1、2018-2019学年内蒙古包头市北重三中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每个小题5分，共60分.每个小题有四个选项，有且只有一个正确选项，请将正确选项填涂在答题卡上）1（5分）（理）已知向量（3，5，1），（2，2，3），（4，1，3），则向量的坐标为（）A（16，0，23）B（28，0，23）C（16，4，1）D（0，0，9）2（5分）已知抛物线的方程为y2px2且过点（1，4），则抛物线的焦点坐标为（）A（1，0）BCD（0，1）3（5分）已知双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）ABC3D54（5分）已知函数f
2、（x）f'（2）lnx+ex，则f（2）（）A2e2B2e2ln2Ce2（ln2+1）De2（2ln2+1）5（5分）曲线yxsinx在点P（，0）处的切线方程是（）Ayx+2Byx+2Cyx2Dyx26（5分）函数f（x）x2lnx的减区间为（）A（0，）B（，+）C（，）D（0，）7（5分）已知函数f（x）在xx0处的导数为12，则（）A4B4C36D368（5分）已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM3MA，点N为BC的中点，则（）ABCD9（5分）在直三棱柱ABCA1B1C1中，所有的棱长都相等且长度为4，M为B1C1的中点，N为A1B1的中点，则AM与BN所成角的
3、余弦值为（）ABCD10（5分）已知函数，f'（x）是函数f（x）的导函数，则f'（x）在2，2的图象大致是（）ABCD11（5分）椭圆上的点到直线的最大距离是（）A3BCD12（5分）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）f（x）对任意的xR恒成立，则下列不等式均成立的是（）Af（ln2）2f（0），f（2）e2f（0）Bf（ln2）2f（0），f（2）e2f（0）Cf（ln2）2f（0），f（2）e2f（0）Df（ln2）2f（0），f（2）e2f（0）二、填空题（本大题共4小题，每个小题5分，共20分.请将正确答案填写在答题卡上）13（5分）函
4、数的导函数f'（x） 14（5分）已知，且，则xy 15（5分）在棱长均为2的平行六面体ABCDA1B1C1D1中，A1ABA1AD60，BAD90，则AC1的长度 16（5分）椭圆的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足OAF是等边三角形（O为坐标原点），则椭圆的离心率 三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，上顶点坐标为（1）求椭圆的方程；（2）设P为椭圆上一点，且F1PF230，求F1PF2的面积18（12分）设函数f（x
5、）2x3+3ax2+3bx+c在x1及x2时取得极值（1）求a，b的值；（2）若f（x）在1，2上的最大值是9，求f（x）在1，2上的最小值19（12分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC90，SA面ABCD，SAABBC1，AD（1）求证：面SAB面SBC；（2）求面SAD与面SDC所成角的余弦值20（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为A1C1，BC的中点，ABBC2，C1FAB（1）求证：C1F平面ABE；（2）若直线C1F和平面ACE所成角的正弦值等于，求三棱柱ABCA1B1C1的体积21（12分）已知函数f（x）lnxax22x（I）若函数f（x
6、）在x，2内单调递减，求实数a的取值范围；（II）当a时，关于x的方程f（x）x+b在1，4上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围22（12分）已知动点P到定直线l：x4的距离比到定点F（2，0）的距离大2（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）在x轴正半轴上，是否存在某个确定的点M，过该点的动直线l与曲线C交于A，B两点，使得为定值如果存在，求出点M坐标；如果不存在，请说明理由2018-2019学年内蒙古包头市北重三中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每个小题5分，共60分.每个小题有四个选项，有且只有一个正确选项，请将正确选项填涂在答题卡上）1
7、（5分）（理）已知向量（3，5，1），（2，2，3），（4，1，3），则向量的坐标为（）A（16，0，23）B（28，0，23）C（16，4，1）D（0，0，9）【分析】直接利用空间向量的坐标运算法则，求出的坐标即可【解答】解：因为向量（3，5，1），（2，2，3），（4，1，3），所以向量2（3，5，1）3（2，2，3）+4（4，1，3）（16，0，23）故选：A【点评】本题考查的知识点是向量的坐标表示，熟练掌握平面向量模的计算公式2（5分）已知抛物线的方程为y2px2且过点（1，4），则抛物线的焦点坐标为（）A（1，0）BCD（0，1）【分析】利用点的坐标满足方程求出a，化简抛物线方程，然
