1、2017-2018学年内蒙古包头市北重三中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1（5分）参数方程（t为参数）表示什么曲线（）A一个圆B一个半圆C一条射线D一条直线2（5分）在同一坐标系中，将曲线y2sin3x变为曲线y'sinx'的伸缩变换是（）ABCD3（5分）已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为，则A题答对的概率为（）ABCD4（5分）有下列数据下列四个函数中，模拟效果最好的为（）Ay32x1Bylog2xCy3xDyx
2、25（5分）已知回归方程y2x+1，而试验得到一组数据是（2，4.9），（3，7.1），（4，9.1），则残差平方和是（）A0.01B0.02C0.03D0.046（5分）若y关于x的线性回归方程是由表中提供的数据求出，那么表中m的值为（）A3.5B3C2.5D27（5分）线性回归方程对应的直线x+至少经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）中的一个点；若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；在某项测量中，测量结果服从正态分布N（1，2）（0），若位于区域（0，1）内的概率为0.4，则位于区域（0，2）内的概率为0.8；对分类变量X与Y的随机变量K2的观
3、测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握越大其中真命题的序号为（）ABCD8（5分）某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f（x），则下列命题中不正确的是（）A该市在这次考试的数学平均成绩为80分B分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D该市这次考试的数学成绩标准差为109（5分）已知随机变量B（n，p），且E2.4，D1.44，则n，p值为（）A8，0.3B6，0.4C12，0.2D5，0.610（5分）已知点P是椭圆上的动点，当点P到直线x2y+100的距离最小时，点P的坐标是（）A
4、BCD11（5分）在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（）A180种B150种C96种D114种12（5分）已知函数f（x）ex（xb）（bR）若存在x，2，使得f（x）+xf（x）0，则实数b的取值范围是（）A（，）B（，）C（，）D（，+）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）曲线yxex在x1处的切线方程是 14（5分）的展开式的常数项是 15（5分）甲、乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位
5、服务，每个岗位至少有一名志愿者设随机变量为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，则的数学期望为 16（5分）某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响有下列结论：他第3次击中目标的概率是0.9； 他恰好击中目标3次的概率是0.930.1；他至少击中目标1次的概率是10.14他恰好有连续2次击中目标的概率为30.930.1其中正确结论的序号是 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）设函数f（x）|x+a|+|xa|（1）当a1时，解不等式f（
6、x）4； （2）若f（x）6在xR上恒成立，求a的取值范围18（12分）2018年俄罗斯世界杯激战正酣，某校工会对全校教职工在世界杯期间每天收看比赛的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：收看时间（单位：小时）0，1）1，2）2，3）3，4）4，5）5，6）收看人数143016282012（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“球迷”，否则定义为“非球迷”，请根据频数分布表补全22列联表：男女合计球迷40非球迷30合计并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“球迷”与“性别”有关；（2）在全校“球迷”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“球迷”中选取2名世界
7、杯知识讲座记其中女职工的人数为，求的分布列与数学期望附表及公式：P（K2k0）0.150.100.050.025P（K2k0）2.0722.7063.8415.02419（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（a为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为（1）求椭圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）过点M（1，0）且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积20（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（ab0，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且
8、经过极点的圆已知曲线C1上的点对应的参数，射线与曲线C2交于点（）求曲线C2的直角坐标方程；（）若点A（1，），在曲线C1上，求的值21（12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立（）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）22（12分）已知函数f（x）lnx；（）若a0，试判断f（x）在定义域内的单调性；（）若f（x）在1，e上的最小值为
9、，求a的值；（）若f（x）x2在（1，+）上恒成立，求a的取值范围2017-2018学年内蒙古包头市北重三中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1（5分）参数方程（t为参数）表示什么曲线（）A一个圆B一个半圆C一条射线D一条直线【分析】消去参数t，把参数方程化为普通方程，即得该曲线表示的是什么图形【解答】解：参数方程（t为参数），消去参数t，化为普通方程是2（x1）+（y1）0（x1），即2x+y30（x1）；它表示端点为（1，1）的一条射线故选：C【点评】本题考查了参数方程的应用问题
