1、2017-2018学年内蒙古包头市北重三中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设z1+i（i是虚数单位），则复数+z2在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（5分）曲线y4xx3在点（1，3）处的切线方程是（）Ay7x+4By7x+2Cyx4Dyx23（5分）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f（x0）0，那么xx0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）x3在x0处的导数值f（0）0，所以，x0是函数f（x）x3的极值点以上推理中（）
2、A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D结论正确4（5分）6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为（）A35B50C70D1005（5分）设（x）10a0+a1x+a2x2+a10x10，则（a0+a2+a10）2（a1+a3+a9）2的值为（）A0B2C1D16（5分）设函数f（x）的导函数为f（x），且f（x）x2+2xf（1），则f（0）等于（）A0B4C2D27（5分）已知函数f（x）在x1处的导数为1，则（）A3BCD8（5分）由曲线y，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为（）AB4CD69（5分）用数学归纳法证明+，从nk到nk+l，不等式左边需添加的项是（
3、）A+B+CD10（5分）已知函数yxf（x）的图象如图所示（其中f（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，yf（x）的图象大致是（）ABCD11（5分）在高三（1）班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（）A24B36C48D6012（5分）已知定义域为R的奇函数yf（x）的导函数yf（x）当x0时，f（x）+0若af（），b2f（2），c（ln）f（ln），则a、b、c的大小关系是（）AabCBbcaCcabDacb二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）用0到9这
4、10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 14（5分）已知（x+1）6（ax1）2的展开式中含x3项的系数是20，则a的值等于 15（5分）在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是 16（5分）函数f（x）ex（xaex） 恰有两个极值点x1，x2（x1x2），则a的取值范围是 三、解答题（本大题共6小题，共70分，应出写文字说明或演算步骤）17（10分）（
5、1）若i，求实数a的值（2）若复数z，求+3i18（12分）设函数f（x）2x3+3ax2+3bx+8在x1及x2时取得极值（1）求a，b的值；（2）求曲线f（x）在x0处的切线方程19（12分）对二项式（1x）10，（1）展开式的中间项是第几项？写出这一项；（2）求展开式中各二项式系数之和；（3）写出展开式中系数最大的项20（12分）有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数（1）全体排成一行，其中男生必须排在一起；（2）全体排成一行，男、女各不相邻；（3）全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；（4）全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变21（12分）已
6、知函数f（x）+ln x（1）求yf（x）在1，e上的最大值和最小值；（2）求证：当x（1，+）时，函数yf（x）的图象在函数g（x）图象下方22（12分）已知函数f（x）x3ax+4（a0）（）讨论函数f（x）的单调性；（）若对于任意的a1，4，都存在x02，3，使得不等式f（x0）+ea+2am成立，求m的取值范围2017-2018学年内蒙古包头市北重三中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设z1+i（i是虚数单位），则复数+z2在复平面上对应的点位于（）A第一象限
7、B第二象限C第三象限D第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得对应点的坐标，则答案可求【解答】解：z1+i，则复数+z2，复数+z2在复平面上对应的点的坐标为（1，1），位于第一象限故选：A【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的等式表示法及其几何意义，是基础题2（5分）曲线y4xx3在点（1，3）处的切线方程是（）Ay7x+4By7x+2Cyx4Dyx2【分析】已知点（1，3）在曲线上，若求切线方程，只需求出曲线在此点处的斜率，利用点斜式求出切线方程【解答】解：y4xx3，y|x1（43x2）|x11，曲线在点（1，3）处的切线的斜率为k1，即利用点斜式求出切线方程是