8、后求解即可【解答】解：抛物线的方程为y2px2，且经过点（1，4），可得p2，抛物线的标准方程为：x2y，则焦点坐标为：（0，）故选：C【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，考查计算能力3（5分）已知双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）ABC3D5【分析】确定抛物线y212x的焦点坐标，从而可得双曲线的一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可求双曲线的焦点到其渐近线的距离【解答】解：抛物线y212x的焦点坐标为（3，0）双曲线的右焦点与抛物线y212x的焦点重合4+b29b25双曲线的一条渐近线方程为，即双曲线的焦点到其
9、渐近线的距离等于故选：A【点评】本题考查抛物线的性质，考查时却显得性质，确定双曲线的渐近线方程是关键4（5分）已知函数f（x）f'（2）lnx+ex，则f（2）（）A2e2B2e2ln2Ce2（ln2+1）De2（2ln2+1）【分析】由导函数的求法得：f（x）+ex，所以f（2）+e2，所以f（2）2e2，即f（2）e2（2ln2+1），得解【解答】解：由f（x）f'（2）lnx+ex，所以f（x）+ex，所以f（2）+e2，所以f（2）2e2，即f（2）e2（2ln2+1）故选：D【点评】本题考查了导函数的求法，属简单题5（5分）曲线yxsinx在点P（，0）处的切线方程是
10、（）Ayx+2Byx+2Cyx2Dyx2【分析】求得曲线对应的函数的导数，可得切线的斜率，由直线的点斜式方程，可得切线的方程【解答】解：yxsinx的导数为ysinx+xcosx，在点P（，0）处的切线斜率为ksin+cos，即有在点P（，0）处的切线方程为y0（x），即为yx+2故选：A【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线的点斜式方程是解题的关键，属于基础题6（5分）函数f（x）x2lnx的减区间为（）A（0，）B（，+）C（，）D（0，）【分析】利用导数的运算法则可得f（x），令f（x）0，解得x范围即可得出【解答】解：f（x）2xlnx+x2x
11、（lnx+）（x0），令f（x）0，解得0x函数f（x）x2lnx的减区间为（0，）故选：D【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7（5分）已知函数f（x）在xx0处的导数为12，则（）A4B4C36D36【分析】根据题意，由极限的性质可得则，结合导数的定义计算可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）在xx0处的导数为12，则4；故选：B【点评】本题考查极限的计算以及导数的定义，属于基础题8（5分）已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM3MA，点N为BC的中点，则（）ABCD【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用空间向量的线性运算法则，
12、用，表示出即可【解答】解：如图空间四边形OABC中，点M在OA上，且OM3MA，又N为BC的中点，（+），故选：D【点评】本题考查了空间向量的线性表示与运算问题，属基础题9（5分）在直三棱柱ABCA1B1C1中，所有的棱长都相等且长度为4，M为B1C1的中点，N为A1B1的中点，则AM与BN所成角的余弦值为（）ABCD【分析】由空间向量的运算及空间向量的夹角得：（）+10，又易得|2，|2，设，的夹角为，则cos，得解【解答】解：因为（），所以（）+10，又易得|2，|2，设，的夹角为，则cos，则AM与BN所成角的余弦值为：，故选：C【点评】本题考查了空间向量的运算及空间向量的夹角，属中档题
13、10（5分）已知函数，f'（x）是函数f（x）的导函数，则f'（x）在2，2的图象大致是（）ABCD【分析】根据题意，求出函数的导数，分析可得f'（x）在2，2上为奇函数且f（x）0在（0，）上恒成立，据此分析选项可得答案【解答】解：根据题意，函数，则f（x）+sinx，则f'（x）在2，2上为奇函数，又由在（0，）上，0且sinx0，则f（x）0在（0，）上恒成立，故选：C【点评】本题考查函数的图象以及导数的计算，关键正确求出函数的导数，属于基础题11（5分）椭圆上的点到直线的最大距离是（）A3BCD【分析】设椭圆上的点P（4cos，2sin），由点到直线的距
14、离公式，计算可得答案【解答】解：设椭圆上的点P（4cos，2sin）则点P到直线的距离d；故选：D【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解12（5分）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（x）f（x）对任意的xR恒成立，则下列不等式均成立的是（）Af（ln2）2f（0），f（2）e2f（0）Bf（ln2）2f（0），f（2）e2f（0）Cf（ln2）2f（0），f（2）e2f（0）Df（ln2）2f（0），f（2）e2f（0）【分析】令g（x），求出函数g（x）的导数，判断函数的单调性，从而求出答案【解答】解：令g（x），则g（x）0，故g（x）
