1、2018-2019学年广西梧州市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设全集UxN|1x5，集合A1，3，则集合UA的子集的个数是（）A16B8C7D42（5分）已知复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z13i（i为虚数单位），则（）AiB+iCiD+i3（5分）已知如表所示数据的回归直线方程为，则实数a的值为（） A2.6B2.6C2.8D3.44（5分）已知向量（），（3，），则向量在向量方向上的投影为（）ABC1D15（5分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是
2、由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）ABCD6（5分）若an为等差数列，Sn是其前n项和，且，则tana6的值为（）ABCD7（5分）若直线l过点A（0，a）斜率为1，圆x2+y24上恰有3个点到l的距离为1，则a的值为（）ABC2D48（5分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A2B6C10D249（5分）已知满足sin，那么值为（）ABCD10（5分）在ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足bcosC（3ac）cosB
3、，若4，则ac的值为（）A12B11C10D911（5分）已知椭圆C：+1（ab0）的左、右焦点为F1，F2，左、右顶点为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点（异于M、N），AF1B的周长为4，且直线AM与AN的斜率之积为，则C的方程为（）A+1B+1C+1D+y2112（5分）已知函数f（x）为R内的奇函数，且当x0时，f（x）ex+1+mcosx，记a2f（2），bf（1），c3f（3），则a，b，c间的大小关系是（）AbacBacbCcabDcba二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）函数yaxex的图象在x0处的切线与直线yx互相垂直，则a 14
4、（5分）已知实数x，y满足不等式组，则2xy的最大值是 15（5分）函数f（x）ax12（a0，a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中m0，n0，则+的最小值为 16（5分）已知双曲线1（a0，b0）右支上有一点A，它关于原点的对称点为B，双曲线的右焦点为F，满足0，且ABF，则双曲线的离心率e的值是 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17（12分）已知数列an，nN*，且a12，an+12an1（
5、1）证明数列an1是等比数列，并求an的通项公式；（2）设bnnan，若bn的前n项和为Tn，求Tn18（12分）随着人们生活水平的提高，越来越多的人愿意花更高的价格购买手机某机构为了解市民使用手机的价格情况，随机选取了100人进行调查，并将这100人使用的手机价格按照500，1500），1500，2500），5500，6500分成6组，制成下图所示的频率分布直方图：（1）求图中m的值；（2）求这组数据的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）；（3）利用分层抽样从手机价格在1500，2500）和4500，5500）的人中抽取5人，并从这5人中抽取2人进行访谈，求抽取出的2人的
6、手机价格在不同区间的概率19（12分）如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形，且ABC60，ABPC2，PAPB（）求证：平面PAB平面ABCD；（）求点D到平面APC的距离20（12分）已知抛物线C1：y22px（p0）与椭圆C2：1有一个相同的焦点，过点A（2，0）且与x轴不垂直的直线l与抛物线C1交于P，Q两点，P关于x轴的对称点为M（1）求抛物线C1的方程；（2）试问直线MQ是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由21（12分）已知函数，aR（1）若x1是f（x）的极值点，求函数f（x）的单调性；（2）若1xe时，f（x）0，求a的取值范围选修4-4：坐标系与参数
7、方程22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），直线C2的普通方程为y以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+a|+|x2|（1）若f（x）的最小值为3，求实数a的值；（2）若a2时，不等式f（x）4的解集为A，当m，nA时，求证：|mn+4|2|m+n|2018-2019学年广西梧州市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
8、的.1（5分）设全集UxN|1x5，集合A1，3，则集合UA的子集的个数是（）A16B8C7D4【分析】根据补集的定义求出UA，可得所有子集得答案【解答】解：全集UxN|1x50，1，2，3，4，集合A1，3，则集合UA0，2，4，则集合UA的子集的个数是238，故选：B【点评】本题考查了补集的运算，考查了集合的子集，是基础题2（5分）已知复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z13i（i为虚数单位），则（）AiB+iCiD+i【分析】由已知求得z23+i，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由题意，复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z13i，则z23+i
