2017-2018学年内蒙古包头市北重三中高二(下)期中数学试卷(理科)含详细解答

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1、2017-2018学年内蒙古包头市北重三中高二(下)期中数学试卷(理科)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(5分)设z1+i(i是虚数单位),则复数+z2在复平面上对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2(5分)曲线y4xx3在点(1,3)处的切线方程是()Ay7x+4By7x+2Cyx4Dyx23(5分)有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数f(x),如果f(x0)0,那么xx0是函数f(x)的极值点,因为函数f(x)x3在x0处的导数值f(0)0,所以,x0是函数f(x)x3的极值点以上推理中()

2、A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D结论正确4(5分)6个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人,则不同的乘车方法数为()A35B50C70D1005(5分)设(x)10a0+a1x+a2x2+a10x10,则(a0+a2+a10)2(a1+a3+a9)2的值为()A0B2C1D16(5分)设函数f(x)的导函数为f(x),且f(x)x2+2xf(1),则f(0)等于()A0B4C2D27(5分)已知函数f(x)在x1处的导数为1,则()A3BCD8(5分)由曲线y,直线yx2及y轴所围成的图形的面积为()AB4CD69(5分)用数学归纳法证明+,从nk到nk+l,不等式左边需添加的项是(

3、)A+B+CD10(5分)已知函数yxf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,yf(x)的图象大致是()ABCD11(5分)在高三(1)班进行的演讲比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生如果2位男生不能连续出场,且女生甲不能排在第一个,那么出场顺序的排法种数为()A24B36C48D6012(5分)已知定义域为R的奇函数yf(x)的导函数yf(x)当x0时,f(x)+0若af(),b2f(2),c(ln)f(ln),则a、b、c的大小关系是()AabCBbcaCcabDacb二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13(5分)用0到9这

4、10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为   14(5分)已知(x+1)6(ax1)2的展开式中含x3项的系数是20,则a的值等于   15(5分)在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时,甲说:“主要责任在乙”;乙说:“丙应负主要责任”;丙说“甲说的对”;丁说:“反正我没有责任”四人中只有一个人说的是真话,则该事故中需要负主要责任的人是   16(5分)函数f(x)ex(xaex) 恰有两个极值点x1,x2(x1x2),则a的取值范围是   三、解答题(本大题共6小题,共70分,应出写文字说明或演算步骤)17(10分)(

5、1)若i,求实数a的值(2)若复数z,求+3i18(12分)设函数f(x)2x3+3ax2+3bx+8在x1及x2时取得极值(1)求a,b的值;(2)求曲线f(x)在x0处的切线方程19(12分)对二项式(1x)10,(1)展开式的中间项是第几项?写出这一项;(2)求展开式中各二项式系数之和;(3)写出展开式中系数最大的项20(12分)有3名男生,4名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数(1)全体排成一行,其中男生必须排在一起;(2)全体排成一行,男、女各不相邻;(3)全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边;(4)全体排成一行,其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变21(12分)已

6、知函数f(x)+ln x(1)求yf(x)在1,e上的最大值和最小值;(2)求证:当x(1,+)时,函数yf(x)的图象在函数g(x)图象下方22(12分)已知函数f(x)x3ax+4(a0)()讨论函数f(x)的单调性;()若对于任意的a1,4,都存在x02,3,使得不等式f(x0)+ea+2am成立,求m的取值范围2017-2018学年内蒙古包头市北重三中高二(下)期中数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(5分)设z1+i(i是虚数单位),则复数+z2在复平面上对应的点位于()A第一象限

7、B第二象限C第三象限D第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得对应点的坐标,则答案可求【解答】解:z1+i,则复数+z2,复数+z2在复平面上对应的点的坐标为(1,1),位于第一象限故选:A【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的等式表示法及其几何意义,是基础题2(5分)曲线y4xx3在点(1,3)处的切线方程是()Ay7x+4By7x+2Cyx4Dyx2【分析】已知点(1,3)在曲线上,若求切线方程,只需求出曲线在此点处的斜率,利用点斜式求出切线方程【解答】解:y4xx3,y|x1(43x2)|x11,曲线在点(1,3)处的切线的斜率为k1,即利用点斜式求出切线方程是

