1、2017-2018学年内蒙古包头市北重三中高二（下）期末数学试卷（文科）一.选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知全集U1，2，3，4，5，A1，3，则UA（）AB1，3C2，4，5D1，2，3，4，52（5分）设命题p：对xR+，exlnx，则p为（）Ax0R+，lnx0BxR+，exlnxCx0R+，lnx0DxR+，exlnx3（5分）点M的直角坐标是，则点M的极坐标为（）ABCD4（5分）函数y的定义域是（）A（1，+）B1，+）C（1，2）（2，+）D1，2）（2，+）5（5分）函数的单调增区间为（）A（3，+）B
2、（1，+）C（1，3）D（，1）6（5分）设f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）x2x，则（）ABCD7（5分）设函数f（x）x3+（a1）x2+ax若f（x）为奇函数，则曲线yf（x）在点（0，0）处的切线方程为（）Ay2xByxCy2xDyx8（5分）已知，则（）AcabBcbaCbcaDbac9（5分）函数f（x）的大致图象是（）ABCD10（5分）f（x）exx2在下列那个区间必有零点（）A（1，0）B（0，1）C（1，2）D（2，3）11（5分）已知函数f（x），则f（f（1）+f（log2）的值是（）A6B5CD12（5分）已知函数y的值域为0，+），求a的取
3、值范围为（）Aa1Ba1Ca1Da1二.填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卡相应的位置）13（5分）已知函数f（x）exlnx，f（x）为f（x）的导函数，则f（1）的值为 14（5分）若曲线与曲线在x1处的两条切线互相垂直，则实数a的值为 15（5分）已知定义在R上的函数f（x）是满足f（x）f（x）0，在（，0上总有0，则不等式f（2x1）f（3）的解集为 16（5分）以下命题正确的是 （1）若log23a，则log2181+2a；（2）若Ax|（2+x）（2x）0，x|log2x1，则xA是xB必要非充分条件；（3）函数ysin2x+的值域是4，+）；（4）若奇函数
4、f（x）满足f（2+x）f（x），则函数图象关于直线x2对称三.解答题（共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）设命题p：实数x满足x22ax3a20（a0），命题q：实数x满足（1）若a1，pq为真命题，求x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围18（12分）已知函数f（x）ax2+bx+1（a，b为实数，a0，xR）（1）若函数f（x）的图象过点（2，1），且方程f（x）0有且只有一个根，求f（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x1，2时，g（x）f（x）kx是单调函数，求实数k的取值范围19（12分）设f（x）loga（1
5、+x）+loga（3x）（a0，a1），且f（1）2（1）求a的值及f（x）的定义域；（2）求f（x）在区间0，上的最大值20（12分）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为sin（1）求圆C的圆心到直线l的距离；（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，求21（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为（为参数，a是大于0的常数）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为（1）求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；（2）分
6、别记直线l：，R与圆C1、圆C2的异于原点的交点为A，B，若圆C1与圆C2外切，试求实数a的值及线段AB的长22（12分）已知函数（）若a0，求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若x（2，0），f（x）0恒成立，求实数a的取值范围；（）当a0时，讨论函数f（x）的单调性2017-2018学年内蒙古包头市北重三中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知全集U1，2，3，4，5，A1，3，则UA（）AB1，3C2，4，5D1，2，3，4，5【分析】根据补集的定义直
7、接求解：UA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合【解答】解：根据补集的定义，UA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合，由已知，有且仅有2，4，5符合元素的条件UA2，4，5故选：C【点评】本题考查了补集的定义以及简单求解，属于简单题2（5分）设命题p：对xR+，exlnx，则p为（）Ax0R+，lnx0BxR+，exlnxCx0R+，lnx0DxR+，exlnx【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：对xR+，exlnx，则p为：x0R+，lnx0故选：C【点评】本题考查命题的否定每天从明天与全称命题的否定关系，
