1、2017-2018学年内蒙古赤峰市宁城县高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）1（5分）不等式|x+3|1的解集是（）Ax|x2Bx|x4Cx|4x2Dx|x4或x22（5分）已知p，q为命题，则“pq为假”是“pq为假”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3（5分）设ab0，cd0，则下列不等式中一定成立的是（）AacbdBCDac2bd24（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B2007年我国治
2、理二氧化硫排放显现成效C2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关5（5分）在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD中点，则（）A0BCD6（5分）已知数列an的前n项和Sn，a11，an+1an（nN*），则的值为（）A503B504C505D5067（5分）有关部门从甲、乙两个城市所有的自动售货机是随机抽取了16台，记录上午8：0011：00间各自的销售情况（单位：元），用茎叶图表示：设甲、乙的平均数分别为，标准差分别为s1，s2，则（）A，s1sB，s1s2C，s1s2D，s1s28（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z2
3、x4y的最大值为（）A8B16C32D649（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出v的值为（）A2111B2112C2101D210210（5分）设斜率为2的直线l过双曲线的右焦点，且与双曲线的左、右两支分别相交，则双曲线离心率e的取值范围是（）AeBeC1eD1e11（5分）抛物线y24x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当FPM为等边三角形时，其面积为（）A2B4C6D412（5分）设函数f（x）lnx，若a，
4、b是两个不相等的正数，且，r，则下列关系式中正确的是（）ApqvrBpvqrCpvrqDpvqr二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13（5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取的学生数是 14（5分）在长方体ABCDABCD中，ABBC2，AA1，则BC与平面BBDD所成角的正弦值为 15（5分）设an是由正数组成的等比数列，且a4a7+a5a618，log3a1+log3a2+log3a10的值是 16（5分）如图，飞机航线和山顶在同一
5、铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000m，速度为50m/s某一时刻飞机看山顶的俯角为15，经过420s后看山顶的俯角为45，则山顶的海拔高度约为 （，精确到个位数）三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）已知函数f（x）x2+ax+6（）当a5时，解不等式f（x）0；（）若不等式f（x）0的解集为R，求实数a的取值范围18（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosCc2b（）求角A的大小；（）若c，角B的平分线BD，求ABC 的面积19（12分）设an是公差比为q的等比数列（）推导an的前n项和Sn公式（用a1，q表示）；（）若S3，S9
6、，S6成等差数列，求证a2，a8，a5成等差数列20（12分）为了研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度t满足：27t30）的生长状况，某农学家需要在十月份去某地进行为期十天的连续观察试验现有关于该地区10月份历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位：）的记录如下：（）根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期（）设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高温度的方差和最低温度的方差分别为D1，D2，估计D1，D2的大小？（直接写出结论即可）（）从10月份31天中随机选择连续三天，求所选3天每天日平均最高温度值都在27，30之间的概率21（12分）如图，已知
7、四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，ABC60，E，F分别是BC，PC的中点（1）证明：AEPD；（2）若PAAB2，求二面角EAFC的余弦值22（12分）已知椭圆E的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，离心率为，在椭圆E上有一动点A与F1、F2的距离之和为4，（）求椭圆E的方程；（）过A、F1作一个平行四边形，使顶点A、B、C、D都在椭圆E上，如图所示判断四边形ABCD能否为菱形，并说明理由2017-2018学年内蒙古赤峰市宁城县高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）1（5分）不等式|x+3|1的解集是（）Ax|x
8、2Bx|x4Cx|4x2Dx|x4或x2【分析】问题化为1x+31，求出它的解集也可【解答】解：不等式可化为1x+31，两边都减去3，得4x2，该不等式的解集为x|4x2故选：C【点评】本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，是基础题目2（5分）已知p，q为命题，则“pq为假”是“pq为假”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】“pq为假”，则命题p与q都为假命题；“pq为假”，则命题p与q至少有一个为假命题即可判断出结论【解答】解：“pq为假”，则命题p与q都为假命题；“pq为假”，则命题p与q至少有一个为假命题“pq为假”是“pq为假”的充分不必要条