10、，解题时应把参数方程化为普通方程，并且需要注意参数的取值范围，是基础题2（5分）在同一坐标系中，将曲线y2sin3x变为曲线y'sinx'的伸缩变换是（）ABCD【分析】先设出在伸缩变换前后的坐标，对比曲线变换前后的解析式就可以求出此伸缩变换【解答】解：设曲线ysinx上任意一点（x，y），变换前的坐标为（x，y）根据曲线y2sin3x变为曲线ysinx伸缩变换为，故选：B【点评】本题主要考查了伸缩变换的有关知识，以及图象之间的联系，属于基础题3（5分）已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为，则A题答对的概率为（）A
11、BCD【分析】根据条件概率公式计算即可【解答】解：设事件A：答对A题，事件B：答对B题，则P（AB）P（A）P（B），P（B|A），P（A）故选：C【点评】本题考查了条件概率的计算，属于基础题4（5分）有下列数据下列四个函数中，模拟效果最好的为（）x123y35.9912.01Ay32x1Bylog2xCy3xDyx2【分析】将（1，3），（2，5.99），（3，12.01），代入四个选项，可得结论【解答】解：将（1，3），（2，5.99），（3，12.01），代入四个选项，可得A模拟效果最好故选：A【点评】本题考查选择合适的模型来拟合一组数据，考查四种函数的性质，本题是一个比较简单的综合题目
12、5（5分）已知回归方程y2x+1，而试验得到一组数据是（2，4.9），（3，7.1），（4，9.1），则残差平方和是（）A0.01B0.02C0.03D0.04【分析】根据所给的回归直线方程，代入三个点的坐标的横坐标，求出对应的纵标值，把求得的纵标和点的原来的纵标做差，求出三个差的平方和，即得到残差平方和【解答】解：当x2时，y5，当x3时，y7，当x4时，y9s14.950.1，e27.170.1，e39.190.1（0.1）2+（0.1）2+（0.1）20.03故选：C【点评】本题考查变量间的相关关系，考查回归分析的初步应用，是一个基础题，本题所给的点数比较少，做起来比较轻松6（5分）若y
13、关于x的线性回归方程是由表中提供的数据求出，那么表中m的值为（）x3456y3m4.54A3.5B3C2.5D2【分析】根据表中数据，计算x、y的平均值，根据样本中心点在线性回归直线上，代入求得m的值【解答】解：根据表中数据，计算（3+4+5+6）4.5，（3+m+4.5+4）；代入线性回归直线得，0.74.5+0.35，解得m2.5故选：C【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题7（5分）线性回归方程对应的直线x+至少经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）中的一个点；若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；在某项测量中，测量结果服从正态分布
14、N（1，2）（0），若位于区域（0，1）内的概率为0.4，则位于区域（0，2）内的概率为0.8；对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握越大其中真命题的序号为（）ABCD【分析】根据线性相关系数和正态分布特点，以及线性回归直线的特点，即可判断正确结论【解答】解：线性回归方程对应的直线x+不一定经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）中的一个点，但一定过（，），故错误；若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故正确；在某项测量中，测量结果服从正态分布N（1，2）（0），若位于区域（0，1）内的概率为0.4，则位于区域
15、（0，2）内的概率为0.8，故正确；对分类变量x与y的随机变量k2的观测值k来说，k越大，判断“x与y有关系”的把握越大，故错误故选：D【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，属于基础题8（5分）某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f（x），则下列命题中不正确的是（）A该市在这次考试的数学平均成绩为80分B分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D该市这次考试的数学成绩标准差为10【分析】根据密度函数的特点可得：平均成绩及标准差，再结合正态曲
16、线的对称性可得分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同从而即可选出答案【解答】解：其密度函数为f（x），该市这次考试的数学平均成绩为80分，该市这次考试的数学标准差为10，从图形上看，它关于直线x80对称，且50与110也关于直线x80对称，故分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同故选：B【点评】本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及利用几何图形的对称性求解，属于基础题9（5分）已知随机变量B（n，p），且E2.4，D1.44，则n，p值为（）A8，0.3B6，0.4C12，0.2D5，0.6【分析】根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差
17、的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于n和p的方程组，解方程组得到要求的两个未知量【解答】解：服从二项分布B（n，p）由E2.4np，D1.44np（1p），可得1p0.6，p0.4，n6故选：B【点评】本题主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望和方差的公式10（5分）已知点P是椭圆上的动点，当点P到直线x2y+100的距离最小时，点P的坐标是（）ABCD【分析】运用椭圆的参数方程，设出点P，再由点到直线的距离公式及两角和的正弦公式，结合正弦函数的值域，即可得到最小值然后求解点P的坐标【解答】解：点P为椭圆上的动