8、yx2,故选:D【点评】本题属于求过曲线上点的切线方程的基础题,只要利用导数的几何意义,求出该切线的斜率即可3(5分)有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数f(x),如果f(x0)0,那么xx0是函数f(x)的极值点,因为函数f(x)x3在x0处的导数值f(0)0,所以,x0是函数f(x)x3的极值点以上推理中()A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D结论正确【分析】在使用三段论推理证明中,如果命题是错误的,则可能是“大前提”错误,也可能是“小前提”错误,也可能是推理形式错误,我们分析的其大前提的形式:“对于可导函数f(x),如果f'(x0)0,那么xx0是函数f(x)的极值点”

9、,不难得到结论【解答】解:大前提是:“对于可导函数f(x),如果f'(x0)0,那么xx0是函数f(x)的极值点”,不是真命题,因为对于可导函数f(x),如果f'(x0)0,且满足当xx0附近的导函数值异号时,那么xx0是函数f(x)的极值点,大前提错误,故选:A【点评】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法,演绎推理是一种必然性推理,演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系因而,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论必定是真实的,但错误的前提可能导致错误的结论4(5分)6个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人,则不同的乘车方法数为()A35B50C70D100【分析】假设两

10、辆汽车为甲、乙,按甲车的坐车人数分3种情况讨论:分别求出每一步的乘车方法数目,由加法原理计算可得答案【解答】解:根据题意,假设两辆汽车为甲、乙,分3种情况讨论:、甲车里坐2人,则乙车坐4人,有C62种坐法,、甲车里坐3人,则乙车坐3人,有C63种坐法,、甲车里坐4人,则乙车坐2人,有C64种坐法,则不同的乘车方法有C62+C63+C6450种;故选:B【点评】本题考查排列组合的实际应用,注意本题是一个带有约束条件的排列问题,注意约束条件是每一辆车不超过4个人,这样就有三种不同的选法5(5分)设(x)10a0+a1x+a2x2+a10x10,则(a0+a2+a10)2(a1+a3+a9)2的值为

11、()A0B2C1D1【分析】因为题目已知,则求(a0+a2+a10)2(a1+a3+a9)2故可设设f(x)()10,又式子(a0+a2+a10)2(a1+a3+a9)2可以根据平方差化简成两个式子的乘积,再根据二项式系数的性质可得它们等于f(1)f(1),解出即可得到答案【解答】解:设f(x)则(a0+a2+a10)2(a1+a3+a9)2(a0+a1+a10)(a0a1+a2a9+a10)f(1)f(1)()10()101故选:D【点评】此题主要考查二项式系数的性质的应用问题,其中判断出(a0+a1+a10)(a0a1+a2a9+a10)f(1)f(1)是题目关键,有一定的技巧性,属于中档

12、题目6(5分)设函数f(x)的导函数为f(x),且f(x)x2+2xf(1),则f(0)等于()A0B4C2D2【分析】先求出导函数,令导函数中x1求出f(1),将f(1)代入导函数,令导函数中的x0求出f(0)【解答】解:f(x)x2+2xf'(1),f(x)2x+2f(1)f(1)2+2f(1)解得f(1)2f(x)2x4f(0)4故选:B【点评】求函数在某点处的导数值,一个先求出函数的导函数,再令导函数中的自变量取自变量的值,求出某点处的导数值7(5分)已知函数f(x)在x1处的导数为1,则()A3BCD【分析】先对进行化简变形,转化成导数的定义式f(x)即可解得【解答】解:故选

13、:B【点评】本题主要考查了导数的定义,以及极限及其运算,属于基础题8(5分)由曲线y,直线yx2及y轴所围成的图形的面积为()AB4CD6【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键,要确定出曲线y,直线yx2的交点,确定出积分区间和被积函数,利用导数和积分的关系完成本题的求解【解答】解:联立方程得到两曲线的交点(4,2),因此曲线y,直线yx2及y轴所围成的图形的面积为:S故选C【点评】本题考查曲边图形面积的计算问题,考查学生分析问题解决问题的能力和意识,考查学生的转化与化归能力和运算能力,考查学生对定积分与导数的联系的认识,求定积分关键要找准被积函数的原函数,属于定积分的简单应用问