9、件故选：A【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法，考查了推理能力，属于基础题3（5分）设ab0，cd0，则下列不等式中一定成立的是（）AacbdBCDac2bd2【分析】运用不等式的可乘性，即可得到结论【解答】解：ab0，cd0，即为cd0，即有acbd0，即acbd0，故A错；由cd0，可得，则B对，C错；由cd0，acbd0，可得ac2bd2，则D错故选：B【点评】本题考查不等式的性质和运用：比较大小，考查推理能力和运算能力，属于基础题4（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的
10、效果最显著B2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B20042006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始
11、二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误故选：D【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题5（5分）在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD中点，则（）A0BCD【分析】欲求，先把要求数量积的两个向量表示成以四面体的棱所在向量为基底的向量的表示形式，写出向量的数量积，问题转化成四面体的棱向量之间的关系，因为棱长及其夹角可知，从而得到结果【解答】解：故选：D【点评】本题考查空间向量的数量积，解题的关键是把要用的向量写成以
12、已知几何体的一个顶点为起点的向量为基地的形式，再进行运算6（5分）已知数列an的前n项和Sn，a11，an+1an（nN*），则的值为（）A503B504C505D506【分析】根据等差数列的定义推知数列an的公差d，结合等差数列的前n项和公式进行解答【解答】解：数列an中，a11，an+1an（nN*），an+1an，数列an是以1为首项，公差为的等差数列，1+504505故选：C【点评】考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和，考查了计算能力，属于基础计算题7（5分）有关部门从甲、乙两个城市所有的自动售货机是随机抽取了16台，记录上午8：0011：00间各自的销售情况（单位：元），用茎叶图
13、表示：设甲、乙的平均数分别为，标准差分别为s1，s2，则（）A，s1sB，s1s2C，s1s2D，s1s2【分析】根据茎叶图看出两组数据，先求出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，比较两组数据的方差的大小就可以得到两组数据的标准差的大小【解答】解：由茎叶图可看出甲的平均数是：（58+41+43+30+30+22+25+27+10+10+14+18+18+5+6+8）22.8125，乙的平均数是：（42+43+48+31+32+34+34+38+20+22+23+23+27+10+12+18）28.5625，甲的方差是：（5822.8125）2+（4122.8125）2+（822.8125）
14、2210.9023，乙的方差是：（4228.5625）2+（4328.5625）2+（1828.5625）2115.2461s1s2故选：D【点评】本题考查两组数据的平均数和方差的意义，计算量比较大，是一个基础题，解题时注意平均数是反映数据的平均水平，而标准差反映波动的大小，波动越小数据越稳定8（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z2x4y的最大值为（）A8B16C32D64【分析】由z2x4y得z2x+2y，设mx+2y，作出不等式组对应的平面区域，利用m的几何意义，即可得到结论【解答】解：z2x4y得z2x+2y，设mx+2y，得yx+m，平移直线yx+m由图象可知当直线yx+m经过点A
15、时，直线yx+m的截距最大，由，解得A（3，1），此时m最大为m3+25，此时z最大为z2x+2y2532，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行以及指数函数的运算法则，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法9（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出v的值为（）A2111B2112C2101D2102【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：输入的x
16、2，v1，k1，满足进行循环的条件，v2+13，k2，满足进行循环的条件，v（2+1）2+17，k3v2111，故输出的v值为：2111，故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答10（5分）设斜率为2的直线l过双曲线的右焦点，且与双曲线的左、右两支分别相交，则双曲线离心率e的取值范围是（）AeBeC1eD1e【分析】根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出a，b的关系，然后求出离心率的范围【解答】解：依题意，结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率必大于2，即2，因此该双曲线的离心率e故选：A【点评】本题考查直线的斜率，双曲线