8、是基础题3（5分）点M的直角坐标是，则点M的极坐标为（）ABCD【分析】利用cosx，siny，2x2+y2，先将点M的直角坐标是后化成极坐标即可【解答】解：由于2x2+y2，得：24，2，由cosx得：cos，结合点在第二象限得：，则点M的极坐标为故选：C【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cosx，siny，2x2+y2，进行代换即得4（5分）函数y的定义域是（）A（1，+）B1，+）C（1，2）（2，+）D1，2）（2，+）【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不等于0联立不等式组得答案【解答】解：由，解得x1且x2函数y的定义域是（1，2）
9、（2，+）故选：C【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题5（5分）函数的单调增区间为（）A（3，+）B（1，+）C（1，3）D（，1）【分析】由对数式的真数大于0求得函数定义域，进一步求出内函数二次函数的增区间，结合复合函数的单调性得答案【解答】解：由x22x30，解得x1或x3函数的定义域为（，1）（3，+）令tx22x3，该函数在（3，+）上为增函数，而外函数ylog2t为增函数，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为（3，+）故选：A【点评】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层
10、函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题6（5分）设f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）x2x，则（）ABCD【分析】根据题意，由函数的周期性以及奇偶性分析可得f（）f（），又由函数在解析式可得f（）的值，综合可得答案【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，则f（）f（），又由当0x1时，f（x）x2x，则f（）（）2（），则，故选：C【点评】本题考查函数的值的计算，涉及函数的奇偶性与周期性的应用，属于基础题目7（5分）设函数f（x）x3+（a1）x2+ax若f（x）为奇函数，则曲线yf（x）在点（0，0）处的切线方程为（）Ay
11、2xByxCy2xDyx【分析】利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程【解答】解：函数f（x）x3+（a1）x2+ax，若f（x）为奇函数，f（x）f（x），x3+（a1）x2ax（x3+（a1）x2+ax）x3（a1）x2ax所以：（a1）x2（a1）x2可得a1，所以函数f（x）x3+x，可得f（x）3x2+1，曲线yf（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线yf（x）在点（0，0）处的切线方程为：yx故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力8（5分）已知，则（）AcabBcbaCbcaDbac【分析】化a、b，根据
12、指数函数和幂函数的单调性，判断a、b、c的大小关系即可【解答】解：a，b，c，指数函数y81x是定义域R上的单调增函数，且，ba；又幂函数y是定义域R上的单调增函数，且8182，ac；a、b、c的大小关系是bac故选：D【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性问题，是基础题9（5分）函数f（x）的大致图象是（）ABCD【分析】利用排除法，取特殊值验证即可【解答】解：f（x），当x0时，f（0）3，故排除AB当x时，f（）0，故排除D，故选：C【点评】本题考查了函数的图象的识别，属于基础题10（5分）f（x）exx2在下列那个区间必有零点（）A（1，0）B（0，1）C（1，2）D（2，3）【
13、分析】求解f（x）ex1，运用导数判断f（x）exx2在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增，根据零点存在性定理得出f（1）e30，f（2）e240，f（x）在（1，2）内存在零点【解答】解：f（x）exx2，f（x）ex1，f（x）ex10，x0，f（x）ex10，x0，f（x）ex10，x0f（x）exx2在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增f（1）e30，f（2）e240，f（x）在（1，2）内存在零点，故选：C【点评】本题考查了函数的单调性，运用导数判断，零点问题，属于中档题，难度不大11（5分）已知函数f（x），则f（f（1）+f（log2）的值是（）A6B5CD【分析】由已知
14、中函数f（x），将x1和xlog2代入可得答案【解答】解：函数f（x），f（1）0，f（f（1）f（0）2，f（log2）3+14，故f（f（1）+f（log2）6，故选：A【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，对数的运算性质，难度中档12（5分）已知函数y的值域为0，+），求a的取值范围为（）Aa1Ba1Ca1Da1【分析】要使函数y的值域为0，+），则（a1）x2+ax+1能够取到大于0的所有实数，然后分二次项系数为0和不为0求解【解答】解：要使函数y的值域为0，+），则（a1）x2+ax+1能够取到大于0的所有实数若a10，即a1，函数化为y，值域为0，+）；若a10，则，
