1、,第六章 平行四边形,章末复习,第六章 平行四边形,章末复习,知识框架,归纳整合,素养提升,中考链接,知识框架,【要点指导】平行四边形的性质与判定都可以从边、角、对角线的角度去考虑 , 平行四边形的性质有四个 , 判定方法有四种 , 应时要认真领会它们之间的联系与区别 , 同时要根据条件合理、灵活地选择方法 .,归纳整合,专题一 平行四边形的性质与判定,例1 如图 6 - Z - 1 , 在 ABCD 中 , 延长 AD 到点 E, 延长 CB 到点 F, 使得DE = BF, 连接 EF, 分别交 AB, CD 于点 M, N, 连接 AN, CM. (1) 求证： DEN BFM ； (2
2、) 试判断四边形 ANCM 的形状 , 并说明理由 .,解: (1)证明： 四边形 ABCD 是平行四边形 , AE CF, ADC = ABC, E = F, EDN = FBM. 在 DEN 和 BFM 中 , E = F, DE = BF, EDN = FBM, DEN BFM ( ASA ) .,(2) 四边形 ANCM 是平行四边形理由如下： 四边形 ABCD 是平行四边形 , AB = CD, AB CD, 即 AM CN 又由 (1) 知 DEN BFM, DN = BM, CN = AM, 四边形 ANCM 是平行四边形,证明 在ABCD中，ADBC， ADBCBD. 又BND
3、M，BEDF，BNEDMF， ENFM，BENDFM，从而FENEFM， ENFM， 四边形MENF是平行四边形,相关题1-1 已知：如图 6 - Z - 2 , 在ABCD 中 , BN = DM,BE = DF. 求证：四边形MENF 是平行四边形 .,证明 (1)四边形ABCD是平行四边形， ADBC ，ADBC. M，N分别是AD，BC的中点，MDNC，MDNC， 四边形MNCD是平行四边形,相关题1-2 如图 6 - Z - 3 , 在 ABCD中 , C = 60 , M , N 分别是 AD , BC 的中点 , BC = 2 CD. (1) 求证：四边形 MNCD 是平行四边形
4、； (2) 求证： BD = 3 MN.,例2 南平中考 如图 6 - Z - 4 , 已知四边形 ABCD 是平行四边形 , 若点 E, F 分别在边 BC,AD 上 , 连接 AE, CF, 请再从下列三个备选条件中选择一个恰当的条件 , 使四边形 AECF 是平行四边形 , 并予以证明 . 备选条件： AE = CF, BE = DF, AEB = CFD. 你选择添加的条件是_ （注意：请你根据所选择的条件在答题过 程中画出符合要求的示意图 , 并加以证明）.,解 此题答案不唯一 , 添加 BE = DF 或 AEB = CFD 都可以 . 当添加条件 BE = DF 时 , 四边形
5、AECF 是平行四边形 ( 如图 6 - Z - 5) . 证明如下： 四边形 ABCD 是平行四边形 , AD BC, AD = BC, AF CE. BE = DF, AF = CE, 四边形 AECF 是平行四边形 .,当添加条件 AEB = CFD 时 , 四边形 AECF 是平行四边形 ( 如图6 - Z - 5) . 证明如下： 四边形 ABCD 是平行四边形 , AD BC, AEB = EAF. 又 AEB = CFD, CFD = EAF, AE CF. 又 AF EC, 四边形 AECF 是平行四边形 .,相关题2 如图 6 - Z - 6 所示 , 在四边形ABCD 中
6、, E 是 BC 的中点 , 连接 DE 并延长 , 交 AB 的延长线于点 F , AB = BF , 添加一个条件 , 使四边形 ABCD 是平行四边形 . 你认为下列四个条件中正确的是 ( ) . A AD = BC B CD = BF C A = C D F = CDE,D,【要点指导】 平行四边形是一种特殊的四边形 , 它具有一些特殊的性质 . 在解一些几何题时 , 通过添加适当的辅助线巧构平行四边形 , 并利用平行四边形的性质 , 可使问题化难为易 , 迅速获解 .,专题二 巧构平行四边形解题,分析 欲证 CD = 2 CE, 可考虑将 CE 延长至点 F, 使EF = CE, 然
7、后只需证明 CD = CF. 考虑到 CE 是 ABC 的中线 , 则将 CE 延长至点 F 后易得平行四边形 .,例3 已知如图 6 - Z - 7 , 在 ABC 中 , AB = AC, D 为 AB延长线上的一点 , 且 BD = AB, E 为 AB 的中点 . 求证：CD = 2 CE.,证明 如图 6 - Z - 7 , 延长 CE 到点 F, 使 EF = CE, 连接 AF, BF. 又 AE = BE, 四边形 ACBF 是平行四边形 , BF = AC = AB = BD, FBC = 180 - ACB = 180 - ABC = DBC. 又 BC = BC, FBC