17、的应用，考查转化思想，是基础题11（5分）抛物线y24x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当FPM为等边三角形时，其面积为（）A2B4C6D4【分析】利用抛物线的定义得出PM垂直于抛物线的准线，设P（，m），求出PMF的边长，写出有关点的坐标，利用两点距离的公式得到FM，列出方程求出m的值，得到等边三角形的边长，从而求出其面积【解答】解：据题意知，PMF为等边三角形，PFPM，PM抛物线的准线，设P（，m），则M（1，m），等边三角形边长为1+，F（1，0）所以由PMFM，得1+，解得m2，等边三角形边长为4，其面积为4故选：D【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，直线
18、与抛物线的综合问题考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力12（5分）设函数f（x）lnx，若a，b是两个不相等的正数，且，r，则下列关系式中正确的是（）ApqvrBpvqrCpvrqDpvqr【分析】运用对数函数的运算性质和基本不等式，即可得到大小关系【解答】解：函数f（x）lnx，可得plnln（ab）（lna+lnb）v，qlnlnpv，rf（）ln，2q2lnlnln，则qr，即有pvqr故选：B【点评】本题考查对数函数的运算性质和基本不等式的运用，考查推理能力和运算能力，属于中档题二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13（5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3
19、：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取的学生数是15【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论【解答】解：由分层抽样得从高二年级抽取的学生数为5015；故答案为：15【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础14（5分）在长方体ABCDABCD中，ABBC2，AA1，则BC与平面BBDD所成角的正弦值为【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角
20、坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C（0，2，1）（2，0，1），（2，2，0），且为平面BBDD的一个法向量cosBC1与平面BBDD所成角的正弦值为故答案为：；【点评】本题考查了向量法求线面角，属于中档题15（5分）设an是由正数组成的等比数列，且a4a7+a5a618，log3a1+log3a2+log3a10的值是10【分析】根据等比数列的性质，结合对数的运算法则进行转化化简即可【解答】解：在等比数列中，a4a7+a5a618，a4a7a5a6a1a10，即2a1a1018，则a1a109，则log3a1+log3a2+log3a10log3（a1
21、a2+a10）log3（a1a10）55log395210，故答案为：10；【点评】本题主要考查等比数列性质的应用，结合对数的运算法则是解决本题的关键16（5分）如图，飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000m，速度为50m/s某一时刻飞机看山顶的俯角为15，经过420s后看山顶的俯角为45，则山顶的海拔高度约为2335m（，精确到个位数）【分析】先求AB的长，在ABC中，可求BC的长，进而由于CDAD，所以CDBCsinCBD，故可得山顶的海拔高度【解答】解：A15，DBC45ACB30，AB50420s21000（m ），在ABC中，BC10500（），CDAD，CD
22、BCsinCBDBCsin4510500（）10500（1）10500（1.731）7665，山顶的海拔高度1000076652335m，故答案为：2335m【点评】本题以实际问题为载体，考查正弦定理的运用，关键是理解俯角的概念，属于中档题三、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）已知函数f（x）x2+ax+6（）当a5时，解不等式f（x）0；（）若不等式f（x）0的解集为R，求实数a的取值范围【分析】（）a5时，不等式f（x）0化为x2+5x+60，求解集即可；（）利用判别式0，求出a的取值范围【解答】解：（）函数f（x）x2+ax+6，a5时，不等式f（x）0化为x2+5x+60，即
23、（x+3）（x+2）0，解得3x2，不等式的解集为x|3x2；（）不等式f（x）0为x2+ax+60，其解集为R，则有a2460，解得2a2，实数a的取值范围是（2，2）【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题18（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosCc2b（）求角A的大小；（）若c，角B的平分线BD，求ABC 的面积【分析】（）由已知等式及余弦定理化简可求cosA的值，结合范围0A，由特殊角的三角函数值即可得解A的值（）在ABD中，由正弦定理得，由，可求，进而利用三角形面积公式即可计算得解【解答】（本题满分为12分）解：（）因为：2aco
24、sCc2b，所以：2ac2b（2分）即：，所以：，（4分）因为：0A，所以：（6分）（）在ABD中，由正弦定理得：，所以：，（8分）即：，（9分）因为：，所以：，即：（10分）所以：，所以：ABC 的面积（12分）【点评】本题主要考查了余弦定理，特殊角的三角函数值，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题19（12分）设an是公差比为q的等比数列（）推导an的前n项和Sn公式（用a1，q表示）；（）若S3，S9，S6成等差数列，求证a2，a8，a5成等差数列【分析】（）利用数列求和的方法，通过当q1时，当q1时，错位相减法；求解数列的和；（）利用S3+S
