1、2018-2019学年广西贺州市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题。（本题共12题，共60分，每题5分)1（5分）已知集合A1，0，1，Bx|1x1，则AB（）A1，1B1，0，1Cx|1x1Dx|x12（5分）已知数列an中，ann2+n+1，则a3（）A4B9C12D133（5分）已知椭圆C：+1（ab0）中，a210，c2，则该椭圆标准方程为（）A+1B+1C+1D+14（5分）设a，bR，则“ab”是“a2b2”的（）A充分必要条件B既不充分也不必要条件C充分不必要条件D必要不充分条件5（5分）已知f（x）x+，则曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为（）A2xy+10Bx
2、y40Cx+y20Dx+y406（5分）若x，y满足，则xy的最小值为（）A5B3C2D17（5分）设抛物线y24x上一点P到y轴的距离是2，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A1B2C3D48（5分）设Sn是等差数列an的前n项和，若a12017，S62S318，则S2019（）A2017B2017C2018D20199（5分）若函数f（x）kxlnx在区间（1，+）上单调递增，则k的取值范围是（）A（，2B（，1C1，+）D1，+）10（5分）ABC的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，已知bcosA（2ca）cosB，c2，a1，则ABC的面积是（）ABC1D11（5分）设f'（
3、x）是定义域为R的函数f（x）的导函数，f'（x）3，f（1）4，则f（x）3x+7的解集为（）A（，1）B（，3）C（3，0）（1，+）D（1，0）（1，+）12（5分）设F1，F2是双曲线C：1（a0b0）的左，右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|OP|，则C的离心率为（）AB2CD二、填空题。（本题共4题，共20分，每题5分)13（5分）已知等比数列an中，a127，a4a3a5，则a7 14（5分）已知x0，y0，x+2y1，则的最小值为 15（5分）已知函数f（x）x2cosx，则f（） 16（5分
4、）设aR，若x0时均有（x2+ax5）（ax1）0成立，则a 三、解答题。（本题共6题，共70分)17（10分）解关于x的不等式ax2（a+1）x+10（a0）18（12分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m0），直线l交椭圆于A，B两个不同点（1）求椭圆的方程； （2）求m的取值范围19（12分）设数列an的前n项和为Sn，且Sn满足2Sn3n2n，（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）若bn，求数列bn的前n项和Tn20（12分）在ABC中，a，b，c分别是A，B，C
5、的对边，且满足bsinA+bcosAc（1）求B；（2）若角A的平分线与BC相交于D点，ADAC，BD2求CD的长21（12分）已知函数f（x）2lnxx2+ax（aR）（）当a2时，求f（x）的图象在x1处的切线方程；（）若函数g（x）f（x）ax+m在，e上有两个零点，求实数m的取值范围22（12分）已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求OPQ面积的取值范围2018-2019学年广西贺州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题。（本题共12题，共60分，每题5分)1（5
6、分）已知集合A1，0，1，Bx|1x1，则AB（）A1，1B1，0，1Cx|1x1Dx|x1【分析】进行并集的运算即可【解答】解：A1，0，1，Bx|1x1；ABx|1x1故选：C【点评】考查描述法、列举法的定义，以及并集的运算2（5分）已知数列an中，ann2+n+1，则a3（）A4B9C12D13【分析】利用通项公式即可得出【解答】解：数列an中，ann2+n+1，则a332+3+113故选：D【点评】本题考查了数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（5分）已知椭圆C：+1（ab0）中，a210，c2，则该椭圆标准方程为（）A+1B+1C+1D+1【分析】根据题意，分析椭圆
7、的焦点位置，由椭圆的几何性质可得b的值，代入椭圆的方程即可得答案【解答】解：根据题意，椭圆C：+1（ab0），其焦点在x轴上，若a210，c2，则b2a2c21046，则椭圆的方程为+1；故选：A【点评】本题考查椭圆的标准方程，注意掌握椭圆标准方程的形式，属于基础题4（5分）设a，bR，则“ab”是“a2b2”的（）A充分必要条件B既不充分也不必要条件C充分不必要条件D必要不充分条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：当a1，b2时，满足ab但“a2b2”不成立，当a3，b2时，满足“a2b2”但ab不成立，即“ab”是“a2b2”的既不充分也不必要条