8、yx2，故选：D【点评】本题属于求过曲线上点的切线方程的基础题，只要利用导数的几何意义，求出该切线的斜率即可3（5分）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f（x0）0，那么xx0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）x3在x0处的导数值f（0）0，所以，x0是函数f（x）x3的极值点以上推理中（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D结论正确【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）0，那么xx0是函数f（x）的极值点”
9、，不难得到结论【解答】解：大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）0，那么xx0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）0，且满足当xx0附近的导函数值异号时，那么xx0是函数f（x）的极值点，大前提错误，故选：A【点评】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论4（5分）6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为（）A35B50C70D100【分析】假设两
10、辆汽车为甲、乙，按甲车的坐车人数分3种情况讨论：分别求出每一步的乘车方法数目，由加法原理计算可得答案【解答】解：根据题意，假设两辆汽车为甲、乙，分3种情况讨论：、甲车里坐2人，则乙车坐4人，有C62种坐法，、甲车里坐3人，则乙车坐3人，有C63种坐法，、甲车里坐4人，则乙车坐2人，有C64种坐法，则不同的乘车方法有C62+C63+C6450种；故选：B【点评】本题考查排列组合的实际应用，注意本题是一个带有约束条件的排列问题，注意约束条件是每一辆车不超过4个人，这样就有三种不同的选法5（5分）设（x）10a0+a1x+a2x2+a10x10，则（a0+a2+a10）2（a1+a3+a9）2的值为
11、（）A0B2C1D1【分析】因为题目已知，则求（a0+a2+a10）2（a1+a3+a9）2故可设设f（x）（）10，又式子（a0+a2+a10）2（a1+a3+a9）2可以根据平方差化简成两个式子的乘积，再根据二项式系数的性质可得它们等于f（1）f（1），解出即可得到答案【解答】解：设f（x）则（a0+a2+a10）2（a1+a3+a9）2（a0+a1+a10）（a0a1+a2a9+a10）f（1）f（1）（）10（）101故选：D【点评】此题主要考查二项式系数的性质的应用问题，其中判断出（a0+a1+a10）（a0a1+a2a9+a10）f（1）f（1）是题目关键，有一定的技巧性，属于中档
12、题目6（5分）设函数f（x）的导函数为f（x），且f（x）x2+2xf（1），则f（0）等于（）A0B4C2D2【分析】先求出导函数，令导函数中x1求出f（1），将f（1）代入导函数，令导函数中的x0求出f（0）【解答】解：f（x）x2+2xf'（1），f（x）2x+2f（1）f（1）2+2f（1）解得f（1）2f（x）2x4f（0）4故选：B【点评】求函数在某点处的导数值，一个先求出函数的导函数，再令导函数中的自变量取自变量的值，求出某点处的导数值7（5分）已知函数f（x）在x1处的导数为1，则（）A3BCD【分析】先对进行化简变形，转化成导数的定义式f（x）即可解得【解答】解：故选
13、：B【点评】本题主要考查了导数的定义，以及极限及其运算，属于基础题8（5分）由曲线y，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为（）AB4CD6【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y，直线yx2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为：S故选C【点评】本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问
14、题9（5分）用数学归纳法证明+，从nk到nk+l，不等式左边需添加的项是（）A+B+CD【分析】求出当nk时，左边的代数式，当nk+1时，左边的代数式，相减可得结果【解答】解：当nk时，左边的代数式为+， 当nk+1时，左边的代数式为+，故用nk+1时左边的代数式减去nk时左边的代数式的结果为+，故选：B【点评】本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从nk到nk+1项的变化10（5分）已知函数yxf（x）的图象如图所示（其中f（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，yf（x）的图象大致是（）ABCD【分析】通过观察函数yxf（x）的图象即可判断f（x）的符号以及对应的
15、x的所在区间，从而判断出函数f（x）的单调性及单调区间，所以观察选项中的图象，找出符合条件的即可【解答】解：由图象看出，1x0，和x1时xf（x）0；x1，和0x1时xf（x）0；1x1时，f（x）0；x1，或x1时，f（x）0；f（x）在（1，1上单调递减，在（，1，（1，+）上单调递增；f（x）的大致图象应是B故选：B【点评】考查观察图象的能力，对于积的不等式xf（x）0，（或xf（x）0）的求解，函数导数符号和函数单调性的关系11（5分）在高三（1）班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（）A
16、24B36C48D60【分析】若第一个出场的是男生，方法有 36种若第一个出场的是女生（不是女生甲），用插空法求得方法有 24种，把这两种情况的方法数相加，即得所求【解答】解：若第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有 36种若第一个出场的是女生（不是女生甲），则将剩余的2个女生排列好，2个男生插空，方法有 24种故所有的出场顺序的排法种数为 36+2460，故选：D【点评】本题主要考查排列组合、两个基本原理的应用，注意特殊位置优先排，不相邻问题用插空法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题12（5分）已知定义域为R的奇函数yf（x）的导函数yf（x）当x0时，f（x