18、点，设点P（3cos，2sin）（02），则点P到直线x2y+100的距离为d当sin（）1时，d取得最小值，此时，sin，cos，解得sin，cos，可得P的坐标为：故选：C【点评】本题考查椭圆的方程和运用，考查椭圆的参数方程的运用：求最值，考查点到直线的距离公式，考查三角函数的值域，属于中档题11（5分）在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（）A180种B150种C96种D114种【分析】先不管甲和乙，求出三个路口的人数按3，1，1分配，三个路口的人数按2，
19、2，1分配的方法数，再减去其中甲和乙安排在同一个路口的情况，即为所求【解答】解：先不管甲和乙，若三个路口的人数按3，1，1分配，则共有60种方法；若三个路口的人数按2，2，1分配，则共有90种其中，包括了甲乙在同一个路口的情况，共有36种，故甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有60+9036114种，故选：D【点评】本题主要考查排列组合的简单应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题12（5分）已知函数f（x）ex（xb）（bR）若存在x，2，使得f（x）+xf（x）0，则实数b的取值范围是（）A（，）B（，）C（，）D（，+）【分析】求出f（x），问题转化为b在，2恒成立，令g（x
20、），x，2，求出b的范围即可【解答】解：f（x）ex（xb），f（x）ex（xb+1），若存在x，2，使得f（x）+xf（x）0，则若存在x，2，使得ex（xb）+xex（xb+1）0，即存在x，2，使得b成立，令g（x），x，2，则g（x）0，g（x）在，2递增，g（x）最大值g（2），故b，故选：A【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）曲线yxex在x1处的切线方程是2exye0【分析】根据求导公式求出导数，再求出切线的斜率和切点的坐标，代入点斜式方程化为一般式即可【解答】解：由题意得，y
21、ex+xex，在x1处的切线的斜率是2e，且切点坐标是（1，e），则在x1处的切线方程是：ye2e（x1），即2exye0，故答案为：2exye0【点评】本题考查了导数的几何意义，以及直线的点斜式方程和一般式方程14（5分）的展开式的常数项是12【分析】（x2+2）（ 1）5的展开式的常数项是第一个因式取x2，第二个因式取； 第一个因式取2，第二个因式取（1）5，可得结论【解答】解：第一个因式取x2，第二个因式取，可得10第一个因式取2，第二个因式取（1）5，可得2（1）52展开式的常数项是10+（2）12故答案为：12【点评】本题考查二项式定理的运用，解题的关键是确定展开式的常数项得到的途径
22、15（5分）甲、乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者设随机变量为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，则的数学期望为【分析】随机变量可能取的值为1，2，事件“2”是指有两人同时参加A岗位服务，由此可得的分布列，进而得到的数学期望【解答】解：随机变量可能取的值为1，2，事件“2”是指有两人同时参加A岗位服务，则P（2），所以P（1）1P（2），即的分布列如下表所示12P（10分）的数学期望E（）2+1，故答案为：【点评】本题考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的概率与分布列和数学期望，属于中档题16（5分）某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，
23、他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响有下列结论：他第3次击中目标的概率是0.9； 他恰好击中目标3次的概率是0.930.1；他至少击中目标1次的概率是10.14他恰好有连续2次击中目标的概率为30.930.1其中正确结论的序号是【分析】运用独立性事件发生的概率公式和对立事件的概率，运用排除法和分类讨论方法，可得所求结论【解答】解：由于射击1次，击中目标的概率是0.9，他第3次击中目标的概率是0.9，则正确；他恰好击中目标3次的概率是0.930.1，故错误；他至少击中目标1次，可从对立事件，他一次都没有击中，则所求概率是10.14，故
24、正确；他恰好有连续2次击中目标的概率为20.920.1+0.920.12，故错误故答案为：【点评】本题考查命题的真假判断，主要是独立性事件发生的概率求法，考查运算能力，属于基础题三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）设函数f（x）|x+a|+|xa|（1）当a1时，解不等式f（x）4； （2）若f（x）6在xR上恒成立，求a的取值范围【分析】（1）由绝对值的意义，去绝对值，讨论x1，x1，1x1，解不等式可得解集；（2）由题意可得6f（x）的最小值，运用绝对值不等式的性质可得最小值，即可得到所求a的范围【解答】解：（1）函数f（x）|x+1|+|
25、x1|，由f（x）4，可得x1，2x4，解得x2；x1，x1+1x4，解得x2；1x1时，x+1+1x4即24不成立，综上可得原不等式的解集为（，22，+）；（2）若f（x）6在xR上恒成立，即为6f（x）的最小值，由|x+a|+|xa|x+ax+a|2|a|，则f（x）的最小值为2|a|，可得2|a|6，解得a3或a3则a的范围是（，33，+）【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式成立问题解法，注意运用转化思想和绝对值不等式的性质，考查运算能力，属于中档题18（12分）2018年俄罗斯世界杯激战正酣，某校工会对全校教职工在世界杯期间每天收看比赛的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：收看
26、时间（单位：小时）0，1）1，2）2，3）3，4）4，5）5，6）收看人数143016282012（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“球迷”，否则定义为“非球迷”，请根据频数分布表补全22列联表：男女合计球迷40非球迷30合计并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“球迷”与“性别”有关；（2）在全校“球迷”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“球迷”中选取2名世界杯知识讲座记其中女职工的人数为，求的分布列与数学期望附表及公式：P（K2k0）0.150.100.050.025P（K2k0）2.0722.7063.8415.024【分析】（1）由题意填写列联表，计算k2
