点坐标为（a，lna），ylnx，y，切线的斜率是，切线的方程为ylna（xa），将（0，0）代入可得lna1，ae，切线的斜率是；故选：C【点评】本题主要考查导数的几何意义，利用切线斜率和导数之间的关系可以切点坐标8（5分）若函数f（x）x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A（1，2）B（，3）（6，+）C（3，6）D（，1）（2，+）【分析】由题意求导f（x）3x2+2ax+（a+6）；从而化函数f（x）x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值为（2a）243（a+6）
13、0；从而求解【解答】解：f（x）x3+ax2+（a+6）x+1，f（x）3x2+2ax+（a+6）；又函数f（x）x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，（2a）243（a+6）0；故a6或a3；故选：B【点评】本题考查了导数的综合应用，属于中档题9（5分）已知平面内有一个点A（2，1，2），的一个法向量为（3，1，2），则下列点P中，在平面内的是（）A（1，1，1）BCD【分析】由题意可知符合条件的点P应满足，逐个选项验证即可【解答】解：由题意可知符合条件的点P应满足，选项A，（2，1，2）（1，1，1）（1，0，1），31+10+2150，故不在平面内；同理可得：选项B，（1，4，
14、），0，故在平面内；选项C，（1，2，），60，故不在平面内；选项D，（3，4，），120，故不在平面内；故选：B【点评】本题考查平面法向量的定义，属基础题10（5分）设数列an的前n项和为Sn，且a11，Sn+nan为常数列，则an（）ABCD【分析】由题意知，Sn+nan2，当n2时，（n+1）an（n1）an1，由此能求出【解答】解：数列an的前n项和为Sn，且a11，S1+1a11+12，Sn+nan为常数列，由题意知，Sn+nan2，当n2时，（n+1）an（n1）an1，从而，当n1时上式成立，故选：B【点评】本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累乘法的合
15、理运用11（5分）下列命题正确的是（）若2+3，则与、共面；若2+3，则M、P、A、B共面；若+，则A、B、C、D共面；若+，则P、A、B、C共面A1B2C3D4【分析】在中，由平面向量基本定理知与、共面；在中，由平面向量基本定理判断、共面，M、P、A、B四点共面；在中，由题意得，不能判断A、B、C、D四点共面；在中，由+，能判断P、A、B、C四点共面【解答】解：对于，若2+3，则由平面向量基本定理知与、共面，正确；对于，若2+3，则、共面，所以M、P、A、B四点共面，正确；对于，若+，则，这里系数1113，A、B、C、D不共面，错误；对于，若+，则+1，所以P、A、B、C共面，正确综上所述，
16、正确的命题序号是，共3个故选：C【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，是基础题12（5分）已知函数f（x）ex，g（x）ln+，对任意aR存在b（0，+）使f（a）g（b），则ba的最小值为（）A21Be2C2ln2D2+ln2【分析】令 yea，则 alny，令yln+，可得 b2，利用导数求得ba取得最小值【解答】解：令 yea，则 alny，令yln+，可得 b2，则ba2lny，（ba）2显然，（ba）是增函数，观察可得当y时，（ba）0，故（ba）有唯一零点故当y时，ba取得最小值为2lny2ln2+ln2，故选：D【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用，利用导数
17、求函数的最小值，属于中档题此题中导数零点不易用常规方法解出，解答时要会用代入特值的方法进行验证求零点二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分13（5分）若变量x，y满足约束条件，则z2xy取得最大值时的最优解为（4，2）【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最优解【解答】解：画出约束条件的可行域，如图：由z2xy得：y2xz，显然直线过B（4，2）时，z最大，所以最优解为：（4，2）故答案为：（4，2）【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，
18、利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法14（5分）平面内，线段AB的长度为10，动点P满足|PA|6+|PB|，则|PB|的最小值为2【分析】平面内，线段AB的长度为10，动点P满足|PA|6+|PB|，即|PA|PB|6，可得点P在以（5，0）为焦点，实轴长为6的双曲线的右支上，即可得出答案【解答】解：平面内，线段AB的长度为10，动点P满足|PA|6+|PB|，即|PA|PB|6，则点P在以（5，0）为焦点，实轴长为6的双曲线的右支上，a3，c5因此|PB|的最小值为ca532故答案为：2【点评】本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15（5分）如
