1、2017-2018学年广西南宁市“4+N”联合体高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题1（5分）已知集合 Ax|x1，Bx|x2，则 AB（）Ax|1x2Bx|x1Cx|x2Dx|x12（5分）复数zi（1i），则|z|（）A1BC2D43（5分）某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）（注：结余收入支出）A收入最高值与收入最低值的比是3：1B结余最高的月份是7月C1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D前6个月的平均收入为40万元4（5分）若角的终边经过点，则（）ABCD5（5分）设x，y满足约束条件，则zx+3y的最大值是（）A9B8C3D
2、46（5分）已知双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）ABC3D57（5分）已知函数f（x）是定义在R上的周期为6的奇函数，且满足f（1）1，f（2）3，则f（8）f（5）（）A4B2C2D48（5分）如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）ABCD9（5分）函数y的图象大致是（）ABCD10（5分）已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，（a+b）（sinAsinB）c（sinAsinC），则B（）ABCD11（5分）过圆P：的圆心P的直线与抛物线C：y23x相交于A，B两点，且，
3、则点A到圆P上任意一点的距离的最大值为（）AB2CD12（5分）已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则的取值范围是（）A1，0B1，2C1，3D1，4二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填答题卷相应题中横线上.13（5分）在（3x）7的展开式中，x5的系数是 （用数字作答）14（5分）已知（1，1），（3，x），若+与垂直，则x的值为 15（5分）若将函数f（x）cos（2x+）（0）的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称，则 16（5分）正四面体ABCD的所有棱长均为12，球O是其外接球，M，N分别
4、是ABC与ACD的重心，则球O截直线MN所得的弦长为 三解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（12分）在等差数列an中，a12，a1220（1）求数列an的通项an；（2）若，求数列的前n项和18（12分）某学校举行了一次安全教育知识竞赛，竞赛的原始成绩采用百分制已知高三学生的原始成绩均分布在50，100内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表原始成绩85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级优秀良好及格不及格为了解该校高三年级学生安全教育学习情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照50，60），60，70）
5、，70，80），80，90），90，100的分组作出频率分布直方图如图所示，其中等级为不及格的有5人，优秀的有3人（1）求n和频率分布直方图中的x的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高三学生中任选3人，求至少有1人成绩是及格以上等级的概率；（3）在选取的样本中，从原始成绩在80分以上的学生中随机抽取3名学生进行学习经验介绍，记表示抽取的3名学生中优秀等级的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，已知ABCD，PAABAD2，DC1，ADAB，PDPB2，点M是PB的中点（）证明：CM平面PAD；（）求直线C
6、M与平面PDC所成角的正弦值20（12分）已知椭圆C：1（ab0）的离心率为，椭圆C的长轴长为4（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：ykx与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由21（12分）已知函数f（x）lnxax，e为自然对数的底数，aR（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当x1时，恒成立，求a的取值范围选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：4cos（）写出C的直角坐标方程，并指出
7、C是什么曲线；（）设直线l与曲线C相交于P、Q两点，求|PQ|值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x2|+|x+3|（1）求不等式f（x）15的解集；（2）若x2+af（x）对xR恒成立，求a的取值范围2017-2018学年广西南宁市“4+N”联合体高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1（5分）已知集合 Ax|x1，Bx|x2，则 AB（）Ax|1x2Bx|x1Cx|x2Dx|x1【分析】根据集合交集的定义进行求解即可【解答】解：Ax|x1，Bx|x2，ABx|1x2故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据交集的定义是解决本题的关键比较基础2（5分）复数
