1、2018-2019学年内蒙古赤峰市高一（下）期末数学试卷（理科）（A卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）若集合，则AB的真子集的个数为（）A3B4C7D82（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上是单调递减的是（）AycosxBylg|x|Cy1x2Dyex3（5分）函数f（x）的图象大致为（）ABCD4（5分）已知向量，则在方向上的投影为（）ABCD5（5分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，以下判断正确的是（）A若m，n，n，则mB若mn，n，则mC若mn，n，则mD若m，则m6（5分）圆（x2）
2、2+（y1）21上的一点到直线l：xy+10的最大距离为（）ABCD7（5分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问从第几天开始，走的路程少于30里（）A3B4C5D68（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1，E为棱BB1的中点，则异面直线DE与AB所成角的正切值为（）ABCD9（5分）已知b0，log5ba，lgbc，5d10，则下列等式一定成立的是（）AdacBacdC
3、cadDda+c10（5分）已知三棱锥DABC中，BCAD，则三棱锥的外接球的表面积为（）A6B4CD11（5分）函数，当x0，1上恰好取得5个最大值，则实数的取值范围为（）ABCD12（5分）在直角ABC中，ABAC，线段AC上有一点M，线段BM上有一点P，且CM：AMPB：MP2：1，若，则（）A1BCD二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.13（5分）已知关于x的不等式ax2+（a1）x10的解集为，则a 14（5分）cos50（tan10） 15（5分）若直线l1：ykx3与l2：2x+3y60的交点M在第一象限，
4、则l1的倾斜角的取值范围是 16（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对称轴为x1，已知当x0，1时，则有下列结论：2是函数f（x）的周期；函数f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；函数f（x）的最小值是0，最大值是1；当x（3，4）时，其中所有正确结论的序号是 三、解答题：共6小题，共70分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17（10分）已知函数f（x）3sin（x+）（0，0）（1）若函数f（x）的周期T，且满足，求及f（x）的递增区间；（2）若0，f（x）在上的最小值为3，求的最小值18（12分）设等差数列an满足a1+a2+a33，a1
5、a2a38（1）求数列an的通项公式；（2）若a2，a1，a3成等比数列，求数列an5的前n项和Sn19（12分）在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且asinA+b（sinA+sinB）csinC0（1）求角C；（2）若c2，求a+b的取值范围20（12分）已知圆C圆心坐标为点为坐标原点，x轴、y轴被圆C截得的弦分别为OA、OB（1）证明：OAB的面积为定值；（2）设直线2x+y40与圆C交于M，N两点，若|OM|ON|，求圆C的方程21（12分）如图，已知PA平面ABCD，ABCD为矩形，M、N分别为AB、PC的中点，（1）求证：MN平面PAD；（2）求证：面MPC平面PCD
6、；（3）求点B到平面MNC的距离22（12分）定义在D上的函数yf（x），如果满足：对任意xD，存在常数M0，都有|f（x）|M成立，则称函数yf（x）是D上的有界函数，其中M称为函数的上界已知函数（1）当a1时，求函数yf（x）在（，0）上的值域，并判断函数yf（x）在（，0）上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数yf（x）在0，+）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；（3）若m0，函数yg（x）在0，1上的上界是T（m），求T（m）的解析式2018-2019学年内蒙古赤峰市高一（下）期末数学试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分
7、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）若集合，则AB的真子集的个数为（）A3B4C7D8【分析】分别求出集合A和B，从而求出AB0，1，由此能求出AB的真子集的个数【解答】解：集合，A0，1，2，Bx|1x1，AB0，1，AB的真子集的个数为2213故选：A【点评】本题考查两个集合的交集的真子集的个数的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上是单调递减的是（）AycosxBylg|x|Cy1x2Dyex【分析】根据题意，依次分析函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选