8、 DBC, CD = CF = 2 CE.,相关题3 已知：如图 6 - Z - 8 , 在四边形 ABCD 中 , AB CD , D = 2 B. 若 AD = a , AB = b , 则 CD 的长等于 ( ) . A b a B b- C ( b - a ) D 2 ( b - a ),分析 过点B作BEAD交DC的延长线于点 E.由ABCD，BEAD可得四边形ABED是 平行四边形，所以BEADa，DEABb. 然后依据D2ABC可证得CEBEa，所以CDDECEba.故选A.,A,【要点指导】 三角形中位线定理包含两个方面的内容：(1) 三角形的中位线平行于第三边；(2) 三角形
9、的中位线等于第三边的一半. 前者是两条线段所在的直线间的位置关系；后者是线段之间的数量关系 . 定理的结论中既包含位置关系又包含数量关系 , 因此运用它既可以证明两直线平行 , 又可以说明线段之间的数量关系,专题三 三角形中位线定理,例4 已知： 如图 6 - Z - 9 所示 , ABC 是锐角三角形 , 分别以 AB, AC 为边向外侧作等边三角形 ABM 和等边三角形 CAN. D, E, F 分别是 MB, BC, CN 的中点 , 连接 DE, EF. 求证： DE = EF.,证明 (1)如图 6 - Z - 9 , 连接 BN, CM. ABM, CAN 是等边三角形 , MAB
10、 = NAC =60 , MAB + BAC = NAC + BAC, 即 MAC = BAN. 在 MAC 和 BAN 中 , AM = AB, MAC = BAN, AC = AN, MAC BAN, MC = BN . D, E, F 分别是 MB, BC, CN 的中点 , DE, EF 分别是 MBC, BNC 的中位线 , DE = MC, EF = BN, DE = EF ,相关题4 如图 6 - Z - 10 , 在 ABC 中 ,AE 平分 BAC, BE AE 于点 E, F 是 BC 的中点 ( 1 ) 如图 , BE 的延长线与 AC 边交 于点 D, 求证：EF =
11、( AC-AB ) ； ( 2 ) 如图 , 请直接写出 线段 AB, AC, EF 的数量关系 .,解析 (1)先证明ABAD，再根据等腰三角形的“三线合一”，推出BEED，最后根据三角形的中位线定理即可解决问题(2)结论：EF(ABAC)，延长AC交BE的延长线于点D. 先证明ABAD，根据等腰三角形的三线合一，推出BEED，根据三角形的中位线定理即可解决问题,解 (1)证明：AEBD，AEDAEB90， BAEABE90，DAEADE90. 又BAEDAE，ABEADE，ABAD. AEBD，BEDE. 又BFFC，EFDC(ACAD)(ACAB),(2)结论：EF(ABAC) 理由：如
12、图，延长AC交BE的延长线于点D. AEBE，AEDAEB90， BAEABE90， DAEADE90. 又BAEDAE， ABEADE，ABAD. AEBD，BEDE. 又BFFC，EFDC(ADAC)(ABAC),【要点指导】 解决涉及多边形内角和的计算 , 通常有以下几种题型： (1) 已知多边形的边数 , 求其内角和； (2) 已知多边形的内角和 , 求其边数；(3) 已知多边形中内角和与外角和的关系 , 求多边形的边数；(4) 正多边形的边数与内角、外角的互求 . 无论哪种形式的问题 , 抓住多边形内角和公式和外角和定理就能计算 . 注意多边形的内角和公式为 ( n - 2) 180
13、 , 其值是变化的 , 随着边数 n 的增加而增加；多边形的外角和都等于 360 , 是一个定值, 不随边数的变化而变化 . 多边形的内角与其相邻的外角之和为 180 .,专题四 多边形的内角和与外角和,例5 临沂中考 一个正多边形的内角和为 540 , 则这个正多边形的每个外角的度数等于 ( ) . A108 B90 C72 D60 ,分析 设 这 个 正 多 边 形 的 边 数 为 n . 因 为 正 多 边 形 的 内 角 和 是 5 4 0 , 即( n 2 ) 1 80 = 54 0 , 解 得 n = 5 , 所 以这 个正 五 边形 的每 个 外角 的度 数 都是360 5 =