8、件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题的关键5（5分）已知f（x）x+，则曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为（）A2xy+10Bxy40Cx+y20Dx+y40【分析】求出f（x），由题意可知曲线在点（1，f（1）处的切线方程的斜率等于f（1），所以把x1代入到f（x）中即可求出f（1）的值，得到切线的斜率，然后把x1和f（1）的值代入到f（x）中求出切点的纵坐标，根据切点坐标和斜率直线切线的方程即可【解答】解：f（1）3，f（x）1，f（1）1，所求的切线方程为：y3（x1），即x+y40故选：D【点评】此题
9、考查学生会利用导数求过曲线上某点切线方程的斜率，会根据一点和斜率写出直线的方程，是一道基础题6（5分）若x，y满足，则xy的最小值为（）A5B3C2D1【分析】画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最小值【解答】解：x，y满足的区域如图：设zxy，则yxz，当此直线经过A（0，3）时z最小，所以z 的最小值为033；故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础7（5分）设抛物线y24x上一点P到y轴的距离是2，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A1B2C3D4【分析】由题意可得点P的横坐标为2，抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线x1的距离
10、，由此求得结果【解答】解：由于抛物线y24x上一点P到y轴的距离是2，故点P的横坐标为2再由抛物线y24x的准线为x1，以及抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离，故点P到该抛物线焦点的距离是2（1）3，故选：C【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题8（5分）设Sn是等差数列an的前n项和，若a12017，S62S318，则S2019（）A2017B2017C2018D2019【分析】设等差数列an的公差为d，根据a12017，S62S318，利用求和公式可得d，即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，a12017，S62S318
11、，6a1+d6a12d18，化为：9d18，解得d2则S20192019（2017）+22019故选：D【点评】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9（5分）若函数f（x）kxlnx在区间（1，+）上单调递增，则k的取值范围是（）A（，2B（，1C1，+）D1，+）【分析】求出导函数f（x），由于函数f（x）kxlnx在区间（1，+）单调递增，可得f（x）0在区间（1，+）上恒成立解出即可【解答】解：f（x）k，函数f（x）kxlnx在区间（1，+）单调递增，f（x）0在区间（1，+）上恒成立k，而y在区间（1，+）上单调递减，k1k的取值范围是：1，+）故选：C
12、【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题10（5分）ABC的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，已知bcosA（2ca）cosB，c2，a1，则ABC的面积是（）ABC1D【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出B的值，进一步利用三角形的面积公式求出结果【解答】解：ABC的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，已知bcosA（2ca）cosB，利用正弦定理得：sinBcosA2sinCcosBsinAcosB，整理得：sin（A+B）sinC2sinCcosB，由于：sinC0，所以：cosB，由于：0B，则：B由于：c2，a1，则：故选
13、：B【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形面积公式的应用11（5分）设f'（x）是定义域为R的函数f（x）的导函数，f'（x）3，f（1）4，则f（x）3x+7的解集为（）A（，1）B（，3）C（3，0）（1，+）D（1，0）（1，+）【分析】构造函数g（x）f（x）3x7，由g（1）4+370，求导根据导数与函数单调性的关系，则g（x）是R上的减函数，由g（x）g（1），则x1【解答】解：令g（x）f（x）3x7，则g（1）f（1）+37，因为f（1）4，所以g（1）4+370，由f（x）3x+7，即f（x）3x70，即g（x）g（1）；因为f