8、项：对于A，ycosx，是余弦函数，但在（0，+）上不是单调函数，不符合题意；对于B，ylg|x|，是偶函数，但在区间（0，+）上是单调递增，不符合题意；对于C，y1x2，为二次函数，既是偶函数又在（0，+）上是单调递减，符合题意；对于D，yex（）x，为指数函数，不是偶函数，不符合题意；故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，属于基础题3（5分）函数f（x）的图象大致为（）ABCD【分析】先判断函数为偶函数，再分段讨论函数值得情况，即可判断【解答】解：函数的定义域为（，0）（0，+），f（x）f（x），f（x）为偶函数，f（x）的图象关于y轴对称，当0x1时，lnx0，f（x）0
9、，当x1时，lnx0，f（x）0，当x1时，f（x）0，故选：D【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数值得变化趋势，属于中档题4（5分）已知向量，则在方向上的投影为（）ABCD【分析】根据平面向量投影的定义，计算即可【解答】解：向量，则2（1）+111，|，在方向上的投影为|cos|故选：C【点评】本题考查了平面向量投影的定义与计算问题，是基础题5（5分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，以下判断正确的是（）A若m，n，n，则mB若mn，n，则mC若mn，n，则mD若m，则m【分析】在A中，由m，n，得mn，再由n，得到m；在B中，m与相交、平行或m；在C中，
10、m与相交、平行或m；在D中，m与相交、平行或m【解答】解：由m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，知：在A中，若m，n，则mn，再由n，得到m，故A正确；在B中，若mn，n，则m与相交、平行或m，故B错误；在C中，若mn，n，则m与相交、平行或m，故C错误；在D中，若m，则m与相交、平行或m，故D错误故选：A【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题6（5分）圆（x2）2+（y1）21上的一点到直线l：xy+10的最大距离为（）ABCD【分析】由已知可得圆心和半径，算出圆心到直线的距离，则最
11、大值为半径和圆心到直线距离之和【解答】解：由已知圆心C（2，1），半径r1，则圆心到直线l的距离d，所以圆上的点到直线l的最大距离为：d+r故选：D【点评】本题考查直线和圆，属于容易题7（5分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问从第几天开始，走的路程少于30里（）A3B4C5D6【分析】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由求和公式可得首项，可得答案【解答】解
12、：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得378，解得a1192，an192（）n1384（）n，384（）n302n12.8，解得n4，即从第4天开始，走的路程少于30里，故选：B【点评】本题考查等比数列的求和公式，求出数列的首项是解决问题的关键，属基础题8（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1，E为棱BB1的中点，则异面直线DE与AB所成角的正切值为（）ABCD【分析】由题意画出图形，可得CDE即为异面直线DE与AB所成角设出正方体的棱长，求解三角形得答案【解答】解：如图，ABCD，CDE即为异面直线DE与AB所成角设正方体的棱长为2，E为棱BB1的
13、中点，BE1，则CEtanCDE故选：C【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查数学转化思想方法，是基础题9（5分）已知b0，log5ba，lgbc，5d10，则下列等式一定成立的是（）AdacBacdCcadDda+c【分析】利用指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式即可得出【解答】解：由5d10，可得，cdlgblog5ba故选：B【点评】本题考查了指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式，属于基础题10（5分）已知三棱锥DABC中，BCAD，则三棱锥的外接球的表面积为（）A6B4CD【分析】根据勾股定理可判断ADAB，ABBC，从而可得三棱锥的各个面都为直角三角形，求出三
14、棱锥的外接球的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积【解答】解：如图：AD，AB1，BD，满足AD2+AB2BD2，ADAB，又ADBC，BCABB，AD平面ABC，ABBC1，AC，ABBC，BC平面DAB，CD是三棱锥的外接球的直径，AD，AC，CD2，三棱锥的外接球的表面积为4124故选：B【点评】本题考查了三棱锥的外接球的表面积，关键是根据线段的数量关系判断CD是三棱锥的外接球的直径，是中档题11（5分）函数，当x0，1上恰好取得5个最大值，则实数的取值范围为（）ABCD【分析】当x0，1上恰好取得5个最大值时，必有【解答】解，在y轴右边第一个最值点是以后每相间一个周期有一个最值点，当x