14、题9(5分)用数学归纳法证明+,从nk到nk+l,不等式左边需添加的项是()A+B+CD【分析】求出当nk时,左边的代数式,当nk+1时,左边的代数式,相减可得结果【解答】解:当nk时,左边的代数式为+, 当nk+1时,左边的代数式为+,故用nk+1时左边的代数式减去nk时左边的代数式的结果为+,故选:B【点评】本题考查用数学归纳法证明不等式,注意式子的结构特征,以及从nk到nk+1项的变化10(5分)已知函数yxf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,yf(x)的图象大致是()ABCD【分析】通过观察函数yxf(x)的图象即可判断f(x)的符号以及对应的

15、x的所在区间,从而判断出函数f(x)的单调性及单调区间,所以观察选项中的图象,找出符合条件的即可【解答】解:由图象看出,1x0,和x1时xf(x)0;x1,和0x1时xf(x)0;1x1时,f(x)0;x1,或x1时,f(x)0;f(x)在(1,1上单调递减,在(,1,(1,+)上单调递增;f(x)的大致图象应是B故选:B【点评】考查观察图象的能力,对于积的不等式xf(x)0,(或xf(x)0)的求解,函数导数符号和函数单调性的关系11(5分)在高三(1)班进行的演讲比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生如果2位男生不能连续出场,且女生甲不能排在第一个,那么出场顺序的排法种数为()A

16、24B36C48D60【分析】若第一个出场的是男生,方法有 36种若第一个出场的是女生(不是女生甲),用插空法求得方法有 24种,把这两种情况的方法数相加,即得所求【解答】解:若第一个出场的是男生,则第二个出场的是女生,以后的顺序任意排,方法有 36种若第一个出场的是女生(不是女生甲),则将剩余的2个女生排列好,2个男生插空,方法有 24种故所有的出场顺序的排法种数为 36+2460,故选:D【点评】本题主要考查排列组合、两个基本原理的应用,注意特殊位置优先排,不相邻问题用插空法,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题12(5分)已知定义域为R的奇函数yf(x)的导函数yf(x)当x0时,f(x

17、)+0若af(),b2f(2),c(ln)f(ln),则a、b、c的大小关系是()AabCBbcaCcabDacb【分析】根据式子得出F(x)xf(x)为R上的偶函数,利用f(x)+0当x0时,xf(x)+f(x)0,当x0时,xf(x)+f(x)0,判断单调性即可证明a,b,c 的大小【解答】解:定义域为R的奇函数yf(x),F(x)xf(x)为R上的偶函数,F(x)f(x)+xf(x)当x0时,f(x)+0当x0时,xf(x)+f(x)0,当x0时,xf(x)+f(x)0,即F(x)在(0,+)单调递增,在(,0)单调递减F()af()F(ln),F(2)b2f(2)F(2),F(ln)c

18、(ln)f(ln)F(ln2),lnln22,F(ln)F(ln2)F(2)即acb故选:D【点评】本题考查了导数在函数单调性的运用,根据给出的式子,得出需要的函数,运用导数判断即可,属于中档题二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13(5分)用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为328【分析】本题是一个分类计数问题,若个位数字为0,前两位的排法种数为98,若个位数字不为0,则确定个位数字有4种方法,确定百位数字有8种方法,确定十位数字有8种方法,排法种数为488,根据分类加法原理得到结果【解答】解:由题意知本题是一个分类计数问题,若个位数字为0,前两位的排法

19、种数为9872,若个位数字不为0,则确定个位数字有4种方法,确定百位数字有8种方法,确定十位数字有8种方法,排法种数为488256,256+72328,可以组成328个没有重复数字的三位偶数 故答案为:328【点评】本题考查排列组合及简单计数问题,本题解题的关键是看清楚对于数字0的特殊情况,在最后一位可以得到偶数又不能排在第一位14(5分)已知(x+1)6(ax1)2的展开式中含x3项的系数是20,则a的值等于0或5【分析】根据(x+1)6(ax1)2(x+1)6(a2x22ax+1),写出展开式中x3的系数,列方程求出a的值【解答】解:(x+1)6(ax1)2(x+1)6(a2x22ax+1