15、解得a1综上，a的取值范围为a1故选：A【点评】本题考查函数的概念及其构成要素，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题二.填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卡相应的位置）13（5分）已知函数f（x）exlnx，f（x）为f（x）的导函数，则f（1）的值为e【分析】根据导数的运算法则求出函数f（x）的导函数，再计算f（1）的值【解答】解：函数f（x）exlnx，则f（x）exlnx+ex；f（1）eln1+1ee故答案为：e【点评】本题考查了导数的运算公式与应用问题，是基础题14（5分）若曲线与曲线在x1处的两条切线互相垂直，则实数a的值为【分析】根据题意，求出曲线C1、C
16、2的导数以及在x1处导数的函数值，由导数的几何意义可得曲线在x1处的切线斜率，由直线相互垂直的判断方法可得3ae1，解可得a的值，即可得答案【解答】解：根据题意，曲线C1：yax3x2+2x，其导数y3ax22x+2，则有y|x13a，曲线C2：yex，其导数yex，则有y|x1e，若项曲线在x1处的两条切线互相垂直，则有3ae1，解可得a；故答案为：【点评】本题考查导数的几何意义，注意集合导数的几何意义以及正确求导15（5分）已知定义在R上的函数f（x）是满足f（x）f（x）0，在（，0上总有0，则不等式f（2x1）f（3）的解集为（1，2）【分析】由题意可得函数f（x）为偶函数，函数f（x
17、）在（，0是减函数，故函数f（x）在（0，+）上是增函数则由不等式f（2x1）f（3），可得32x13，由此求得x的范围【解答】解：f（x）f（x）0，故函数f（x）为偶函数，在（，0上总有0，即图象上任意两点的斜率小于零，故函数f（x）在（，0是减函数，故函数f（x）在（0，+）上是增函数则由不等式f（2x1）f（3），可得32x13，求得1x2，故不等式的解集为（1，2），故答案为：（1，2）【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，属于基础题16（5分）以下命题正确的是（1）（2）（1）若log23a，则log2181+2a；（2）若Ax|（2+x）（2x）0，x|log2x1
18、，则xA是xB必要非充分条件；（3）函数ysin2x+的值域是4，+）；（4）若奇函数f（x）满足f（2+x）f（x），则函数图象关于直线x2对称【分析】（1）由log218log22+2log23，利用log23a能得到（1）正确；（2）由Ax|（2+x）（2x）0x|2x2，Bx|log2x1x|x2，能得到（2）正确；（3）函数ysin2x+4的前提条件是sin2x2，由sin2x0，1，知（3）不正确；（4）由f（1+x）f（x），能导出f（x）的图象关于直线x对称，故（4）不正确【解答】解：（1）log23a，log218log22+2log231+2a，故（1）正确；（2）Ax|（
19、2+x）（2x）0x|2x2，Bx|log2x1x|x2，xA是xB必要非充分条件，故（2）正确；（3）函数ysin2x+4的前提条件是sin2x2，sin2x0，1，函数ysin2x+的值域不是4，+），故（3）不正确；（4）f（1+x）f（x）f（x+）f（x+1）f（x）f（x）f（x）的图象关于直线x对称，故（4）不正确故答案为：（1），（2）【点评】本题考查命题的真假判断与应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答注意对数性质、集合、均值不等式、对称性的灵活运用三.解答题（共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）设命题p：实数x满足x22ax3a20
20、（a0），命题q：实数x满足（1）若a1，pq为真命题，求x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围【分析】（1）将a1代入不等式，分别就命题p、q为真命题时，求出x的取值范围，然后就pq为真命题时，得出命题p、q都为真命题，对x的两个范围取交集即可得出答案；（2）先求出p和q对于的x的取值范围，由p是q的充分不必要条件，可得出x的两个取值范围的包含关系，得出各取值范围的包含关系，列出不等式组，即可解出x的取值范围【解答】解：（1）当a1时，不等式x22ax3a20，即为x22x30，解得1x3不等式等价于，解得2x4若pq为真命题，则p、q均为真命题，所以，2x3，因此
21、，实数x的取值范围为2，3）；（2）当a0时，解不等式x22ax3a20，得ax3a，解不等式，可得2x4，则p：xa或x3a，q：x2或x4，由于p是q的充分不必要条件，所以，解得，因此，实数a的取值范围是【点评】本题考查复合命题、充分必要条件，同时也考查了不等式的解法，属于中等题18（12分）已知函数f（x）ax2+bx+1（a，b为实数，a0，xR）（1）若函数f（x）的图象过点（2，1），且方程f（x）0有且只有一个根，求f（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x1，2时，g（x）f（x）kx是单调函数，求实数k的取值范围【分析】（1）因为f（2）1，得b2a由方程f（x）0有且只