14、'（x）3，所以g'（x）f'（x）30，所以，g（x）是R上的减函数；则由g（x）g（1），则x1；所以，不等式f（x）3x+7的解集为（，1）故选：A【点评】本题考查学生灵活运用函数思想求解不等式，解题的关键是构建函数，确定函数的单调性，属于中档题12（5分）设F1，F2是双曲线C：1（a0b0）的左，右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|OP|，则C的离心率为（）AB2CD【分析】先根据点到直线的距离求出|PF2|b，再求出|OP|a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2|PF2|2+|F1F2|22|PF2|F1F2
15、|cosPF2O，代值化简整理可得ac，问题得以解决【解答】解：双曲线C：1（a0b0）的一条渐近线方程为yx，点F2到渐近线的距离db，即|PF2|b，|OP|a，cosPF2O，|PF1|OP|，|PF1|a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2|PF2|2+|F1F2|22|PF2|F1F2|COSPF2O，6a2b2+4c22b2c4c23b24c23（c2a2），即3a2c2，即ac，e，故选：C【点评】本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题二、填空题。（本题共4题，共20分，每题5分)13（5分）已知等比数列an中，a127，a4a
16、3a5，则a7【分析】由等比数列an中，a127，a4a3a5，得到q3，由此能求出a7【解答】解：等比数列an中，a127，a4a3a5，27q327q227q4，解得q3，a727q6故答案为：【点评】本题考查等比数列的第7项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14（5分）已知x0，y0，x+2y1，则的最小值为8【分析】先变形：+（x+2y）（+）4+，然后根据基本不等式可求得最小值【解答】解：+（x+2y）（+）4+4+28（当且仅当x，y时取等）故答案为：8【点评】本题考查了基本不等式及其应用，属基础题15（5分）已知函数f（x）x2cosx，则f（）【分
17、析】先求导，再代值计算即可【解答】解：f（x）x+sinx，f（）+sin+，故答案为：【点评】本题考查了的导数的运算和和导数值，属于基础题16（5分）设aR，若x0时均有（x2+ax5）（ax1）0成立，则a【分析】通过讨论a的范围以及函数恒成立问题，求出a0，进而得到x是方程x2+ax50的实数根，求出a的值即可【解答】解：若a0，则当x0时，ax10，由二次函数的性质可知，不等式x2+ax50不可能在x0时恒成立，故当x0时不可能都有（x2+ax5）（ax1）0成立，故a0，故当0x时，ax10，当x时，ax10，当x0时均有（x2+ax5）（ax1）0成立，故当0x时，x2+ax50，
18、当x时，x2+ax50，故x是方程x2+ax50的实数根，故+150，解得：a（舍）或a，综上：a，故答案为：【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题三、解答题。（本题共6题，共70分)17（10分）解关于x的不等式ax2（a+1）x+10（a0）【分析】根据a的范围，分a等于0和a大于0两种情况考虑：当a0时，把a0代入不等式得到一个一元一次不等式，求出不等式的解集；当a大于0时，把原不等式的左边分解因式，再根据a大于1，a1及a大于0小于1分三种情况取解集，当a大于1时，根据小于1，利用不等式取解集的方法求出解集；当a1时，根据完全平方式大于0，得到x不等
19、于1；当a大于0小于1时，根据大于1，利用不等式取解集的方法即可求出解集，综上，写出a不同取值时，各自的解集即可【解答】解：当a0时，不等式化为x+10，x1；（2分）当a0时，原不等式化为（x1）（x）0，当a1时，不等式的解为x或x1；当a1时，不等式的解为x1；当0a1时，不等式的解为x1或；（10分）综上所述，得原不等式的解集为：当a0时，解集为x|x1；当0a1时，解集为|x1或x；当a1时，解集为x|x1；当a1时，解集为x|x或x1【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论及转化的数学思想根据a的不同取值，灵活利用不等式取解集的方法求出相应的解集是解本题的关键18（1
20、2分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m0），直线l交椭圆于A，B两个不同点（1）求椭圆的方程； （2）求m的取值范围【分析】（1）设出椭圆的方程，利用长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），建立方程，求出a，b，即可求椭圆的方程； （2）由直线方程代入椭圆方程，利用根的判别式，即可求m的取值范围【解答】解：（1）设椭圆方程为1（ab0）则（2分） 解得a28，b22（5分）椭圆方程为1；（6分）（2）直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m又KOM，l的方程为：y