15、0，1上恰好取得5个最大值时，必有故选：C【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，得到+4T105T+是关键，考查分析与运算能力，属于中档题12（5分）在直角ABC中，ABAC，线段AC上有一点M，线段BM上有一点P，且CM：AMPB：MP2：1，若，则（）A1BCD【分析】由题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量和，求出即可【解答】解：由题意建立平面直角坐标系，如图所示；由CM：AMPB：MP2：1，且，则A（0，0），B（0，2），C（3，0），M（1，0），P（，），（，），（3，2），3+（2）故选：D【点评】本题考查了平面向量的数量积计算问题，也考查了数形结合应用问题，是基础题二
16、、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.13（5分）已知关于x的不等式ax2+（a1）x10的解集为，则a2【分析】根据不等式与对应一元二次方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a的值【解答】解：关于x的不等式ax2+（a1）x10的解集为（1，），方程ax2+（a1）x10的实数根为1和，由根与系数的关系得，1（），解得a2故答案为：2【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了根与系数的应用问题，是基础题目14（5分）cos50（tan10）1【分析】利用切化弦以及两角和与差的正弦函数化简表达式，即可求出结果【解答】解：cos50（t
17、an10）sin40（）sin40（sin10cos60sin60cos10）1故答案为：1【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，考查计算能力15（5分）若直线l1：ykx3与l2：2x+3y60的交点M在第一象限，则l1的倾斜角的取值范围是【分析】由题意画出图形，数形结合求得答案【解答】解：直线l2：2x+3y60在x轴和y轴上的截距分别为3，2，直线l1：ykx3恒过定点（0，3），如图：kPA1，直线PA的倾斜角为，由图可知，要使直线l1：ykx3与l2：2x+3y60的交点M在第一象限，则l1的倾斜角的取值范围是（，）故答案为：（，）【点
18、评】本题考查了直线的倾斜角，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题16（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对称轴为x1，已知当x0，1时，则有下列结论：2是函数f（x）的周期；函数f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；函数f（x）的最小值是0，最大值是1；当x（3，4）时，其中所有正确结论的序号是【分析】根据条件得到函数的周期为2，再利用函数的单调性、奇偶性和周期性之间的关系分别进行判断即可【解答】解：对于，函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对称轴为x1，所以f（x+1）f（1x），所以f（x+1）f（1x）f（x1），即f（x+2）f（x），2是函数f（x）的周期，正
19、确；对于，当x0，1时，f（x）2x1为增函数，所以函数在1，0上为减函数，在（1，2）上递减，所以f（x）在（2，3）上递增，正确；对于，当x0，1时，f（x）2x1为增函数，所以当x0，1时，f（x）的最大值为f（1）1，最小值为f（0），根据函数的周期性与对称性知f（x）的最大值为1，最小值为，错误；对于，x（1，0）时，x（0，1），则f（x）f（x）2x1，当x（3，4）时，x4（1，0），则f（x）f（x4），正确综上，正确的命题序号是故答案为：【点评】本题考查了函数的周期性，单调性，奇偶性，对称性，最值以及解析式的求法应用问题，是中档题三、解答题：共6小题，共70分解答应写出文字
20、说明、演算步骤或证明过程17（10分）已知函数f（x）3sin（x+）（0，0）（1）若函数f（x）的周期T，且满足，求及f（x）的递增区间；（2）若0，f（x）在上的最小值为3，求的最小值【分析】（1）由正弦函数的周期公式可得，再由对称性可得，由正弦函数的单调性可得f（x）的增区间；（2）由正弦函数的最小值，以及已知定义域，可得的范围，即有最小值【解答】解：（1）T，由知，对称轴，又0，由，得，函数f（x）递增区间为；（2）由于0，f（x）3sinx，f（x）在上的最小值为3，所以，即，所以，由k0，可得2，可得min2【点评】本题考查正弦函数的性质，主要是周期性和单调性、对称性，考查方程思