15、在R递减，而ln20，20，故g（ln2）g（0），g（2）g（0），即，即f（ln2）2f（0），f（2）e2f（0），故选：A【点评】本题考查了函数的单调性、导数的应用，构造函数g（x）是解题的关键，本题是一道中档题二、填空题（本大题共4小题，每个小题5分，共20分.请将正确答案填写在答题卡上）13（5分）函数的导函数f'（x）【分析】由复合函数导函数的求法得：f（x），得解【解答】解：由，所以f（x），故答案为：【点评】本题考查了复合函数导函数的求法，属中档题14（5分）已知，且，则xy2【分析】由条件可得，存在R使得，1+2x（2x）且43且y+4（2y2），解出x，y即可【解
16、答】解：由，有，因为，所以存在R使得，1+2x（2x）且43且y+4（2y2），所以，x，y4，所以xy2故答案为：2【点评】本题考查了空间向量的坐标运算和平行，属基础题15（5分）在棱长均为2的平行六面体ABCDA1B1C1D1中，A1ABA1AD60，BAD90，则AC1的长度【分析】用向量法，则，的夹角60，的夹角60，的夹角90，进而求出AC1【解答】解：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，所以【点评】本题几何体不是常规直棱柱，但因为是平行六面体，故可以用向量法来解决，属于中档题16（5分）椭圆的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足OAF是等边三角形（O为坐标原点），则椭圆的离心率
17、1【分析】由题意可知：设A（，y），代入椭圆方程，求得y，由等比三角形的性质可知：丨y丨，由离心率的公式及离心率的取值范围，即可求得椭圆离心率【解答】解：椭圆焦点在x轴上，设A（，y），将x代入椭圆方程+1，解得yOFP为等边三角形，则tanAOF化为：e48e2+40，0e1解得：e242，由0e1，解得：e1故答案为：1【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查等边三角形的性质，考查计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，上顶点坐标为（1）求椭圆的方程；（2
18、）设P为椭圆上一点，且F1PF230，求F1PF2的面积【分析】（1）由题意可得：，b，a2b2+c2联立解得：a，b，c可得椭圆的方程（2）设|PF1|m，|PF2|n，可得m+n6，m2+n22mncos30，联立解得mn，即可得出F1PF2的面积mnsin30【解答】解：（1）由题意可得：，b，a2b2+c2联立解得：a3，b，c椭圆的方程为：+1（2）设|PF1|m，|PF2|n，则m+n6，m2+n22mncos30，12（m+n）22mnmn，解得mn24（2）F1PF2的面积mnsin306（2）【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、余弦定理、三角形磨煤机计算公式，考查了
19、推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）设函数f（x）2x3+3ax2+3bx+c在x1及x2时取得极值（1）求a，b的值；（2）若f（x）在1，2上的最大值是9，求f（x）在1，2上的最小值【分析】（1）求出函数的导数，利用函数的极值，列出方程组求解a，b即可（2）利用函数的导数，判断函数的单调性求出函数的最大值，推出c，然后求解函数的最小值即可【解答】解：（1）函数f（x）2x3+3ax2+3bx+c，可得f（x）6x2+6ax+3b因为函数f（x）在x1及x2时取得极值，则有f（1）0，f（2）0即解得a3，b4（2）由（1）可知，f（x）2x39x2+12x+c，f（x）6x218
20、x+126（x1）（x2）当x1，1时，f（x）0；当x（1，2时，f（x）0f（x）在1，2上的最大值是f（1）5+c9，c4此时f（1）19，f（2）8，所以最小值在x1时取得，为19【点评】本题考查函数的极值的求法函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力19（12分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC90，SA面ABCD，SAABBC1，AD（1）求证：面SAB面SBC；（2）求面SAD与面SDC所成角的余弦值【分析】（1）由SA面ABCD，知SABC，由ABBC，BC面SAB，由此能够证明面SAB面SBC（2）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空