19、图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是米【分析】设塔高为x米，根据题意可知在ABC中，ABC90，ACB60，ABx，从而有，在BCD中，CD10，BCD105，BDC45，CBD30，由正弦定理可求 BC，从而可求x即塔高【解答】解：设塔高为x米，根据题意可知在ABC中，ABC90，ACB60，ABx，从而有，在BCD中，CD10，BCD60+30+15105，BDC45，CBD30由正弦定理可得，可得，则x10故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理在实际问题中
20、的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解16（5分）记Sn为正项等比数列an的前n项和，若S42S22，则S6S4的最小值为8【分析】设正项等比数列an的公比为q0，由S42S22，可得a4+a3（a2+a1）2，可得：a10解得q1可得S6S4a5+a6a1（q4+q5）2q21+2，再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：设正项等比数列an的公比为q0，S42S22，a4+a3（a2+a1）2，a1（q3+q2q1）2，可得：a10解得q1则S6S4a5+a6a1（q4+q5）2q21+228，当且仅当q时
21、取等号S6S4的最小值为8故答案为：8【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：本大題共有6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知数列an为单调递增数列，a11，其前n项和为Sn，且满足2Snan22Sn1+1（n2，nN+）（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn其前n项和为Tn，若Tn成立，求n的最小值【分析】（1）由数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求通项；（2）求得bn（），运用数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和，解不等式可得所求最小值【解答】解
22、：（1）2Snan22Sn1+1（n2，nN+），可得n2时，2Sn1an122Sn2+1，相减可得2anan22Sn1+1an122Sn21an2an122an1，即为2（an+an1）（anan1）（an+an1），数列an为单调递增数列，即an+an10，可得anan12，an为首项为1，公差为2的等差数列，可得an2n1；（2）bn（），可得前n项和为Tn（1+）（1），Tn即，解得n9，即n的最小值为10【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列的定义和通项公式，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题18（12分）已知ABC的内角A，B，C
23、的对边分别为a，b，c，且ctanC（acosB+bcosA）（1）求角C；（2）若c2，求ABC面积的最大值【分析】（1）利用正弦定理与和差公式即可得出（2）利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出【解答】解：（1）ctanC（acosB+bcosA），由正弦定理可得：sinCtanC（sinAcosB+sinBcosA）sin（A+B）sinCtanC，C（0，）C（2）由余弦定理可得：12c2a2+b22abcosC2ababab，可得ab12，当且仅当a2时取等号ABC面积的最大值3【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、和差公式、基本不等式的性质，考
24、查了推理能力与计算能力，属于中档题19（12分）如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料A（点A，B在直径上，点C，D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）（1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？【分析】（1）设BCx，求出AB，得出侧面积S关于x的函数，利用基本不等式得出S的最大值；（2）用x表示出圆柱的底面半径，得出体积V（x）关于x的函数，判断V（x）的单调性，得出V（x）的最大值【解答】解：（1）连接OC，设BCx，则AB2，（其中0x30），S2x2 x2+（900x2）900
25、，当且仅当x2900x2，即x15时，S取最大值900；取BC15cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm2（2）设圆柱底面半径为r，高为x，则AB22r，解得r，Vr2h（900xx3），（其中0x30）；V（9003x2），令V（x）0，得x10；因此V（x）（900xx3）在（0，10 ）上是增函数，在（10，30）上是减函数；当x10时，V（x）取得最大值V（10），取BC10cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为cm3【点评】本题考查了圆柱的结构特征，圆柱的侧面积与体积计算，用不等式与函数单调性求函数最值，属于中档题20（12分）在MAB中，点A（1，0），B（1，0）