9、，故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3（5分）已知如表所示数据的回归直线方程为，则实数a的值为（） x23456y48111418A2.6B2.6C2.8D3.4【分析】由已知求得，得到样本中心点，把样本中心点的坐标代入回归方程求得a值【解答】解：，样本中心点为（4，11），将其代入，得a113442.6故选：B【点评】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本中心点是关键，是基础题4（5分）已知向量（），（3，），则向量在向量方向上的投影为（）ABC1D1【分析】本题可根据投影的向量定义式和两个向量的数量积公式来计算【解答】解：由投
10、影的定义可知：向量在向量方向上的投影为：，又，故选：A【点评】本题主要考查投影的向量定义以及根据两个向量的数量积公式来计算一个向量在另一个向量上的投影，本题属基础题5（5分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）ABCD【分析】设边长AB2，求出BCI和平行四边形EFGH的面积，计算对应的面积比即可【解答】解：设AB2，则BCCDDEEF1，SBCI，S平行四边形EFGH2SBCI2，所求的概率为P故
11、选：A【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题6（5分）若an为等差数列，Sn是其前n项和，且，则tana6的值为（）ABCD【分析】根据所给的前11项的和，根据前11项的和等于11倍的第六项，写出第六项的结果是，求出第六项的正切值是，得到结果【解答】解：，故选：B【点评】本题考查等差数列的性质，考查特殊角的正切值，是一个综合题目，这种题目是综合数列和三角的题目，是一种常见的组合，要引起注意7（5分）若直线l过点A（0，a）斜率为1，圆x2+y24上恰有3个点到l的距离为1，则a的值为（）ABC2D4【分析】设l：xy+a0，由题意得：，由此能求出结果【解答】解：设l：xy+a0，由
12、题意得：，解得a故选：A【点评】本题考查满足条件的实数值的求法，是基础题，解题时要注意直线与圆的位置关系的合理运用8（5分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A2B6C10D24【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为直四棱柱，底面为直角梯形，从而可求几何体的体积【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为直四棱柱，底面为直角梯形，则其体积为226故选：B【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题9（5分）已知满足sin，那么值为（）ABCD【分析】利用两角和差的三角公式、二倍角公式，求得要求式子的值【解答】解：sin，那么（cossin）（
13、cos+sin）sin2cos2（12sin2）（12），故选：C【点评】本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，属于基础题10（5分）在ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足bcosC（3ac）cosB，若4，则ac的值为（）A12B11C10D9【分析】由已知结合正弦定理得cosB，在结合数量积的定义可得结果【解答】解：bcosC（3ac）cosB，由正弦定理得sinBcosC（3sinAsinC）cosBsin（B+C）3sinAcosB，sinA3sinAcosB，sinA0，cosB，accosBac4，ac12故选：A【点评】本题主要考察了正弦定理的应用，
14、两角和的正弦公式、诱导公式、数量积的应用，属于基础题11（5分）已知椭圆C：+1（ab0）的左、右焦点为F1，F2，左、右顶点为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点（异于M、N），AF1B的周长为4，且直线AM与AN的斜率之积为，则C的方程为（）A+1B+1C+1D+y21【分析】利用椭圆的性质求出a，设出A的坐标，利用直线AM与AN的斜率之积为，转化求解b，即可得到椭圆方程【解答】解：椭圆C：+1（ab0）的左、右焦点为F1，F2，过F2的直线l交C于A，B两点（异于M、N），AF1B的周长为4，可得4a4，解得a，则椭圆方程为：，左、右顶点为M（，0），N（，0），设A（cos，bsin
15、），因为直线AM与AN的斜率之积为，可得：，即，可得b22，则椭圆C的方程为：+1故选：C【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力12（5分）已知函数f（x）为R内的奇函数，且当x0时，f（x）ex+1+mcosx，记a2f（2），bf（1），c3f（3），则a，b，c间的大小关系是（）AbacBacbCcabDcba【分析】由已知结合f（0）0，可得m值，进而得到函数的解析式，令g（x）xf（x），则g（x）为偶函数且在x0时为减函数，进而得到答案【解答】解：函数f（x）为R内的奇函数，且当x0时，f（x）ex+1+mcosx，f（0）1+1+m0，即m
16、0，f（x）ex+1，令g（x）xf（x），g（x）为偶函数且在x0时为减函数，则a2f（2）g（2）g（2），bf（1）g（1）g（1），c3f（3）g（3），故cab，故选：C【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，难度中档二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）函数yaxex的图象在x0处的切线与直线yx互相垂直，则a1【分析】求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直的直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可【解答】解：函数yaxex在x0处的切线与直线yx垂直，函数yaxex在x0处的切线斜率k1，f（x）aex+axex，f（0）a1，得a1，故