21、间直角坐标系，利用向量法能求出面SAD与面SDC所成角的余弦值【解答】（1）证明：SA面ABCD，BC面ABCD，SABC，ABBC，SAABA，BC面SABBC面SBC面SAB面SBC（2）解：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，SAABBC1，AD，S（0，0，1），D（，0，0），C（1，1，0），（1，1，1），设平面SCD的法向量，则，取x2，得（2，1，1），又面SAD的法向量（0，1，0），cos，面SAD与面SDC所成角的余弦值为【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用20（12分）如图，在
22、直三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为A1C1，BC的中点，ABBC2，C1FAB（1）求证：C1F平面ABE；（2）若直线C1F和平面ACE所成角的正弦值等于，求三棱柱ABCA1B1C1的体积【分析】（1）取AB的中点D，连接DE，DF，通过证明四边形DFC1E为平行四边形得到DEC1F，故而可得C1F平面ABE；（2）取AC的中点H，AH的中点M，由C1FAB可知ABBC，证明DM平面ACC1A1得出sinDEM，从而可求出棱柱的高，再代入体积公式计算棱柱的体积【解答】（1）证明：取AB的中点D，连接DE，DF，D，F分别是AB，BC的中点，DFAC，DFAC，E是A1C1的中点，A1
23、C1AC，A1C1AC，EC1AC，EC1AC，DFEC1，DFEC1，四边形DFC1E为平行四边形，故DEC1F，又DE平面ABE，C1F平面ABE，C1F平面ABE（2）解：取AC的中点H，AH的中点M，连接DM，DH，BH，A1EAH，A1EAH，四边形AA1EH为平行四边形，EHAA1，又AA1平面ABC，EH平面ABC，EHAB，C1FAB，C1FDE，ABDE，又DEEHE，AB平面DEH，ABDH又DHBC，故ABBCBHAC，ABBC，H是AC的中点，BHAC，又EH平面ABC，EHBH，又ACEHH，BH平面ACC1A1，D，M分别是AB，AH的中位线，DMBH，DM平面AC
24、C1A1，由C1FDE可知直线C1F和平面ACE所成角等于直线DE和平面ACE所成角，即sinDEM，tanDEM，DMBH，EM，又MHAC，EH2，即三棱柱ABCA1B1C1的高为2三棱柱ABCA1B1C1的体积VSABCEH4，【点评】本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，线面角的计算与棱柱的体积，属于中档题21（12分）已知函数f（x）lnxax22x（I）若函数f（x）在x，2内单调递减，求实数a的取值范围；（II）当a时，关于x的方程f（x）x+b在1，4上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围【分析】（）求出函数的导数，问题转化为2，根据函数的单调性求出a的范围即可；（）
25、可变形为，令，根据函数的单调性求出g（x）的极值和端点值，得到关于b的不等式组，解出即可【解答】解：（）f（x）2ax2 （1分）由题意f'（x）0在x，2时恒成立，即2在x，2时恒成立，即，（4分）当x时，取最大值8，实数a的取值范围是a4（6分）（）当a时，可变形为令，则（8分）列表如下：x1（1，2）2（2，4）4g'（x）0+g（x）极小值2ln2b2g（x）极小值g（2）ln2b2，（10分）又g（4）2ln2b2，
26、方程g（x）0在1，4上恰有两个不相等的实数根，（11分）得（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题22（12分）已知动点P到定直线l：x4的距离比到定点F（2，0）的距离大2（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）在x轴正半轴上，是否存在某个确定的点M，过该点的动直线l与曲线C交于A，B两点，使得为定值如果存在，求出点M坐标；如果不存在，请说明理由【分析】（1）点P的坐标为（x，y），由动点P到定直线l：x4的距离比到定点F（2，0）的距离大2，列出方程，由此能求出轨迹C的方程（2）假设存在满足条件的点M（m，0）（m0），直线l：xty
27、+m，联立，得：y28ty8m0，由此利用韦达定理、弦长公式、抛物线性质，结合已知条件能求出结果【解答】解：（1）设点P的坐标为（x，y），动点P到定直线l：x4的距离比到定点F（2，0）的距离大2，x4且，化简得y28x，轨迹C的方程为y28x（2）假设存在满足条件的点M（m，0）（m0），直线l：xty+m，联立，得：y28ty8m0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y28t，y1y28m，据题意，为定值，则，于是m+4t24m2+4m2t2，则有解得m4，故当m4时，为定值，故M（4，0）【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的点的坐标的求法，考查抛物线、根的判别式、韦达定理、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题