21、x+m 由直线方程代入椭圆方程x2+2mx+2m240，（8分）直线l与椭圆交于A、B两个不同点，（2m）24（2m24）0，（10分）解得2m2，且m0 （12分）【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题19（12分）设数列an的前n项和为Sn，且Sn满足2Sn3n2n，（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）若bn，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）由anSnSn1（n2）求得an，验证n1成立后
22、得数列an的通项公式；（2）把数列an的通项公式代入bn，然后利用错位相减法求数列bn的前n项和Tn【解答】解：（1）3n2n2Sn，当n2时，3（n1）2（n1）2Sn1，得6n42an，an3n2，n1时，得31212a1，a11，符合上式数列an的通项公式为an3n2；（2），得【点评】本题考查由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的和，是中档题20（12分）在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足bsinA+bcosAc（1）求B；（2）若角A的平分线与BC相交于D点，ADAC，BD2求CD的长【分析】（1）由正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简已知的
23、式子，求出tanB的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出B；（2）由ADAC得ACDADC，设DACBAD，ACDADC，由内角和定理列出方程组求出、，由正弦定理求出AB、AD、AC，由余弦定理列出式子化简后求出CD的值【解答】解：（1）由bsinA+bcosAc以及正弦定理得，sinBsinA+sinBcosAsinCsin（A+B），化简得，sinBsinAsinAcosB0，又sinA0，则sinBcosB，即tanB1，因为0B180，所以B45；（2）由ADAC得，ACDADC，设DACBAD，ACDADC，则，解得，在ABD中，BAD30，ADB105由正弦定理得，则，所以AB
24、，AD，则AC，由余弦定理得，CD2AD2+AC22ADACcosDAC8+82，所以CD【点评】本题考查正弦定理、余弦定理，内角和定理，以及诱导公式、两角和的正弦公式等等的应用，考查方程思想，化简、变形能力21（12分）已知函数f（x）2lnxx2+ax（aR）（）当a2时，求f（x）的图象在x1处的切线方程；（）若函数g（x）f（x）ax+m在，e上有两个零点，求实数m的取值范围【分析】（）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求f（x）的图象在x1处的切线方程；（）利用导数求出函数的在，e上的极值和最值，即可得到结论【解答】解：（）当a2时，f（x）2lnxx2+2x，则f（x）2x+2，
25、切点坐标为（1，1），切线斜率kf（1）2，则函数f（x）的图象在x1处的切线方程为y12（x1），即y2x1；（）g（x）f（x）ax+m2lnxx2+m，则g（x）2x，x，e，由g（x）0，得x1，当x1时，g（x）0，此时函数单调递增，当1xe时，g（x）0，此时函数单调递减，故当x1时，函数g（x）取得极大值g（1）m1，g（）m2，g（e）m+2e2，g（e）g（）4e2+0，则g（e）g（），g（x）f（x）ax+m在，e上最小值为g（e），要使g（x）f（x）ax+m在，e上有两个零点，则满足，解得1m2+，故实数m的取值范围是（1，2+【点评】本题主要考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的极值和最值问题，考查学生的计算能力22（12分）已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求OPQ面积的取值范围【分析】根据中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点，利用待定系数法，求出几何量，可得椭圆的方程设直线l的方程为ykx+m（m0），代入椭圆方程，利用韦达定理，结合直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求出k的值，表示出OPQ面积，即可求出OPQ面积的取值范围【解答】解：由题意可设椭圆方程为 （ab0）