21、想和运算能力，属于中档题18（12分）设等差数列an满足a1+a2+a33，a1a2a38（1）求数列an的通项公式；（2）若a2，a1，a3成等比数列，求数列an5的前n项和Sn【分析】（1）由题意利用等差数列的定义求出首项和公差的值，从而求出它的通项公式（2）由题意进一步确定数列an的通项公式，从而求得an5的前n项和Sn【解答】解：（1）因为an等差数列，且a1+a2+a33a23，a21，设an的公差为d，则a1a2a3（1d）（1）（1+d）8，d3当d3时，a12，an2+（n1）（3）3n+5；当d3时，a14，an4+（n1）33n7，故an的通项公式为：an3n+5，或an3
22、n7（2）因为a2，a1，a3成等比数列，所以 a2a3，an3n+5，所以数列an5的通项公式为 an53n，故它的 前n项和【点评】本题主要考查等差、等比数列的定义、通项公式，等差数列的求和公式，属于基础题19（12分）在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且asinA+b（sinA+sinB）csinC0（1）求角C；（2）若c2，求a+b的取值范围【分析】（1）利用正弦定理以及余弦定理，转化求解即可（2）利用正弦定理以及基本不等式转化求解即可【解答】解：（1）由asinA+b（sinA+sinB）csinC0及正弦定理得，a2+ab+b2c20，由余弦定理得，又0C，所以（
23、2）由a2+ab+b2c20及c2，得a2+ab+b24，即（a+b）2ab4所以，所以，当且仅当ab时，等号成立，又a+b2c，所以【点评】本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，基本不等式的应用，是基本知识的考查20（12分）已知圆C圆心坐标为点为坐标原点，x轴、y轴被圆C截得的弦分别为OA、OB（1）证明：OAB的面积为定值；（2）设直线2x+y40与圆C交于M，N两点，若|OM|ON|，求圆C的方程【分析】（1）依题意得C为AB中点，所以，再根据面积公式可得OAB的面积为定值4（2）根据题意可得直线OC与直线2x+y40垂直，利用斜率公式可解得t的值，然后检验舍去t1【解答】
24、解：（1）因为轴、y轴被圆C截得的弦分别为OA、OB，所以AB经过C，又C为AB中点，所以，所以，所以OAB的面积为定值（2）因为直线2x+y40与圆C交于M，N两点，|OM|ON|，所以MN的中垂线经过O，且过C，所以OC的方程，所以，所以当t1时，有圆心C（2，1），半径，所以圆心C到直线2x+y40的距离为，所以直线2x+y40与圆C交于点M，N两点，故成立；当t1时，有圆心（2，1），半径，所以圆心C到直线2x+y40的距离为，所以直线2x+y40与圆C不相交，故t1（舍去），综上所述，圆C的方程为（x2）2+（y1）25【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，属中档题21（12分）如图
25、，已知PA平面ABCD，ABCD为矩形，M、N分别为AB、PC的中点，（1）求证：MN平面PAD；（2）求证：面MPC平面PCD；（3）求点B到平面MNC的距离【分析】（1）取PD中点为G，连接NG，AG，M、N分别为AB、PC的中点，可得AMNG是平行四边形，利用线面平行的判定即可证明MN平面PAD（2）只需证明AG平面PDC，即可证明平面MPC平面PCD（3）利用，求解点B到平面MNC的距离【解答】解：（1）证明：取PD中点为G，连接NG，AG，M、N分别为AB、PC的中点，AMNG是平行四边形，MNAG，AG平面PAD，MN平面PAD，MN平面PAD（2）证明：由（1）知MNAG，PMM
26、C，N为PC中点，MNPC，即AGPC，G为PD的中点，APAD，AGPD，且PDPCP，AG平面PDC，MN平面PDC，MN平面MPC，平面MPC平面PCD（3），则点B到平面MNC的距离为【点评】本题考查了空间线面平行、面面垂直的判定，考查了点面距离的计算，属于中档题22（12分）定义在D上的函数yf（x），如果满足：对任意xD，存在常数M0，都有|f（x）|M成立，则称函数yf（x）是D上的有界函数，其中M称为函数的上界已知函数（1）当a1时，求函数yf（x）在（，0）上的值域，并判断函数yf（x）在（，0）上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数yf（x）在0，+）上是以3为上界的有
27、界函数，求实数a的取值范围；（3）若m0，函数yg（x）在0，1上的上界是T（m），求T（m）的解析式【分析】（1）运用f（x）的单调性和有界性的定义，即可得到结论；（2）由有界性和换元法，以及指数函数的单调性，可得所求范围；（3）运用指数函数的单调性和换元法，即可得到所求解析式【解答】解：（1）当a1时，由于f（x）在（，0）上递减，f（x）f（0）3，函数yf（x）在（，0）上的值域为（3，+），故不存在常数M0，使得|f（x）|M成立，函数yf（x）在（，0）上不是有界函数；（2）yf（x）在0，+）上是以3为上界的有界函数，即|f（x）|3，令，则，即31+at+t23，0t1，由1+at+t23得，令，则hmin（1）1，由1+at+t23得，令，则hmax（1）5，所以5a1；（3），m0，0x1，g（x）在0，1上递减，g（1）g（x）g（0），即，当时，即当时，；当时，即当时，可得T（m）【点评】本题考查函数的有界性、单调性和值域、以及换元法和分类讨论思想，考查运算能力和推理能力，属于难题
