1、2018-2019学年广西南宁市“4+ N”高中联合体高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合P0，1，2，Qx|x2，则PQ（）A0B0，1C1，2D0，22（5分）已知i是虚数单位，则（2+i）i（）A1+2iB1+2iC12iD12i3（5分）空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的方法，AQI指数与空气质量对应如表所示：如图是某城市2018年12月全月的AQI指数变化统计图：根据统计图判断，下列结论正确的是（）A整体上看，这个月的空气质量越来越差B整体上看，前半月的空气质量
2、好于后半个月的空气质量C从AQI数据看，前半月的方差大于后半月的方差D从AQI数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值4（5分）在的展开式中，x4的系数为（）A120B120C15D155（5分）若等比数列an的各项均为正数，a23，4a32a1a7，则a5（）ABC12D246（5分）函数f（x）x3+x在点x1处的切线方程为（）A4xy+20B4xy20C4x+y+20D4x+y207（5分）根据如图所示的程序框图，当输入的x值为3时，输出的y值等于（）A1BeCe1De28（5分）在空间中，有如下四个命题：平行于同一个平面的两条直线是平行直线；垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；若平面
3、内有不共线的三个点到平面距离相等，则；过平面的一条斜线有且只有一个平面与平面垂直其中正确的两个命题是（）A、B、C、D、9（5分）下列三个数：aln，blog3，c（），大小顺序正确的是（）AcabBcbaCbacDabc10（5分）如图，已知函数f（x）的图象关于坐标原点对称，则函数f（x）的解析式可能是（）Af（x）x2ln|x|Bf（x）xlnxCD11（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y24x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，若，则OPQ的面积为（）ABCD12（5分）若函数在1，+）上是单调函数，则a的取值范围是（）ABCD（，1二、填空题：本题共4个
4、小题，每小题5分，共20分.把答案填答题卷相应题中横线.13（5分）设向量（x，1），（4，2），且，则实数x的值是 14（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，a37，a513，S7 15（5分）双曲线M的焦点是F1，F2，若双曲线M上存在点P，使PF1F2是有一个内角为的等腰三角形，则M的离心率是 16（5分）函数，则f（x1）f（x2）的最大值是 三解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（12分）ABC的三个内角A、B、C对应的三条边长分别是a、b、c，且满足（1）求角C的大小；（2）若b2
5、，求a18（12分）手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：女性用户分值区间50，60）60，70）70，80）80，90）90，100频数2040805010男性用户分值区间50，60）60，70）70，80）80，90）90，100频数4575906030（）完成下列频率分布直方图，计算女性用户评分的平均值，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（）把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，能否有90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关？参考附表：P（K2k0）
6、0.100.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828参考公式：K2，其中na+b+c+d19（12分）如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD为正方形，PA平面ABCD，E、F分别是BC，PC的中点，AB2，AP2（1）求证：BD平面PAC；（2）求二面角EAFC的大小20（12分）已知椭圆C：（ab0）的离心率为，且经过点Q（2，）（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|4，求AOB（O为坐标原点）面积的最大值及此时直线l的方程21（12分）已知函数f（x）lnx+ax2（a+1）x，（aR）（1）当a1时，判断函数yf（x）的单
7、调性；（2）若关于x的方程f（x）ax2有两个不同实根x1，x2，求实数a的取值范围，并证明x1x2e2选考题：共10分.请在第22、23题中任选一题作答.如多做，按所做第一题计分.22（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位曲线C的极坐标方程为2+2cos+4sin+40（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）已知点M是曲线C上任一点，求点M到直线l距离的最大值五、选做题23已知函数f（x）|x+1|+|xa|（1）当a2时，求不等式f（x）5的解集；（2）若f（x）2的解集为R，求a的取
8、值范围2018-2019学年广西南宁市“4+ N”高中联合体高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合P0，1，2，Qx|x2，则PQ（）A0B0，1C1，2D0，2【分析】利用集合的基本运算定义即可得出答案【解答】解：已知集合P0，1，2，Qx|x2，利用集合的基本运算定义即可得：PQ0，1，故选：B【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题2（5分）已知i是虚数单位，则（2+i）i（）A1+2iB1+2iC12iD12i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简