17、答案为：1【点评】本题主要考查直线垂直的应用以及导数的几何意义，根据条件建立方程关系是解决本题的关键14（5分）已知实数x，y满足不等式组，则2xy的最大值是6【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z2xy，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值【解答】解：设z2xy，则y2xz，作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线y2xz，由图象可知当直线y2xz经过点C（3，0）时，直线y2xz的截距最小，此时z最大z的最大值为z236，故答案为：6【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法15（5分）函数f（x）a
18、x12（a0，a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中m0，n0，则+的最小值为【分析】利用题意首先确定m，n的关系式，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果【解答】解：由指数函数的性质可得 A（1，1），点在直线上，则：m+n10，m+n1则：，当且仅当 时等号成立综上可得：的最小值为故答案为：【点评】本题考查了指数函数恒过定点问题，均值不等式及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题16（5分）已知双曲线1（a0，b0）右支上有一点A，它关于原点的对称点为B，双曲线的右焦点为F，满足0，且ABF，则双曲线的离心率e的值是1+【分析】运用三角函数
19、的定义可得|AF|2csinc，|BF|2ccosc，取左焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AFBF'为矩形，由双曲线的定义和矩形的性质，可得cc2a，由离心率公式，即可得到所求值【解答】解：0，可得AFBF，在RtABF中，|OF|c，|AB|2c，在直角三角形ABF中，ABF，可得|AF|2csinc，|BF|2ccosc，取左焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AFBF'为矩形，|BF|AF|AF'|AF|cc2a，e+1故答案为：【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和锐角三角函数的定
20、义，考查化简整理的运算能力，属于中档题三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17（12分）已知数列an，nN*，且a12，an+12an1（1）证明数列an1是等比数列，并求an的通项公式；（2）设bnnan，若bn的前n项和为Tn，求Tn【分析】（1）设cnan1，c11，再利用等比数列定义证明数列an1是等比数列，再利用等比数列的通项求出an（2）结合（1）可求bn，利用错位相减法求Tn【解答】解：（1）设cnan1，c11，2所以数列an1是以1为首项，2
21、为公比的等比数列，且cn2n1所以an2n1+1（2）bnnann2n1+n，Tn（120+1）+（221+2）+（n2n1+n）（120+221+n2n1）+（1+2+n）令sn（120+221+n2n1） 2sn12+222+n2n，得snn2n（20+2n1）（n1）2n+1Tn【点评】本题主要考查等比数列的性质的判定，考查错位相减和分组求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力18（12分）随着人们生活水平的提高，越来越多的人愿意花更高的价格购买手机某机构为了解市民使用手机的价格情况，随机选取了100人进行调查，并将这100人使用的手机价格按照500，150
22、0），1500，2500），5500，6500分成6组，制成下图所示的频率分布直方图：（1）求图中m的值；（2）求这组数据的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）；（3）利用分层抽样从手机价格在1500，2500）和4500，5500）的人中抽取5人，并从这5人中抽取2人进行访谈，求抽取出的2人的手机价格在不同区间的概率【分析】（1）由频率分布直方图的性质能求出m（2）由频率分布直方图能求出平均数和中位数（3）由频率分布直方图得：手机价格在1500，2500）和4500，5500）的人数之比为2：3，用分层抽样抽取的5人中，来自1500，2500）区间的有2人，设为A1，A2
23、，来自4500，5500）区间的有3人，设为B1，B2，B3，由此利用列举法能求出抽取出的2人的手机价格在不同区间的概率【解答】解：（1）由频率分布直方图的性质得：（0.00004+m+0.00026+0.00032+0.00018+0.00008）10001，解得m0.00012（2）平均数（10000.00004+20000.00012+30000.00026+40000.00032+50000.00018+60000.00008）10003720（元）前三组的频率之和为：1000（0.00004+0.00012+0.00026）0.420.5，前四组频率之和为：1000（0.00004+
24、0.00012+0.00026+0.00032）0.740.5，中位数在第四组，设中位数为x，则：（x3500）0.00032+0.420.5，解得x3750，中位数为3750（3）由频率分布直方图得：手机价格在1500，2500）和4500，5500）的人数之比为2：3，故用分层抽样抽取的5人中，来自1500，2500）区间的有2人，设为A1，A2，来自4500，5500）区间的有3人，设为B1，B2，B3，则从这5人中抽取2人的取法有10种，分别为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3）
25、，（B2，B3），其中抽取出的2人的手机价格在不同区间包含的基本事件有6种，分别为：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），抽取出的2人的手机价格在不同区间的概率P【点评】本题考查频率、平均数、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19（12分）如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形，且ABC60，ABPC2，PAPB（）求证：平面PAB平面ABCD；（）求点D到平面APC的距离【分析】（）取AB得中点O，连接PO、CO，利用PAB为等腰直角三角形，可得POAB由PO2+CO2PC2，