20、),其展开式中x3系数是:C63+C62(2a)+C61a26a230a+20,x3系数为20,6a230a+2020,解得a0或a5,即a的值等于0或5故答案为:0或5【点评】本题考查了二项展开式的通项公式应用问题,是基础题15(5分)在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时,甲说:“主要责任在乙”;乙说:“丙应负主要责任”;丙说“甲说的对”;丁说:“反正我没有责任”四人中只有一个人说的是真话,则该事故中需要负主要责任的人是甲【分析】利用反证法,可推导出丁说是真话,甲乙丙三人说的均为假话,进而得到答案【解答】解:假定甲说的是真话,则丙说“甲说的对”也为真话,这与四人中只

21、有一个人说的是真话相矛盾,故假设不成立,故甲说的是谎话;假定乙说的是真话,则丁说:“反正我没有责任”也为真话,这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾,故假设不成立,故乙说的是谎话;假定丙说的是真话,由知甲说的也是真话,这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾,故假设不成立,故丙说的是谎话;综上可得:丁说是真话,甲乙丙三人说的均为假话,即乙丙丁没有责任,故甲负主要责任,故答案为:甲【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了逻辑推理,正确使用反证法,是解答的关键16(5分)函数f(x)ex(xaex) 恰有两个极值点x1,x2(x1x2),则a的取值范围是(0,)【分析】根据题意,对函数f(x)求

22、导数,得出导数f(x)0有两不等实根,转化为两函数有两个交点的问题,结合图象即可得出a的取值范围【解答】解:函数f(x)ex(xaex),求导,f(x)(x+12aex)ex,由于函数f(x)的两个极值点为x1,x2,即x1,x2是方程f(x)0的两不等实根,即方程x+12aex0,且a0,ex;设y1(a0),y2ex,在同一坐标系内画出这两个函数的图象,如图所示:要使这两个函数有2个不同的交点,应满足,解得:0a,a的取值范围是(0,),故答案为:(0,)【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值的应用,也考查了转化思想与数形结合的应用问题,是综合性题目,属于中档题三、解答题(本大题共

23、6小题,共70分,应出写文字说明或演算步骤)17(10分)(1)若i,求实数a的值(2)若复数z,求+3i【分析】(1)把已知等式变形展开,由复数相等的条件求得a值;(2)利用复数代数形式的乘除运算化简求得z,得到,再由复数的加法运算得答案【解答】解:(1)依题意,得2+aii(1+i)2i,a;(2)z,则+3i1+2i【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题18(12分)设函数f(x)2x3+3ax2+3bx+8在x1及x2时取得极值(1)求a,b的值;(2)求曲线f(x)在x0处的切线方程【分析】(1)由已知得f(x)6x2+6ax+3b,函数f(x)2x3+

24、3ax2+3bx+8在x1及x2时取得极值,可得,由此能求出a,b的值(2)确定切线的斜率,切点坐标,即可求曲线f(x)在x0处的切线方程【解答】解:(1)函数f(x)2x3+3ax2+3bx+8c,f(x)6x2+6ax+3b,函数f(x)在x1及x2取得极值,f(1)0,f(2)0即,解得a3,b4;(2)由(1)得f(x)2x39x2+12x+8,f(x)6x218x+12,f(0)0,f(0)12切线的斜率k12切点为(0,8)由直线方程的点斜式得切线方程为:y812x,即12xy+80【点评】本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,极值,正确求导是关键19(12分)对二项式(1x

25、)10,(1)展开式的中间项是第几项?写出这一项;(2)求展开式中各二项式系数之和;(3)写出展开式中系数最大的项【分析】(1)由题意利用二项式系数的性质,求得展开式的中间项(2)利用二项式系数的性质,求得展开式中各二项式系数之和(3)根据通项公式求得写出展开式中系数最大的项【解答】解:(1)由题意可知:r0,1,211,展开式共11项,所以 中间项为第6项:T 6C 10 5(x) 5252x 5(2)展开式中各二项式系数之和为 2101024(3)展开式中中间项T 6的系数为负,展开式中系数最大的项T 5和T 7,T 5C 10 4x 4210x 4T 7【点评】本题主要考查二项式定理的应