9、得答案【解答】解：（2+i）i2i+i21+2i故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题3（5分）空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的方法，AQI指数与空气质量对应如表所示：AQI05051100101150151200201300300以上空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某城市2018年12月全月的AQI指数变化统计图：根据统计图判断，下列结论正确的是（）A整体上看，这个月的空气质量越来越差B整体上看，前半月的空气质量好于后半个月的空气质量C从AQI数据看，前半月的方差大于后半月的方差D从AQI数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值【分析】从整体上
10、看AQI指数变化图越来越低，空气质量越来越好，从数据的集中程度来看，后半个月比前半个月集中些，从数据大小来看，前半个月数据大于后半个月数据【解答】解：从整体上看，这个月AQI数据越来越低，故空气质量越来越好；故A，B不正确；从AQI数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以C正确；从AQI数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故D不正确故选：C【点评】本题考查了函数的表示方法，属中档题4（5分）在的展开式中，x4的系数为（）A120B120C15D15【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+
11、1项，令x的指数为4求出x4的系数【解答】解：在的展开式中x4项是15x4，故选：C【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具5（5分）若等比数列an的各项均为正数，a23，4a32a1a7，则a5（）ABC12D24【分析】由4a32a1a7，利用等比中项的性质，求出q，代入等比数列的通项公式即可求出a5【解答】解：数列an是等比数列，各项均为正数，4a32a1a7，所以，所以q2所以a532324故选：D【点评】本题考查了等比数列的通项公式，等比中项的性质，属于基础题6（5分）函数f（x）x3+x在点x1处的切线方程为（）A4xy+20B4xy20C4x+y+2
12、0D4x+y20【分析】首先求出函数f（x）在点x1处的导数，也就是切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程【解答】解：f（x）x3+xf（x）3x2+1容易求出切线的斜率为4当x1时，f（x）2利用点斜式，求出切线方程为4xy20故选：B【点评】本题比较简单，主要应用导数的几何意义，求出切线方程7（5分）根据如图所示的程序框图，当输入的x值为3时，输出的y值等于（）A1BeCe1De2【分析】模拟算法的运行过程，即可得出程序运行后输出y的值【解答】解：模拟算法的运行过程，如下；输入x3，计算x321，x0；执行循环，计算x121，x0；终止循环，计算ye1，所以该程序运行后输出ye1故选：C【点
13、评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题8（5分）在空间中，有如下四个命题：平行于同一个平面的两条直线是平行直线；垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；若平面内有不共线的三个点到平面距离相等，则；过平面的一条斜线有且只有一个平面与平面垂直其中正确的两个命题是（）A、B、C、D、【分析】我们可以从正方体去观察理解，从空间两条直线的位置关系判断由线面垂直的性质定理判断；从两平面的位置关系判断；由射影的条数判断【解答】解：平行于同一个平面的两条直线，可能平行，相交或异面不正确；垂直于同一条直线的两个平面是平行平面，由线面垂直的性质定理知正确；若平面内有不共线的三个点到平面距离相等，可能平行，也可能
14、相交，不正确；过平面的一条斜线有且只有一个平面与平面垂直正确，因为一条斜线只有一条射影，只能确定一个平面故选：B【点评】本题主要考查了两直线的位置关系，两平面的位置关系及线面垂直的性质定理，斜线，垂线，射影等概念，作为客观题要多借助空间几何体来判断9（5分）下列三个数：aln，blog3，c（），大小顺序正确的是（）AcabBcbaCbacDabc【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解【解答】解：0ln1alnblog3log3，c（）0，cab故选：A【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题10（5分）如图，已知函数f（
15、x）的图象关于坐标原点对称，则函数f（x）的解析式可能是（）Af（x）x2ln|x|Bf（x）xlnxCD【分析】据题意可知f（x）是奇函数，从而可以排除A，B；当x0时，从而排除选项D，只能选C【解答】解：f（x）的图象关于原点对称；函数f（x）是奇函数；f（x）x2ln|x|为偶函数，f（x）xlnx是非奇非偶函数，A，B都错误；x0时，D错误故选：C【点评】考查奇函数、偶函数和非奇非偶函数的定义，奇函数图象的对称性，以及指数函数的值域11（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y24x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，若，则OPQ的面积为（）ABCD【分析】设直