26、利用勾股定理的逆定理可得POCO，利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明结论（）设点D到平面APC的距离为h，由（）知ADC是边长为2的等边三角形，PAC为等腰三角形，利用VDPACVPADC，得，解出即可得出【解答】（）证明：取AB得中点O，连接PO、CO，由PAPB，AB2知PAB为等腰直角三角形，POAB，PO1，又ABBC2，ABC60知ABC为等边三角形，又由PC2得PO2+CO2PC2，POCO，PO平面ABC，又PO平面PAB，平面PAB平面ABCD（）解：设点D到平面APC的距离为h，由（）知ADC是边长为2的等边三角形，PAC为等腰三角形，由VDPACVPADC得，即点D到
27、平面APC的距离为【点评】本题考查了空间位置关系、距离的计算、线面垂直判定与性质定理、等腰与等边三角形的性质、等体积法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（12分）已知抛物线C1：y22px（p0）与椭圆C2：1有一个相同的焦点，过点A（2，0）且与x轴不垂直的直线l与抛物线C1交于P，Q两点，P关于x轴的对称点为M（1）求抛物线C1的方程；（2）试问直线MQ是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由【分析】（1）根据椭圆的性质和抛物线的定义即可求出，（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则M（x1，y1），设直线PQ的方程为yk（x2），根据韦达定理可得x1x24，设
28、直线MQ的方程无ymx+n，再根据韦达定理可得x1x24，即可求出直线MQ过定点【解答】解：（1）由题意可得抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为（1，0），所以p2，故抛物线的方程为y24x，（2）因为点P关于x轴的对称点为M，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则M（x1，y1），设直线PQ的方程为yk（x2），代入y24x得k2x24（k2+1）x+4k20，x1x24，设直线MQ的方程无ymx+n，代入y24x得m2x2（2mn4）x+n20，x1x24，x10，x20，2，即n2m，直线MQ的方程为ym（x+2），故过定点（2，0）【点评】本题主要考查了直线与抛物线的相交关系的应用，方
29、程的根与系数关系的应用，直线方程的应用及一定的逻辑推理与运算的能力21（12分）已知函数，aR（1）若x1是f（x）的极值点，求函数f（x）的单调性；（2）若1xe时，f（x）0，求a的取值范围【分析】（1）根据导数和函数单调性的关系即可求出，（2）先分离参数，再构造函数，根据导数和函数的最值的关系即可求出【解答】解：（1），x0因为x1是f（x）的极值点，所以f（1）0，可得a1所以，因为yx2+lnx1在（0，+）上单调递增，且x1时，y0，所以0x1时，x2+lnx10，f（x）0，f（x）单调递减；x1时，x2+lnx10，f（x）0，f（x）单调递增故f（x）在（0，1）上单调递减，
30、在（1，+）上单调递增（2）由f（x）0得，因为1xe，所以设，则令h（x）x1（2x1）lnx，则，显然h（x）在（0，+）内单调递减，且h（1）0，所以1xe时，h（x）0，h（x）单调递减，则h（x）h（1）0，即g（x）0，所以g（x）在（1，e）内单减，从而所以【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，是中档题选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），直线C2的普通方程为y以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲
31、线C1交于A，B两点，求【分析】（1）先将曲线C1的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程；根据直线过原点，即可得C2的极坐标方程；（2）联立直线的极坐标方程与曲线C1的极坐标方程，根据极径的关系代入即可求得的值【解答】解：（1）由曲线C1的参数方程为（为参数），得曲线C1的普通方程为（x3）2+（y3）24，曲线C1的极坐标方程为（cos3）2+（sin3）24，即26cos6sin+140直线C2过原点，且倾斜角为，直线C2的极坐标方程为（R）；（2）设点A，B对应的极径分别为1，2，由，得，1214，又10，20，【点评】本题考查了参数方程、普通方程和极坐标方程的转化，利用极坐标求线段和
32、，属于中档题选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+a|+|x2|（1）若f（x）的最小值为3，求实数a的值；（2）若a2时，不等式f（x）4的解集为A，当m，nA时，求证：|mn+4|2|m+n|【分析】（1）根据f（x）|x+a|+|x2|（x+a）（x2）|a+2|，可得|a+2|3，从而得到a的值（2）解不等式f（x）4得到A后，由（mn+4）24（m+n）2（m24）（n24）0即可得证【解答】解：（1）f（x）|x+a|+|x2|（x+a）（x2）|a+2|，当且仅当（x+a）（x2）0时取等号，|a+2|3，解得a+1或a5（2）当a2时，f（x）|x+a|+|x2|，当x2时，由f（x）4，得2x4，解得x2，又x2不等式无实数解；当2x2时，f（x）4恒成立，2x2；当x2时，由f（x）4，得2x4，解得x2，又x2，x2；f（x）4的解集为A2，2（mn+4）24（m+n）2（m2n2+8mn+16）4（m2+n2+2mn）m2n2+164m24n2（m2n24m2）+（164n2）（m24）（n24）m，n2，2，m240，n240，（mn+4）24（m+n）20，即（mn+4）24（m+n）2，|mn+4|2|m+n|【点评】本考查了绝对值不等式的解法和利用绝对值三角不等式求最值，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题