8、zi（1i），则|z|（）A1BC2D4【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解【解答】解：zi（1i）1+i，|z|故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3（5分）某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）（注：结余收入支出）A收入最高值与收入最低值的比是3：1B结余最高的月份是7月C1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D前6个月的平均收入为40万元【分析】根据折现统计图即可判断各选项【解答】解：由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3：1，故A正确，由图可知，结
9、余最高为7月份，为802060，故B正确，由图可知，1至2月份的收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确，由图可知，前6个月的平均收入为（40+60+30+30+50+60）45万元，故D错误，故选：D【点评】本题考查了统计图识别和应用，关键是认清图形，属于基础题4（5分）若角的终边经过点，则（）ABCD【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tan的值，再利用两角和的正切公式求得的值【解答】解：角的终边经过点，x1，y2，tan2，则，故选：B【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式的应用，属于基础题5（5分）设x，y满足约束条件，则zx+3y的最大值是（）A
10、9B8C3D4【分析】先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证即得答案【解答】解：如图即为x，y满足约束条件的可行域，由图易得：由，解得A（3，2），同理可得B（0，1），C（4，0），当x3，y2时zx+3y的最大值为9，故选：A【点评】在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解6（5分）已知双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）ABC3D5【分析】确定抛物线y212x的焦点坐标，从而可得双曲线的一条渐近线方程，利用
11、点到直线的距离公式，即可求双曲线的焦点到其渐近线的距离【解答】解：抛物线y212x的焦点坐标为（3，0）双曲线的右焦点与抛物线y212x的焦点重合4+b29b25双曲线的一条渐近线方程为，即双曲线的焦点到其渐近线的距离等于故选：A【点评】本题考查抛物线的性质，考查时却显得性质，确定双曲线的渐近线方程是关键7（5分）已知函数f（x）是定义在R上的周期为6的奇函数，且满足f（1）1，f（2）3，则f（8）f（5）（）A4B2C2D4【分析】根据题意，由函数的周期性可得f（8）f（2）3，f（5）f（1），结合函数的奇偶性可得f（1）的值，计算可得答案【解答】解：根据题意，f（x）是周期为6的周期函
12、数，f（8）f（2）3，f（5）f（1），又由f（x）为奇函数，则f（5）f（1）f（1）1，则f（8）f（5）3（1）4；故选：D【点评】本题考查抽象函数函数值的计算，涉及函数的周期性，属于基础题8（5分）如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）ABCD【分析】由几何体的三视图得：该几何体是三棱锥SABC，其中平面SACABC，SAABBCSCSB2，AC4，由此能求出该几何体的表面积【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体是三棱锥SABC，其中平面SACABC，SAABBCSCSB2，AC4，如图，SASC，ABBC，该几何体的表面积为：S
13、2（SSAC+SSAB）2（）8+4故选：A【点评】本题考查几何体的表面积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题9（5分）函数y的图象大致是（）ABCD【分析】根据函数的定义域，取值范围和取值符号，进行排除即可【解答】解：函数的定义域为x|x0，排除A当x时，y+，排除B，当x+时，x33x1，此时y0，排除D，故选：C【点评】本题主要考查函数图象的识别，根据函数的性质结合极限思想是函数图象的基本方法10（5分）已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，（a+b）（sinAsinB）c（sinAsinC），则
14、B（）ABCD【分析】由正弦定理化简已知等式可得a2+c2b2ac，由余弦定理可求cosB，结合范围B（0，），即可求B的值【解答】解：在ABC中，（a+b）（sinAsinB）c（sinAsinC）由正弦定理可得：（a+b）（ab）c（ac），即a2+c2b2ac，（2分）由余弦定理可知cosB，（4分）B（0，），B故选：C【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题11（5分）过圆P：的圆心P的直线与抛物线C：y23x相交于A，B两点，且，则点A到圆P上任意一点的距离的最大值为（）AB2CD【分析】求得圆P的圆心和半径r，设过P的直线的
15、参数方程为（t为参数），代入抛物线的方程，运用韦达定理，结合条件，解方程可得t1，可得所求最大值为APr【解答】解：圆P：的圆心P（1，0），半径为r，设过P的直线的参数方程为（t为参数），代入抛物线方程y23x，可得t2sin23tcos+30，由，可得t23t1，又t1+t2，t1t2，即有4t1，3t12，可得tan2，即有t12，得t1，则点A到圆M上任意一点的距离的最大值为故选：C【点评】本题考查圆的方程的运用，以及直线的参数方程的运用，考查向量共线定理的运用，以及韦达定理的运用，考查化简变形，属于中档题12（5分）已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则的取