22、有一个根，即b24a0，得a1，b2，故可求得f（x）（x+1）2（2）先根据已知求得g（x），故可由二次函数的图象和性质求得实数k的取值范围【解答】解：（1）因为f（2）1，即4a2b+11，所以b2a因为方程f（x）0有且只有一个根，即b24a0所以4a24a0即a1，b2所以f（x）（x+1）2（2）因为g（x）f（x）kxx2+2x+1kxx2（k2）x+1所以当 或时，即k6或k0时，g（x）是单调函数【点评】本题主要考察了二次函数的性质，属于基础题19（12分）设f（x）loga（1+x）+loga（3x）（a0，a1），且f（1）2（1）求a的值及f（x）的定义域；（2）求f（x
23、）在区间0，上的最大值【分析】（1）由f（1）2即可求出a值，令可求出f（x）的定义域；（2）研究f（x）在区间0，上的单调性，由单调性可求出其最大值【解答】解：（1）f（1）2，loga（1+1）+loga（31）loga42，解得a2（a0，a1），由，得x（1，3）函数f（x）的定义域为（1，3）（2）f（x）log2（1+x）+log2（3x）log2（1+x）（3x）当x0，1时，f（x）是增函数；当x1，时，f（x）是减函数所以函数f（x）在0，上的最大值是f（1）log242【点评】对于函数定义域的求解及复合函数单调性的判定问题属基础题目，熟练掌握有关的基本方法是解决该类题目的基
24、础20（12分）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为sin（1）求圆C的圆心到直线l的距离；（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，求【分析】（1）求出直线和圆的直角坐标方程，得出圆心坐标，代入点到直线的距离公式得出；（2）把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，根据参数的几何意义和根与系数的关系得出结论【解答】解：（1）圆C的直角坐标方程为：x2+y22y，即x2+（y）25，圆C的圆心为C（0，），直线l的普通方程为：x+y30，圆心C到直线l的距离为（2）把
25、代入得x2+（y）25得t23t+40，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t23，t1t24，t10，t20，+【点评】本题考查了极坐标方程，参数方程的相互转化，参数的几何意义，属于中档题21（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为（为参数，a是大于0的常数）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为（1）求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；（2）分别记直线l：，R与圆C1、圆C2的异于原点的交点为A，B，若圆C1与圆C2外切，试求实数a的值及线段AB的长【分析】（1）直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化（2）直接利用圆与圆
26、的其位置关系求出相关的等量，并求出极径的长【解答】解：（1）圆C1：（是参数）消去参数，得其普通方程为（x+1）2+（y+1）2a2，将xcos，ysin代入上式并化简，得圆C1的极坐标方程，由圆C2的极坐标方程，得22cos+2sin将xcos，ysin，x2+y22代入上式，得圆C2的直角坐标方程为（x1）2+（y1）22（2）由（1）知圆C1的圆心C1（1，1），半径r1a；圆C2的圆心C2（1，1），半径，圆C1与圆C2外切，解得，即圆C1的极坐标方程为将代入C1，得，得；将代入C2，得，得；故【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，极径的应用22（12分
27、）已知函数（）若a0，求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若x（2，0），f（x）0恒成立，求实数a的取值范围；（）当a0时，讨论函数f（x）的单调性【分析】（）求出函数的导数，计算f（1），f（1）的值，求出切线方程即可；（）问题转化为在（2，0）恒成立，令（2x0），根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可；（）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可【解答】解：（）当a0时，f（x）（x+1）ex，切线的斜率kf（1）2e，又f（1）e，yf（x）在点（1，e）处的切线方程为ye2e（x1），即2exye0（）对x（2，0），f（x）0恒
28、成立，在（2，0）恒成立，令（2x0），当2x1时，g（x）0，当1x0时，g（x）0，g（x）在（2，1）上单调递减，在（1，0）上单调递增，故实数a的取值范围为（）f（x）（x+1）（exa）令f（x）0，得x1或xlna，当时，f（x）0恒成立，f（x）在R上单调递增；当时，lna1，由f（x）0，得xlna或x1；由f（x）0，得lnax1f（x）单调递增区间为（，lna），（1，+）；单调减区间为（lna，1）当时，lna1，由f（x）0，得x1或xlna；由f（x）0，得1xlnaf（x）单调增区间为（，1），（lna，+），单调减区间为（1，lna）综上所述：当时，f（x）在R上单调递增；当时，f（x）单调增区间为（，lna），（1，+），单调减区间为（lna，1）；当时，f（x）单调增区间为（，1），（lna，+），单调减区间为（1，lna）【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题