27、的观测值，对照临界值得出结论；（2）由题意知的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值【解答】解：（1）由题意得列联表：男女合计球迷402060非球迷303060合计7050120计算k2的观测值为所以有90%的把握认为该校教职工是“球迷”与“性别”有关；（2）由题意知抽取的6名“球迷”中有4名男职工，2名女职工，所以的可能取值为0，1，2且，；所以的分布列为：012P数学期望值为 【点评】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列和数学期望计算问题，是中档题19（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（a为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中
28、，直线l的极坐标方程为（1）求椭圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）过点M（1，0）且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）利用参数的几何意义，即可求点M到A，B两点的距离之积【解答】解：（1）曲线C：（a为参数），化为普通方程为：，由，得cossin2，所以直线l的直角坐标方程为xy+20（5分）（2）直线l1的参数方程为（t为参数），代入，化简得：，得t1t21，|MA|MB|t1t2|1（10分）【点评】本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，考查参数的几何意义，
29、属于中档题20（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（ab0，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆已知曲线C1上的点对应的参数，射线与曲线C2交于点（）求曲线C2的直角坐标方程；（）若点A（1，），在曲线C1上，求的值【分析】（）将及对应的参数，代入，求出曲线C1的方程，设圆C2的半径为R，由题意，圆C2的方程为2Rcos，（或（xR）2+y2R2）由此能求出曲线C2的直角坐标方程（）由点A（1，），在曲线C1上，能求出的值【解答】解：（）将及对应的参数，代入，得，即，所以曲线C1的方程为（为参数），或设圆C2的半径为
30、R，由题意，圆C2的方程为2Rcos，（或（xR）2+y2R2）将点代入2Rcos，得，即R1（或由，得，代入（xR）2+y2R2，得R1），所以曲线C2的直角坐标方程为（x1）2+y21（）因为点A（1，），在曲线C1上，所以，所以【点评】本题考查曲线的直角坐标方程、代数的和的求法，考查极坐标、直角坐标的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，考查创新意识、应用意识，是中档题21（12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立（）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低
31、于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；（）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）【分析】（）由频率分布直方图求出事件A1，A2的概率，利用相互独立事件的概率公式求出事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”的概率；（）写出X可取得值，利用相互独立事件的概率公式求出X取每一个值的概率；列出分布列根据服从二项分布的随机变量的期望与方差公式求出期望E（X）及方差D（X）【解答】解：（）设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”B表示事件“在未来连续3天
32、里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此P（A1）（0.006+0.004+0.002）500.6，P（A2）0.003500.15，P（B）0.60.60.1520.108，（）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：，随机变量X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为XB（3，0.6），所以期望E（X）30.61.8，方差D（X）30.6（10.6）0.72【点评】在n次独立重复试验中，事件A发生的次数服从二项分布、服从二项分布的随机变量的期望与方差公式，考查分布列的求法22（12分）已知函数f（x）lnx；（）若a0，试判
33、断f（x）在定义域内的单调性；（）若f（x）在1，e上的最小值为，求a的值；（）若f（x）x2在（1，+）上恒成立，求a的取值范围【分析】（I）先确定函数f（x）的定义域，再求导函数，从而可判定f（x）在定义域内的单调性；（II）由（I）可知，f（x）再分类讨论，利用f（x）在1，e上的最小值为，可求a的值；（III）先将不等式整理，再分离参数，构建新函数，利用单调性求出函数值的范围，即可求出a的取值范围【解答】解：（I）由题意f（x）的定义域为（0，+），且f'（x）（2分）a0，f'（x）0；故f（x）在（0，+）上是单调递增函数； （4分）（II）由（I）可知，f（x）（
34、1）若a1，则f（x）在1，e上为增函数，f（x）minf（1）a，a（舍去）（5分）（2）若a0，f（x）minf（1）ln1a，a矛盾，舍去若a0，f'（x）0，xa，所以f（x）在xa处取得最小值，f（x）minf（a）ln（a）+1，a，若a0，则f（x）递增，f（x）minf（1）0，矛盾，舍去；综上a；（III）f（x）x2lnx又x0，axlnxx3（9分）令g（x）xlnxx3，h（x）g（x）1+lnx3x2，h'（x）x（1，+）时，h'（x）0，h（x）在（1，+）上是减函数，（10分）h（x）h（1）20即g'（x）0g（x）在（1，+）上也是减函数，g（x）在（1，+）上是减函数g（x）g（1）1当a1时，f（x）x2在（1，+）上恒成立（12分）【点评】本题重点考查函数的单调性，考查函数的最值，考查恒成立问题，解题的关键是运用导数，确定函数的单调性，运用分离参数法求解恒成立问题