16、值范围是（）A1，0B1，2C1，3D1，4【分析】如图所示，由题意可得：点M所在的圆的方程为：（x1）2+（y1）21（0x2，0y2）可设点M（x，y）可得（x1）2+y21，由0，2，即可得出【解答】解：如图所示，由题意可得：点M所在的圆的方程为：（x1）2+（y1）21（0x2，0y2）可设点M（x，y）A（0，0），B（2，0）（x，y）（2x，y）x（2x）+y2（x1）2+y21，由0，2，1，3，故选：C【点评】本题考查了圆的标准方程、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填答题卷相应题中横线上.13（5
17、分）在（3x）7的展开式中，x5的系数是189（用数字作答）【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的第r+1项，令x的指数等于5求出展开式中x5的系数【解答】解：（3x）7的展开式的通项为Tr+1（1）r37rC7rxr令r5得x5的系数是32C75189故答案为189【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题14（5分）已知（1，1），（3，x），若+与垂直，则x的值为5【分析】根据平面向量的坐标运算与两向量垂直的坐标表示，列出方程求得x的值【解答】解：（1，1），（3，x），+（4，1+x），又+与垂直，（+）0，即41+（x+1）10，解得x5故答案为：5【点
18、评】本题考查了平面向量的坐标运算与垂直的应用问题，是基础题15（5分）若将函数f（x）cos（2x+）（0）的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称，则【分析】直接利用三角函数的图象的平移变换和函数的性质求出结果【解答】解：函数f（x）cos（2x+）（0）的图象向左平移个单位，得到：，所得到的图象关于原点对称，且0，故：，故答案为：【点评】本题考查的知识要点：三角函数的图象的平移变换的应用16（5分）正四面体ABCD的所有棱长均为12，球O是其外接球，M，N分别是ABC与ACD的重心，则球O截直线MN所得的弦长为4【分析】正四面体ABCD可补全为棱长为6的正方球O是正方体的外接球，其半径
19、R，正四面体的高h4，由此能求出球O截直线MN所得的弦长【解答】解：正四面体ABCD可补全为棱长为6的正方体球O是正方体的外接球，其半径R，设正四面体的高为h，则h4，故OMON，又MN，O到直线MN的距离为，因此球O截直线MN所得的弦长为：24故答案为：4【点评】本题考查球截直线所得的弦长的求法，考查正四面体及其外接球等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题三解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（12分）在等差数列an中，a12，a1220（1）求数列an的通项an；（2）若，求数列的前n项和【分析】（1）利用等差数列通项公式即可得
20、出（2）利用等比数列的求和公式即可得出【解答】解：（1）设数列an的公差为d，则2+11d20，解得d2an2+2（n1）2n4（2）a1+a2+ann23nn3，3n3数列的前n项和【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）某学校举行了一次安全教育知识竞赛，竞赛的原始成绩采用百分制已知高三学生的原始成绩均分布在50，100内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表原始成绩85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级优秀良好及格不及格为了解该校高三年级学生安全教育学习情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，
21、按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出频率分布直方图如图所示，其中等级为不及格的有5人，优秀的有3人（1）求n和频率分布直方图中的x的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高三学生中任选3人，求至少有1人成绩是及格以上等级的概率；（3）在选取的样本中，从原始成绩在80分以上的学生中随机抽取3名学生进行学习经验介绍，记表示抽取的3名学生中优秀等级的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望【分析】（1）求出样本容量，然后利用频率分布直方图求解x（2）不及格的概率为0.1，设至少有1人成绩是及格以上等级为事件A，求
22、出P（A，然后求解至少有1人成绩是及格以上等级的概率即可（3）原始成绩在8（0分）以上的学生有（0.12+0.04）508人，优秀等级的学生有3人，说明的取值可为0，1，2，3；求出概率，得到分布列，然后求解期望即可【解答】解：（1）由题意可知，样本容量，10x110（0.004+0.01+0.056+0.012）0.18，x0.018（2）不及格的概率为0.1，设至少有1人成绩是及格以上等级为事件A，P（A）10.130.999，故至少有1人成绩是及格以上等级的概率为；（3）原始成绩在8（0分）以上的学生有（0.12+0.04）508人，优秀等级的学生有3人，的取值可为0，1，2，3；，的分
23、布列为0123P【点评】本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量的期望与方差的求法，考查计算能力19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，已知ABCD，PAABAD2，DC1，ADAB，PDPB2，点M是PB的中点（）证明：CM平面PAD；（）求直线CM与平面PDC所成角的正弦值【分析】（）取PA的中点N，连接MN，推导出四边形MNCD是平行四边形，从而CMDN，由此能证明CM平面PAD（）建立空间坐标系Oxyz，利用向量法能求出直线CM与平面PDC所成角的正弦值【解答】证明：（）取PA的中点N，连接MN，有MN，MNDC，四边形MNCD是平行四边形，CMDN，又DN平面PAD，CM平面P