16、线l的方程为xky+1，将xky+1代入y24x，设P（xP，yP），Q（xQ，yQ），利用韦达定理以及向量的关系，转化求解三角形的面积即可【解答】解：因为抛物线C：y24x的焦点为F，所以，设直线l的方程为xky+1，将xky+1代入y24x，可得y24ky40，设P（xP，yP），Q（xQ，yQ），则yP+yQ4k，yPyQ4，因为，所以yP3yQ，所以yP6k，yQ2k，所以12k24，即k2，所以|yPyQ|8k|，所以OPQ的面积，故选：C【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，是基本知识的考查12（5分）若函数在1，+）上是单调函数，则a的取值范围是（）ABCD（，1【分析】
17、由求导公式和法则求出f（x），由条件和导数与函数单调性的关系分类讨论，分别列出不等式进行分离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得a的取值范围【解答】解：由题意得，f（x），因为在1，+）上是单调函数，所以f（x）0或f（x）0在1，+）上恒成立，当f（x）0时，则在1，+）上恒成立，即a，设g（x），因为x1，+），所以（0，1，当1时，g（x）取到最大值是：0，所以a0，当f（x）0时，则在1，+）上恒成立，即a，设g（x），因为x1，+），所以（0，1，当时，g（x）取到最大值是：，所以a，综上可得，a或a0，所以数a的取值范围是（，0，+），故选：B【点评
18、】本题查求导公式和法则，导数与函数单调性的关系，以及恒成立问题的转化，考查分离常数法，整体思想、分类讨论思想，属于中档题二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填答题卷相应题中横线.13（5分）设向量（x，1），（4，2），且，则实数x的值是2【分析】根据平面向量的共线定理列方程求得x的值【解答】解：向量（x，1），（4，2），且，则2x140，解得x2故答案为：2【点评】本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题14（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，a37，a513，S770【分析】法一：结合等差数列的性质可求公差d，a1，然后利用等差数列的求和公式可求；法二，结
19、合等差数列的性质及求和公式可直接求解【解答】解，由等差数列的性质可得，d3，a11，s77a1+21d7+21370；法二：a31，a519，a1+a7a3+a520，由等差数列的求和公式可得，s770故答案为：70【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式的简单应用，属于基础试题15（5分）双曲线M的焦点是F1，F2，若双曲线M上存在点P，使PF1F2是有一个内角为的等腰三角形，则M的离心率是【分析】假设P在第一象限，则只能是PF2F1120，PF2F1F2，2c，再根据余弦定理以及离心率可得【解答】解：假设P在第一象限，则只能是PF2F1120，PF2F1F2，2c，PF1PF2+2a2c+
20、2a，在三角形PF1F2中由余弦定理得：（2c+2a）2（2c）2+（2c）222c2c（），即 a2+2ac2c20，1+2e2e20，解得e故答案为：【点评】本题考查了双曲线的性质，属中档题16（5分）函数，则f（x1）f（x2）的最大值是【分析】求f（x1）f（x2）的最大值，本质上就是求f（x）在区间0，上的最大值与最小值，因此使用辅助角公式，将f（x）转化成Asin（x+）+b的形式求解【解答】解：，由，则f（x1）f（x2）的最大值为故答案填【点评】本题考察三角函数的值域，需要用到辅助角公式，属于基础题三解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17
21、（12分）ABC的三个内角A、B、C对应的三条边长分别是a、b、c，且满足（1）求角C的大小；（2）若b2，求a【分析】（1）利用正弦定理列出关系式，代入已知等式变形求出tanC的值，根据C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将c，b及cosC的值代入计算即可求出a的值【解答】解：（1）由正弦定理，得csinAasinC，由已知得csinAasinCacosC，即tanC，0C，C；（2）由余弦定理c2a2+b22abcosC，得（）2a2+224acos，即a22a30，解得：a3或a1，负值舍去，则a3【点评】此题考查了正弦、余弦定理，熟练
22、掌握正弦、余弦定理是解本题的关键18（12分）手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：女性用户分值区间50，60）60，70）70，80）80，90）90，100频数2040805010男性用户分值区间50，60）60，70）70，80）80，90）90，100频数4575906030（）完成下列频率分布直方图，计算女性用户评分的平均值，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（）把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，能否有90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关
23、？参考附表：P（K2k0）0.100.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828参考公式：K2，其中na+b+c+d【分析】（）利用所给数据，可得频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小；（）求出K2，与临界值比较，即可得出结论【解答】解：（）女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大 （4分）（）22列联表如下图：女性用户男性用户合计“认可”手机140180320“不认可”手机60120180合计200300500K25.2082.706，所以有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关