17、）+0若af（），b2f（2），c（ln）f（ln），则a、b、c的大小关系是（）AabCBbcaCcabDacb【分析】根据式子得出F（x）xf（x）为R上的偶函数，利用f（x）+0当x0时，xf（x）+f（x）0，当x0时，xf（x）+f（x）0，判断单调性即可证明a，b，c 的大小【解答】解：定义域为R的奇函数yf（x），F（x）xf（x）为R上的偶函数，F（x）f（x）+xf（x）当x0时，f（x）+0当x0时，xf（x）+f（x）0，当x0时，xf（x）+f（x）0，即F（x）在（0，+）单调递增，在（，0）单调递减F（）af（）F（ln），F（2）b2f（2）F（2），F（ln）c
18、（ln）f（ln）F（ln2），lnln22，F（ln）F（ln2）F（2）即acb故选：D【点评】本题考查了导数在函数单调性的运用，根据给出的式子，得出需要的函数，运用导数判断即可，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为328【分析】本题是一个分类计数问题，若个位数字为0，前两位的排法种数为98，若个位数字不为0，则确定个位数字有4种方法，确定百位数字有8种方法，确定十位数字有8种方法，排法种数为488，根据分类加法原理得到结果【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，若个位数字为0，前两位的排法
19、种数为9872，若个位数字不为0，则确定个位数字有4种方法，确定百位数字有8种方法，确定十位数字有8种方法，排法种数为488256，256+72328，可以组成328个没有重复数字的三位偶数 故答案为：328【点评】本题考查排列组合及简单计数问题，本题解题的关键是看清楚对于数字0的特殊情况，在最后一位可以得到偶数又不能排在第一位14（5分）已知（x+1）6（ax1）2的展开式中含x3项的系数是20，则a的值等于0或5【分析】根据（x+1）6（ax1）2（x+1）6（a2x22ax+1），写出展开式中x3的系数，列方程求出a的值【解答】解：（x+1）6（ax1）2（x+1）6（a2x22ax+1
20、），其展开式中x3系数是：C63+C62（2a）+C61a26a230a+20，x3系数为20，6a230a+2020，解得a0或a5，即a的值等于0或5故答案为：0或5【点评】本题考查了二项展开式的通项公式应用问题，是基础题15（5分）在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是甲【分析】利用反证法，可推导出丁说是真话，甲乙丙三人说的均为假话，进而得到答案【解答】解：假定甲说的是真话，则丙说“甲说的对”也为真话，这与四人中只
21、有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故甲说的是谎话；假定乙说的是真话，则丁说：“反正我没有责任”也为真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故乙说的是谎话；假定丙说的是真话，由知甲说的也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故丙说的是谎话；综上可得：丁说是真话，甲乙丙三人说的均为假话，即乙丙丁没有责任，故甲负主要责任，故答案为：甲【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了逻辑推理，正确使用反证法，是解答的关键16（5分）函数f（x）ex（xaex） 恰有两个极值点x1，x2（x1x2），则a的取值范围是（0，）【分析】根据题意，对函数f（x）求
22、导数，得出导数f（x）0有两不等实根，转化为两函数有两个交点的问题，结合图象即可得出a的取值范围【解答】解：函数f（x）ex（xaex），求导，f（x）（x+12aex）ex，由于函数f（x）的两个极值点为x1，x2，即x1，x2是方程f（x）0的两不等实根，即方程x+12aex0，且a0，ex；设y1（a0），y2ex，在同一坐标系内画出这两个函数的图象，如图所示：要使这两个函数有2个不同的交点，应满足，解得：0a，a的取值范围是（0，），故答案为：（0，）【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值的应用，也考查了转化思想与数形结合的应用问题，是综合性题目，属于中档题三、解答题（本大题共
23、6小题，共70分，应出写文字说明或演算步骤）17（10分）（1）若i，求实数a的值（2）若复数z，求+3i【分析】（1）把已知等式变形展开，由复数相等的条件求得a值；（2）利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，得到，再由复数的加法运算得答案【解答】解：（1）依题意，得2+aii（1+i）2i，a；（2）z，则+3i1+2i【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题18（12分）设函数f（x）2x3+3ax2+3bx+8在x1及x2时取得极值（1）求a，b的值；（2）求曲线f（x）在x0处的切线方程【分析】（1）由已知得f（x）6x2+6ax+3b，函数f（x）2x3+