26、用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题20(12分)有3名男生,4名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数(1)全体排成一行,其中男生必须排在一起;(2)全体排成一行,男、女各不相邻;(3)全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边;(4)全体排成一行,其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变【分析】(1)根据题意,分2步进行分析:,将男生看成一个整体,进行全排列,将这个整体与4名女生全排列,由分步计数原理计算可得答案;(2)根据题意,分2步进行分析:,将3名男生全排列,排好后,有4个空位;,然后将女生插入其中的四个空位,由分步计数原理计算可得答案;(3)根据题意,分2种情

27、况讨论:,甲排在最右边,则乙有6个位置可选,将剩下的5人全排列,安排在其他5个位置,甲不排在最右边,则乙有5个位置可选,将剩下的5人全排列,安排在其他5个位置,由分类计数原理计算可得答案;(4)根据题意,先将7人进行全排列,再除以甲、乙、丙三位同学的顺序,即可得答案【解答】解:(1)根据题意,分2步进行分析:,将男生看成一个整体,进行全排列,有A33种情况,将这个整体与4名女生全排列,有A33种情况,则一共有A33A55720种排列方法;(2)根据题意,分2步进行分析:,将3名男生全排列,有A33种情况,排好后,有4个空位;,然后将女生插入其中的四个空位,有A44种情况,则一共有A33A441

28、44种排列方法;(3)根据题意,分2种情况讨论:,甲排在最右边,则乙有6个位置可选,将剩下的5人全排列,安排在其他5个位置,此时有6A55720种排法;,甲不排在最右边,则乙有5个位置可选,将剩下的5人全排列,安排在其他5个位置,此时有55A553000种排法;则一共有720+30003720种不同的排法;(4)根据题意,将7个人排成一排,有A77种排法,其中甲、乙、丙的顺序有A336种,则甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变的排法有840种【点评】本题考查排列、组合的实际应用,关键是掌握常见问题的处理方法21(12分)已知函数f(x)+ln x(1)求yf(x)在1,e上的最大值和最小值;(2)

29、求证:当x(1,+)时,函数yf(x)的图象在函数g(x)图象下方【分析】(1)先求导,由导数研究函数的单调、极值,计算端点函数值,比较极值与端点函数值,进而求出函数的最大值、最小值;(2)构造函数设F(x)x2+lnxx3,利用导数可知函数F(x)的单调性为递减,从而可得F(x)F(1)0可证【解答】解:(1)由f(x)x2+lnx有f(x)x+(2分)当x1,e时,f(x)0,故f(x)在1,e递增,f(x)maxf(e)e2+1,f(x)minf(1)(6分)(2)证明:设F(x)x2+lnxx3,则F(x)x+2x2,当x(1,+)时,F(x)0,且F(1)0故x(1,+)时F(x)0

30、,x2+lnxx3,得证(12分)【点评】本题主要考查了导数的应用:求单调区间,求极值、最值,利用单调性证明不等式,解(2)的关键是构造函数,转化为研究函数的单调性22(12分)已知函数f(x)x3ax+4(a0)()讨论函数f(x)的单调性;()若对于任意的a1,4,都存在x02,3,使得不等式f(x0)+ea+2am成立,求m的取值范围【分析】()求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可()求函数的最值,利用参数分离法进行求解即可【解答】解:()f(x)x2a(x)(x+),由f(x)0得x或x,此时函数单调递增,即函数的单调递增区间为(,+),由f(x)0得x,此时函数单调递减,即函数的单调递减区间为,()a1,4),1,2),由(1)知,f(x)在(2,3上单调递减,当x2,3)时,函数f(x)的最大值为f(3)133a,若任意的a1,4),都存在x0(2,3使得不等式f(x0)+ea+2am成立,等价为不等式133a+ea+2am成立,即eaa+13m,设g(a)eaa+13,a1,4),此时g(a)ea1e10,当a1,4)时,g(a)g(1)e+12,故me+12【点评】本题主要考查函数单调性的判断以及利用导数研究函数的最值,考查学生的运算和推理能力

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