24、AD故CM平面PAD（6分）解：（）依题意知：PA2+AB2PD2，PAAB，PAAD，又ABADA，PA平面ABCD，建立如图所示空间坐标系Oxyz，则C（2，1，0），M（0，1，1），D（2，0，0），P（0，0，2），设平面PDC的法向量为，由，有，得，所以，故直线CM与平面PDC所成角的正弦值为【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用20（12分）已知椭圆C：1（ab0）的离心率为，椭圆C的长轴长为4（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：ykx与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标
25、原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）设椭圆的焦半距为c，利用离心率为，椭圆C的长轴长为4列出方程组求解c，推出b，即可得到椭圆的方程（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O设点A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l的方程代入，化简，利用韦达定理，结合向量的数量积为0，转化为：x1x2+y1y20求解即可【解答】解：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得，解得，所以b2a2c2431，故所求椭圆C的方程为（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O理由如下：设点A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l的方程代入，并整理，得（*）
26、则，因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以，即x1x2+y1y20又于是，解得，经检验知：此时（*）式的0，符合题意所以当时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O【点评】本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质，直线与椭圆位置关系的综合应用，考查计算能力以及转化思想的应用21（12分）已知函数f（x）lnxax，e为自然对数的底数，aR（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当x1时，恒成立，求a的取值范围【分析】（1）f（x）的定义域为（0，+），通过若a0时，若a0时，判断函数的单调性，求解函数的单调区间即可（2）由题意得：对x1时恒成立，对x1时恒成立令，（x1），求出令，利用函
27、数的导数，求解函数的最值，得到g（x）在xe处取得最大值，然后求解a的取值范围【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+），若a0时，则f'（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增；若a0时，则由f'（x）0，当时，f'（x）0，f（x）在上单调递增；当时，f'（x）0，f（x）在上单调递减综上所述，当a0时，f（x）在（0，+）上单调递增；当a0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减（2）由题意得：对x1时恒成立，对x1时恒成立令，（x1），令，对x1时恒成立，在1，+）上单调递减，当x1，e时，h（x）0，g'（x）0，g（x）在1，e上单调递增；
28、当x（e，+）时，h（x）0，g'（x）0，g（x）在e，+）上单调递减g（x）在xe处取得最大值，a的取值范围是【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，构造法的应用，考查函数与方程的思想以及计算能力选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：4cos（）写出C的直角坐标方程，并指出C是什么曲线；（）设直线l与曲线C相交于P、Q两点，求|PQ|值【分析】（）直接把极坐标方程转化为直角坐标方程（）利用一元二次方程根和系数的关系和垂径定理求出结果【
29、解答】解：（）4cos，24cos，由2x2+y2，cosx得：x2+y24x所以曲线C的直角坐标方程为（x2）2+y24，它是以（2，0）为圆心，半径为2的圆（）把，代入x2+y24x整理得，设其两根分别为t1、t2，则，化直线参数方程为普通方程，然后求圆心到直线距离，再用垂径定理求得|PQ|的值【点评】本题考查的知识要点：化直线参数方程为普通方程，然后求圆心到直线距离，再用垂径定理求得|PQ|的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x2|+|x+3|（1）求不等式f（x）15的解集；（2）若x2+af（x）对xR恒成立，求a的取值范围【分析】（1）化简函数为分段函数，然后求解不等式f（x）15的解集；（2）若x2+af（x）对xR恒成立，求出函数的最小值，即可求a的取值范围【解答】解：（1）因为，所以当x3时，由f（x）15得8x3；当3x2时，由f（x）15得3x2；当x2时，由f（x）15得2x7综上，f（x）15的解集为8，7（2）由x2+af（x）得ax2+f（x），因为f（x）|（x2）（x+3）|5，当且仅当3x2取等号，所以当3x2时，f（x）取得最小值5，所以当x0时，x2+f（x）取得最小值5，故a5，取a的取值范围为（，5【点评】本题考查不等式的解法，函数恒成立条件的应用，考查转化思想以及计算能力