26、，且它的周长为6，记点M的轨迹为曲线E（1）求E的方程；（2）设点D（2，0），过点B的直线与E交于不同的两点P、Q，PDQ是否可能为直角，并说明理由【分析】（1）由题意得，|MA|+|MB|+|AB|6，则|MA|+|MB|4|AB|，可得M的轨迹E是以A（1，0），B（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，则E的方程可求；（2）设直线PQ的方程为xmy+1，与椭圆方程联立，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系结合向量数量积证明PDQ不可能为直角【解答】（1）解：由题意得，|MA|+|MB|+|AB|6，|MA|+|MB|4|AB|，则M的轨迹E是以A（1，0），B（1，0）为焦点，长轴
27、长为4的椭圆，又由M，A，B三点不共线，y0E的方程为（y0）；（2）证明：设直线PQ的方程为xmy+1，代入3x2+4y212，得（3m2+4）y2+6my90设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，（my1+1）（my2+1）+2（my1+1+my2+1）+4+y1y2（m2+1）y1y2+3m（y1+y2）+90PDQ不可能为直角【点评】本题考查定义法求椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等，是中档题21（12分）如图，D是AC的中点，四边形BDEF是菱形，平面BDEF平面ABC，FBD60，AB
28、BC，（1）若点M是线段BF的中点，证明：BF平面AMC；（2）求平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值【分析】（1）连接MD，FD，可得DBF为等边三角形又M为BF的中点，得DMBF，进一步求得BDAC，再由面面垂直的性质可证BF平面AMC；（2）设线段EF的中点为N，连接DN易证DN平面ABC以D为坐标原点，DB，DC，DN所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AEF，平面BCF的法向量，即可求平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值【解答】证明：（1）连接MD，FD四边形BDEF为菱形，且FBD60，DBF为等边三角形M为BF的中点，DMBFABBC，又D是
29、AC的中点，BDAC平面BDEF平面ABCBD，平面ABC平面BDEF，AC平面ABC，AC平面BDEF又BF平面BDEF，ACBF由DMBF，ACBF，DMACD，BF平面AMC；解：（2）设线段EF的中点为N，连接DN易证DN平面ABC以D为坐标原点，DB，DC，DN所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则A（0，1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），设平面AEF，平面BCF的法向量分别为，由解得取z12，又由解得取z21，平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值为【点评】本题考查面面垂直的性质，考查线面垂直，考查线面角，面面角，考查向量法的运用，正确求出平
30、面的法向量是关键，是中档题22（12分）已知函数，（）当a0时，讨论函数f（x）的单调性；（）若f（x）g（x）在区间（0，1上恒成立，求实数a的取值范围【分析】（）当a0时，求出函数的导数，求出极值点，判断极值点的大小故选，讨论导函数的符号，即可得到函数f（x）的单调性；（）利用函数恒成立，转化为函数的最值问题，构造函数求解函数的导数，求出最值即可得到结果【解答】解：（）f'（x）ax+（a1），当，即时，0x1时，f'（x）0，x1时，f'（x）0，所以f（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增；当，即时，和x1时，f'（x）0，时，f&
31、#39;（x）0，所以f（x）在区间上单调递减，在区间和（1，+）上单调递增；当，即时，0x1和时，f'（x）0，时，f'（x）0，所以f（x）在区间上单调递减，在区间（0，1）和上单调递增；当，即时，f'（x）0，所以f（x）在定义域（0，+）上单调递增；综上：当时，f（x）在区间上单调递减，在区间（0，1）和上单调递增；当时，f（x）在定义域（0，+）上单调递增；当时，f（x）在区间上单调递减，在区间和（1，+）上单调递增；当时，f（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增（）令h（x）f（x）g（x），原问题等价于h（x）0在区间（0，1上恒成立，可见，要想h（x）0在区间（0，1上恒成立，首先必须要h'（1）0，而，另一方面当时，由于x（0，1，可见h''（x）0，所以h'（x）在区间（0，1上单调递增，故h'（x）h'（1）0，所以h（x）在区间（0，1上单调递减，h（x）h（1）0成立，故原不等式成立综上，若f（x）g（x）在区间（0，1上恒成立，则实数a的取值范围为【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想的应用，考查转化思想以及计算能力