14、72 .,C,相关题5 若一个多边形的内 角和是900 , 则这个多边形的边数是 ( ) . A10 B9 C8 D7,D,【要点指导】转化思想是一种很重要的思想方法 , 包括把不熟悉的条件转化为熟悉的条件 , 把离散的条件转化为集中的条件等 . 本章学习的转化思想主要体现在把平行四边形问题转化为三角形问题去解决 .,素养提升,专题一 转化思想,证明 四边形 ABCD 是平行四边形 , CD = AB, CD AB, DCA = BAC. 又 OC = OA, COF = AOE, COF AOE (ASA) , CF = AE. 又 CD = AB, DF = BE.,例1 如图 6 - Z
15、 - 11 , 在平行四边形 ABCD 中 , O 是对角线 AC 的中点 , EF过点 O, 求证： DF = BE.,相关题1 如图 6 - Z - 12 , 在 ABCD中 , AB = 5 , AD = 3 , AC BC. 求 BD 的长度,专题二 方程思想,【要点指导】对于所要解决的数学问题 , 可以通过列方程 ( 组 ) 来使 复杂而抽象的问题变得易于解决 , 这一过程就是方程思想的体现 . 在本章的一些几何问题 , 如图形面积、周长以及多边形问题中 , 常常利用设未知数、列方程 ( 组 ) 进行求解 .,例2 如图 6 - Z - 13 所示 , 四边形 ABCD是 平 行 四
16、 边 形 , AEBC 于 点 E, AFDC 交 DC的延长 线于点 F, AE= 4 cm , AF = 5 cm , 四边形 ABCD的周长为36 cm. 求AB, BC的长.,解 设 AB = x cm , BC = y cm . S ABCD = CD AF = BC AE , 2 ( AB + BC ) = 36 cm , 且 CD = AB = x cm , AD = BC = y cm , 解得 AB = 8 cm , BC = 10 cm.,相关题2 凉 山 州 中考 一 个 多边 形切去一个角后 , 形成的另一个多边形的内角和为 1080 , 那么原多边形的边数为 ( )
17、. A 7 B 7 或 8 C 8 或 9 D 7 或 8 或 9,D,中考链接,母题1 (教材P137习题6.1第3题) 已 知 ： 如 图 6 - Z - 1 4 , 在 ABCD 中 , E, F 分 别 是BC 和 AD 上的点 , 且 BE = DF . 求证： ABE CDF.,考点：平行四边形的性质 . 考情：平行四边形的性质是中考中的必考考点 , 以选择题、填空题和解答题的形式呈现 , 一般是求边、角或进行证明 . 策略：解题时 , 充分利用“平行四边形的两组对边分别平行且相等”“两组对角相等”的性质找到相等的量 , 使问题得以解决 .,链接1 临沂中考 如图6 - Z - 1
18、5 , 在 ABCD 中 , AB = 10 , AD = 6 , AC BC, 则 BD = _.,分析 四边形 ABCD 是平行四边形 , BC = AD = 6 , OB = OD, OA = OC. AC BC, AC = = 8 , 从而 OC = 4 , OB = = 2 , BD = 2 OB = 4 .,分析 四边形 ABCD 是平行四边形 , BC = AD = 4 . 将 ABCD 沿 AE 翻折后 , 点 B 恰好与点 C重合 , BE = EC = BC = 2 , AEB = AEC = 90 . 在 Rt ABE 中 , AEB = 90 , AB = , BE =
19、 2 , AE = = 3 . 故答案为 3 .,3,链接2 成都中考 如图 6 - Z - 16 , 在 ABCD 中 ,AB = , AD = 4 . 将 ABCD沿 AE 翻折后 , 点 B 恰好与 点C 重合 , 则折痕 AE 的长为_.,分析 连接 AF, CE, 欲证 OE = OF, 可设法证 明四边形 AECF 是平行四边形 , 再由平行四 边形的性质即得结论 .,链接3 山西中考 已知：如图 6 - Z - 17 , 在 ABCD 中 , 延 长 AB 至点 E, 延长 CD 至点 F, 使得 BE = DF. 连接 EF, 与对角线AC 交于点 O. 求证： OE = OF
20、.,证明 如图 6 - Z - 17 , 连接 AF, CE. 在 ABCD 中 , 由平行四边形的性质得 AB DC, 且 AB = DC. 又 BE = DF, AB + BE = DC + DF, 即 AE = FC. 又 AB DC, 即 AE FC, 四边形 AECF 是平行四边形 , OE = OF.,母题2 (教材P142习题6.3第2题 ) 已知： 如图 6 - Z - 18 , 在 ABCD 中 , 点 E, F 分别在 AB和 CD 上 , BE = DF. 求证：四边形 DEBF 是平行四边形 .,考点：平行四边形的判定 . 考情：平行四边形的判定与平行四边形的性质都是中