25、62S9，推出2q6q3+1，然后利用等差中项个数证明a2，a8，a5成等差数列【解答】（）解：Sna1+a2+a3+an当q1时，；（1分）当q1时， ，得，所以 （4分）所以 （6分）（）证明：因为a10，若q1，S3+S69a1，S99a1，S3+S62S9，即q1（7分）因为S3+S62S9所以（9分）即2q6q3+1（10分）所以（11分）即a2，a8，a5成等差数列（12分）【点评】本题考查工程数量以及顾不上了通项公式的应用，数列求和的方法，考查计算能力20（12分）为了研究
26、某种农作物在特定温度下（要求最高温度t满足：27t30）的生长状况，某农学家需要在十月份去某地进行为期十天的连续观察试验现有关于该地区10月份历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位：）的记录如下：（）根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期（）设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高温度的方差和最低温度的方差分别为D1，D2，估计D1，D2的大小？（直接写出结论即可）（）从10月份31天中随机选择连续三天，求所选3天每天日平均最高温度值都在27，30之间的概率【分析】（）由关于该地区10月份历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位：）的记录，得
27、到农学家观察试验的起始日期为7日或8日（）由图表得到D1D2（）基本事件空间可以设为（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（29，20，31），共计29个基本事件，由图表可以看出，事件A中包含10个基本事件，由此能求出所选3天每天日平均最高温度值都在27，30之间的概率【解答】解：（）研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度t满足：27t30）的生长状况，由关于该地区10月份历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位：）的记录，得到农学家观察试验的起始日期为7日或8日（3分）（少写一个扣1分）（）最高温度的方差大，即D1D2 （6分）（）设“连续三天平均最高温度值都在27，30
28、之间”为事件A，（7分）则基本事件空间可以设为（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（29，20，31），共计29个基本事件（9分）由图表可以看出，事件A中包含10个基本事件，（11分）所以，（13分）所选3天每天日平均最高温度值都在27，30之间的概率为【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意统计图表的性质、列举法的合理运用21（12分）如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，ABC60，E，F分别是BC，PC的中点（1）证明：AEPD；（2）若PAAB2，求二面角EAFC的余弦值【分析】（1）由已知条件推导出AEAD，AEPA，由此能证明AE平
29、面PAD，从而得到AEPD（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角EAFC的余弦值【解答】（1）证明：四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，ABC60，E，F分别是BC，PC的中点，ABC是等边三角形，AEBC，AEAD，PA平面ABCD，AE平面ABCD，AEPA，AEADA，AE平面PAD，PD平面PAD，AEPD（2）解：由（1）知AE、AD、AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，E，F分别为BC，PC的中点，PAAB2，A（0，0，0），B（，1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），设平面AEF
30、的一个法向量为，则取z11，得（0，2，1），BDAC，BDPA，PAACA，BD平面AFC，为平面AFC的一法向量又，cos二面角EAFC为锐角，所求二面角的余弦值为【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用22（12分）已知椭圆E的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，离心率为，在椭圆E上有一动点A与F1、F2的距离之和为4，（）求椭圆E的方程；（）过A、F1作一个平行四边形，使顶点A、B、C、D都在椭圆E上，如图所示判断四边形ABCD能否为菱形，并说明理由【分析】（）由椭圆离心率为，在椭圆E上有一动点A与F1、F2的距离之和为4，列
31、出方程组，求出a2，b，由此能求出椭圆E的方程（）由F1（1，0），令直线AB的方程为xmy1，联立方程组，得（3m2+4）y26my90，由此利用韦达定理、直线垂直的性质，结合已知条件能求出四边形ABCD不能是菱形【解答】解：（）椭圆E的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，离心率为，在椭圆E上有一动点A与F1、F2的距离之和为4，由条件得a2c，2a4，解得a2，b，椭圆E的方程是（4分）（）F1（1，0），如图，直线AB不能平行于x轴，令直线AB的方程为xmy1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，得（3m2+4）y26my90，（6分），（7分）若四边形ABCD是菱形，则OAOB，即，于是有x1x2+y1y20，（9分）又x1x2（my11）（my21）m2y1y2m（y1+y2）+1，所以有（m2+1）y1y2m（y1+y2）+10，得到0，（11分）这个方程没有实数解，故四边形ABCD不能是菱形（12分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查四边形形是否为菱形的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、椭圆性质的合理运用