24、【点评】本题考查频率分布直方图的作法及应用，考查独立检验的应用，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19（12分）如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD为正方形，PA平面ABCD，E、F分别是BC，PC的中点，AB2，AP2（1）求证：BD平面PAC；（2）求二面角EAFC的大小【分析】（1）利用线面垂直的判定证明BD平面PAC，证明ACBD、PABD即可；（2）以A为原点，建立直角坐标系，求出平面FAE法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角EAFC的大小【解答】（1）证明：底面ABCD为正方形，ACBDPA平面ABCD，PABDPAACABD平面PAC；（2）解：以A
25、为原点，如图所示建立直角坐标系，则A（0，0，0），E（2，1，0），F（1，1，1）设平面FAE法向量为（x，y，z），则，可取，cos|所以，即二面角EAFC的大小为【点评】本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，二面角的求法，其中建立空间直角坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键20（12分）已知椭圆C：（ab0）的离心率为，且经过点Q（2，）（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|4，求AOB（O为坐标原点）面积的最大值及此时直线l的方程【分析】（1）由题意列出关于a，b，c的方程组求解，得出a，b的值，直接写出椭圆方程即可；（2）根据题意
26、设出直线l的方程和椭圆方程联立方程组，由根与系数关系表示，求解，又由|AB|4列出方程解得参数间的关系，继而求面积的最大值和直线l的方程【解答】解：（1）由题意解得：故椭圆C的方程为，（2）因为|AB|42b，若直线l的斜率不存在，则直线l过原点，A，O，B 不能构成三角形，所以直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为ykx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2）由，得（2k2+1）x2+4kmx+2m280，所以由韦达定理可知：，因为|AB|4，所以，即，得k2（4m2）m22，显然m24，所以，又（4km）24（2k2+1）（2m28）0，得m22，4），点O到直线l的距离为d，因为AOB
27、的面积，所以2m2（4m2）2（m22）2+8，所以当m22时，S2有最大值8，即S的最大值为，此时k0，所以直线l的方程为综上所述，S的最大值为，此时直线l的方程为【点评】此题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，弦长公式等内容，总体上说是较难的题21（12分）已知函数f（x）lnx+ax2（a+1）x，（aR）（1）当a1时，判断函数yf（x）的单调性；（2）若关于x的方程f（x）ax2有两个不同实根x1，x2，求实数a的取值范围，并证明x1x2e2【分析】（1）对f（x）求导，根据f（x）的符号得出f（x）的单调性；（2）由体育可知lnx（a+1）x有两解，求出ylnx的过原点的切线斜
28、率即可得出a的范围，设0x1x2，t，根据分析法构造关于t的不等式，利用函数单调性证明不等式恒成立即可【解答】解：（1）a1时，f（x）lnx+x22x（x0），故f（x）+x20，f（x）在（0，+）上单调递增（2）由题意可知lnx（a+1）x有两解，设直线ykx与ylnx相切，切点坐标为（x0，y0），则，解得x0e，y01，k，0a+1，即1a1实数a的取值范围是（1，1）不妨设x2x10，则lnx1（a+1）x1，lnx2（a+1）x2，两式相加得：ln（x1x2）（a+1）（x1+x2），两式相减得：ln（a+1）（x2x1），故ln（x1x2）ln，要证x1x2e2，只需证ln2，
29、即证ln，令t1，故只需证lnt在（1，+）恒成立即可令g（t）lnt（t1），则g（t）0，g（t）在（1，+）上单调递增，g（t）g（1）0，即lnt在（1，+）恒成立x1x2e2【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性与不等式的关系，构造关于t的不等式是证明的难点，属于难题选考题：共10分.请在第22、23题中任选一题作答.如多做，按所做第一题计分.22（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位曲线C的极坐标方程为2+2cos+4sin+40（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；
30、（2）已知点M是曲线C上任一点，求点M到直线l距离的最大值【分析】（1）运用代入法，即可得到直线l的直角坐标方程；由xcos，ysin，p2x2+y2，即可得到C的直角坐标方程；（2）求出圆心（1，2）到直线x+y10距离为d，则M到直线l距离的最大值为d+r【解答】解：（1）x+y10，2x2+y2，xcos，ysin，x2+y2+2x+4y+40，即（x+1）2+（y+2）21；（2）由（1）知曲线C是以（1，2）为圆心，r1为半径的圆圆心（1，2）到直线x+y10距离为d，点M到直线l距离的最大值为【点评】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程的运用，求最值，考查运算能力，属中档题