21、考中的必考考点 , 以选择题、填空题和解答题的形式呈现 , 一般从边、角和对角线三个方面进行判定 . 策略：熟练掌握平行四边形的四种判定方法 , 并能合理地选择 .,链接4 新疆中考如图 6 - Z - 19 , 在四边形 ABCD中 , AD BC, AE AD 交 BD于点 E, CF BC 交 BD 于点 F, 且 AE = CF 求证：四边形 ABCD 是平行四边形,证明 AE AD, CF BC, EAD = FCB = 90 . AD BC, ADE = CBF. 又 AE = CF, AED CFB (AAS) , AD = BC. 又 AD BC, 四边形 ABCD 是平行四边
22、形,母题3 (教材P148习题6.5第2题 ) 已知：如图 6 - Z -20 , 在 ABCD 中 , E, F 分别是AB 和 CD 上的点 , AE = CF, M,N 分别是DE 和 BF 的中点 . 求证：四边形 ENFM 是平行四边形 .,考点：平行四边形性质与判定的综合应用 . 考情：平行四边形性质与判定的综合应用是中考中的重要考点 , 以选择题、填空题和解答题的形式呈现 , 经常在求线段的长度、角的度数及相关证明中进行考查 . 策略：区分平行四边形的性质定理与判定定理 , 避免产生混淆 .,分析 要证 AE = CF, 可以考虑证四边形 AECF 是平行四边形 , 由平行四边形
23、对边相等可以得到结论 . 根据题中条件 , 考虑从 ABCD 中得到 AB = CD, AD = BC. 又 AB = BE, CD = DF, AF = EC. 又 AF/EC, 四边形AECF 是平行四边形 , AE = CF.,链接5 乐山中考如图 6 - Z - 21 , 延长 ABCD 的边 AD 到 点 F, 使 DF = DC, 延长 CB 到点 E, 使 BE = BA, 分别连接 AE 和 CF. 求证： AE = CF.,证明 四边形 ABCD 为平行四边形 , AD = BC, AB = CD, AD BC. 又 AB = BE, CD = DF, BE = DF, AF
24、 = EC. 又 AF EC, 四边形 AECF 是平行四边形 , AE = CF.,链接6 聊城中考 如图 6 - Z - 22 , AB DE, AB = DE, BE = CF. 求证： AC DF.,分析 要证两直线平行 , 可考虑利用平行线的判定定理去证明或利用平行四边形的性质去证明 . 本题根据所给的条件构造平行四边形进行证明较容易 .,证明 如图 6 - Z - 22 , 连接 AD. AB DE, AB = DE, 四边形 ABED 是平行四边形 , AD BE, AD = BE BE = CF, AD = CF 又 AD CF, 四边形 ACFD 是平行四边形 , AC DF
25、.,母题4 (教材P152习题6.6第1题 ) 已知：在 ABC 中 , D, E, F 分别是边 BC, CA, AB 的中点 . 求证：四边形 AFDE 的周长等于 AB + AC.,考点：三角形的中位线 . 考情：三角形的中位线是中考中的重要考点 , 以选择题、填空题和解答题的形式呈现 , 经常在三角形、四边形和圆等图形中进行考查 . 策略：基本见中点联想中位线 , 关键找到两中点的连线所在的三角形 .,链接7 烟台中考如图 6 - Z - 23 , ABCD 的周长为 36 , 对角线 AC , BD相交于点 O , E 是 CD 的中点 , BD = 12 , 则 DOE 的周长为_
26、.,分析 根据平行四边形的对边相等和对角线 互相平分 , 可得 AB = DC, BC = AD, OB = OD = 6 . 又因为 E 是 CD 的中点 , 所以 OE 是 BCD 的中位线 , 所以 OE = BC, 所以 DOE 的周长为 OE + ED + OD = BC + DC + OD = ( BC + DC ) + OD = 9 + 6 = 15 .,答案 15,母题5 (教材P157习题6.8第2题 ) 是否存在一个多边形 , 它的每个外角都等于相邻内角的 ？简述你的理由 .,考点：多边形的内角和与外角和定理 . 考情：多 边形的内角和与外角和定理是中考中的常考内 容 , 多 以选择题、 填空题的形式呈现 , 一般单独考查 . 策略：熟练掌握多边形的内角和与外角和定理是解题的关键 .,链接8 宿迁中考若一个多边形的内角和是其外角和的 3 倍 , 则这个多边形的边数是_.,分析 要设多边形的边数为 n, 根据题意 , 得( n - 2) 180 = 3 360 , 解得 n = 8 , 则这个多边形的边数是 8 .,8,谢 谢 观 看！,