24、3ax2+3bx+8在x1及x2时取得极值，可得，由此能求出a，b的值（2）确定切线的斜率，切点坐标，即可求曲线f（x）在x0处的切线方程【解答】解：（1）函数f（x）2x3+3ax2+3bx+8c，f（x）6x2+6ax+3b，函数f（x）在x1及x2取得极值，f（1）0，f（2）0即，解得a3，b4；（2）由（1）得f（x）2x39x2+12x+8，f（x）6x218x+12，f（0）0，f（0）12切线的斜率k12切点为（0，8）由直线方程的点斜式得切线方程为：y812x，即12xy+80【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，极值，正确求导是关键19（12分）对二项式（1x
25、）10，（1）展开式的中间项是第几项？写出这一项；（2）求展开式中各二项式系数之和；（3）写出展开式中系数最大的项【分析】（1）由题意利用二项式系数的性质，求得展开式的中间项（2）利用二项式系数的性质，求得展开式中各二项式系数之和（3）根据通项公式求得写出展开式中系数最大的项【解答】解：（1）由题意可知：r0，1，211，展开式共11项，所以 中间项为第6项：T 6C 10 5（x） 5252x 5（2）展开式中各二项式系数之和为 2101024（3）展开式中中间项T 6的系数为负，展开式中系数最大的项T 5和T 7，T 5C 10 4x 4210x 4T 7【点评】本题主要考查二项式定理的应
26、用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题20（12分）有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数（1）全体排成一行，其中男生必须排在一起；（2）全体排成一行，男、女各不相邻；（3）全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；（4）全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变【分析】（1）根据题意，分2步进行分析：，将男生看成一个整体，进行全排列，将这个整体与4名女生全排列，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，分2步进行分析：，将3名男生全排列，排好后，有4个空位；，然后将女生插入其中的四个空位，由分步计数原理计算可得答案；（3）根据题意，分2种情
27、况讨论：，甲排在最右边，则乙有6个位置可选，将剩下的5人全排列，安排在其他5个位置，甲不排在最右边，则乙有5个位置可选，将剩下的5人全排列，安排在其他5个位置，由分类计数原理计算可得答案；（4）根据题意，先将7人进行全排列，再除以甲、乙、丙三位同学的顺序，即可得答案【解答】解：（1）根据题意，分2步进行分析：，将男生看成一个整体，进行全排列，有A33种情况，将这个整体与4名女生全排列，有A33种情况，则一共有A33A55720种排列方法；（2）根据题意，分2步进行分析：，将3名男生全排列，有A33种情况，排好后，有4个空位；，然后将女生插入其中的四个空位，有A44种情况，则一共有A33A441
28、44种排列方法；（3）根据题意，分2种情况讨论：，甲排在最右边，则乙有6个位置可选，将剩下的5人全排列，安排在其他5个位置，此时有6A55720种排法；，甲不排在最右边，则乙有5个位置可选，将剩下的5人全排列，安排在其他5个位置，此时有55A553000种排法；则一共有720+30003720种不同的排法；（4）根据题意，将7个人排成一排，有A77种排法，其中甲、乙、丙的顺序有A336种，则甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变的排法有840种【点评】本题考查排列、组合的实际应用，关键是掌握常见问题的处理方法21（12分）已知函数f（x）+ln x（1）求yf（x）在1，e上的最大值和最小值；（2）
29、求证：当x（1，+）时，函数yf（x）的图象在函数g（x）图象下方【分析】（1）先求导，由导数研究函数的单调、极值，计算端点函数值，比较极值与端点函数值，进而求出函数的最大值、最小值；（2）构造函数设F（x）x2+lnxx3，利用导数可知函数F（x）的单调性为递减，从而可得F（x）F（1）0可证【解答】解：（1）由f（x）x2+lnx有f（x）x+（2分）当x1，e时，f（x）0，故f（x）在1，e递增，f（x）maxf（e）e2+1，f（x）minf（1）（6分）（2）证明：设F（x）x2+lnxx3，则F（x）x+2x2，当x（1，+）时，F（x）0，且F（1）0故x（1，+）时F（x）0
30、，x2+lnxx3，得证（12分）【点评】本题主要考查了导数的应用：求单调区间，求极值、最值，利用单调性证明不等式，解（2）的关键是构造函数，转化为研究函数的单调性22（12分）已知函数f（x）x3ax+4（a0）（）讨论函数f（x）的单调性；（）若对于任意的a1，4，都存在x02，3，使得不等式f（x0）+ea+2am成立，求m的取值范围【分析】（）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可（）求函数的最值，利用参数分离法进行求解即可【解答】解：（）f（x）x2a（x）（x+），由f（x）0得x或x，此时函数单调递增，即函数的单调递增区间为（，+），由f（x）0得x，此时函数单调递减，即函数的单调递减区间为，（）a1，4），1，2），由（1）知，f（x）在（2，3上单调递减，当x2，3）时，函数f（x）的最大值为f（3）133a，若任意的a1，4），都存在x0（2，3使得不等式f（x0）+ea+2am成立，等价为不等式133a+ea+2am成立，即eaa+13m，设g（a）eaa+13，a1，4），此时g（a）ea1e10，当a1，4）时，g（a）g（1）e+12，故me+12【点评】本题主要考查函数单调性的判断以及利用导数研究函数的最值，考查学生的运算和推理能力
